2024-2025學年新教材高中數(shù)學第五章數(shù)列5.3.2.2等比數(shù)列習題課學案含解析新人教B版選擇性必修第三冊

PAGE第2課時等比數(shù)列習題課關(guān)鍵實力·素養(yǎng)形成類型一等差、等比數(shù)列性質(zhì)的應用【典例】1.已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列,滿意a3a11=6a7;數(shù)列{bn}為等差數(shù)列,其前n項和為Sn,且b7=a7,則S13= ()A.13 B.48 C.78 D.1562.由實數(shù)構(gòu)成的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=2,且a2-4,a3,a4成等差數(shù)列,則S6= ()A.62 B.124 C.126 D.154【思維·引】1.利用等比數(shù)列的性質(zhì)求出b7,即a7,同時求S13;2.利用等差條件求出q,再求S6.【解析】1.選C.因為數(shù)列{an}為等比數(shù)列,滿意a3a11=6a7,所以QUOTE=6a7,解得a7=6,因為數(shù)列{bn}為等差數(shù)列,其前n項和為Sn,且b7=a7,所以b7=a7=6,所以S13=QUOTE=13b7=13×6=78.2.選C.因為數(shù)列{an}是由實數(shù)構(gòu)成的等比數(shù)列,a1=2,且a2-4,a3,a4成等差數(shù)列,所以2a3=(a2-4)+a4,即2×2q2=2q-4+2q3,整理,得(q-2)(q2+1)=0,所以{an}的公比q=2.則S6=QUOTE=126.【內(nèi)化·悟】本例2中的等差條件的作用是什么?提示:利用等差中項構(gòu)造方程求公比.【類題·通】等差、等比數(shù)列性質(zhì)的綜合應用(1)等比、等差的條件可以分別利用等比、等差中項構(gòu)造方程,求解基本量a1,d,q,n等;(2)若涉及求和,肯定要先分清求哪種數(shù)列的和,再明確該數(shù)列的基本量,然后計算.【習練·破】(2024·江蘇高考)設(shè)QUOTE是公差為d的等差數(shù)列,QUOTE是公比為q的等比數(shù)列,已知數(shù)列QUOTE的前n項和Sn=n2-n+2n-1QUOTE,則d+q的值是______.

【解析】設(shè)數(shù)列{an},{bn}的首項分別為a1,b1,前n項和分別為An,Bn,則An=QUOTEn2+QUOTEn,Bn=QUOTEqn+QUOTE,結(jié)合Sn=n2-n+2n-1,得QUOTE解得QUOTE所以d+q=4.答案:4【加練·固】已知等差數(shù)列{an}的首項和公差都不為0,a1,a2,a4成等比數(shù)列,則QUOTE=()A.2B.3C.5D.7【解析】選C.等差數(shù)列{an}的首項和公差d都不為0,a1,a2,a4成等比數(shù)列可得QUOTE=a1a4,即有(a1+d)2=a1(a1+3d),化為a1=d,則QUOTE=QUOTE=QUOTE=5.類型二錯位相減法求和【典例】已知等比數(shù)列{an}的公比q>0,a2a3=8a1,且a4,36,2a6成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)記bn=QUOTE,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.【思維·引】(1)利用a2a3=a1a4計算a4,進而計算a6,a1,q求通項.(2)利用錯位相減法求前n項和.【解析】(1)因為a2a3=8a1,所以a1a4=8a1,所以a4=8,又a4,36,2a6成等差數(shù)列,所以a4+2a6=72,所以a6=32,q2=QUOTE=4,q>0,所以q=2,所以an=8·2n-4=2n-1.(2)bn=QUOTE=QUOTE=n·QUOTE,Tn=1·QUOTE+2·QUOTE+3·QUOTE+…+(n-1)·QUOTE+n·QUOTEQUOTE·Tn=1·QUOTE+2·QUOTE+3·QUOTE+…+(n-1)·QUOTE+n·QUOTE兩式相減得:QUOTE·Tn=QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE-n·QUOTE,QUOTE·Tn=QUOTE-n·QUOTE,所以Tn=8-(n+2)·QUOTE.【內(nèi)化·悟】本例在錯位相減法求和時,兩式相減后會得到一個等比數(shù)列,這個等比數(shù)列的基本量有哪些?利用哪個求和公式較為便利?提示:可以得到這個等比數(shù)列的首項、公比,利用公式Sn=QUOTE.【類題·通】關(guān)于錯位相減法求和(1)適用范圍:{an}是等差數(shù)列,{bn}是等比數(shù)列(q≠1),形如cn=anbn的數(shù)列適合利用錯位相減法求和;(2)求和步驟①對求和式Sn=c1+c2+…+cn-1+cn(i),要寫出倒數(shù)其次項cn-1;②式子的兩邊同乘以等比數(shù)列的公比q,寫成qSn=c1q+c2q+…+cn-1q+cnq(ii)的形式,要空一位書寫,(i)(ii)式形成錯位;③(i)式-(ii)式,左邊=(1-q)Sn,右邊考查除了最終一項外的其他項,利用等比數(shù)列求和公式求和、整理;④兩邊同除以1-q,整理得Sn.【習練·破】已知等差數(shù)列{an}滿意a2=0,a6+a8=-10.(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)求數(shù)列QUOTE的前n項和Sn.【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由已知條件可得QUOTE解得QUOTE故數(shù)列{an}的通項公式為an=2-n.(2)Sn=QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE+QUOTE,所以QUOTESn=QUOTE+QUOTE+…+QUOTE+QUOTE,兩式相減得QUOTESn=QUOTE-QUOTE-QUOTE-…-QUOTE-QUOTE,所以QUOTESn=QUOTE-QUOTE-QUOTE=QUOTE-QUOTE+QUOTE-QUOTE+QUOTE=QUOTE,所以Sn=QUOTE.【加練·固】已知遞減的等比數(shù)列{an}各項均為正數(shù),滿意a1·a2·a3=8,a1+1,a2+1,a3構(gòu)成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)令bn=n·an,求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.【解析】(1)由等比數(shù)列性質(zhì)可知a1·a2·a3=QUOTE=8,所以a2=2,a1·a3=4.由a1+1,a2+1,a3構(gòu)成等差數(shù)列,可知a1+1+a3=2(a2+1)=6,所以a1+a3=5.聯(lián)立QUOTE,解得QUOTE或QUOTE.由等比數(shù)列{an}遞減可知QUOTE,于是q=QUOTE.所以an=a1·qn-1=4×QUOTE=QUOTE.(2)由(1)可知bn=n·an=n·QUOTE,于是Sn=1×QUOTE+2×QUOTE+3×QUOTE+…+(n-1)×QUOTE+n×QUOTE,QUOTESn=1×QUOTE+2×QUOTE+3×QUOTE+…+(n-1)×QUOTE+n×QUOTE,兩式相減得QUOTESn=1×QUOTE+1×QUOTE+1×QUOTE+1×QUOTE+…+1×QUOTE-n×QUOTE=QUOTE-n×QUOTE=8-(n+2)×QUOTE,故Sn=16-(n+2)QUOTE.類型三等比數(shù)列Sn與an的關(guān)系角度1求Sn與an的關(guān)系【典例】已知正項等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=1,且-a3,a2,a4成等差數(shù)列,則Sn與an的關(guān)系是 ()A.Sn=2an-1 B.Sn=2an+1C.Sn=4an-3 D.Sn=4an-1【思維·引】分別表示出Sn與an,再確定關(guān)系.【解析】選A.設(shè)等比數(shù)列的公比為q(q>0),由a1=1,且-a3,a2,a4成等差數(shù)列,得2a2=a4-a3,即2q=q3-q2,得q=2.所以Sn=QUOTE,則Sn=2an-1.【素養(yǎng)·探】在確定Sn與an的過程中,經(jīng)常用到核心素養(yǎng)中的數(shù)學運算,通過對Sn計算公式尋求二者之間的關(guān)系.本例中的等比數(shù)列{an},若已知an=3n-1,則Sn與an的關(guān)系是什么?提示:Sn=QUOTE=QUOTEan-QUOTE.角度2Sn與an的關(guān)系的應用【典例】數(shù)列{an}的前n項和為Sn,對隨意正整數(shù)n,an+1=3Sn,則下列關(guān)于{an}的論斷中正確的是 ()A.肯定是等差數(shù)列B.可能是等差數(shù)列,但不會是等比數(shù)列C.肯定是等比數(shù)列D.可能是等比數(shù)列,但不會是等差數(shù)列【思維·引】由Sn與an的關(guān)系,推導出an+1與an的關(guān)系,結(jié)合a1的取值進行推斷.【解析】選B.an+1=3Sn,an=3Sn-1,故an+1-an=3an,即an+1=4an(n≥2),而n=1時,a2=3S1=3a1,可知該數(shù)列不是等比數(shù)列.當an=0時,數(shù)列an為等差數(shù)列.故本題正確答案為B.【類題·通】關(guān)于等比數(shù)列Sn與an的關(guān)系(1)Sn與an的關(guān)系可以由Sn=QUOTE得到,一般已知a1,q即可得到二者之間的關(guān)系,也可以通過特別項驗證推斷;(2)Sn-Sn-1=an(n≥2)是Sn與an之間的內(nèi)在聯(lián)系,既可以推出項an-1,an,an+1之間的關(guān)系,也可得到Sn-1,Sn,Sn+1之間的關(guān)系,體現(xiàn)了Sn與an關(guān)系的本質(zhì).【習練·破】已知等比數(shù)列{an}的公比q>0且q≠1,其前n項和為Sn,則S2a3與S3a2的大小關(guān)系為 ()A.S2a3>S3a2 B.S2a3<S3a2C.S2a3=S3a2 D.不能確定【解析】選B.S3a2-S2a3=a1(1+q+q2)·a1q-a1(1+q)·a1q2=QUOTEq>0,所以S2a3<S3a2.【加練·固】設(shè)首項為1,公比為QUOTE的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則 ()A.Sn=2an-1 B.Sn=3an-2C.Sn=4-3an D.Sn=3-2an【解析】選D.Sn=QUOTE=QUOTE=3-2an.課堂檢測·素養(yǎng)達標1.已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,且QUOTE,2,QUOTE成等比數(shù)列,則{an}前6項的和為()A.15 B.QUOTE C.6 D.3【解析】選C.設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,且QUOTE,2,QUOTE成等比數(shù)列,可得4=QUOTE·QUOTE=QUOTE,可得a1+a6=2,即有{an}前6項的和為QUOTE×6(a1+a6)=6.2.等比數(shù)列{an}中,滿意a1=2,且a1,a2+1,a3成等差數(shù)列,則數(shù)列{an}的公比為()A.1 B.2 C.-2 D.4【解析】選B.等比數(shù)列{an}的公比設(shè)為q,滿意a1=2,且a1,a2+1,a3成等差數(shù)列,可得2(a2+1)=a1+a3,即為2(2q+1)=2+2q2,解得q=2(0舍去).3.已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若2S1,S3,S2成等差數(shù)列,則數(shù)列{an}的公比為________.

【解析】各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的公比設(shè)為q,由2S1,S3,S2成等差數(shù)列,可得2S3=2S1+S2,即為2(a1+a1q+a1q2)=2a1+a1+a1q,即有2q2+q-1=0,解得q=QUOTE(q=-1不合題意,舍去).答案:QUOTE4.記等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若QUOTE=QUOTE,則QUOTE=________.

【解析】依據(jù)題意,在等比數(shù)列{an}中,QUOTE=QUOTE,明顯q≠1,故QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,變形可得q5=3,故QUOTE=QUOTE=QUOT