一次函數(shù)（解析版）-中考數(shù)學備考復習重點資料歸納

第10講一次函數(shù)(精講精練)

1.結(jié)合具體情境體會一次函數(shù)的意義，能畫出一次函數(shù)的圖像。理解正比例函

數(shù)。

2.能根據(jù)已知條件確定一次函數(shù)的關(guān)系式。會利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的

關(guān)系式。

3.根據(jù)一次函數(shù)的圖像和關(guān)系式y(tǒng)=kx+b(kW0)探索并理解k>0和k<0時，圖像

的變化情況。

4.體會一次函數(shù)與二元一次方程的關(guān)系。

5.能用一次函數(shù)解決簡單實際問題。

國考支hl

考點1:一次函數(shù)圖像與性質(zhì)..........................................................2

考點2：一次函數(shù)解析式的確定.......................................................11

考點3：一次函數(shù)圖像的平移.........................................................19

考點4：一次函數(shù)與方程不等式的關(guān)系................................................22

考點5：一次函數(shù)的應用..............................................................29

課堂總結(jié)：思維導圖..................................................................42

分層訓練：課堂知識鞏固.............................................................42

考點1：一次函數(shù)圖像與性質(zhì)

(1)概念：一般來說，形如y=Ax+b(4W0)的函數(shù)叫做一次函數(shù).特別地，當b=0時,

稱為正比例函數(shù).

（2）圖象形狀：一次函數(shù)夕=丘+6是一條經(jīng)過點（0力）和（-2,0）的直線.特別地，正比

k

例函數(shù)y=辰的圖象是一條恒經(jīng)過點（0,0）的直線.

1.求一次函數(shù)與x軸的交點，只需令尸0,解出x即可；

2.求與y軸的交點，只需令x=0,求出y即可.

故一次函數(shù)了=履+/左/0）的圖象與x軸的交點是（—2,0）,與y軸的交點是（0,b）；

k

3.正比例函數(shù)y=去（攵W0）的圖象恒過點（0,0）.

學霸堇記

1t

〔-審例抬十幫

【例題精析1】｛一次函數(shù)的定義★）以下函數(shù)中），是X的一次函數(shù)的是（）

12

@j/=2x2+x+1；?y=2TTX；（3）^=—；?y=42x；⑤y=l——x；?y=2x.

x4

A.2個B.3個C.4個D.5個

【分析】一般地，形如y=fcr+b6/0,k、b是常數(shù)）的函數(shù)，叫做一次函數(shù).根據(jù)一次

函數(shù)的定義條件進行逐一分析即可.

【解答】解：①y=2f+x+l是二次函數(shù)，故此選項不符合題意；②y=2c是一次函數(shù)，

故此選項符合題意；③了=,不是一次函數(shù)，是反比例函數(shù)，故此選項不符合題意；④了=歷

X

是一次函數(shù)，故此選項符合題意；⑤y=l-3x是一次函數(shù)，故此選項符合題意；⑥y=2x是

4

一次函數(shù)，故此選項符合題意.故選：C.

【點評】本題主要考查了一次函數(shù)的定義，解題關(guān)鍵是掌握一次函數(shù)y=Ax+6的定義條件:

k、b為常數(shù),自變量次數(shù)為1.

【例題精析2】｛正比例函數(shù)的定義★｝若函數(shù)y=（2機+l）f+（i-2Mx（胴為常數(shù)）是正

比例函數(shù)，則，"的值為

2

【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的定義列出方程2加+1=0,通過解該方程求得加值即可.

【解答】解：,函數(shù)y=（2加+1了為常數(shù)）是正比例函數(shù)，.?.2〃?+1=0,且

1-2〃?w0,

解得，m=--.故答案是：-L.

22

【點評】本題考查了正比例函數(shù)的定義.解題關(guān)鍵是掌握正比例函數(shù)的定義條件：正比例函

數(shù)卜=日的定義條件是：左為常數(shù)且％H0,自變量次數(shù)為1.

【例題精析3】｛一次函數(shù)的圖像★｝直線4：y=fcc+b和=在同一平面直角

坐標系中的圖象可能是（）

【分析】先看一條直線，得出％和人的符號，然后再判斷另外一條直線是否正確，這樣可得

出答案.

【解答】解：A>直線4=Ax+b中％>0,Z?>0,直線6：y=bx—左中〃<0,/?<0,k、

b的取值相矛盾，故本選項不符合題意；B、直線4=Ax+b中左>0,b>0,直線

/2：>=版一人中左>0,b>0,k、b的取值一致，故本選項符合題意；C、直線4:y=kx+b

中左<0,b>0,直線4：歹=云一左中左>0，/?>0,k、6的取值相矛盾，故本選項不符合

題意；D直線4=Ax+6中％<0,6>0,直線（=6%一〃中左>0，Z?<0,k、6的

取值相矛盾，故本選項不符合題意.故選：B.

【點評】此題考查了一次函數(shù)圖象與4和6符號的關(guān)系，關(guān)鍵是掌握當6>0時，（0,6）在y軸

的正半軸上，直線與y軸交于正半軸；當方<0時，（0力）在y軸的負半軸，直線與y軸交于

負半軸.

【例題精析4】｛一次函數(shù)的圖像★）已知一次函數(shù)、=自+僅%#0）的圖象如圖所示，

則y=-fcv-A的圖象可能是（）

yfFAyiy

A.IB.卜C.ID.I

【分析】根據(jù)是一次函數(shù)y=+b的圖象經(jīng)過一、三、四象限得出上，。的取值范圍解答即

可.

【解答】解：因為一次函數(shù)y=+b的圖象經(jīng)過一、三、四象限，可得：k>0,b<0,

所以直線y=-bx-左的圖象經(jīng)過一、三、四象限，故選：C.

【點評】此題考查一次函數(shù)圖象，關(guān)鍵是根據(jù)是一次函數(shù)歹=履+人的圖象經(jīng)過一、三、四

象限得出4,6的取值范圍.

【例題精析5】｛一次函數(shù)的性質(zhì)★｝若點兒見必），點B（M+/+1,%）都在一次函數(shù)

y=5x+4的圖象上，貝1（）

A.yt<y2B.yt=-y2C.>y2D.y,=y2

【分析】由偶次方的非負性可得出aL.o,進而可得出〃?+/+1>機，由左=5>0,利用一

次函數(shù)的性質(zhì)可得出y隨x的增大而增大，進而可得出必<必.

【解答】解：：a?...。，；.a?+1>0,mm+a?+1.:=5>0,y隨x的增大而增大,

又?.,點，（〃?,必），點8（，“+。2+],%）都在一次函數(shù)夕=5*+4的圖象上，故選：

A.

【點評】本題考查了偶次方的非負性以及一次函數(shù)的性質(zhì)，牢記“A>0,y隨x的增大而

增大；k<0,y隨x的增大而減小”是解題的關(guān)鍵.

【例題精析6】｛一次函數(shù)的性質(zhì)★｝下列關(guān)于一次函數(shù)y=-2x+2的圖象的說法中，錯

誤的是（）

A.函數(shù)圖象經(jīng)過第一、二、四象限

B.函數(shù)圖象與x軸的交點坐標為（2,0）

C.當x>0時，y<2

D.y的值隨著x值的增大而減小

【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可以判斷各個選項是否正確，從而可以解答本題.

【解答】解：/、=6=2>0,.?.函數(shù)圖象經(jīng)過第一、二、四象限，說法正確;

3、；y=0時，x=l,.?.函數(shù)圖象與x軸的交點坐標為（1,0）,說法錯誤；C、當x>0時,

><2,說法正確；。、?.?=-2<0,二y的值隨著x值的增大而減小，說法正確；故選：B.

【點評】本題考查一次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用一次函數(shù)的性質(zhì)解答.

三."刊珠

【對點訓練1]｛一次函數(shù)的定義★）已知函數(shù)夕=（加-l）xM：+2x+l為一次函數(shù)，則m=

1或0.

【分析】根據(jù)一次函數(shù)的定義列方程即可得到結(jié)論.

【解答】解：由一次函數(shù)的定義可得：蘇印或0,加_]片_2,.?.機=1或0,故答案為：1

或0.

【點評】本題主要考查了一次函數(shù)的定義，一次函數(shù)y=Ax+6的定義條件是：左、b為常數(shù),

k^O,自變量次數(shù)為1.4工0是考查的重點.

【對點訓練2】｛一次函數(shù)的圖像★｝若劭<0,b-k>0,函數(shù)、=+與y=6x+%在

同一坐標系中的圖象是（）

【分析】根據(jù)他<0,b-k>0,可以得到〃、6的正負情況，從而可以得到函數(shù)夕=日+6

與y=bx+k的圖象經(jīng)過哪幾個象限.

【解答】解：kb<0,:.k、b異號,b-k>0,:.b>0,k<0,函數(shù)夕=fcc+6的圖

象經(jīng)過一、二、四象限，函數(shù)y=bx+k的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，故選：D.

【點評】本題考查一次函數(shù)的圖象，解答本題的關(guān)鍵是明確一次函數(shù)的性質(zhì)，由4、6的正

負情況，可以寫出一次函數(shù)圖象經(jīng)過的象限.

【對點訓練3】｛一次函數(shù)的圖像★｝若實數(shù)%,用滿足上+加=0,B.k-m>0,則函

【分析】根據(jù)題意可以得到左和加的正負，從而可以得到函數(shù)>=6+，〃的圖象在哪幾個象

限，從而可以解答本題.

【解答】解：...實數(shù)%,塊滿足％+"?=0,且k>0,機<0,...函數(shù)夕=米+〃？

的圖象在第一、三、四象限，故選：D.

【點評】本題考查一次函數(shù)的圖象，解答本題的關(guān)鍵是明確一次函數(shù)的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合

的思想解答.

【對點訓練4】｛一次函數(shù)的圖像★）函數(shù)y=|x-l|的圖象是（）

yv

【分析】根據(jù)函數(shù)解析式求得該函數(shù)的性質(zhì)，然后再作出選擇.

【解答】解：?.?函數(shù)y=|x-l|=[xTa/)，，當x>l時，y隨x的增大而增大；當x<l時，

[-X+1(%<1)

y隨x的增大而減?。还蔬x：B.

【點評】本題考查了一次函數(shù)圖象.熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【對點訓練5】｛一次函數(shù)的性質(zhì)★｝用描點法畫一次函數(shù)圖象，在如表格中有一組數(shù)據(jù)

錯誤，這組錯誤的數(shù)據(jù)是()

X-2-112

y1211108

A.(-2,12)B.(-1,11)C.(1,10)D.(2,8)

【分析】在坐標系描點，即可得到在同一直線上的三點，從而得到結(jié)論

【解答】解：根據(jù)表格數(shù)據(jù)描點，如圖，則點(-2,12),(-1,11),(2,8)在同一直線上，點(1,10)

沒在這條直線上，故選：C.

【點評】本題考查一次函數(shù)圖象，根據(jù)坐標系中的點判斷即可.

【對點訓練6】｛一次函數(shù)的性質(zhì)★｝下列有關(guān)一次函數(shù)y=-6x-5的說法中，正確的是

()

A.y的值隨著x值的增大而增大B.函數(shù)圖象與y軸的交點坐標為(0,5)

C.當x>0時，y>-5D.函數(shù)圖象經(jīng)過第二、三、四象限

【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)解析式和一次函數(shù)的性質(zhì)，可以判斷各個選項中的說法是否正確，

從而可以解答本題.

【解答】解：,/y=-6x-5,-6<0,-5<0,y隨x的增大而減小，故選項/不符合題

意；當x=0時，^=-6xO-5=-5,即函數(shù)圖象與y軸的交點坐標為(0,-5),故選項8不符

合題意；當x>0時，><-5,故選項C不符合題意；函數(shù)圖象經(jīng)過第二、三、四象限，故

選項。符合題意；故選：D.

【點評】本題考查一次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用一次函數(shù)的性質(zhì)解答.

【對點訓練7】｛一次函數(shù)的性質(zhì)★)對于一次函數(shù)夕=x+6,下列結(jié)論錯誤的是()

A.y隨x的增大而增大B.函數(shù)圖象與x軸所成的銳角是45°

C.函數(shù)圖象與x軸交點坐標是(0,6)D.函數(shù)圖象不經(jīng)過第四象限

【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，以及函數(shù)圖象與坐標軸的交點的求法即可判斷.

【解答】解：/、一次項系數(shù)大于0,則函數(shù)值隨自變量的增大而增大，故/選項正確；8、

函數(shù)圖象與x軸正方向成45。角，故8選項正確；C、當x=0時，y=6,則函數(shù)圖象與y軸

交點坐標是(0,6),故C選項錯誤；D、函數(shù)經(jīng)過一、二、三象限，不經(jīng)過第四象限，故。

選項正確.故選：C.

【點評】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，在直線y=+b中，當％>0時，y隨x的增大而增

大；當上<0時，y隨x的增大而減小.

X鉉襄*粒

【實戰(zhàn)經(jīng)典1】(2020?濟南)若機<-2,則一次函數(shù)y=O+l)x+l-機的圖象可能是(

【分析】由"?<-2得出m+l<0,l-m>0,進而利用一次函數(shù)的性質(zhì)解答即可.

【解答】解：：<-2,加+1<0,1-機>0,所以一次函數(shù)y=(/?+l)x+l-/M的圖象經(jīng)

過一，二，四象限，故選：D.

【，點:評】本題主要考查一次函數(shù)圖象在坐標平面內(nèi)的位置與我、〃的關(guān)系.解答本題注意理

解：直線了=履+6所在的位置與4、6的符號有直接的關(guān)系.A>0時，直線必經(jīng)過一、三

象限；《<0時，直線必經(jīng)過二、四象限.6>0時，直線與y軸正半軸相交；6=0時，直線

過原點；b<0時，直線與V軸負半軸相交.

【實戰(zhàn)經(jīng)典2]（2021?沈陽）一次函數(shù)y=-3x+l的圖象不經(jīng)過（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)解析式和一次函數(shù)的性質(zhì)，可以判斷該函數(shù)的圖象經(jīng)過哪幾個象

限，不經(jīng)過哪個象限，本題得以解決.

【解答】解：???一次函數(shù)夕=-3》+1,k=-3,6=1,.?.該函數(shù)圖象經(jīng)過第一、二、四象限,

不經(jīng)過第三象限，故選：C.

【點評】本題考查一次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用一次函數(shù)的性質(zhì)解答.

【實戰(zhàn)經(jīng)典3】（2020?牡丹江）兩個一次函數(shù)y=ox+b和y=bx+a,它們在同一個直

角坐標系的圖象可能是（）

【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，利用分類討論的方法可以得到哪個選項中的圖象是符合題意

的.

【解答】解：當a>0,b>0時，一次函數(shù)^="+6和、=以+。的圖象都經(jīng)過第一、二、

三象限，

當a>0,6<0時，一次函數(shù)y=nx+b的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，函數(shù)y=bx+a的圖

象經(jīng)過第一、二、四象限，當a<0,b>0時，一次函數(shù)夕=。丫+6的圖象經(jīng)過第一、二、

四象限，函數(shù)y=6x+a的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，當人<0時，一次函數(shù)y=ax+6

和y=6x+”的圖象都經(jīng)過第二、三、四象限，

由上可得，兩個一次函數(shù)y=ax+b和y=bx+a,它們在同一個直角坐標系的圖象可能是8

中的圖象，

故選：B.

【點評】本題考查一次函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)

形結(jié)合的思想解答.

昌加機枝理

考點2:一次函數(shù)解析式的確定

(1)常用方法：待定系數(shù)法，其一般步驟為：

①設(shè)：設(shè)函數(shù)表達式為y=Ax+6(4W0)；

②代：將己知點的坐標代入函數(shù)表達式，解方程或方程組；

③解：求出X與b的值，得到函數(shù)表達式.

(2)常見類型：

①已知兩點確定表達式；

②已知兩對函數(shù)對應值確定表達式；

③平移轉(zhuǎn)化型：如已知函數(shù)是由尸2x平移所得到的，且經(jīng)過點(0,1),則可設(shè)要求函數(shù)

的解析式為廣2x+b,再把點(0,1)的坐標代入即可.

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”鎮(zhèn)的必錯布

【例題精析1】｛確定一次函數(shù)解析式★｝一次函數(shù)y=6+b的圖象經(jīng)過（1,1）,（2,4）,

則%與人的值為（）

【分析】由于一次函數(shù)y=自+b經(jīng)過（1,1）,（2,4）,應用待定系數(shù)法即可求出函數(shù)的解析式.

k+b=\（k=3

■，解得：■.故選:

｛2k+b=4[b=-2

A.

【點評】本題考查用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵.

【例題精析2】｛確定一次函數(shù)解析式★★｝已知一次函數(shù)y=/nx-4機，當Lx.3時，

2.1%6,則m的值為（）

A.3B.2C.-2D.2或-2

【分析】結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)，對w分類討論，當％＞0時，一次函數(shù)少隨x增大而增大，

此時x=1,y=2且x=3,y=6；當機＜0時，一次函數(shù)y隨x增大而減小，此時x=1,y=6

且x=3,y=2；最后利用待定系數(shù)法求解即可.

【解答】解：當機＞0時，一次函數(shù)y隨x增大而增大，，當x=l時，y=2且當x=3時，、=6,

令x=l,y=2,解得m=—不符題意，令x=3,y=6,解得加=-6,不符題意，

當加＜0時，一次函數(shù)y隨x增大而減小，.,.當x=l時，y=6且當x=3時，y=2,

令x=l,y=6,解得加=-2,令x=3,y=2,解得“=-2,符合題意，；.故選：C.

【點評】本題主要考查一次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式等，深度理解一次函數(shù)的性質(zhì)

是解題關(guān)鍵.

【例題精析3】｛確定一次函數(shù)解析式*｝已知y+3與x+2成正比例，且當x=-3時，

y—1.

（1）寫出y與x之間的函數(shù)表達式；

（2）當x=-3時，求y的值；

（3）若y的取值范圍是-3“入3,求x的取值范圍.

【分析】（1）設(shè)＞+3=以、+2）,把x、y的值代入求出左的值，即可求得函數(shù)表達式；（2）

把x=-3代入函數(shù)表達式，即可求得y的值；（3）由題意得出關(guān)于x的不等式組，求解即可

得到x的取值范圍.

【解答】解：（1）設(shè)y+3=A（x+2）,把x=-3,y=7代入得：-4=10,解得：4=-10,

y+3=-10x-20,y與x之間的函數(shù)表達式為：j=-1Ox-23；

(2)把x=-3代入y=-10x-23得：y=-10x(-3)-23=7；

(3)根據(jù)題意得：-3,,-1Ox-23..3,解得：一26,X,-2,的取值范圍為：-2.0不,-2.

【點評】本題考查的是用待定系數(shù)法求一?次函數(shù)的解析式、一次函數(shù)圖象上點的坐標特征以

及一元一次不等式組的解法，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵.

【例題精析4】｛確定一次函數(shù)解析式*｝如圖，直線/是一次函數(shù)了=依+人的圖象，且

經(jīng)過點4(0,1)和點8(3,-2).

(1)求直線/的表達式；

(2)求直線/與兩坐標軸所圍成的三角形的面積.

【分析】(1)把點工(0,1)和點8(3,-2)代入一次函數(shù)的解析式得到方程組求出方程組的解即

可；

(2)根據(jù)解析式求得C的坐標，然后根據(jù)三角形面積公式即可求得.

【解答】解：(1)把點4(0,1)和點3(3,-2)代入>=點+6,

得產(chǎn)"=-2,解得：.直線/的表達式為yi+1；

[p=1[6=1

(2)在+1中，令歹=0,則一x+l=0,解得x=l,C(l,0),???B(OJ),:.OA=\,

08=1,.?.直線/與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為g.

【點評】本題主要考查一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式,

三角形的面積，數(shù)形結(jié)合是解此題的關(guān)鍵.

te珠

【對點訓練。｛確定一次函數(shù)解析式外如圖，在平面直角坐標系中，直線>=彳+3

交x軸于點交y軸于點8,以點N為圓心，長為半徑畫弧，交X軸的負半軸于

點C,則直線8c的解析式為_y=3x+3_.

【分析】先求得4、8的坐標，然后利用勾股定理得出48的長，再利用圓的性質(zhì)得出C。

的長，即可得出C的坐標，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得直線BC的解析式.

【解答】解：在直線y=——x+3中，令y=0,求得x=4；令x=0,求得y=3,

4

點/的坐標為(4,0),點8的坐標為(0,3),..80=3,20=4,="+甲=5,?.?以

點/為圓心，48長為半徑畫弧，交x軸的負半軸于點C,，C。=5-4=1,則點C的坐標

[6=3

為：設(shè)直線8C的解析式為y=Ax+b,把8(0,3),代入得(，解

H+6=0

得，一，，.?.直線8c的解析式為k3x+3.

[6=3

故答案為y=3x+3.

【點評】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，勾股

定理的應用等，求得C的坐標是解題的關(guān)鍵.

【對點訓練2】｛確定一次函數(shù)解析式*｝已知y與x-2成正比例，當x=3時，y=2.

(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當夕=-2時，求自變量x的值.

【分析】(I)利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式；(2)代入夕=-2計算即可.

【解答】解：(1)?jy與(x-2)成正比例，.,.設(shè)y=%(x-2),由題意得，2=%(3-2),

解得，k=2,則y=2x-4；(2)當y=-2時，貝iJ-2=2x-4,解得x=l.

【點評】本題考查的是待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，掌握

待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式一般步驟是解題的關(guān)鍵.

【對點訓練3】｛確定一次函數(shù)解析式*｝如圖，已知一次函數(shù)y=Ax+b的圖象經(jīng)過點

4-2,-1)和點8(1,3),并且交y軸于點。.

(1)求該一次函數(shù)的解析式和點。的坐標;

(2)求A4O8的面積.

【分析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法即可求得；(2)求得。的坐標，然后根據(jù)S4MB=SAB8+SM8

即可求得.

k=+

【解答】解：(1)將4-2,7),8(1,3)代入y=H+b得：\~2k+h=-X,解得<3

[4+6=3

b=-

454555

一次函數(shù)的表達式為y=—x+—；(2)在卜=一刀+—中，令工=0得了=一，0D--,

■333333

。?！?5,15,5

=XX+XX2=

SMOS=SABOD+SMOD23232'

【點評】本題考查了待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式、一次函數(shù)圖象上點的坐標特征以及三

角形的面積，根據(jù)點的坐標，利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵.

【對點訓練4】｛確定一次函數(shù)解析式*｝如圖，一次函數(shù)y=-(x+6的圖象與x軸、y

軸分別交于點/、B,線段的中點為。(3,2).將A4O8沿直線C。折疊，使點力與

點8重合，直線C。與x軸交于點C.

(1)求此一次函數(shù)的解析式；

(2)求點C的坐標.

【分析】(1)根據(jù)線段中點的性質(zhì)，可得B點，/點坐標，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解

析式；

(2)如圖，連接8C,設(shè)OC=x,則ZC=C8=6-x,根據(jù)翻折變換的性質(zhì)用x表示出8c

的長，再根據(jù)勾股定理求解即可.

【解答】解：(1)設(shè)/點坐標為(。,0),8點坐標為(0,6),由線段的中點為。(3,2),得

0+a、0+b-

-------=3,--------=2,

22

解得a=6,6=4.即N(6,0),B(0,4),.?.一次函數(shù)的解析式為y=-：x+4.

(2)如圖，連接8C,設(shè)OC=x,MAC=CB=6-x,

■：ABOA=90°,OB2+OC2=CB2,42+x2=(6-x)2,解得x=g,即點C的坐標為g,

0).

【點評】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，軸對稱的性質(zhì)，勾股定理，正確的求

出一次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵.

X侵囊*抬

【實戰(zhàn)經(jīng)典1】(2021?呼和浩特)在平面直角坐標系中，點/(3,0),5(0,4).以AB為

一邊在第一象限作正方形則對角線8。所在直線的解析式為()

A.y=x+4B.y=-—x+4C.y=-■-x+4D.y=4

742

【分析】過。點作_Lx軸于〃，如圖，證明\ABO=\DAH得到N"=OB=4,

DH=OA=3,則0(7,3),然后利用待定系數(shù)法求直線8。的解析式.

【解答】解：過。點作。H_Lx軸于4,如圖，?.?點4(3,0),5(0,4).：.OA=3,OB=4,

?.?四邊形N8C。為正方形，:.AB=AD,ZBAD=90°,?：Z.OBA+Z.OAB=90°,

AAOB=ZDHA

NOAB+NDAH=90°,ZABO=ADAH,在\ABO和\DAH中，■ZABO=ZDAH,

AB=DA

:.\ABO=\DAH{AAS),:.AH=OB=4,DH=OA=3,:.D(7,3),設(shè)直線8。的解析式為

y=kx+b,把。(7,3),8(0,4)代入得十八，，解得.“=一，，.?.直線8。的解析式為

\b=4..

I6=4

y=--x+4.故選：A.

7

【點評】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式：求一次函數(shù)y=Ax+b,需要兩組x,y

的值.利用全等三角形的性質(zhì)求出D點坐標是解決問題的關(guān)鍵.

【實戰(zhàn)經(jīng)典2](2021?樂山)如圖，已知直線4:y=-2x+4與坐標軸分別交于Z、8兩

點，那么過原點。且將ZUO8的面積平分的直線4的解析式為()

A.y=-xB.y=xD.y=2x

2

【分析】根據(jù)坐標軸上點的坐標特征求出力(2,0),8(0,4),則的中點為(1,2),所以4經(jīng)

過的中點，直線“把ZU08平分，然后利用待定系數(shù)法求的解析式；

【解答】解：如圖，當y=0,-2x+4=0,解得x=2,則4(2,0)；當x=0,y=4,則8(0,4),

.?.48的中點坐標為(1,2),?.?直線4把&面積平分.?.直線4過力8的中點，設(shè)直線右的解

析式為y=kx,

把(1,2)代入得2=&,解得％=2,二〃的解析式為y=2x,故選：D.

hK4i-

【點評】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，明確直線4過48的中點是解題的關(guān)

鍵.

【實戰(zhàn)經(jīng)典3】如圖，在平面直角坐標系中，菱形0/8C的一個頂點在原點。處，且

ZAOC=60°,/點的坐標是(0,4),則直線/C的表達式是_y=—半》+4_.

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)，可得0C的長，根據(jù)三角函數(shù)，可得。。與CQ,根據(jù)待定系數(shù)

由菱形0Z8C的一個頂點在原點。處，/點的坐標是（0,4）,得。。=。/=4.又

???Nl=60°,

Z2=30°.sinZ2=—=-,：.CD=2.cosZ2=cos30°=—=—,。。=2百，

OC2OC2

C（2V3,2）.設(shè)ZC的解析式為y=b+將/,C點坐標代入函數(shù)解析式，得

心瓜+'=2,解得）=一乎，直線zc的表達式是夕=一立》+4,故答案為：

J卜=43

出4

y=-----x+4.

3

【點評】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，利用銳角三角函數(shù)得出C點坐標是解

題關(guān)鍵，又利用了菱形的性質(zhì)及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式.

圖L小叁J

考點3：一次函數(shù)圖像的平移

規(guī)律：“左加右減，上加下減”

①一次函數(shù)圖象平移前后左不變，或兩條直線可以通過平移得到，則可知它們的k值相同.

②若向上平移〃單位，則b值增大力；若向下平移〃單位，則6值減小/?.

【例題精析1】｛一次函數(shù)的平移★｝將直線y=2x向右平移1個單位，再向上平移1

個單位后，所得直線的表達式為()

A.y=2x-\B.y=2xC.y=2x+4D.y=2x-2

【分析】直接根據(jù)“左加右減，上加下減”的平移規(guī)律求解即可.

【解答】解：將直線y=2x向右平移1個單位，再向上平移1個單位后，所得直線的解析式

為y=2(x-l)+l,即y=2x-l.故選：A.

【，點:評】本題考查一次函數(shù)圖象與幾何變換，在平面直角坐標系中，平移后解析式有這樣一

個規(guī)律“左加右減，上加下減”.

【例題精析2】｛一次函數(shù)的平移★｝在平面直角坐標系中，將直線y=2x+2繞原

點。順時針旋轉(zhuǎn)90。后得到的直線的表達式為y=--x+\.

一2

【分析】求得直線y=2x+2與坐標軸的交點，進一步求得旋轉(zhuǎn)后對應的點的坐標，然后根

據(jù)待定系數(shù)法即可求得.

【解答】解:由直線y=2x+2可知,直線與x軸的交點為(-1,0),與歹軸的交點為(0,2),

.??交點繞原點。順時針旋轉(zhuǎn)90。后得到(0,1)、(2,0),設(shè)旋轉(zhuǎn)后的直線解析式為歹=區(qū)+6,

(h=\k=-

代入點(0,1)和(2,0)得…,解得2，.??旋轉(zhuǎn)90。后得到的直線的表達式為

2%+力=0.,

i[b=1

1,

y=—x+1，

2

故答案為：y=--x+1.

2

【點評】本題考查的是用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象上點的

坐標特征，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵.

【例題精析3】｛一次函數(shù)的平移★｝已知直線夕=h+6與直線y=-3x+7關(guān)于y軸對

稱，貝k=3.b=.

【分析】根據(jù)若兩條直線關(guān)于夕軸對稱，則與x軸的交點關(guān)于y軸對稱，這兩條直線交于y

軸上同一點，即b值相同可以直接寫出答案.

【解答】解：直線y=-3x+7關(guān)于y軸對稱的解析式為y=3x+7.?.?直線夕=依+6與直線

y=-3x+7關(guān)于y軸對稱，.?.后=3,b=1.故答案為：3,7.

【點評】此題主要考查了一次函數(shù)得幾何變換，關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合來分析此類型的題，根

據(jù)圖形，發(fā)現(xiàn)4和6值之間的關(guān)系.

防對支利珠

【對點訓練1】｛一次函數(shù)的平移★｝將直線y=3x先向右平移3個單位，再向下平移2

個單位得到的直線解析式是_y=3x-ll_.

【分析】根據(jù)圖象平移規(guī)律：左加右減，上加下減，即可解決問題.

【解答】解：?.?直線y=3x先向右平移3個單位，.?.y=3(x-3),再向下平移2個單位得到

y=3(x-3)-2,即y=3x-ll.故答案為y=3x-ll.

【點評】本題主要考查了一次函數(shù)圖象的平移，熟記平移規(guī)律是解決問題的捷徑.

【對點訓練2】｛一次函數(shù)的平移★｝直線y=2x+4沿x軸向右平移2個單位，再沿y軸

向下平移3個單位所得直線解析式為_y=2x-3_

【分析】直接根據(jù)“上加下減，左加右減”的原則進行解答即可.

【解答】解：由“左加右減”的原則可知，直線y=2x+4沿x軸向右平移2個單位所得直

線的解析式為y=2(x-2)+4由“上加下減”的原則可知，直線y=2(x-2)+4沿y軸向下

平移3個單位，所得直線的函數(shù)關(guān)系式為y=2(x-2)+4-3,即y=2x-3；

故答案為：y=2x-3.

【點評】本題考查的是一次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知函數(shù)圖象平移的法則是解答此題的

關(guān)鍵.

【對點訓練3】｛一次函數(shù)的平移★｝將直線y=3x-2向上平移2個單位，再向左平移

1個單位長度后，所得直線的解析式是_y=3x+3_.

【分析】根據(jù)“左加右減，上加下減”的規(guī)律寫出函數(shù)解析式即可.

【解答】解：將直線y=3x-2向上平移2個單位，再向左平移1個單位長度后，所得直線

的解析式是y=3(x+l)-2+2,即y=3x+3,故答案為y=3x+3.

【點評】本題考查了一次函數(shù)圖象與幾何變換，掌握“左加右減，上加下減”直線平移的規(guī)

律，屬于基礎(chǔ)題，中考?？碱}型

二發(fā)建兒疆

【實戰(zhàn)經(jīng)典1](2021?陜西)在平面直角坐標系中，將直線y=-2x向上平移3個單位,

平移后的直線經(jīng)過點則加的值為()

A.-1B.1C.-5D.5

【分析】先根據(jù)平移規(guī)律求出直線y=-2x向上平移3個單位的直線解析式，再把點(-1,加)

代入，即可求出用的值.

【解答】解：將直線y=-2x向上平移3個單位，得到直線y=-2x+3,把點(-1,〃?)代入，

得機=—2x(―1)+3=5.

故選：D.

【點評】本題考查了一次函數(shù)圖象與幾何變換，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，正確求出平

移后的直線解析式是解題的關(guān)鍵.

【實戰(zhàn)經(jīng)典2](2021?桂林)如圖，與圖中直線y=-x+l關(guān)于x軸對稱的直線的函數(shù)表

達式是—y=x-1_.

【分析】關(guān)于x軸對稱的點的坐標特點是：橫坐標不變，縱坐標互為相反數(shù).

【解答】解：???關(guān)于x軸對稱的點橫坐標不變縱坐標互為相反數(shù)，

直線y=-x+l關(guān)于x軸對稱的直線的函數(shù)表達式是-y=-x+l,即y=x-l.故答案為

y=x-\.

【點評】本題考查的是一次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知關(guān)于x軸對稱的點的坐標特點是解

答此題的關(guān)鍵.

【實戰(zhàn)經(jīng)典3](2020?廣安)一次函數(shù)y=2x+b的圖象過點(0,2),將函數(shù)y=2x+b的

圖象向上平移5個單位長度，所得函數(shù)的解析式為=2x+7_.

【分析】根據(jù)待定系數(shù)法求得6,然后根據(jù)函數(shù)圖象平移的法則“上加下減”，就可以求出

平移以后函數(shù)的解析式.

【解答】解：?.?一次函數(shù)y=2x+b的圖象過點(0,2),.?)=2,.?.一次函數(shù)為y=2x+2,

將函數(shù)y=2x+2的圖象向上平移5個單位長度，所得函數(shù)的解析式為y=2x+2+5,即

y=2x+l.故答案為y=2x+7.

【點:評】本題考查了一次函數(shù)圖象與幾何變換，利用函數(shù)圖象平移的規(guī)律是解題關(guān)鍵，注意

求直線平移后的解析式時要注意平移時段的值不變.

圖2強￡仁

考點4:一次函數(shù)與方程不等式的關(guān)系

(1)一次函數(shù)與方程：一元一次方程丘+%=0的根就是一次函數(shù)尸依+6(晨6是常數(shù)，原0)

的圖象與x軸交點的橫坐標.

y=k.x+b

(2)一次函數(shù)與方程組：二元一次方程組《的解=兩個一次函數(shù)y=Kx+b和

y=k2x+b

y-左2》+b圖象的交點坐標.

(3)一次函數(shù)與不等式

(1)函數(shù)尸丘+6的函數(shù)值y>0時，自變量x的取值范圍就是不等式b+b>0的解集

(2)函數(shù)嚴履+6的函數(shù)值y<0時，，自變量x的取值范圍就是不等式b+6<0的解集

廳與學春筆記

二掇網(wǎng)融易新

【例題精析1】｛一次函數(shù)與方程★｝已知函數(shù)卜=履+6的部分函數(shù)值如表所示，則關(guān)

于X的方程履+6-5=0的解是()

X-2-11

y53-1

A.x=2B.x=—2C.x=3D.x=—3

【分析】首先根據(jù)表格數(shù)據(jù)可得當y=5,x=-2,即y=fcc+b=5時，x=-2,進而利用函

數(shù)解析式求出y=5時x的值即可.

【解答】解：,當y=5,x=-2,.,.當y=a+/>=5時，自變量x=-2,關(guān)于x的方程

去+6-5=0的解是x=-2,故選：B.

【點評】此題主要考查了一次函數(shù)與一元一次方程，關(guān)鍵是正確連接一次函數(shù)解析式和一元

一次方程的關(guān)系.

【例題精析2】｛一次函數(shù)與方程★）如圖，直線了=履+6/=0）與y=-[x+|相交于

y=kx+b

點（2,⑼，則關(guān)于x,y的方程組，43的解是()

y=——x+一

’55

X=1x=2

C.D.

尸2y=-l

，〃，根據(jù)函數(shù)圖象交點坐標為兩函數(shù)解析式組成

的方程組的解可得到答案.

43一,43

【解答]解：把尸（2,加）代入y=_]%+g得加=.,.直線y=依+6（左w0）與y=+g相

交于點（2,-1）,

y=kx+b

X=2;故選：D.

關(guān)于x,y的方程組<43的解是

y-——x+—y=-i

55

【點評】本題主要考查了一次函數(shù)與二元一次方程（組）：函數(shù)圖象交點坐標為兩函數(shù)解析

式組成的方程組的解.

【例題精析3]｛一次函數(shù)與不等式★｝已知一次函數(shù)必=履+36為常數(shù)，且女工0）和

必=x-3.當x<2時，必>%，則人的取值范圍是（）

A.1且左wOB.k-2C.%.」D.-2〈人<1且心0

【分析】解不等式fcv+3>x-3,根據(jù)題意得出4-l<0且-工…2且4寸0,解此不等式即

k-\

可.

【解答】解：?.?一次函數(shù)必=履+3（左為常數(shù)，且左/0）和8=工一3,當x<2時，必〉歹2,

kx+3>x—3,kx—x>—6,/.Zr—1<0且-----...2且k于0,當％—1<0時，-----...2時,

k—\k—1

k...-2,所以不等式組的解集為-2,左<1且左二