二元一次方程組 認(rèn)識(shí)、解方程組（解析版）2022-2023學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期期中期末考點(diǎn)大串講（蘇科版）

專題06二元一次方程組—認(rèn)識(shí)、解方程組

『思維導(dǎo)

L___",一]

一、二元一次方程

二元一次方程滿足的三個(gè)條件：

(1)在方程中“元”是指未知數(shù)，“二元"就是指方程中有且只有兩個(gè)未知數(shù).

(2)”未知數(shù)的次數(shù)為1”是指含有未知數(shù)的項(xiàng)(單項(xiàng)式)的次數(shù)是1.

(3)二元一次方程的左邊和右邊都必須是整式.

二元一次方程的解：

⑴二元一次方程的解都是一對(duì)數(shù)值，而不是一個(gè)數(shù)值，一般用大括號(hào)聯(lián)立起來,如：1u.

b=5-

(2)一般情況下，二元一次方程有無數(shù)個(gè)解，即有無數(shù)多對(duì)數(shù)適合這個(gè)二元一次方程.

二、二元一次方程組

3x+1=0

組成方程組的兩個(gè)方程不必同時(shí)含有兩個(gè)未知數(shù)，例4八廠也是二元一次方程組三、

=5

解二元一次方程組

形式：

x—a

(1)二元一次方程組的解是一組數(shù)對(duì)，必須同時(shí)滿足方程組中每一個(gè)方程一般寫成《，

的形式.

2x+y-5

(2)一般地，二元一次方程組的解只有一個(gè)，但也有特殊情況，如方程組-,無解，

2x+y=6

x+y=—1

而方程組\.的解有無數(shù)個(gè).

2x+2y=—2

消元：

1.消元思想：二元一次方程組中有兩個(gè)未知數(shù)，如果消去其中一個(gè)未知數(shù)，那么就把二

元一次方程組轉(zhuǎn)化為我們熟悉的一元一次方程，我們就可以先求出一個(gè)未知數(shù)，然后再求出

另一個(gè)未知數(shù).這種將未知數(shù)由多化少、逐一解決的思想，叫做消元思想.

2.消元的基本思路：未知數(shù)由多變少.

3.消元的基本方法：把二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程.

代入：

(1)代入消元法的關(guān)鍵是先把系數(shù)較簡(jiǎn)單的方程變形為：用含一個(gè)未知數(shù)的式子表示另一個(gè)

未知數(shù)的形式，再代入另一個(gè)方程中達(dá)到消元的目的.

(2)代入消元法的技巧是：

①當(dāng)方程組中含有一個(gè)未知數(shù)表示另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式時(shí)，可以直接利用代入法求解;

②若方程組中有未知數(shù)的系數(shù)為1(或T)的方程.則選擇系數(shù)為1(或-1)的方程進(jìn)行變形

較簡(jiǎn)便；

③若方程組中所有方程里的未知數(shù)的系數(shù)都不是1或-1,選系數(shù)絕對(duì)值較小的方程變形比

較簡(jiǎn)便.

加減：

(1)方程組的兩個(gè)方程中，如果同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)既不互為相反數(shù)，又不相等，那么就用

適當(dāng)?shù)臄?shù)乘方程的兩邊，使同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)互為相反數(shù)或相等；

(2)把兩個(gè)方程的兩邊分別相加或相減，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程；

(3)解這個(gè)一元一次方程，求得一個(gè)未知數(shù)的值；

(4)將這個(gè)求得的未知數(shù)的值代入原方程組中的任意一個(gè)方程中，求出另一個(gè)未知數(shù)的值,

并把求得的兩個(gè)未知數(shù)的值用“大括號(hào)”聯(lián)立起來，就是方程組的解.

四、三元一次方程組

方法：

(1)觀察方程組中未知數(shù)的系數(shù)特點(diǎn)，確定先消去哪個(gè)未知數(shù)；

(2)利用代入法或加減法，把方程組中的一個(gè)方程，與另外兩個(gè)方程分別組成兩組，消去

同一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)關(guān)于另外兩個(gè)未知數(shù)的二元一次方程組；

(3)解這個(gè)二元一次方程組，求得兩個(gè)未知數(shù)得值；

(4)將這兩個(gè)未知數(shù)得值代入原方程組中較簡(jiǎn)單得一個(gè)方程中，求出第三個(gè)未知數(shù)得值，

從而得到原三元一次方程組得解。

五、方法拓展

1.二元一次方程取整

已知關(guān)于x的方程9x—3=kx+14有整數(shù)解，求滿足條件的所有整數(shù)k的值？

方法：1.先移項(xiàng)使(9—k)x=17；2.x和k都是整數(shù)，(9-k)是17的因數(shù)(分正負(fù))；

3.即可求解。

2.二元一次方程組取整

方程組笨'3有正整數(shù)解,則正整數(shù)a的值為——

26

x=--

方法：1.解方程組《a+4;2.x和y為正整數(shù)，a+4為13的正因數(shù)；3.求解即可。

13

y=—~

a+4

3.二元一次方程的新定義

同以前的類型中的新定義

4.二元一次方程組中換元思想

用換元法解方程組:時(shí)，如果設(shè)，=a,--=b,那么原方程組可化為二元一次

L上=1%y+i

Xy+1

方程組—.

方法：1.把題中的二元一次方程組轉(zhuǎn)化成；2.解出a和b的值，再代入求x和

y的值即可。

5.二元一次方程組中的誤解

x=2"二：,試求

已知方程組甲正確地解得*,,而乙粗心地把C看錯(cuò)了，得

px-cy=1)=3y=o

出a,b,c的值.

方法：1.由甲的條件可代入得]0_馬，C已求；2.由乙的條件得3a+6b=3,構(gòu)造新的二

2a+3b=3+山L日n-r

元一次方程組Q,?求出ab即可。

3a+6b=3

6.二元一次方程組中代換思想

2x+5y=3⑴

善于思考的小明在解方程組《時(shí)，采用了一種“整體代換"的解法:

4x+lly=5⑵

方法：1.將方程⑵變形：4x+10y+y=5,即2(2x+5y)+y=5⑶；2.把方程(1)代入⑶得:

2x3+y=5,求出x和y即可。

7.二元一次方程組中有、無、無數(shù)解

V=-1

若方程組■、無解，貝心值是（

方法：1.把第二個(gè)方程整理得到x=2+y；2.然后利用代入消元法消掉未知數(shù)x得到關(guān)干y

的一元一次方程；3.再根據(jù)方程組無解，未知數(shù)的系數(shù)等于0列式計(jì)算即可得.

8.二元一次方程組中相反解求參

若滿足方程組-［：*+’=3〃7：3的工與3,互為相反數(shù)，則，〃的值為（）

\2x-y=

A.2B.-2C.11D.-11

方法一：直接用代入或加減消元求出x、y與m的關(guān)系式，構(gòu)造關(guān)于m的一元一次方程

方法二：直接構(gòu)造x+y或其倍數(shù)，一步到位，構(gòu)造關(guān)于m的方程為0.

9.二元一次方程組中消元求參

若關(guān)于x,y的二元一次方程組的解滿足2*+丫=3,求k的值.

方法：運(yùn)用消元法求出x、y和k的關(guān)系式，代入后面的二元一次方程，構(gòu)造關(guān)于k的一元

一次方程。

10.二元一次方程組中換組求參

fx—y=-1fx+2y=8

方程組;〈和方程組:”的解相同，貝!］必=____________

［ax-by=5\ax-￥by=\\

方法：1.由解相同整理得｛x-f-l；2.求出X和y的解，代入卜，求出a

,x+2y=8,ax+by=l1

和b即可。

【專題過關(guān)】

類型一、認(rèn)識(shí)二元一次方程與它的解

【解惑】

（2023春?吉林長(zhǎng)春?七年級(jí)東北師大附中?？茧A段練習(xí)）下列方程中，二元一次方程的個(gè)數(shù)

為（）

1X

①孫=1；②2x=3y；③x--=2.④/+丫=3；⑤：=3y-l；⑥x-y+z=O.

y4

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】B

【分析】先判斷選項(xiàng)中方程是否含有兩個(gè)未知數(shù)并且未知數(shù)的次數(shù)都是1用排除法求出答案.

【詳解】解：①盯=1屬于二元二次方程，故不符合題意；

②2x=3y符合二元一次方程的定義，故符合題意；

③x-'=2不屬于整式方程，故不符合題意；

④f+y=3屬于二元二次方程，故不符合題意；

⑤;=3y-l符合二元一次方程的定義，故符合題意；

⑥x-y+z=O屬于三元一次方程，故不符合題意.

故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是二元一次方程的概念，解題過程中需要注意的是熟練掌握二元一

次方程的形式和特點(diǎn)：含有2個(gè)未知數(shù)以及未知數(shù)的次數(shù)都是1的整式方程.

【融會(huì)貫通】

1.（2023春?七年級(jí)單元測(cè)試）下列方程中，屬于二元一次方程的是（）

A.5x-y=3zB.x2-y=3

C.x+—=3D.3y+x=l

y

【答案】D

【分析】根據(jù)二元一次方程組的定義判斷逐項(xiàng)分析即可，方程的兩邊都是整式，含有兩個(gè)未

知數(shù)，并且未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1次的方程叫做二元一次方程.

【詳解】解：A、5x-y=3z,含有三個(gè)未知數(shù)，不是二元一次方程，故該選項(xiàng)不正確，不

符合題意；

B、x2-y=3,次數(shù)不為1,不是二元一次方程，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

C、x+-=3,不是整式方程，不是二元一次方程，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

y

D、3y+x=l,是二元一次方程，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的定義，熟練掌握二元一次方程組的定義是解答本題的關(guān)

鍵.

2.（2023春?黑龍江哈爾濱?八年級(jí)哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校校考階段練習(xí)）下列是二元

一次方程3x+y=5的解為（）

|x=l(x=2\x=-1|x=0

A.<B.〈C.<D.〈

[y=o[y=—i[y=-2[y=-5

【答案】B

【分析】將各選項(xiàng)代入方程的左邊計(jì)算，看是否等于5,如果等于5就是方程的解，如果不

等于5,就不是方程的解.

=]{x—1

【詳解】解：A.把一八代入得：3xl+0=3/5,即一八不是二元一次方程3x+y=5的

[y=o1>=0

解，故本選項(xiàng)不符合題意；

[x=2,、fx=2

B.把「=_]代入得：3x2+(-l)=5,即[=_]是二元一次方程3x+y=5的解’故本選項(xiàng)

符合題意；

C.把{c代入得：3x(—1)+(—2)=—5/5,即.不是二元一次方程3x+y=5的解，

)=-2[y=-2

故本選項(xiàng)不符合題意；

D.把二_5代入得：3x0+(—5)=—5/5,即[二_5不是二元一次方程3》+丫=5的解，故

本選項(xiàng)不符合題意；

故選：B

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程的解，熟練掌握能使方程左右兩邊同時(shí)成立的未知數(shù)

的值是方程的解是解題的關(guān)鍵.

(x=3

3.(2023春?浙江?七年級(jí)期中)若c是關(guān)于x,)'的方程》+加)，=13的一個(gè)解，則，"的

[y=-2

值為.

【答案】-5

fx=3

【分析】把c代入方程x+g，=13求出〃?，即可.

[y=-2

【詳解】解：把[=3代入方程》+%),=13,得：3-2〃z=13,

[y=-2

解得：m=-5；

故答案為：—5.

【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的解，屬于基本題型，熟練掌握二元一次方程的解的概念

是解題的關(guān)鍵.

4.(2023秋?四川成都?八年級(jí)統(tǒng)考期末)若方程(m+l)x+3y'"=5是關(guān)于x,y的二元一次方

程，則”的值為.

【答案】I

【分析】根據(jù)二元一次方程的定義可知：未知數(shù)的系數(shù)不能等于零，未知數(shù)的最高次數(shù)為1,

然后進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：根據(jù)題意得心=1且機(jī)+1H0,

解得m=\.

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的定義問題，掌握定義是解題的關(guān)鍵.

x—a

~,是二元一

{y=t>

次方程2x-7y=8的一個(gè)解，則代數(shù)式17-46/+14ft的值是.

【答案】1

【分析】根據(jù)尸是二元一次方程2x-7y=8的一個(gè)解，得到〃-7匕=8,利用整體思想代

入代數(shù)式求值即可.

x=a

八是二元一次方程2x-7y=8的一個(gè)解，

{y=b

：.2a-lb=8,

：.17-4〃+14。=17-2（2。-7b）

=17-2x8

=17-16

=1;

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程的解，代數(shù)式求值.熟練掌握二元一次方程的解是使等式成

立的未知數(shù)的值，利用整體思想代入求值，是解題的關(guān)鍵.

6.（2022春?廣東佛山?七年級(jí)期中）把方程4x-y=3改寫成用含y的式子表示x的形式是

【答案］

4

【分析】通過移項(xiàng)，化系數(shù)為1的步驟將方程改寫成用含y的式子表示x的形式，即可求解.

【詳解】解：4x-y=3,

4x=3+y,

..x?_3人+y,

4

故答案為：龍=0.

【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的解，根據(jù)等式的性質(zhì)變形是解題的關(guān)鍵.

類型二、二元與三元一次方程組的計(jì)算

【解惑】

（湖南省婁底市2021-2022學(xué)年七年級(jí)下學(xué)期期中考試作業(yè)（二）數(shù)學(xué)試題）解下列方程組:

y=2x-3

⑴

3x+2y=8

(2)3~4

4x+5y=32

x=2

【答案】⑴

y=l

x=3

(2)

y=4

【分析】（1）將y=2x-3代入3x+2y=8,然后將x的值代入y=2x-3,可求出>的值,

進(jìn)一步即可確定二元一次方程組的解；

（2）由①得4x-3y=0@,根據(jù)加減消元法②-③得8y=32,求出y的值，代入③可求出

x的值，即可確定二元一次方程組的解.

【詳解】（1）將y=2x-3代入3x+2y=8,

得3x+2（2x-3）=8,

解得x=2,

將x=2代入y=2x-3=l,

方程組的解為《x=2,；

*①

(2)

4x+5y=32②

由①得4x-3y=0③，

②一③得8)，=32,

解得y=4,

將y=4代入③，得4x-12=0,

解得x=3,

x=3

???方程組的解

y=4

【點(diǎn)睛】本題考查了解二元一次方程組，熟練掌握加減消元和代入消元法是解題的關(guān)鍵.

【融會(huì)貫通】

1.（2023春?全國(guó)?七年級(jí)專題練習(xí)）解下列二元一次方程組:

5x-2y=4

2x-y=\

3x+2y=10

[0.8x-0.9y=2

3)Aa?

[6x-3y=2.5

(x=2

【答案】⑴a

U=3

x=3

2)1

I2

5

x=——

【分析】（1）利用加減消元法進(jìn)行計(jì)算即可；

（2）利用加減消元法進(jìn)行計(jì)算即可；

（3）先利用去分母把方程組化簡(jiǎn)，再利用加減消元法進(jìn)行計(jì)算即可.

人5x-2y=4?

【詳解】⑴解：.

2x-y=1（2）

由①-②x2可得：x=2,

把x=2代入②可得：y=3,

x=2

所以原方程組的解為：「

[y=3

（2）解:原方程組整理得：]產(chǎn)一冷：巴

[3x+2y=10②

由①+②可得：6x=18,解得：％=3,

把x=3代入①得：y=p

x=3

所以原方程組的解為：1.

y=-

0.8x-0.9y=2①

(3)解:

6x-3y=2.5②

①xlO得：8x-9y=2O③,

②x3得：18x-9y=7.5④,

③一④得：—10x=12.5,

解得：x=-|,

4

把x=_：代入①得：-l-0.9y=2

解得：y=-y.

故原方程組的解是J.

[y=—3

【點(diǎn)睛】本題考查解二元一次方程組，熟練掌握解二元一次方程組的方法是解題的關(guān)鍵.

2.（2023春,浙江?七年級(jí)期中）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠探M：

x-y=4

2x+y=5

2x-3y=3

x+2y=-2

3（x+y）-4（x-y）=6

⑷x-yi

-----------------=1

26

?小山、,\x=3

【答案】郵v

x=0

y=-i

y=5

[x=l

4）.

[y=l

【分析】（1）利用加減消元法求解即可;

（2）利用加減消元法求解即可；

（3）利用代入消元法求解即可；

（4）方程組整理后，利用加減消元法求解即可.

X—y=4①

【詳解】⑴解：c.工，

2x+y=5②

①+②得：3x=9,

解得：x=3,代入①中，

解得：y=-i,

[x=3

一?所以原方程組的解為

[y=-l1；

⑵v-3y=3①

⑵1+2>=一2②，

②x2-①得：7y=-7,

解得：y=-i,代入②中，

解得：x=0,

所以原方程組的解為°,；

[y=-l

口一尸~4①

[?—5y=-23②‘

由①得：y=2x+4,代入②中，

得：4x-5（2x+4）=-23,

解得：x=g，

代入y=2x+4中，

解得：y=5,

V—1_

所以原方程組的解為一2；

）=5

f-x+7y=6?

（4）方程組整理得：②，

①+②得：9），=9,

解得：》=1,代入①中，

解得：X=\,

（x=i

??.所以原方程組的解為《,.

[y=l

【點(diǎn)睛】本題考查的是二元一次方程組的解法，方程組中未知數(shù)的系數(shù)較小時(shí)可用代入法,

當(dāng)未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)時(shí)用加減消元法較簡(jiǎn)單.

3.（2023春?重慶沙坪壩?七年級(jí)重慶市鳳鳴山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）解下列方程組:

2x-y=4,,

⑴3-1（代入消元）

x-ly+l_

------r-----_1

（2）23（加減消元）

5-x=3（y-3）

x=l

【答案】⑴

y=-2

x=-\

（2）

y=5

【分析】（1）利用代入消元法計(jì)算即可;

（2）利用加減消元法計(jì)算即可.

【詳解】⑴解：[:一尸?

|3x+2y=-l②

由①可得：y=2x-4③，

把③代入②，可得：3x+2（2x-4）=-l,

解得：x=l,

把x=l代入③，可得：y=2xl-4=-2,

fX=1

.??原方程組的解為C；

[y=-2

X-Iy+l

------1-------1

（2）解：，23,

5-x=3（y-3）

,（3x+2y=7①

整理可得：a.“偽，

[x+3y=14②

把②x3得：3x+9y=42③，

由③-①，可得：7y=35,

解得：y=5,

把y=5代入②，可得：x+3x5=14,

解得：x=-l,

.[x=—1

.??原方程組的解為u-

【點(diǎn)睛】本題考查了解二元一次方程組，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握加減消元法和代入消元法.

x+y-z=ll

4.（2023春?全國(guó)?七年級(jí)專題練習(xí)）解下列方程或方程組：卜+z-y=l.

y+z-x=5

x=6

【答案】）=8

z=3

【分析】方程組利用加減消元法求解即可.

x+y-z=\1?

【詳解】解：,x+z-y=l②，

y+z-x=5③

①+②得：2x—12,

解得：x=6,

②+③得：2z=6,

解得：z=3,

①+③得：2y=16,

解得：y=8,

x=6

原方程組的解為，y=8.

z=3

【點(diǎn)睛】此題主要考查了三元一次方程組的方法，要熟練掌握，注意代入消元法和加減消元

法的應(yīng)用.

[4x—3y—6z=0x

5.（2023春?全國(guó)?七年級(jí)專題練習(xí)）已知〈c，①八，則一=—.

[x+2y-7z=0y

【答案】|3

【分析】將z看成已知數(shù)，解二元一次方程組即可

4x—3y=6z①

【詳解】解：方程組整理得：C.re，

x+2y=7z②

②x4-①得：lly=22z,即y=2z,

把y=2z代入②得：尤+4z=7z,即x=3z,

x3z3

則一=丁=彳.

y2z2

3

故答案為：—.

【點(diǎn)睛】本題考查了加減消元法解二元一次方程組，將Z看成已知數(shù)，轉(zhuǎn)化為二元一次方程

組是解題的關(guān)鍵.

xty=2:3

6.（2023春?全國(guó)?七年級(jí)專題練習(xí)）解方程組：x：z=5:4.

x+y+z=33

x=10

【答案】1=15

2=8

【分析】根據(jù)X、＞、Z的關(guān)系，設(shè)x=10Z,則y=15Z,z=8k,然后代入x+y+z=33求

出％值即可解題.

【詳解】解：設(shè)x=10k,

y=15k,z=8?,

將x=10A:,y=15&,z=8A代入x+y+z=33中得：l（M:+15Z+&t=33,

解得：k=l,

.".x=10,y=15,z=8,

x=10

原方程組的解為，y=i5.

z=8

【點(diǎn)睛】本題考查了解三元一次方程組，解此題的關(guān)鍵是利用比的意義，設(shè)中間元解題代入

簡(jiǎn)化解題過程.

類型三、二元一次方程與方程組取整

【解惑】

（2023春?浙江?七年級(jí)期中）方程2x+y=5的非負(fù)整數(shù)解有（）

A.1組B.2組C.3組D.4組

【答案】C

【分析】把x看作已知數(shù)求出力即可確定出非負(fù)整數(shù)解.

【詳解】解：2x+y=5,

y=-2x+5,

...當(dāng)x=0時(shí)，y=5;x=l時(shí)，y=3;x=2時(shí)，y=l,

x=0八fx=1（x=2

則方程的非負(fù)整數(shù)解為「或。或,

J=5[y=3[y=l

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查了解二元一次方程，解題的關(guān)鍵是將x看作已知數(shù)求出y.

【融會(huì)貫通】

1.（2023春?全國(guó)?七年級(jí)專題練習(xí)）方程3x+2y=8的正整數(shù)解有（）

A.1組B.2組C.3組D.4組

【答案】A

R-a丫

【分析】先將方程化為，=寧，再根據(jù)x，y均為正整數(shù)進(jìn)行分析即可得.

【詳解】解：方程3x+2y=8可化為y=

.?.X,y均為正整數(shù)，

8-3x>0,且是2的倍數(shù)，

Q

.'.x<p且X為偶數(shù)，

則當(dāng)x=2時(shí)，y=826=],

[x=2

即方程3x+2y=8的正整數(shù)解為.，，共有1組，

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的解，熟練掌握方程的解法是解題關(guān)鍵.

2.（2023春?江蘇?七年級(jí)專題練習(xí)）二元一次方程2x+3y=11的正整數(shù)解有（）

A.1組B.2組C.3組D.4組

【答案】B

【分析】把x看做已知數(shù)求出》即可確定出正整數(shù)解.

【詳解】解：方程2x+3y=ll,

當(dāng)x=l時(shí)，y=3；x=4時(shí)，y—1,

則方程的正整數(shù)解有2組，

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的解，解題的關(guān)鍵是將x看做已知數(shù)求出卜

3.（2019春?福建福州?七年級(jí)福建省福州第十六中學(xué)?？计谥校┮阎檎麛?shù)，關(guān)于x、y

的方程組：的解都是整數(shù)，則/=（）

[2x-3y=2

A.1或16B.4或16C.1D.16

【答案】D

【分析】根據(jù)加減法，可得（a+2）x=6,根據(jù)。是正整數(shù)，x、y的值是整數(shù)，可得答案.

3+3y=4①

【詳解】占-3丫=2②’

①+②得,

(a+2)x=6,

???。為正整數(shù)，%為整數(shù)，

x=2或。=4,x=l,

又???丁是整數(shù)，

x=1

??。=4,

y=0，

a2=16.

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題考查了二元一次方程組的解，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

f2x+my=12

4.(2019春?浙江杭州?七年級(jí)校聯(lián)考期中)使方程組0,有自然數(shù)解的整數(shù)m()

A.只有6個(gè)B.只能是偶數(shù)C.是小于12的自然數(shù)D.是小于10的

自然數(shù)

【答案】A

【分析】先解出含m的二元一次方程組，再根據(jù)有自然數(shù)解即可得到m的取值.

x=------

[2x+my=126+機(jī)

【詳解】解J得＜

n12

v=-------

6+加

.」x,y為自然數(shù)解，故6+m=l,2,3,4,6,12,

對(duì)應(yīng)的m有6個(gè)，故選A.

【點(diǎn)睛】此題主要考查二元一次方程組的解，解題的關(guān)鍵是熟知二元一次方程組的求解.

5.(2022秋?云南文山?八年級(jí)統(tǒng)考期末)若[二:是關(guān)于尤、y的二元一次方程2x+y=7的

正整數(shù)解，則。+力的值為.

【答案】4或5或6.

【分析】根據(jù)題意求出。、b,然后代入求解即可.

]]一a

【詳解】解：.?.1一^是關(guān)于X、y的二元一次方程2x+y=7的正整數(shù)解，

[y=b

.1-2a+h=l,且。、匕為正整數(shù)，

符合條件的整數(shù)解為：

。+〃=1+5=6或4+b=2+3=5或。+人=3+1=4,

故答案為：6或5或4.

【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程的解、代數(shù)式求值；理解二元一次方程的解，正確求出”,

6值是解答的關(guān)鍵.

6.（2022春?江蘇?七年級(jí)專題練習(xí)）加為正整數(shù)，已知二元一次方程組有整數(shù)

3x-2y=0

解，則加為.

【答案】2

【分析】利用加減消元法易得x、y的解，由x、y均為整數(shù)可解得機(jī)的值.

10

x=----

z3?一ir+2；y==010，可得m+3

【詳解】解：解方程組

15

-t-n-+37

7+/=/°有整數(shù)解,

方程組

3x-2y=0

\m+3=?5或"?+3=?1,

解得〃z=±2或機(jī)=-4或，〃=-8,

又，"為正整數(shù),

m=2,

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的解法，熟悉相關(guān)解法是解題的關(guān)鍵.

類型四、二元一次方程的新定義

【解惑】

（2023春?浙江?七年級(jí)專題練習(xí)）定義新運(yùn)算：x?y=or+by,其中a,6為常數(shù).若1?2=4,

（-2）?1=7,則a,%的值分別為（）

A.2,3B.2,-3C.-2,3D.-2,-3

【答案】C

fa+2b=4①

【分析】利用新運(yùn)算列出二元一次方程組c-不，進(jìn)行解方程即可.

[-2a+b=7②

[a+26=4①

【詳解】解：由題意列方程組為：、，…，

[-2a+b=l?

①x2+②得：Sb=15,

解得：b=3,

將6=3代入①得：a=-2,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是利用新運(yùn)算構(gòu)造二元一次一次方程組并解方程組，利用合適的方

法解方程組即可.

【融會(huì)貫通】

1.（2023春?全國(guó)?七年級(jí)專題練習(xí)）對(duì)于有理數(shù)x,y,定義一種新運(yùn)算：x&y=ax+by,

其中。為常數(shù).已知1十2=10,（-3）?2=2,則

【答案】20

a+2b=10①

【分析】先根據(jù)新定義得出方程組3+21②,解之求出八座再代入求解即可?

a+2b=10①

【詳解】解：根據(jù)題中的新定義化簡(jiǎn)得:1-3。+2b=2②

①-②得：4a=8,

解得：a=2,

把a(bǔ)=2代入①得：2+%=10,

解得：匕=4,

則原式=2十4=4+16=20.

故答案為：20.

a+2b=\0①

【點(diǎn)睛】本題考查新定義，解二元一次方程組，根據(jù)新定義得出方程組是解

-3a+26=2②

題的關(guān)鍵.

2.（2023春?浙江?七年級(jí)階段練習(xí)）定義運(yùn)算規(guī)定x*y=ax2+by,其中a,b為常數(shù),

且1*2=5,2*3=10,則4*5=.

【答案】26

【分析】根據(jù)已知定義得出方程ax『+bx2=5,"22+6x3=10,整理后得出關(guān)于〃

的方程組，求出〃、b的值，再根據(jù)定義得出算式，最后求出答案即可.

【詳解】解：,二1*2=5,2*3=10,

axl2+t>x2=5?ax22+fex3=10.

fa+2b=5

即《，

[4a+3b=\0

解得：a—1,h=2,

4*5=lx42+2x5=1x16+10=16+10=26,

故答案為：26.

【點(diǎn)睛】本題考查了解二元一次方程組和有理數(shù)的混合運(yùn)算，能得出關(guān)于a、b的方程組是

解此題的關(guān)鍵.

3.（2022秋?重慶?七年級(jí)重慶市楊家坪中學(xué)?？计谥校┒x：對(duì)任意一個(gè)兩位數(shù)"?，如果加

滿足個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字互不相同，且都不為零，那么稱這個(gè)兩位數(shù)為"互異數(shù)".將一個(gè)"互

異數(shù)"的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字對(duì)調(diào)后得到一個(gè)新的兩位數(shù)，把這個(gè)新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的和

與11的商記為〃加).例如：加=12,對(duì)調(diào)個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字得到新兩位數(shù)21,新兩位

數(shù)與原兩位數(shù)的和為21+12=33,和與11的商為33+11=3,所以7(12)=3.

根據(jù)以上定義，回答下列問題：

⑴下列兩位數(shù)30,52,77中，"互異數(shù)"為；/(24)=.

⑵若"互異數(shù)"b滿足/⑶=5,求所有"互異數(shù)*.

【答案】⑴52,6

(2)14或23或32或41

【分析】(1)根據(jù)題目中“互異數(shù)"的定義進(jìn)行判斷；再根據(jù)/(機(jī))的定義計(jì)算即可；

(2)設(shè)"互異數(shù)？的個(gè)位數(shù)字為x,十位數(shù)字為y,根據(jù)題目中"互異數(shù)"的定義列式求出

x+y=5,即可得到所有"互異數(shù)⑦的值；

【詳解】(1)解：由"互異數(shù)"的定義得，兩位數(shù)30,52,77中，"互異數(shù)"為52,

z./.\24+42

/(2o4)=-n―=6,

故答案為：52,6；

(2)解：設(shè)"互異數(shù)*的個(gè)位數(shù)字為x,十位數(shù)字為y,

10y+x4-10x+V「

則/(6)=--------------=5,

11

整理得：x+y=5,

X=1或x=2二或x=4

"3或

y=4y=l

所有“互異數(shù)*的值為14或23或32或41.

【點(diǎn)睛】本題考查了新定義、二元一次方程的整數(shù)解、整式的加減運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是

理解新定義及其運(yùn)算方法.

4.(2022春?江蘇南通?七年級(jí)統(tǒng)考期中)定義：數(shù)對(duì)(x,y)經(jīng)過一種運(yùn)算可以得到數(shù)對(duì)(x',y'),

將該運(yùn)算記作：

x1=ax-^by

,/(4,方為常數(shù)).

{y=ax-by

例如，當(dāng)a=l,〃=1時(shí)，d(—2,3)=(1,—5).

(1)當(dāng)a=2,力=1時(shí)，4(3,1)=；

⑵若d(—3,5)=(-1,9),求〃和b的值；

⑶如果組成數(shù)對(duì)(％>)的兩個(gè)數(shù)x,y滿足二元一次方程x-3y=。時(shí)，總有d(x,)，)=(-x,-y),

貝ija=,b=

【答案】⑴（7,5）；

4

a=—

(2)3

b=-\

(3)-|;

【分析】（1）根據(jù)新定義運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可求解；

（2）根據(jù)新定義運(yùn)算列出二元一次方程組，解方程組即可求解；

（3）根據(jù)題意可得x=3y,然后根據(jù)新定義運(yùn)算列出二元一次方程組，解方程組即可求解.

（1）

解：依題意，當(dāng)。=2,人=1時(shí)，

x'=2x3+1xl=7,y'=2x3-lxl=5

."（3,1）=（7,5）

（2）

???d（-3,5）=（-1,9）,

J-3a+5b=-1

"1-3a-5ft=9，

'__4

解得"，.

b=-\

4

。和匕的值分別為一?1;

（3）

,/x-3y=0

/.x=3y

二”(x，y)=(T，-y)=(-3y,-y)

[^3y=-3ya+by

\-y=-3ya-by

-3=—3〃+b

即

—1=-3a-b

_2

解得“=§

b=—\

,.2

故答案為：-§；-1.

【點(diǎn)睛】本題考查了新定義運(yùn)算，二元一次方程組的解，解二元一次方程組，理解新定義運(yùn)

算是解題的關(guān)鍵.

5.(2022春?河南南陽?七年級(jí)統(tǒng)考期中)閱讀理解：

已知”，匕為有理數(shù)，且4/0,若關(guān)于x的一元一次方程or=b的解為x=匕+a,我們就定

義該方程為“和解方程

例如：方程2x=T的解為x=-2,因?yàn)?2=T+2,所以方程2x=T是"和解方程”.請(qǐng)根

據(jù)上述定義解答下列問題：

⑴方程3x=-6"和解方程"；(填"是"或"不是")

⑵已知關(guān)于x的一元一次方程5x=m是"和解方程"，求機(jī)的值；

⑶已知關(guān)于x的一元一次方程4x=3a+3是"和解方程"，且它的解是求“，6的值.

【答案】⑴不是

⑵情

,、8,4

(3)?=--^=--

【分析】(1)根據(jù)定義計(jì)算判斷即可；

(2)根據(jù)定義列方程求出機(jī)即可；

(3)根據(jù)定義列方程組求解即可.

(1)

解：方程3x=-6的解為x=-2,

；-2X-6+3,

方程3x=-6不是"和解方程”，

故答案為：不是；

(2)

由題意得晟=加+5,

25

解得

4

(3)

3a+2bf

由題意得，4一，

b=3a+2b+4

8

a=——

9

解得*

【點(diǎn)睛】此題考查了解一元一次方程，解二元一次方程組，正確理解題意中的定義列得方程

或方程組解決問題是解題的關(guān)鍵.

6.（2022春?江西新余?七年級(jí)統(tǒng)考期末）我們定義：若整式M與N滿足M+N=%（k為整

數(shù)）則稱M與N為關(guān)于的平衡整式.例如，若2x+3y=4,我們稱2x與”為關(guān)于4的平衡

整式.

⑴若2a-5與44+9為關(guān)于1的平衡整式，求。的值；

⑵若2x-9與y為關(guān)于2的平衡整式，3x與分+1為關(guān)于5的平衡整式，求x+y的值.

【答案】⑴-不

（2）3

【分析】（1）根據(jù)平衡整式的定義列出方程，解一元一次方程得到答案；

（2）根據(jù)平衡整式的概念列出二元一次方程組，對(duì)方程組變形求解即可.

（1）

解：由題意得：2a-5+4。+9=1,

解得：a=――；

（2）

一⑵一9+尸2①

由題意得：，,「小，

[3x+4y+l=5②

①+②得：5x+5y=15,

x+y=3.

【點(diǎn)睛】本題考查的是解一元一次方程，解二元一次方程組,掌握加減消元法是解題的關(guān)鍵.

類型五、二元一次方程組中的換元

【解惑】

a^x+bxy-c{x-4

（2023春,全國(guó)?七年級(jí)階段練習(xí)）已知關(guān)于x,y的方程組的唯一解是《,

a2x+b2y=c2

q(2m-4)+=q+&

則關(guān)于m,n的方程組的解是()

a2(2m-4)+b2n=c2+b2

\/n=3m=3m=4m=4

LB.C.D.

[n=2n=4n=2n=3

【答案】C

%(2加_4)+偽l)=q

【分析】先將關(guān)于小，〃的方程組變形為，再根據(jù)關(guān)于的方程

a2(2加-4)+4(-I)=%

12m-4=4

組的解可得…1,由此即可得出答案?

CL(2m-4)+〃1)=G

【詳解】解:關(guān)于九〃的方程組可變形為》;，；

a2^2m-4)+b2[n-1)=c2

2/n-4=4

由題意得:

〃-1=1

m=4

解得

n=2

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了求二元一次方程組的解，正確發(fā)現(xiàn)兩個(gè)方程組之間的聯(lián)系是解題關(guān)鍵.

【融會(huì)貫通】

1.(2023春?重慶沙坪壩?七年級(jí)重慶市鳳鳴山中學(xué)校考階段練習(xí))閱讀探索：

材料一：解方程組舊+R=:時(shí)，采用了一種“換元法"的解法，解法如下：

[2(〃-1)+(6+2)=6

,,,(x+2y=6

解：設(shè)=b+2=y,原方程組可化為、(

[2x+y=6

(x=2]a—1=2(Q=3

解得即'，解得〃A

[y=2[。+2=2[8=0

4x+10y=6①

材料二：解方程組cM時(shí)，采用了一種〃整體代換〃的解法，解法如下：

解：將方程②8x+20y+2y=10,變形為2(4x+10y)+2y=10③，把方程①代入③得,

x—4

一,

{y=T

根據(jù)上述材料，解決下列問題：

⑴運(yùn)用換元法解求關(guān)于。，。的方程組:

⑵若關(guān)于x,y的方程組C屋的解為仁6°，求關(guān)于…的方程組

v54（m-3）+3bG+2）=q

5,（加一3）+3/?2（〃+2）=o'

欲①試求Z的值?

⑶己知力、y>z,滿足

2x+z+8y=36②

Jtz=12

【答案】⑴

\b=-3

m=5

⑵

/?=0

（3）z=2

【分析】(1)用換元法替換(-1和《+2,解方程組即可;

(2