2024-2025學年新教材高中數(shù)學課時素養(yǎng)評價四十四第六章概率3.2離散型隨機變量的方差含解析北師大版選擇性必修第一冊

PAGE四十四離散型隨機變量的方差1．已知隨機變量ξ滿意P(ξ＝1)＝0.3，P(ξ＝2)＝0.7，則Eξ和Dξ的值分別為()A．0.60.7 B．1.70.09C．0.30.7 D．1.70.21【解析】選D.Eξ＝1×0.3＋2×0.7＝1.7，Dξ＝(1－1.7)2×0.3＋(2－1.7)2×0.7＝0.21.2．隨機變量ξ的分布列如表，且Eξ＝1.1，則Dξ＝()ξ01xPeq\f(1,5)peq\f(3,10)A.0.36B．0.52C．0.49D．0.68【解析】選C.先由隨機變量分布列的性質求得p＝eq\f(1,2).由Eξ＝0×eq\f(1,5)＋1×eq\f(1,2)＋eq\f(3,10)x＝1.1，得x＝2.所以Dξ＝(0－1.1)2×eq\f(1,5)＋(1－1.1)2×eq\f(1,2)＋(2－1.1)2×eq\f(3,10)＝0.49.3．(2024·邢臺高二檢測)已知隨機變量X，Y滿意Y＝aX＋b，且a，b為正數(shù)，若DX＝2，DY＝8，則()A．b＝2B．a＝4C．a＝2D．b＝4【解析】選C.由方差的性質可得，DY＝D(aX＋b)＝a2DX，因為DX＝2，DY＝8，所以8＝2a2，又a為正數(shù)，所以a＝2.4．若隨機變量X的分布列如下表，且EX＝2，則D(2X－3)的值為________．X02aPeq\f(1,6)peq\f(1,3)【解析】由題意可得：eq\f(1,6)＋p＋eq\f(1,3)＝1，解得p＝eq\f(1,2)，因為EX＝2，所以0×eq\f(1,6)＋2×eq\f(1,2)＋a×eq\f(1,3)＝2，解得a＝3.DX＝(0－2)2×eq\f(1,6)＋(2－2)2×eq\f(1,2)＋(3－2)2×eq\f(1,3)＝1.D(2X－3)＝4DX＝4.答案：45．隨機變量X的概率分布列為P(X＝n)＝eq\f(a,n2＋n)(n＝1，2，3)，其中a是常數(shù)，求D(aX).【解析】由題意得eq\f(a,1×2)＋eq\f(a,2×3)＋eq\f(a,3×4)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)＋\f(1,2)－\f(1,3)＋\f(1,3)－\f(1,4)))＝eq\f(3,4)a＝1，則a＝eq\f(4,3)，所以P(X＝1)＝eq\f(2,3)，P(X＝2)＝eq\f(2,9)，P(X＝3)＝eq\f(1,9)，則EX＝eq\f(2,3)＋eq\f(4,9)＋eq\f(1,3)＝eq\f(13,9)，DX＝×eq\f(2,3)＋×eq\f(2,9)＋×eq\f(1,9)＝eq\f(38,81)，所以D(aX)＝a2DX＝eq\f(608,729).一、單選題(每小題5分，共20分)1．設隨機變量X的分布列為P(X＝k)＝pk(1－p)1－k(k＝0，1)，則EX和DX的值分別為()A．01 B．pp2C．p1－p D．p(1－p)p【解析】選D.由題意知隨機變量X滿意兩點分布，所以EX＝p，DX＝(1－p)p.2．(2024·太原高二檢測)若X是離散型隨機變量，P(X＝x1)＝eq\f(2,3)，P(X＝x2)＝eq\f(1,3)，且x1<x2.又已知EX＝eq\f(4,3)，DX＝eq\f(2,9)，則2xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))的值為()A．9B．6C．5D．4【解析】選B.由題設EX＝eq\f(4,3)，DX＝eq\f(2,9).可得EX＝eq\f(2,3)x1＋eq\f(1,3)x2＝eq\f(4,3)，DX＝eq\f(2,3)×＋eq\f(1,3)×＝eq\f(2,3)xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋eq\f(1,3)xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))－eq\f(16,9)＝eq\f(2,9)，故2xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝6.3．已知隨機變量ξ的分布列如下：ξ012Pb－aba則Dξ最大值為()A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C．1 D．不是定值【解析】選B.由隨機變量ξ的分布列得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0≤b－a≤1，,0≤b≤1，,0≤a≤1，,b－a＋b＋a＝1，))解得b＝0.5，0≤a≤0.5，所以Eξ＝0.5＋2a，0≤a≤0.5.Dξ＝(－2a－0.5)2(0.5－a)＋(0.5－2a)2×0.5＋(1.5－2a)2a＝－4a2＋2a＋eq\f(1,4)＝－4＋eq\f(1,2)，當a＝eq\f(1,4)時，Dξ取得最大值eq\f(1,2).4．已知a，b∈R，隨機變量X，Y的分布列是X－101Peq\f(1,3)abY－101Pabeq\f(1,3)則隨著a的增大，D(X＋Y)()A．始終增大 B．始終減小C．先增大后減小 D．先減小后增大【解析】選C.由題意可得，a＋b＝eq\f(2,3)，則b＝eq\f(2,3)－a，0<a<eq\f(2,3)，所以EX＝－1×eq\f(1,3)＋0×a＋1×b＝b－eq\f(1,3)＝eq\f(1,3)－a，EY＝－1×a＋0×b＋1×eq\f(1,3)＝eq\f(1,3)－a，則DX＝eq\f(1,3)＋a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)－a))＝eq\f(1,3)＋＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)－a))＝－a2－eq\f(1,3)a＋eq\f(8,9)，DY＝a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)－a))＋eq\f(1,3)＝a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)－a))＋eq\f(1,3)＝－a2＋eq\f(5,3)a＋eq\f(2,9)，因為X，Y是兩個相互獨立的隨機變量，所以D(X＋Y)＝DX＋DY＝－2a2＋eq\f(4,3)a＋eq\f(10,9)，因為函數(shù)y＝－2a2＋eq\f(4,3)a＋eq\f(10,9)是開口向下，對稱軸為a＝eq\f(1,3)的二次函數(shù)，且0<a<eq\f(2,3)，所以函數(shù)y＝－2a2＋eq\f(4,3)a＋eq\f(10,9)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))上單調遞增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)))上單調遞增，因此隨著a的增大，D(X＋Y)先增大后減?。⒍噙x題(每小題5分，共10分，全部選對得5分，選對但不全的得3分，有選錯的得0分)5．(2024·泰安高二檢測)設離散型隨機變量X的分布列為X01234Pq0.40.10.20.2若離散型隨機變量Y滿意Y＝2X＋1，則下列結果正確的有()A．q＝0.1 B．EX＝2，DX＝1.4C．EX＝2，DX＝1.8 D．EY＝5，DY＝7.2【解析】選ACD.因為q＋0.4＋0.1＋0.2＋0.2＝1，所以q＝0.1，故A正確；又EX＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，DX＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8，故C正確；因為Y＝2X＋1，所以EY＝2EX＋1＝5，DY＝4DX＝7.2故D正確．6．(2024·煙臺高二檢測)袋內有大小完全相同的2個黑球和3個白球，從中不放回地每次任取1個小球，直至取到白球后停止取球，則()A．抽取2次后停止取球的概率為eq\f(3,5)B．停止取球時，取出的白球個數(shù)不少于黑球的概率為eq\f(9,10)C．取球次數(shù)ξ的期望為2D．取球次數(shù)ξ的方差為eq\f(9,20)【解析】選BD.設取球次數(shù)為ξ，可知隨機變量ξ的可能取值有1，2，3，則P(ξ＝1)＝eq\f(3,5)，P(ξ＝2)＝eq\f(2,5)×eq\f(3,4)＝eq\f(3,10)，P(ξ＝3)＝eq\f(2,5)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,10).對于A選項，抽取2次后停止取球的概率為P(ξ＝2)＝eq\f(3,10)，A選項錯誤；對于B選項，停止取球時，取出的白球個數(shù)不少于黑球的概率為P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝eq\f(3,5)＋eq\f(3,10)＝eq\f(9,10)，B選項正確；對于C選項，取球次數(shù)ξ的期望為Eξ＝1×eq\f(3,5)＋2×eq\f(3,10)＋3×eq\f(1,10)＝eq\f(3,2)，C選項錯誤；對于D選項，取球次數(shù)ξ的方差為Dξ＝(1－eq\f(3,2))2×eq\f(3,5)＋(2－eq\f(3,2))2×eq\f(3,10)＋(3－eq\f(3,2))2×eq\f(1,10)＝eq\f(9,20)，D選項正確．三、填空題(每小題5分，共10分)7．若事務在一次試驗中發(fā)生次數(shù)的方差等于0.25，則該事務在一次試驗中發(fā)生的概率為________．【解析】在一次試驗中發(fā)生次數(shù)記為ξ，則ξ聽從兩點分布，則Dξ＝p(1－p)，所以p(1－p)＝0.25，解得p＝0.5.答案：0.58．(2024·泰安高二檢測)已知X的分布列如圖所示，則X－101P0.20.3a(1)EX＝0.3，(2)DX＝0.583，(3)P(X＝1)＝0.4，其中正確的個數(shù)為________．【解析】由題意知：a＝1－0.2－0.3＝0.5，即P(X＝1)＝0.5；所以EX＝－1×0.2＋0×0.3＋1×0.5＝0.3，DX＝0.2×(－1－0.3)2＋0.3×(0－0.3)2＋0.5×(1－0.3)2＝0.338＋0.027＋0.245＝0.61.綜上，故(1)正確，(2)(3)錯誤，正確的個數(shù)是1.答案：1四、解答題(每小題10分，共20分)9．某種類型的題目有A，B，C，D，E共5個選項，其中有3個正確選項，滿分5分．賦分標準為“選對1個得2分，選對2個得4分，選對3個得5分，每選錯1個扣3分，最低得分為0分”．在某校的一次考試中出現(xiàn)了一道這種類型的題目，已知此題的正確答案為ACD，假定考生作答的答案中的選項個數(shù)不超過3個．(1)若甲同學無法推斷全部選項，他確定在這5個選項中任選3個作為答案，求甲同學獲得0分的概率．(2)若乙同學只能推斷選項AD是正確的，現(xiàn)在他有兩種選擇：一種是將AD作為答案，另一種是在B，C，E這3個選項中任選一個與AD組成一個含有3個選項的答案，則乙同學的最佳選擇是哪一種，請說明理由．【解析】(1)甲同學在這5個選項中任選3個作為答案得分為0分，只有一種狀況，那就是選了1個正確答案2個錯誤答案．所以，所求概率P＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5)))＝eq\f(3,10).(2)乙同學的最佳選擇是選擇AD.理由如下：設乙同學此題得分為X分，①若乙同學僅選擇AD，則X＝4，X的均值EX＝4；②若乙同學選擇3個選項，則他可能的答案為ABD，ACD，ADE，共3種．其中選擇ABD，ADE，得分均為1分，其概率為eq\f(2,3)；選擇ACD，得分為5分，其概率為eq\f(1,3).所以均值EX＝eq\f(2,3)×1＋eq\f(1,3)×5＝eq\f(7,3).由于4>eq\f(7,3)，所以乙同學的最佳選擇是選擇AD.10．(2024·朔州高二檢測)為迎接2024年北京冬奧會，推廣滑雪運動，某滑雪場開展滑雪促銷活動．該滑雪場的收費標準是：滑雪時間不超過1小時免費，超過1小時的部分每小時收費標準為40元(不足1小時的部分按1小時計算).有甲、乙兩人相互獨立地來該滑雪場運動，設甲、乙不超過1小時離開的概率分別為eq\f(1,4)，eq\f(1,6)；1小時以上且不超過2小時離開的概率分別為eq\f(1,2)，eq\f(2,3)；兩人滑雪時間都不會超過3小時．(1)求甲、乙兩人所付滑雪費用相同的概率；(2)設甲、乙兩人所付的滑雪費用之和為隨機變量ξ(單位：元)，求ξ的分布列與數(shù)學期望Eξ，方差Dξ.【解析】(1)兩人所付費用相同，相同的費用可能為0，40，80元，兩人都付0元的概率為P1＝eq\f(1,4)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,24)，兩人都付40元的概率為P2＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)，兩人都付80元的概率為P3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)－\f(1,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,6)－\f(2,3)))＝eq\f(1,24).則兩人所付費用相同的概率為P＝P1＋P2＋P3＝eq\f(1,24)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,24)＝eq\f(5,12).(2)設甲、乙所付費用之和為ξ，ξ可能取值為0，40，80，120，160，則P(ξ＝0)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,24)，P(ξ＝40)＝eq\f(1,4)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,4)，P(ξ＝80)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,6)＋eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,6)＝eq\f(5,12)，P(ξ＝120)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,6)＋eq\f(1,4)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,4)，P(ξ＝160)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,24).所以隨機變量ξ的分布列為ξ04080120160Peq\f(1,24)eq\f(1,4)eq\f(5,12)eq\f(1,4)eq\f(1,24)所以Eξ＝0×eq\f(1,24)＋40×eq\f(1,4)＋80×eq\f(5,12)＋120×eq\f(1,4)＋160×eq\f(1,24)＝80，Dξ＝(0－80)2×eq\f(1,24)＋(40－80)2×eq\f(1,4)＋(80－80)2×eq\f(5,12)＋(120－80)2×eq\f(1,4)＋(160－80)2×eq