圓（基礎(chǔ)知識(shí)）（解析版）

專(zhuān)題12圓(基礎(chǔ)知識(shí))

一、知識(shí)梳理

—■、圓的基本概念

1.圓的定義

(1)從畫(huà)圓的角度：在一個(gè)平面內(nèi)，線段04繞固定的端點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)一周，另外一個(gè)端點(diǎn)

A的軌跡形成的圖形叫做圓.

(2)從集合的角度：平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)距離相等的所有的點(diǎn)組成的集合叫做圓.

表示：若圓心為。，通常記為“0?！?，線段0A叫做半徑.

2.相關(guān)概念：同圓、同心圓、等圓

圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小，確定了圓心和半徑即確定了圓.

圓心半徑

同圓相同相同

同心圓相同不相同

等圓不作要求相同

3.三角形外接圓

定理：過(guò)平面中不共線的三點(diǎn)，有且只能畫(huà)一個(gè)圓.

外接圓：經(jīng)過(guò)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫三角形外接圓.任意三角形都有且僅有一個(gè)外接圓.

外心：外接圓的圓心叫外心.

4.弦和弧

【與三角形、四邊形相比，圓沒(méi)有邊也沒(méi)有角，所以，得造出些邊角.】

(1)弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦.

特別地，直徑是最長(zhǎng)的弦，但半徑不是弦.

(2)?。簣A上任意兩點(diǎn)之間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱：弧.

半圓：直徑把圓分為兩個(gè)完全相同的部分，每個(gè)部分都叫半圓，半圓也是弧:

優(yōu)?。捍笥诎雸A的弧，為了區(qū)分，優(yōu)弧48可記為ACB；

劣?。盒∮诎雸A的弧，通常指劣弧A8

【易錯(cuò)點(diǎn)】

在同圓或等圓中，長(zhǎng)度相等的弧叫等弧.

判斷題：長(zhǎng)度相等的弧叫等弧(x)

分析：等弧不僅強(qiáng)調(diào)長(zhǎng)度相等，也要求形狀一樣，簡(jiǎn)單說(shuō)，要能完全重合才叫等弧.

5.圓心角、圓周角

(1)圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角；

(2)圓周角：頂點(diǎn)在圓上，且兩邊和圓相交的角叫做圓周角.

【小結(jié)】考慮圓本身并無(wú)邊、角，所以弧、弦、圓心角、圓周角將會(huì)是圓中重點(diǎn)研究的對(duì)象.

二、圓中三大基本定理

1.垂徑定理

(1)定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

(2)逆定理：平分弦(該弦非直徑)的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

【逆定理里要排除掉一種情況：任意兩條直徑均互相平分，但并不一定互相垂直.】

【小結(jié)】垂徑定理與逆定理結(jié)合，可得的結(jié)果就是：直徑與弦，垂直與平分可互推.

A

B

(3)垂徑定理應(yīng)用

如圖，圓心和弦的距離稱為“弦心距”，即圖中的0E.

和AOEC都是直角三角形，可由勾股定理得等式:

償+(弦心距)、(半徑丫

在這里可以給條件作變化，但終究還是利用勾股定理求得線段長(zhǎng)度，若無(wú)直角三角

形，無(wú)腦作垂直即可.

【小結(jié)】關(guān)于求弦長(zhǎng)：欲求弦長(zhǎng)，先求弦長(zhǎng)的一半.

2.弧、弦、圓心角關(guān)系定理：

(1)定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等.

當(dāng)/AOB=/COZ)時(shí)，則AB=CC,AB=CD

【圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性：當(dāng)NAOB=/CO￡＞時(shí)，將AAOB繞。點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，可與AC。。重合

(2)推論：在同圓或等圓中，若兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦有一組量相等，那么它們

所對(duì)應(yīng)的其它各組量分別相等.

3.圓周角定理

(1)定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)圓心角

的一半.

證明：連接A0并延長(zhǎng)交圓于。點(diǎn)，

易證：ZBOD-2ZJBAD,Z.COD=2ACAD,

：.NBOC=4BOD+NCOD=2(ZBAD+ZC4￡>)=2NBAC,

即NBOC=2NB4c.

(2)推論：①同圓或等圓中，若兩個(gè)圓周角相等，則它們所對(duì)的弧也相等.

②直徑所對(duì)的圓周角是直角.

③圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，外角等于內(nèi)對(duì)角.

即/A+NBCD=180°,ZA=ZDCE.

【補(bǔ)充】關(guān)于四點(diǎn)共圓（課內(nèi)不作要求）：

若A、B、C、。四點(diǎn)共圓，則有:

(1)四邊形對(duì)角互補(bǔ)；

(2)N1=N7,N2=N4,N3=N6,N5=N8；

(3)△PABsXPDC,LPAD^/XPBC-,

(4)托勒密定理：AC-BD=ABCD+ACBD.

如何判定四點(diǎn)共圓？

以上三條中的任意一個(gè)條件都可判定“四點(diǎn)共圓即性質(zhì)與判定可互推.

三、直線與圓的位置關(guān)系

1.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

（1）點(diǎn)在圓上；（2）點(diǎn)在圓內(nèi)；（3）點(diǎn)在圓外.

【小結(jié)】具體的位置關(guān)系由圓的半徑r和點(diǎn)到圓心的距離d的大小關(guān)系決定.

2.直線與圓的位置關(guān)系

（1）相離：直線與圓無(wú)公共點(diǎn)；

（2）相切：直線與圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)；

（3）相交：直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn).

【小結(jié)】具體的位置關(guān)系由圓的半徑r與圓心到直線的距離d的大小關(guān)系決定.

3.切線

（1）性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑.

應(yīng)用：連半徑，得垂直.

（2）推論：①經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線比經(jīng)過(guò)切點(diǎn).

②經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心.

（3）切線的判定

①定義：與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線；

②距離法：到圓心距離等于半徑的直線是圓的切線;

③判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

【思考】如何選擇距離法與判定定理？

圓周角定理

倒角：證明夾角為直角弦切角定理

有交點(diǎn)：連半徑，證垂直

【策略】等腰三角形

倒邊：證明和已知垂線平行

無(wú)交點(diǎn)：作垂直，證半徑

4.切線長(zhǎng)

(1)定義：過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段長(zhǎng)度叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng).

如圖，過(guò)圓外一點(diǎn)尸作圓的切線公交圓于A點(diǎn)，則布的長(zhǎng)叫做P到圓。的切線長(zhǎng).

(2)切線長(zhǎng)定理

①由圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，其切線長(zhǎng)相等：PA=PB；

②圓心與這個(gè)點(diǎn)的連線平分兩條切線形成的夾角：ZO^ZOPB.

5.弦切角

(1)定義：頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相切，另一邊和圓相切的角叫弦切角.

(2)弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角.(不能直接用)

BC

四、正多邊形與圓

1.正多邊形

(1)各條邊相等，且各個(gè)內(nèi)角也都相等的多邊形叫正多邊形.

(2)正多邊形相關(guān)概念

①中心：正多邊形外接圓的圓心；

②半徑：正多邊形外接圓的半徑；

③中心角：正多邊形每一條邊所對(duì)的圓心角；

④邊心距：中心到正多邊形邊的距離.

(3)重新認(rèn)識(shí)正三、四、六邊形

(4)性質(zhì)

正多邊形是軸對(duì)稱圖形，有〃條對(duì)稱軸

正偶數(shù)邊形是中心對(duì)稱圖形，但正奇數(shù)邊形不是，所以正多邊形也是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形.

五、扇形與圓錐

1.扇形

(1)定義：一條弧和經(jīng)過(guò)這兩條弧的端點(diǎn)的兩條半徑所組成的圖形.

【扇形相當(dāng)于圓的一個(gè)部分，圓就是圓心角為360°的扇形

①圓心角(?)：乙4OB；②半徑(r)：。4、OB；③弧(/)：AB

(2)兩個(gè)重要公式:

,n-n7vr

①弧長(zhǎng):/=----2夕=——

360180

②面積：S=-7rr^S=-Lr(將也用/替換掉，結(jié)果類(lèi)似于三角形面積公

3602180

式)

2.圓錐

(1)定義：以直角三角形的直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)360度而成的曲面

所圍成的幾何體叫做圓錐.

(2)高")：圓錐的頂點(diǎn)和圓錐的底面圓心之間的距離；

(3)母線(/)：底面圓周上任意一點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離；(側(cè)面展開(kāi)形成扇形的半徑)

(4)側(cè)面積(S做)：側(cè)面展開(kāi)(是個(gè)扇形)的面積;

(5)表面積(S)：側(cè)面展開(kāi)扇形面積+底面圓面積(S=乃產(chǎn)+%〃)

【劃重點(diǎn)】側(cè)面展開(kāi)扇形弧長(zhǎng)=底面圓周長(zhǎng)：—2^/=2^r^r=—

360360

3.陰影部分面積

(1)割補(bǔ)法：割割補(bǔ)補(bǔ)，哪里需要補(bǔ)哪里

S陰二S扇形AOB—SJOB

(2)拼湊法:

(3)等積變形

利用平行線間距離處處相等，可找到等面積三角形.

六、圓中的相似

1.相交弦定理

(1)定理：如圖，弦AB與弦C。交于圓。內(nèi)一點(diǎn)P,則也

(2)證明：連接A。、BC,

根據(jù)有圓周角定理可得：ZDAP=ZBCP,NADP=NCBP,

：.AAPDSACPB,

.PAPD

PCPB

：.PAPB=PCPD

2.切割線定理

(1)定理：如圖，尸為圓。外一點(diǎn)，以是圓的切線，尸C是圓的割線，求證：PAi=PBPC.

(2)證明：連接A3、AC,

根據(jù)弦切角定理，可得：又NP是公共角,

：./\PAB^/\PCA,

.PBPA

??~----,

PAPC

：.PS=PBPC.

3.割線定理

(1)定理：如圖，P是圓。外一點(diǎn)，PB、P。是圓的兩條割線，則必

(2)證明：

法一：連接AC、BD,

y

D

根據(jù)圓內(nèi)接四邊形外角等于內(nèi)對(duì)角,,可得：NMC=NPDB,ZPCA=ZPBDf

：./\PAC^/\PDB,

.PAPC

??----------，

PDPB

:.PAPB=PCPD.

法二：連接A。、BC,

V

D

根據(jù)圓周角定理，可得：ZB=ZD,,又NP是公共角，

:ZADsRPCB,

.PAPD

，9~PC~~PB

：.PAPB=PCPD.

二、中考真題演練

一、垂徑定理

1.（2020?濱州）在0O中，直徑A5=15,弦。石，AB于點(diǎn)C,若OC:QB=3:5,則上的

長(zhǎng)為（）

A.6B.9C.12D.15

【解答】解：如圖所示：連接8,

???直徑AB=15,

.?.80=7.5,

\OC:OB=3:5f

/.CO=4.59

DC=yjDO2-CO2=6,

:.DE=2DC=\2.

故，G選：c.

2.（2021?長(zhǎng)沙）如圖，在（DO中，弦他的長(zhǎng)為4,圓心到弦他的距離為2,則N4OC的

度數(shù)為一.

O

【解答】解：_LAB,

AC=BC=-AB=ix4=2,

22

.OC=2,

??.A4OC為等腰直角三角形，

/.ZAOC=45°,

故答案為：45°.

3.（2021?自貢）如圖，AB為。O的直徑，弦CDLA8于點(diǎn)F,OE_LAC于點(diǎn)E,若OE=3,

OB=5,則cr＞的長(zhǎng)度是（)

A.9.6B.4石C.5/D.10

【解答】解：?.?OELAC,

AE=ECf

\AB±CD9

/.ZAFC=ZA￡O=90°,

OE=3,OB=5,

.?.AE=y/AO2-OE2=4,

/.AC=8,

vZA=ZA,ZAEO=ZAFC.

/.AAEO0°AAFC,

AOEO53

/.---=----,即Hn：—=——,

ACFC8FC

\CD±AB9

48

/.CZ）=2CF=—=9.6.

5

故選：A.

4.（2021?牡丹江）半徑為12的的圓中，垂直平分半徑的弦長(zhǎng)為—.

【解答】解：如右圖所示：設(shè)圓為0。，弦為,半徑0c被AS垂直平分于點(diǎn)。，連接OA,

由題意可得：OA=OC=\2cm,CO±AB,OD=DC=bcm,

.COA.AB,

:.AD=DB,

在RtAODA中，由勾股定理可得：AD=y]OA2-OD2=V122-62=,

AB=2AD=12G(cm),

5.（2021?涼山州）點(diǎn)P是。。內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的最長(zhǎng)弦的長(zhǎng)為10cm,最短弦的長(zhǎng)為6。機(jī),

則OP的長(zhǎng)為（）

A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

【解答】解：如圖所示，CDLAB于點(diǎn)P.

根據(jù)題意，得：AB=lQcm,CD=6cm.

?.?川是直徑，且CD1.AB,

CP=—CD=3cm.

2

根據(jù)勾股定理，得。P=^CO2-CP2=J52-32=4（57）.

故選：B.

6.（2021?成都）如圖，在平面直角坐標(biāo)系X。），中，直線y=4x+當(dāng)與0O相交于A,B

兩點(diǎn)，且點(diǎn)A在x軸上，則弦45的長(zhǎng)為.

【解答】解：設(shè)直線交y軸于C,過(guò)。作如圖:

左V32,^3+人八殂2*^3

在＞=——x+中，令尤=0得丁=,

333

.?.c(o,當(dāng)℃=￥，

33

XV3273..八殂石2石八

在＞=——x-\----中令y=0得——x+=0,

3333

解得x=-2.

/.A(-2,0),OA=29

2y/3

RtAAOC中，tanZC4O=—=^-=—,

OA23

.-.ZC4O=30°,

RtAAOD中，AD=OAcos30°=2x—=,

2

ODA.AB,

AD=BD=A/39

??.AB=26

故答案為：2G.

7.（2020?武漢）如圖，在半徑為3的OO中，是直徑，AC是弦，。是AC的中點(diǎn)，AC

與BD交于點(diǎn)、E.若石是的中點(diǎn)，則AC的長(zhǎng)是（）

E

O

A.-y/3B.3百C.3&D.4>/2

2

【解答】解：連接OD,交AC于F，

是AC的中點(diǎn)，

:.OD±AC,AF=CF,

..ZDFE=9009

?.OA=OB,AF=CF,

OF=-BC,

2

?「AB是直徑，

/.ZACS=90°,

在AEFD和A￡C8中

/DFE=NBCE=9。。

<NDEF=NBEC

DE=BE

:.^FD=\ECB{AAS),

：.DF=BC,

:.OF=-DF,

2

.OD=3,

：.OF=\,

:.BC=2,

在RtzXABC中，AC2=AB2-BC~,

：.AC=y/AB2-BC2=舊"=472,

故選：D.

8.（2021?淄博）“圓材埋壁”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的一個(gè)問(wèn)題：“今有圓材,

埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺.問(wèn)：徑幾何？”用現(xiàn)在的幾何語(yǔ)言

表達(dá)即：如圖，CD為OO的直徑，弦AB_LC?,垂足為點(diǎn)￡,CE=1寸，他=10寸，則

直徑CD的長(zhǎng)度是（）

A.12寸B.24寸C.13寸D.26寸

【解答】解：連接。4,

■.AB±CD,且A8=10寸，

==5寸，

設(shè)圓O的半徑Q4的長(zhǎng)為x,則OC=OD=x,

?.?CE=1,

:.OE=x—\,

在直角三角形AOE中，根據(jù)勾股定理得：

X2-(X-1)2=52,化簡(jiǎn)得：x2-x2+2x-l=25,

即2x=26,

.-.CD=26(寸).

故選：D.

9.（2021?黔東南州）小明很喜歡鉆研問(wèn)題，一次數(shù)學(xué)楊老師拿來(lái)一個(gè)殘缺的圓形瓦片（如

圖所示）讓小明求瓦片所在圓的半徑，小明連接瓦片弧線兩端量的弧/W的中心C到

4?的距離C￡>=1.金7“，AB=6.4cm,很快求得圓形瓦片所在圓的半徑為上c〃?.

【解答】解：點(diǎn)是AB的中點(diǎn)，CDLAB,

8過(guò)圓心，AD=BD=-AB^-x6A=3.2(cm),

設(shè)圓心為O,連接。4,如圖，

設(shè)OO的半徑為R5，則OD=(R-1.6)前，

在RtAOAD中，(R-1.6)2+3.2?=/?2,解得R=4(azi),

所以圓形瓦片所在圓的半徑為4。”.

故答案為4.

10.(2021?鄂州)筒車(chē)是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全

書(shū)》中用圖畫(huà)描繪了筒車(chē)的工作原理，如圖I.筒車(chē)盛水桶的運(yùn)行軌道是以軸心。為圓心的

圓，如圖2.已知圓心O在水面上方，且OO被水面截得的弦AB長(zhǎng)為6米，OO半徑長(zhǎng)為

4米.若點(diǎn)C為運(yùn)行軌道的最低點(diǎn)，則點(diǎn)C到弦45所在直線的距離是()

D.（4+4）米

【解答】解：連接OC交回于￡>,連接OA,

?點(diǎn)C為運(yùn)行軌道的最低點(diǎn)，

.-.OC1AB,

.-.AD=-AB=3（米），

2

在RtAOAD中，OD=yjOA2-AD2=^42-32=y/1（米），

點(diǎn)C到弦AB所在直線的距離CO=OC-0。=(4-6)米,

故選：B.

圖2

11.（2021?柳州）往水平放置的半徑為13cm的圓柱形容器內(nèi)裝入一些水以后，截面圖如圖

所示，若水面寬度=24cm,則水的最大深度為（）

B.8cmC.10cmD.12cm

【解答】解：連接08,過(guò)點(diǎn)。作OC_LA8于點(diǎn)力，交。O于點(diǎn)C,如圖所示:

,/AB=24c/n,

,;OB=OC=13cm,

在RtAOBD中，OD=4OB1-BD2=V132-122=5(cm),

:.CD=OC-OD=\3-5=S(cm),

即水的最大深度為8m,

故選：B.

12.（2021?青海）如圖是一位同學(xué)從照片上剪切下來(lái)的海上日出時(shí)的畫(huà)面，“圖上”太陽(yáng)與

海平線交于A,B兩點(diǎn),他測(cè)得“圖上”圓的半徑為10厘米，A3=16厘米.若從目前太

陽(yáng)所處位置到太陽(yáng)完全跳出海平面的時(shí)間為16分鐘，則“圖上”太陽(yáng)升起的速度為（）

C.1.2厘米/分D.1.4厘米/分

【解答】解：設(shè)“圖上”圓的圓心為O,連接OA,過(guò)點(diǎn)O作于Z）,如圖所示:

?.?AB二］6厘米,

AD=-AB=8（厘米）,

2

?.?04=10厘米,

OD=yjOA1-AD2=V102-82=6（厘米）,

..海平線以下部分的高度=04+8=10+6=16（厘米）,

???太陽(yáng)從所處位置到完全跳出海平面的時(shí)間為16分鐘,

?,“圖上”太陽(yáng)升起的速度=16+16=1.0（厘米/分）,

13.（2020?廣州）往直徑為5比〃的圓柱形容器內(nèi)裝入一些水以后，截面如圖所示，若水面

寬=48cm則水的最大深度為（）

B.10cmC.16cmD.20cm

【解答】解：連接08,過(guò)點(diǎn)。作OCJ.A8于點(diǎn)￡）,交。。于點(diǎn)C,如圖所示:

AB=48cm,

：.BD=^AB=-x48=24(c/n),

,/QO的直徑為52cm,

/.OB=OC=26c?%，

在RtAOBD中，OD=‘OR」-8。=>/262-242=10(cm),

:.CD-OC-OD=26-\0=16(cm),

故選：C.

14.（2019?黃岡）如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓?。ˋ8）,點(diǎn)O是這段弧所在圓的圓心,

AB=40m,點(diǎn)C是A8的中點(diǎn)，點(diǎn)。是45的中點(diǎn)，且CE>=10〃i,則這段彎路所在圓的半

B.24mC.30/77D.60m

【解答】解：.OC±AB,AB=40m,

AD=DB=20m,

在RtAAOD中，OA2=OD2+AD2,

設(shè)半徑為r得：r2=(r-10)2+202,

解得：r=25(w),

，這段彎路的半徑為25m

故選：A.

15.（2021?西寧）如圖，AB是0。的直徑，弦8_LA3于點(diǎn)￡,8=10,BE=2,則O。

的半徑OC=

15

【解答】解：?.?弦CDJLAB于點(diǎn)E,8=10,

:.CE=-CD=5,NOEC=90°,

2

設(shè)OB=OC=x,貝！IOE=x-2,

在RSOCE中，由勾股定理得：CE2+OE2^OC2,

即5?+(x-2)2=x2,

解得：x=—,

4

即OC="，

故答案為：

4

16.（2020?寧夏）我國(guó)古代數(shù)學(xué)經(jīng)典著作《九章算術(shù)》中記載了一個(gè)“圓材埋壁”的問(wèn)題:

“今有圓材埋在壁中，不知大小.以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺.問(wèn)徑幾何？”意思是：

今有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知其大小.用鋸去鋸這木材，鋸口深￡0=1寸，鋸道

長(zhǎng)轉(zhuǎn)=1尺（1尺=10寸）.問(wèn)這根圓形木材的直徑是26寸.

【解答】解：由題意可知

?.?OE為。O半徑，

==△尺=5寸，

設(shè)半徑。4=OE=r寸,

-.ED=\,

:.OD=r-\,

則RtAOAD中，根據(jù)勾股定理可得：（-1）2+52=，，

解得：r=13>

木材直徑為26寸；

故答案為：26.

二.弧、弦、圓心角的關(guān)系+圓周角定理

1.（2021?鞍山）如圖，為OO的直徑，C,。為OO上的兩點(diǎn)，若NABE>=54。，則NC

的度數(shù)為（）

D

A.34°B.36°C.46°D.54°

【解答】解：連接AD,如圖，

????為OO的直徑，

/.ZADB=90°,

.?.Z4=90。-=90°—54。=36。，

/.ZC=ZA=36°.

故選：B.

D

2.（2021?阜新）如圖，A,B,C是G）O上的三點(diǎn),若NO=70。，則NC的度數(shù)是（）

&

A.40°B.35°C.30°D.25°

【解答】解：?.?N4O8和NC都對(duì)A3,

ZC=-ZAOB=-x70°=35°.

22

故選：B.

3.（2021?牡丹江）如圖，點(diǎn)A,B,C為0O上的三點(diǎn)，ZAOB=-ZBOC,ZBAC=3O°,

3

則NAOC的度數(shù)為（）

A.100°B.90°C.80°D.60°

【解答】解：-.-ZBOC=2ZBAC=60°,OB=OC,

..ABOC是等邊三角形，

1/ZAOB=-ZBOC=20°,

3

ZAOC=ZBOC+ZAOB=60°+20°=80°,

故選：C.

4.（2021?桂林）如圖，AB是OO的直徑，點(diǎn)C是OO上一點(diǎn)，連接AC,BC,則NC的

B.90°C.120°D.150°

【解答】解：?.?他為OO的直徑,

??,ZC=90°,

故選：B.

5.（2021?赤峰）如圖，點(diǎn)C,。在以他為直徑的半圓上，且NADC=120。，點(diǎn)E是上

任意一點(diǎn)，連接BE、CE.則NBEC的度數(shù)為（）

E

A.20°B.30°C.40°D.60°

【解答】解：連接AC,如圖，

???四邊形ABCD為?O的內(nèi)接四邊形,

/.ZAZX?+ZABC=180°,

/.ZABC=180°-120°=60°,

???45為直徑，

/.ZACB=90°,

/.ZBAC=90°-60°=30°,

，NBEC=ABAC=30。.

故選：B.

6.（2021?常州）如圖，3c是OO的直徑，45是OO的弦，若NAOC=60。，則NOA3的

度數(shù)是（）

A.20°B.25°C.30°D.35°

【解答】解：???Z4OC=60。，

ZB=-ZAOC=30°9

,;OA=OB，

/.ZOW=ZB=30°,

故選：c.

7.（2021?黃石）如圖，A、8是OO上的兩點(diǎn)，ZAOB=60°,OF_LAB交0。于點(diǎn)尸，

則4B4尸等于（）

C.15°D.12.5°

【解答】解：?.?OkLAB,

AF=BF,

AAOF=NBOF=-ZAOB=-x60°=30°,

22

ZBAF=-NBOF=-x30°=15°.

22

故選：C.

8.（2021?吉林）如圖，四邊形43CD內(nèi)接于0O,點(diǎn)P為邊AD上任意一點(diǎn)（點(diǎn)尸不與點(diǎn)A,

O重合）連接CP.若NB=120。，則NAPC的度數(shù)可能為（）

A.30°B.45°C.50°D.65°

【解答】解：?.?四邊形A88內(nèi)接于OO,

:.ZB+ZD=\80°,

?.?ZB=120。，

.?.ZD=180°-ZB=60°,

?.?Z4PC為APC￡>的外角，

:.ZAPC>ZD,只有。滿足題意.

故選：D.

9.（2021?海南）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，BE是的直徑，連接若

ZBCD=2NBAD,則的度數(shù)是（）

B

A.30°B.35°C.45°D.60°

【解答】解：,??四邊形A3CE>是OO的內(nèi)接四邊形，

ZBCD+ZBAD=180°,

-.ZBCD=2ZBAD,

:.ZBCD=\20P,ZBAD=f^0,

??,BE是0。的直徑，

.-.ZBAE=90°,

.-.ZQ4E=90o-ZBA￡>=90o-60o=30°,

故選：A.

10.(2021?宜昌)如圖，C,。是G)O上直徑相兩側(cè)的兩點(diǎn)，設(shè)NABC=25。，則N8OC=(

)

【解答】解：連接"，如圖，

-,-ZABC=25°,

ZAOC=2ZABC=2x25°=50°,

ZBOC=180°-ZAOC=180°-50°=130°,

NBDC=-NBOC=-xl30°=65°.

22

解法二：因?yàn)?是直徑，

所以NACB=90。

所以N皮）C=NOW=90?！猌ABC=65。.

故選：D.

11.（2021?聊城）如圖，A,B,C是半徑為1的0。上的三個(gè)點(diǎn)，若=ZC4B=30°,

則NA8C的度數(shù)為（）

A.95°B.100°C.105°D.110°

【解答】解：如圖，連接08,

;OA=OB=l,AB=y/2,

:.O^C+OB1=AB2,

.?.NAO8=90°,

:.ZACB=45°,

ZABC=180°-45°-30°=105°,

故選：C.

12.（2021?長(zhǎng)沙）如圖，點(diǎn)A,B,C在OO上，N84c=54。，則NBOC的度數(shù)為（）

A.27°B.108°C.116°D.128°

【解答】解：?.?ZA=54。，

.?.ZBOC=2ZA=108°,

故選：B.

13.（2021?邵陽(yáng)）如圖，點(diǎn)A,B,。是OO上的三點(diǎn).若/4OC=90。，ABAC=30°,

則NAO8的大小為（）

A.25°B.30°C.35°D.40°

【解答】解：???41C與NBOC所對(duì)弧為BC,

由圓周角定理可知：N8OC=2NB4c=60。，

又ZAOC=90。，

ZAOB=ZAOC-ZBOC=90o-60°=30°.

故選：B.

14.(2021?嘉峪關(guān))如圖，點(diǎn)A,B,C,D,￡在。0上，AB=CD,ZAOB=42°,則

ZCED=()

E

C.22°D.21°

/.ZAOB=ZCOD=42°,

ZCED=-ZCOD=21°.

2

故選：D.

15.（2021?眉山）如圖，在以AB為直徑的OO中，點(diǎn)C為圓上的一點(diǎn)，8C=3AC,弦CD_LA8

于點(diǎn)￡,弦AF交CE于點(diǎn)H,交3C于點(diǎn)G.若點(diǎn)H是AG的中點(diǎn)，則NC8尸的度數(shù)為（

【解答】解：?.?AB是直徑,

.?.46=90。，

/.ZABC+ZC4B=90°,

???BC=3ACf

:,ZCAB=3ZABC9

ZABC=22.509NOW=67.5。，

???C￡>_LA8,

ZACE=22.5°9

???點(diǎn)〃是AG的中點(diǎn)，N4CB=90。，

：.AH=CH=HG,

ZCAH=ZACE=22.5°，

???NCAF=NCBF,

/.ZCBF=22.5°,

故選：C.

16.（2021?重慶）如圖，AB是OO的直徑，AC,8c是G）O的弦，若NA=20。，則Nfi的

度數(shù)為（）

A.70°B.90°C.40°D,60°

【解答】解：?..4?是OO的直徑，

/.ZC=90°,

?/ZA=20°,

/.z^B=90°-ZA=70°,

故選：A.

17.（2021?重慶）如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于OO,若NA=80。，則NC的度數(shù)是（）

A.80°B.100°C.110°D.120°

【解答】解：???四邊形ABCD內(nèi)接于OO,

...NA+NC=180°,

vZA=80°,

.\ZC=100°,

故選：B.

二.填空題（共8小題）

18.（2021?寧夏）如圖，四邊形A8c。是0O的內(nèi)接四邊形，ZAZX?=150°,弦4C=2,

則OO的半徑等于一.

【解答】解：連接。4,OC,

??,四邊形ABCD是OO的內(nèi)接四邊形，

ZADC+ZABC=180°,

*/ZA￡）C=150°,

/.ZABC=30°,

/.ZAOC=2ZABC=60°,

\OA=OC9

.??△04C為等邊三角形，

/.OA=AC=2,

即OO的半徑為2.

故答案為：2.

19.（2021?阿壩州）如圖，A,B,C是。。上的三個(gè)點(diǎn)，NB=40。，則NO4c的度數(shù)為

B

【解答】解：???N8=40。，

.-.ZAOC=2ZB=80°,

-OA=OC,

.\ZOAC=ZOCA,

Z.OAC=g（180°-ZAOC）=；x（180。一80°）=50°,

故答案為：50。.

20.（2021?朝陽(yáng)）已知OO的半徑是7,AB是OO的弦，且的長(zhǎng)為76,則弦所對(duì)

的圓周角的度數(shù)為一.

【解答】解：NACB和ZMM?為弦所對(duì)的圓周角，連接04、OB,如圖，

過(guò)O點(diǎn)作于”，則4H=3"=443=拽，

22

7>/3

在RtAOAH中，cosNOAH==—2—=,

OA12

ZOAH=30°,

\'OA=OB，

/OBH="AH=30。,

.?.408=120。，

??.ZACB=-ZAOB=60°,

2

??NA￡）B+NACB=180。，

/.ZADB=180°-60°=120°,

即弦AB所對(duì)的圓周角的度數(shù)為60?；?20。.

故答案為60?；?20。.

21.（2021?淮安）如圖，A5是OO的直徑，。。是OO的弦，ZCAB=55°,則N。的度數(shù)

:.ZACB=90°9

?/ZC4B=55°,

.?.ZB=9O°-ZC4B=35°,

二N￡）=N8=35。.

故答案為：35。.

22.（2021?徐州）如圖，AS是OO的直徑，點(diǎn)C、。在°O上，若NADC=58。，則=

【解答】解：是OO的直徑,

??.ZAG?=90。，

???NB=NADC=58。，

.-.ZJB4C=90°-ZB=32°.

故答案為32.

23.（2021?黑龍江）如圖，在°。中，是直徑，弦AC的長(zhǎng)為5°利，點(diǎn)。在圓上且

ZADC=3O°,則OO的半徑為cm.

【解答】解：如圖，連接oc.

D

\*ZAOC=2ZADC,ZADC=3O°9

??.ZAOC=60°,

\OA=OC,

.?.A4OC是等邊三角形，

/.OA—AC=5(ca),

，OO的半徑為5c"?.

故答案為；5.

24.(2021?鹽城)如圖，在OO內(nèi)接四邊形A8CD中，若ZABC=100。，則4M>C=

【解答】解：???四邊形ABCD是OO的內(nèi)接四邊形，

/.ZABC+ZADC=180°,

ZADC=180°-100°=80°.

故答案為：8（）.

25.（2021?常德）如圖，已知四邊形/WC￡＞是圓。的內(nèi)接四邊形，48=80。，則

ABCD=

【解答】解：?.?NBA。為所對(duì)的圓周角且N8OD=80。，

ABAD=-ZBOD=1x80°=40°,

22

又?.?四邊形/WCD是圓。的內(nèi)接四邊形，

/.ZBAD+ABCD=180°,

/.ZBCD=180°-ABAD=180°-40°=140°,

故答案為：140。.

三、正多邊形與圓+扇形面積弧長(zhǎng)+圓錐

一.正多邊形和圓（共2小題）

1.（2021?興安盟）一個(gè)正多邊形的中心角為30。，這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是（）

A.3B.6C.8D.12

【解答】解：?.?正多邊形的中心角和為360。，正多邊形的中心角是30。，

這個(gè)正多邊形的邊數(shù)=—=12.

30°

故選：D.

2.（2021?赤峰）如圖，在擰開(kāi)一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正六角形螺帽時(shí)，扳手張開(kāi)的開(kāi)口6=20加加,

則邊長(zhǎng)a=mtn.

【解答】解：如圖，連接6>C、OD,過(guò)O作于H.

360°

vZCOD=——=60°,OC=OD,

6

...ACO。是等邊三角形，

...ZCOH=90°-60°=30°,

?;OH1CD,

:.CH=DH=-CDOH=-h=\0(mm)

292f

CH=10xtan30°=~~~("〃〃)，

…20回、

/.a=2CH=---(mm),

d田g上20G

故答案為：二一.

3

二.弧長(zhǎng)的計(jì)算（共12小題）

3.圖1是一把扇形書(shū)法紙扇，圖2是其完全打開(kāi)后的示意圖，外側(cè)兩竹條Q4和08的夾角

為150。，的長(zhǎng)為30cm,貼紙部分的寬AC為18c7",則8的長(zhǎng)為（）

D.25〃cm

【解答】解：???。4的長(zhǎng)為30。〃，貼紙部分的寬AC為18m,

OC=OA—AC=12cm,

又0A和08的夾角為150。，

「150^X12.八,、

/.CD的長(zhǎng)為：--------=10%（cm）.

180

故選：B.

4.（2021?牡丹江）一條弧所對(duì)的圓心角為135。，弧長(zhǎng)等于半徑為3cm的圓的周長(zhǎng)的5倍,

則這條弧的半徑為（）

A.45cmB.40cmC.35cmD.30c7k

【解答】解：設(shè)弧所在圓的半徑為rcm,

由題意得，變二=2乃x3x5,

180

解得，r=40.

故選：B.

5.（2021?梧州）若扇形的半徑為3,圓心角為60。，則此扇形的弧長(zhǎng)是（）

13

1BC

A._-萬(wàn)D.

MC2

【解答】解：?.?一個(gè)扇形的半徑長(zhǎng)為3,且圓心角為60。，

,此扇形的弧長(zhǎng)為照k=人

180

故選：B.

6.（2021?臺(tái)灣）將一半徑為6的圓形紙片，沿著兩條半徑剪開(kāi)形成兩個(gè)扇形.若其中一個(gè)

扇形的弧長(zhǎng)為5萬(wàn)，則另一個(gè)扇形的圓心角度數(shù)是多少？（）

A.30B.60C.105D.210

【解答】解：由題意可求得圓形的周長(zhǎng)C=2萬(wàn)x6=12萬(wàn)，

其中一個(gè)扇形的弧長(zhǎng)4=5兀,則另一個(gè)扇形的弧長(zhǎng)a=12%-5萬(wàn)=7%,

設(shè)另一個(gè)扇形的圓心角度數(shù)為〃。，

根據(jù)弧長(zhǎng)公式：L=—,有：

180

rn7rx6Agze

1/r=-----,解得〃=2n1i0n,

180

故選：D.

7.（2021?蘭州）如圖，傳送帶的一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)輪的半徑為lOcm,轉(zhuǎn)動(dòng)輪轉(zhuǎn)n。,傳送帶上的物

品A被傳送671cm,則n=.

【解答】解：?.?物品A被傳送的距離等于轉(zhuǎn)動(dòng)了〃。的弧長(zhǎng),

小TXlO/

?>--------------=O7T9

180

解得：“=108,

故答案為：108.

8.（2021?哈爾濱）一"個(gè)扇形的弧長(zhǎng)是8萬(wàn)c/n,圓心角是144。，則此扇形的半徑是cm.

【解答】解：設(shè)扇形的半徑為rem,由題意得，

144TZT0

-----=8zr,

180

解得尸=10（cm）,

故答案為：10.

9.（2021?長(zhǎng)春）如圖是圓弧形狀的鐵軌示意圖，半徑。4的長(zhǎng)度為200米，圓心角

ZAOB=90°,則這段鐵軌的長(zhǎng)度為一米.（鐵軌的寬度忽略不計(jì)，結(jié)果保留先）

【解答】解：圓弧長(zhǎng)是：-200=10G乃（米

180

故答案是：100萬(wàn).

10.（2021?婁底）如圖所示的扇形中，已知。4=20,AC=30,AB=40,則C￡>=

【解答】解：設(shè)ZAO3=〃°.

由題意畸”4。,

/.n/c=360，

3*00,

故答案為：100.

II.（2021?河南）如圖所示的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,點(diǎn)A,B,。均在小正

方形的頂點(diǎn)上，且點(diǎn)B,C在AD上，Nfi4c=22.5。，則BC的長(zhǎng)為

5

D

-,OA=OB=OD=59ZBOC=2ZBAC=45°9

,BC的長(zhǎng)=色色="

1804

故答案為：—.

4

12.（2021?溫州）若扇形的圓心角為30。，半徑為17,則扇形的弧長(zhǎng)為.

【解答】解：根據(jù)弧長(zhǎng)公式可得：

njir30?1717

/=---=-------=—冗?

1801806

故答案為：-n.

6

13.（2021?泰州）扇形的半徑為8cm,圓心角為45。，則該扇形的弧長(zhǎng)為an.

【解答】解：由題意得，扇形的半徑為80%,圓心角為45。，

故此扇形的弧長(zhǎng)為：竺叱=2乃（即0，

180

故答案為；2%

14.（2021?綏化）一條弧所對(duì)的圓心角為135。，弧長(zhǎng)等于半徑為5ca的圓的周長(zhǎng)的3倍,

則這條弧的半徑為—cm.

【解答】解：設(shè)弧所在圓的半徑為「，

由題意得，空軍=2%x5x3,

180

解得，r=40cm.

故應(yīng)填40.

三.扇形面積的計(jì)算（共3小題）

15.（2021?衢州）已知扇形的半徑為6,圓心角為150。,則它的面積是（)

3

A.—71B.34C.57rD.15）

2

【解答】解：扇形面積=150%*62=匕一

360

故選：D.

16.（2021?青海）如圖，一根5機(jī)長(zhǎng)的繩子，一端拴在圍墻墻角的柱子上，另一端拴著一只

小羊A（羊只能在草地上活動(dòng)）那么小羊A在草地上的最大活動(dòng)區(qū)域面積是（）

卜—6m—

A