2024-2025學年高中數(shù)學第三章概率3.1.2概率的意義學案含解析新人教版必修3

PAGE3．1.2概率的意義內(nèi)容標準學科素養(yǎng)1.通過實例進一步理解概率的意義.2.能用概率的意義說明生活中的事例.3.了解概率在其他領域中的統(tǒng)計規(guī)律.提升數(shù)學運算發(fā)展數(shù)據(jù)分析應用數(shù)學抽象授課提示：對應學生用書第50頁[基礎相識]學問點概率的意義預習教材P113－118，思索并完成以下問題經(jīng)市場抽檢，質檢部門得知市場上的食用油合格率為80%，現(xiàn)將對市場上的100個品牌的食用油進行檢查．(1)這100個品牌的食用油確定有20個不合格，對嗎？提示：不對．(2)這100個品牌的食用油可能有20個不合格，對嗎？提示：對．(3)以你對合格率的理解，這100個品牌的食用油，不合格的應有多少個？提示：可能有20個，也可能一個也沒有．學問梳理1.對概率的正確理解隨機事務在一次試驗中發(fā)生與否是隨機的，但隨機性中含有規(guī)律性，相識了這種隨機性中的規(guī)律性，就能使我們比較精確地預料隨機事務發(fā)生的可能性．2．實際問題中幾個實例(1)嬉戲的公允性①裁判員用抽簽器確定誰先發(fā)球，不管哪一名運動員先猜，猜中并取得發(fā)球權的概率均為0.5，所以這個規(guī)則是公允的．②在設計某種嬉戲規(guī)則時，確定要考慮這種規(guī)則對每個人都是公允的這一重要原則．(2)決策中的概率思想假如我們面臨的是從多個可選答案中選擇正確答案的決策任務，那么“使得樣本出現(xiàn)的可能性最大”可以作為決策的準則，這種推斷問題的方法稱為極大似然法，極大似然法是統(tǒng)計中重要的統(tǒng)計思想方法之一．(3)天氣預報的概率說明天氣預報的“降水概率”是隨機事務的概率，其指明白“降水”這個隨機事務發(fā)生的可能性的大?。?4)試驗與發(fā)覺概率學的學問在科學發(fā)展中起著特別重要的作用，例如，奧地利遺傳學家孟德爾利用豌豆所做的試驗，經(jīng)過長期視察得出了顯性與隱性的比例接近3∶1，而對這一規(guī)律進行深化探討，得出了遺傳學中一條重要的統(tǒng)計規(guī)律．(5)遺傳機理中的統(tǒng)計規(guī)律孟德爾通過收集豌豆試驗數(shù)據(jù)，找尋到了其中的統(tǒng)計規(guī)律，并用概率理論說明這種統(tǒng)計規(guī)律．利用遺傳定律，幫助理解概率統(tǒng)計中的隨機性與規(guī)律性的關系，以及頻率與概率的關系．[自我檢測]1．已知某人在投籃時投中的概率為50%，則下列說法正確的是()A．若他投100次，確定有50次投中B．若他投一次，確定投中C．他投一次投中的可能性大小為50%D．以上說法均錯解析：概率是指一件事情發(fā)生的可能性大?。鸢福篊2．若在同等條件下進行n次重復試驗得到某個事務A發(fā)生的頻率f(n)，則隨著n的漸漸增加，有()A．f(n)與某個常數(shù)相等B．f(n)與某個常數(shù)的差漸漸減小C．f(n)與某個常數(shù)差的確定值漸漸減小D．f(n)在某個常數(shù)旁邊搖擺并趨于穩(wěn)定解析：隨著n的增大，頻率f(n)會在概率旁邊搖擺并趨于穩(wěn)定，這也是頻率與概率的關系．答案：D3．事務A發(fā)生的概率是eq\f(3,5)，則eq\f(3,5)表示的__________．解析：依據(jù)概率的含義知eq\f(3,5)表示的是事務A發(fā)生的可能性大小．答案：事務A發(fā)生的可能性的大小授課提示：對應學生用書第51頁探究一對概率的理解[例1]經(jīng)統(tǒng)計，某籃球運動員的投籃命中率為90%，對此有人說明為其投籃100次確定有90次命中，10次不中，你認為這種說明正確嗎？說說你的理由．[解析]這種說明不正確，緣由如下：因為“投籃命中”是一個隨機事務，90%是指此事務發(fā)生的概率，即每次投籃有90%命中的把握，但就一次投籃而言，也可能不發(fā)生，也可能發(fā)生，并不是說投100次必中90次．方法技巧1.概率是隨機事務發(fā)生可能性大小的度量，是隨機事務A的本質屬性，隨機事務A發(fā)生的概率是大量重復試驗中事務A發(fā)生的頻率的近似值．2．由概率的定義我們可以知道隨機事務A在一次試驗中發(fā)生與否是隨機的，但隨機中含有規(guī)律性，而概率就是其規(guī)律性在數(shù)量上的反映．3．正確理解概率的意義，要清晰概率與頻率的區(qū)分與聯(lián)系．對詳細的問題要從全局和整體上去看待，而不是局限于某一次試驗或某一個詳細的事務．跟蹤探究1.某種疾病治愈的概率是30%，有10個人來就診，假如前7個人沒有治愈，那么后3個人確定能治愈嗎？如何理解治愈的概率是30%?解析：不確定．假如把治療一個病人當作一次試驗，治愈的概率是30%，是指隨著試驗次數(shù)的增加，大約有30%的病人能治愈，對于一次試驗來說，其結果是隨機的．因此，前7個病人沒有治愈是有可能的，而對后3個病人而言，其結果仍是隨機的，即有可能治愈，也有可能不能治愈．2．經(jīng)統(tǒng)計，某籃球運動員的投籃命中率為90%，已知他連續(xù)投籃5次均未投中，那么下次投籃的命中率確定會大于90%，這種理解對嗎？解析：這種理解不正確．此運動員命中率為90%，是他每次投中的可能性，但對于每一次投籃，其結果都是隨機的，他連續(xù)5次未中是有可能的，但對下一次投籃而言，其命中率仍為90%，而不會大于90%.探究二嬉戲的公允性[例2]某校高二年級(1)(2)班打算聯(lián)合實行晚會，組織者欲使晚會氣氛熱情、好玩，策劃整場晚會以轉盤嬉戲的方式進行，每個節(jié)目起先時，兩班各派一人先進行轉盤嬉戲，勝者獲得一件獎品，負者表演一個節(jié)目．(1)班的文娛委員利用分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，7的兩個轉盤(如圖所示)，設計了一種嬉戲方案：兩人同時各轉動一個轉盤一次，將轉到的數(shù)字相加，和為偶數(shù)時(1)班代表獲勝，否則(2)班代表獲勝．該方案對雙方是否公允？為什么？[解析]該方案是公允的，理由如下：各種狀況如下表所示：45671567826789378910由上表可知該嬉戲可能出現(xiàn)的狀況共有12種，其中兩數(shù)字之和為偶數(shù)的有6種，為奇數(shù)的也有6種，所以(1)班代表獲勝的概率P1＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2)，(2)班代表獲勝的概率P2＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2)，即P1＝P2，機會是均等的，所以該方案對雙方是公允的．方法技巧嬉戲公允性的標準及推斷方法(1)嬉戲規(guī)則是否公允，要看對嬉戲的雙方來說獲勝的可能性或概率是否相同．若相同，則規(guī)則公允；否則就是不公允的．(2)詳細推斷時，可以求出按所給規(guī)則雙方的獲勝概率，再進行比較．跟蹤探究3.玲玲和倩倩是一對好摯友，她倆都想去觀看周杰倫的演唱會，可手里只有一張票，怎么辦呢？玲玲對倩倩說：“我向空中拋2枚同樣的一元硬幣，假如落地后一正一反，就我去；假如落地后兩面一樣，就你去！”你認為這個嬉戲公允嗎？解析：兩枚硬幣落地共有四種結果：正，正；正，反；反，正；反，反．由此可見，她們兩人得到門票的概率都是eq\f(1,2)，所以公允．探究三概率的應用[例3]為了估計水庫中魚的尾數(shù)，可以運用以下的方法：先從水庫中捕出確定數(shù)量的魚，例如2000尾，給每尾魚做上記號，不影響其存活，然后放回水庫．經(jīng)過適當?shù)臅r間，讓其和水庫中的其他魚充分混合，再從水庫中捕出確定數(shù)量的魚，例如500尾，查看其中有記號的魚，設有40尾，試依據(jù)上述數(shù)據(jù)，估計水庫中魚的尾數(shù)．[解析]設水庫中魚的尾數(shù)是n，現(xiàn)在要估計n的值，假定每尾魚被捕的可能性是相等的，從水庫中任捕一尾魚，設事務A＝{帶記號的魚}，則P(A)＝eq\f(2000,n).其次次從水庫中捕出500尾魚，其中帶記號的有40尾，即事務A發(fā)生的頻數(shù)為40，由概率的統(tǒng)計定義知P(A)≈eq\f(40,500)，即eq\f(2000,n)≈eq\f(40,500)，解得：n≈25000.所以估計水庫中的魚有25000尾．方法技巧1.由于概率反映了隨機事務發(fā)生的可能性的大小，概率是頻率的近似值與穩(wěn)定值，所以可以用樣本出現(xiàn)的頻率近似地估計總體中該結果出現(xiàn)的概率．2．實際生活與生產(chǎn)中經(jīng)常用隨機事務發(fā)生的概率來估計某個生物種群中個別生物種類的數(shù)量、某批次的產(chǎn)品中不合格產(chǎn)品的數(shù)量等．跟蹤探究4.某中學為了了解初中部學生的某項行為規(guī)范的養(yǎng)成狀況，在校門口按系統(tǒng)抽樣的方法：每2分鐘隨機抽取一名學生，登記佩戴胸卡的學生的名字．結果，150名學生中有60名佩戴胸卡．其次次檢查，調查了初中部的全部學生，有500名學生佩戴胸卡．據(jù)此估計該中學初中部一共有多少名學生．解析：設初中部有n名學生，依題得eq\f(60,150)＝eq\f(500,n)，解得n＝1250.∴該中學初中部共有學生大約1250名．授課提示：對應學生用書第52頁[課后小結]1．概率是描述隨機事務發(fā)生的可能性大小的一個數(shù)量，即使是也許率事務，也不能確定事務確定會發(fā)生，只能認為事務發(fā)生的可能性大．2．利用概率思想正確處理和說明實際問題，是一種科學的理性思維，在實踐中要不斷鞏固和應用，提升自己的數(shù)學素養(yǎng)．[素養(yǎng)培優(yōu)]1.不理解概率的意義致誤已知某廠的產(chǎn)品合格率為90%，現(xiàn)抽出10件產(chǎn)品檢查，則下列說法正確的是()A．合格產(chǎn)品少于9件B．合格產(chǎn)品多于9件C．合格產(chǎn)品正好是9件D．合格產(chǎn)品可能是9件易錯分析因不理解概率的意義而錯選C.自我訂正一個事務的概率是通過大量的重復試驗得到的，其反映了該隨機事務發(fā)生的可能性大小，因此在本題中“抽出10件產(chǎn)品”相當于做了10次試驗，而每次試驗結果可能是正品，也可能是次品．故只有D正確．答案：D2．嬉戲公允性的推斷下面有三個嬉戲規(guī)則，袋子中分別裝有球．嬉戲1嬉戲2嬉戲33個黑球和1個白球1個黑球和1個白球2個黑球和2個白球取1個球，再取1個球取1個球取1個球，再取1個球取出的兩個球同色→甲勝取出的球是黑球→甲勝取出的兩個球同色→甲勝取出的兩個球不同色→乙勝取出的球是白球→乙勝取出的兩個球不同色→乙勝若從袋中無放回地取球，則其中不公允的嬉戲是__________．易錯分析嬉戲1中取2個球的全部可能狀況有(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑1，白)，(黑2，白)，(黑3，白)，所以甲勝的概率為eq\f(2,5)，所以嬉戲1是不公允的；嬉戲2中，明顯甲勝的可能性是0.5，嬉戲是公允的；嬉戲3中取2個球的全部可能狀況有(黑1，黑2)，(黑1，白1)，(黑2，白1)，(黑1，白2)，(黑2，白2)，(白1，白2)，所以甲勝的可能性為eq\f(1,3)，嬉戲是不公允的．錯誤的緣由是嬉戲1中取兩球的狀況漏掉