2025屆高考數(shù)學(xué)統(tǒng)考二輪復(fù)習(xí)第二部分專題3立體幾何第2講空間位置關(guān)系的判斷與證明教師用書教案理

PAGE專題3第2講空間位置關(guān)系的推斷與證明空間線、面位置關(guān)系的推斷授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第30頁考情調(diào)研考向分析主要考查與點、線、面位置關(guān)系有關(guān)的命題真假推斷和求解異面直線所成的角，題型主要以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，解題要求有較強的空間想象實力和邏輯推理實力.1.空間線面位置關(guān)系的推斷．2.異面直線所成角．3.線面角.[題組練透]1．在下列命題中，不是公理的是()A．平行于同一個平面的兩個平面相互平行B．過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面C．假如一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上全部的點都在此平面內(nèi)D．假如兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線解析：選項A是由公理推證出來的，而公理是不須要證明的．答案：A2．(2024·張家口、滄州模擬)已知直線a，b和平面α，a?α，則b?α是b與a異面的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：由題意，若直線b不在平面α內(nèi)，則b與a相交或b∥a，不確定有b與a異面，反之，若b與a異面，確定有直線b不在平面α內(nèi)，即b?α是b與a異面的必要不充分條件．故選B.答案：B3.(2024·南寧模擬)如圖所示，長方體ABCD-A1B1C1D1的棱AB和A1D1的中點分別為E，F(xiàn)，AB＝6，AD＝8，AA1＝7，則異面直線EF與AA1所成角的正切值為()A.eq\f(7,5) B.eq\f(5,7)C.eq\f(5\r(74),74) D.eq\f(7\r(74),74)解析：作FG⊥AD，垂足為G，連接EG，因為FG∥AA1，所以∠EFG為異面直線EF與AA1所成的角(或補角)，且tan∠GFE＝eq\f(EG,FG)，因為EG＝eq\r(32＋42)＝5，F(xiàn)G＝AA1＝7，所以tan∠GFE＝eq\f(5,7).故選B.答案：B4．(2024·湘潭模擬)已知四棱錐P-ABCD的底面邊長都為2，PA＝PC＝2eq\r(3)，PB＝PD，且∠DAB＝60°，M是PC的中點，則異面直線MB與AP所成的角為________．解析：如圖所示，連接AC與BD相交于N，則MN∥PA，依據(jù)異面直線所成角的定義，可得MB，AP所成的角為∠NMB或∠NMB的補角，由題意，在△MNB中，NB＝1，MN＝eq\r(3)，BN⊥MN，則tan∠NMB＝eq\f(NB,MN)＝eq\f(\r(3),3)，所以∠NMB＝30°.答案：30°[題后悟通]1．推斷與空間位置關(guān)系有關(guān)命題真假的3種方法(1)借助空間線面平行、面面平行、線面垂直、面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理進行推斷．(2)借助空間幾何模型，如從長方體模型、四面體模型等模型中視察線面位置關(guān)系，結(jié)合有關(guān)定理，進行確定或否定．(3)借助于反證法，當(dāng)從正面入手較難時，可利用反證法，推出與題設(shè)或公認的結(jié)論相沖突的命題，進而作出推斷．2．用平移法求異面直線所成的角的三步法(1)一作：依據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角．(2)二證：證明作出的角是異面直線所成的角．(3)三求：解三角形，求出所作的角．假如求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角；假如求出的角是鈍角，則它的補角才是要求的角．空間線面平行、垂直關(guān)系的證明授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第31頁考情調(diào)研考向分析直線、平面平行、垂直的判定及其性質(zhì)是高考中的重點考查內(nèi)容，涉及線線、線面、面面平行與垂直的判定及其應(yīng)用等內(nèi)容．題型主要以解答題的形式出現(xiàn)，解題要求有較強的推理論證實力，廣泛應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸的思想.1.線面、面面平行關(guān)系的證明．2.線面、面面垂直關(guān)系的證明.[題組練透]1．(2024·烏魯木齊質(zhì)檢)已知直線l⊥平面α，直線m?平面β，以下四個命題：①若α∥β，則l⊥m；②若α⊥β，則l∥m；③若l∥m，則α⊥β；④若l⊥m，則α∥β，其中正確的兩個命題是()A．①與② B．③與④C．②與④ D．①與③解析：對于①，因為直線l⊥平面α，α∥β，所以直線l⊥平面β，因直線m?平面β，所以l⊥m，故①正確；對于②，l與m異面、平行或相交，故②錯誤；對于③，因為直線l⊥平面α，l∥m，所以m⊥α，而m?β，所以α⊥β，所以③正確；對于④，當(dāng)直線l⊥平面α，直線m?平面β，l⊥m時，α、β平行或相交，故④錯誤，綜上，①與③正確，故選D.答案：D2．(2024·泰安模擬)如圖，在下列四個正方體中，P，R，Q，M，N，G，H為所在棱的中點，則在這四個正方體中，陰影平面與PRQ所在平面平行的是()解析：A中，因為PQ∥AC∥A1C1，所以可得PQ∥平面A1BC1，又RQ∥A1B，可得RQ∥平面A1BC1，從而平面PQR∥平面A1BC1B中，如圖，作截面可得平面PQR∩平面A1BN＝HN.C中，如圖，作截面可得平面PQR∩平面HGN＝HN.D中，如圖，作截面可得QN，C1M為兩相交直線，因此平面PQR與平面A1MC1答案：A3．(2024·北京西城區(qū)模擬)如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD為矩形，側(cè)面ADEF為梯形，AF∥DE，DE⊥AD，DC＝DE.(1)求證：AD⊥CE；(2)求證：BF∥平面CDE；(3)推斷線段BE上是否存在點Q，使得平面ADQ⊥平面BCE？并說明理由．解析：(1)證明：由底面ABCD為矩形，知AD⊥CD.又因為DE⊥AD，DE∩CD＝D,所以AD⊥平面CDE.又因為CE?平面CDE，所以AD⊥CE.(2)證明：由底面ABCD為矩形，知AB∥CD，又因為AB?平面CDE，CD?平面CDE,所以AB∥平面CDE.同理AF∥平面CDE，又因為AB∩AF＝A，所以平面ABF∥平面CDE.又因為BF?平面ABF，所以BF∥平面CDE.(3)結(jié)論：線段BE上存在點Q(即BE的中點)，使得平面ADQ⊥平面BCE.證明如下：取CE的中點P，BE的中點Q，連接AQ，DP，PQ，則PQ∥BC.由AD∥BC，得PQ∥AD.所以A，D，P，Q四點共面.由(1)，知AD⊥平面CDE，所以AD⊥DP，故BC⊥DP.在△CDE中，由DC＝DE，可得DP⊥CE.又因為BC∩CE＝C，所以DP⊥平面BCE.又因為DP?平面ADPQ，所以平面ADPQ⊥平面BCE(即平面ADQ⊥平面BCE)．即線段BE上存在點Q(即BE中點)，使得平面ADQ⊥平面BCE.[題后悟通]1．直線、平面平行的判定及其性質(zhì)(1)線面平行的判定定理：a?α，b?α，a∥b?a∥α.(2)線面平行的性質(zhì)定理：a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b.(3)面面平行的判定定理：a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α?α∥β.(4)面面平行的性質(zhì)定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b.2．直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)(1)線面垂直的判定定理：m?α，n?α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n?l⊥α.(2)線面垂直的性質(zhì)定理：a⊥α，b⊥α?a∥b.(3)面面垂直的判定定理：a?β，a⊥α?α⊥β.(4)面面垂直的性質(zhì)定理：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β.空間中的翻折問題授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第33頁考情調(diào)研考向分析將平面圖形翻折成空間圖形，既是實際應(yīng)用問題的須要，又具有考察學(xué)生空間想象實力、邏輯推理、數(shù)學(xué)實踐、綜合分析問題實力的功能，因此，它是高考中的一種常見題型.1.翻折后空間關(guān)系的證明．2.翻折中的探究性問題.[題組練透]1．(2024·東三省三校模擬)如圖，直角梯形ABCD，∠ABC＝90°，CD＝2，AB＝BC＝1，E是邊CD的中點，△ADE沿AE翻折成四棱錐D′-ABCE，則點C到平面ABD′距離的最大值為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(6),3) D．1解析：由翻折過程可得，在如圖所示的四棱錐D′-ABCE中，底面ABCE為邊長是1的正方形，側(cè)面D′EA中，D′E⊥AE，且D′E＝AE＝1.∵AE⊥D′E，AE⊥CE，D′E∩CE＝E，∴AE⊥平面D′CE.作D′M⊥CE于M，作MN⊥AB于N，連接D′N，則由AE⊥平面D′CE，可得D′M⊥AE，∴D′M⊥平面ABCE.又AB?平面ABCE，∴D′M⊥AB.∵MN⊥AB，D′M∩MN＝M，∴AB⊥平面D′MN.在△D′MN中，作MH⊥D′N于H，則MH⊥平面ABD′.又由題意可得CE∥平面ABD′，∴MH即為點C到平面ABD′的距離．在RtΔD′MN中，D′M⊥MN，MN＝1，設(shè)D′M＝x，則0<x≤D′E＝1，∴D′N＝eq\r(1＋x2).由D′M·MN＝D′N·MH可得x＝eq\r(1＋x2)·MH，∴MH＝eq\f(x,\r(1＋x2))＝eq\f(1,\r(x＋\f(1,x)))≤eq\f(\r(2),2)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(1,x)，即x＝1時等號成立，此時D′E⊥平面ABCE，綜上可得點C到平面ABD′距離的最大值為eq\f(\r(2),2).故選B.答案：B2．在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，點D為AB的中點，DE垂直AB交AC于E，如圖①.將△ABC沿DE折起，使A到達P的位置，且使平面PDE⊥平面DBCE，連接PC，PB，如圖②.(1)若F為PB的中點，求證：DF⊥PC；(2)當(dāng)三棱錐P-DBC的體積為eq\f(8,3)時，求點B到面PEC的距離．解析：(1)證明：∵DE⊥PD，DE⊥DB，∴DE⊥平面PDB，又在圖①中BC⊥BD，DE⊥BD，∴DE∥BC，∴BC⊥平面PDB，而DF?平面PDB，∴BC⊥DF，∵DP＝DB，F(xiàn)是PB的中點，∴DF⊥PB，又BC∩PB＝B.∴DF⊥平面PBC，而PC?平面PBC，∴DF⊥PC.(2)設(shè)DB＝m，由三棱錐P-DBC的體積eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)m·2m))m＝eq\f(8,3)得m＝DB＝2，∴PD＝DE＝DB＝2，PE＝EC＝2eq\r(2)，設(shè)M是PC的中點，則EM∥DF且EM＝DF＝eq\r(2)，PC＝2eq\r(6).設(shè)點B到平面PEC的距離為h，因VB-PEC＝eq\f(1,3)SPEC·h＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)