2025屆福建省廈門(mén)湖濱中學(xué)數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末考試試題含解析_第1頁(yè)
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2025屆福建省廈門(mén)湖濱中學(xué)數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末考試試題考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線(xiàn)內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足,且當(dāng)時(shí),,則方程的最小實(shí)根的值為()A. B. C. D.2.已知是虛數(shù)單位,若,則()A. B.2 C. D.33.已知圓M:x2+y2-2ay=0a>0截直線(xiàn)x+y=0A.內(nèi)切 B.相交 C.外切 D.相離4.已知焦點(diǎn)為的拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)與軸交于點(diǎn),點(diǎn)在拋物線(xiàn)上,則當(dāng)取得最大值時(shí),直線(xiàn)的方程為()A.或 B.或 C.或 D.5.已知向量,則是的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.既不充分也不必要條件 D.充要條件6.已知直線(xiàn)過(guò)雙曲線(xiàn)C:的左焦點(diǎn)F,且與雙曲線(xiàn)C在第二象限交于點(diǎn)A,若(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則雙曲線(xiàn)C的離心率為A. B. C. D.7.在關(guān)于的不等式中,“”是“恒成立”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8.一個(gè)頻率分布表(樣本容量為)不小心被損壞了一部分,只記得樣本中數(shù)據(jù)在上的頻率為,則估計(jì)樣本在、內(nèi)的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)共有()A. B. C. D.9.是的()條件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要10.雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)且與軸垂直的直線(xiàn)交兩漸近線(xiàn)于兩點(diǎn),與雙曲線(xiàn)的其中一個(gè)交點(diǎn)為,若,且,則該雙曲線(xiàn)的離心率為()A. B. C. D.11.的展開(kāi)式中的系數(shù)是-10,則實(shí)數(shù)()A.2 B.1 C.-1 D.-212.已知向量,,=(1,),且在方向上的投影為,則等于()A.2 B.1 C. D.0二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù),對(duì)于任意都有,則的值為_(kāi)_____________.14.不等式的解集為_(kāi)_______15.在平面直角坐標(biāo)系中,若雙曲線(xiàn)(,)的離心率為,則該雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為_(kāi)_______.16.已知函數(shù)的最大值為3,的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為,其相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸間的距離為2,則三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,為直線(xiàn)上動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作拋物線(xiàn):的兩條切線(xiàn),,切點(diǎn)分別為,,為的中點(diǎn).(1)證明:軸;(2)直線(xiàn)是否恒過(guò)定點(diǎn)?若是,求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo);若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.18.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以O(shè)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為;直線(xiàn)l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C分別交于M,N兩點(diǎn).(1)寫(xiě)出曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程和直線(xiàn)l的普通方程;(2)若點(diǎn)P的極坐標(biāo)為,,求的值.19.(12分)已知的面積為,且.(1)求角的大小及長(zhǎng)的最小值;(2)設(shè)為的中點(diǎn),且,的平分線(xiàn)交于點(diǎn),求線(xiàn)段的長(zhǎng).20.(12分)選修4-5:不等式選講已知函數(shù)的最大值為3,其中.(1)求的值;(2)若,,,求證:21.(12分)已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)當(dāng)時(shí),如果方程有兩個(gè)不等實(shí)根,求實(shí)數(shù)t的取值范圍,并證明.22.(10分)如圖,直三棱柱中,分別是的中點(diǎn),.(1)證明:平面;(2)求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

先確定解析式求出的函數(shù)值,然后判斷出方程的最小實(shí)根的范圍結(jié)合此時(shí)的,通過(guò)計(jì)算即可得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí),,所以,故當(dāng)時(shí),,所以,而,所以,又當(dāng)時(shí),的極大值為1,所以當(dāng)時(shí),的極大值為,設(shè)方程的最小實(shí)根為,,則,即,此時(shí)令,得,所以最小實(shí)根為411.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與方程的根的最小值問(wèn)題,涉及函數(shù)極大值、函數(shù)解析式的求法等知識(shí),本題有一定的難度及高度,是一道有較好區(qū)分度的壓軸選這題.2、A【解析】

直接將兩邊同時(shí)乘以求出復(fù)數(shù),再求其模即可.【詳解】解:將兩邊同時(shí)乘以,得故選:A【點(diǎn)睛】考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及其模的求法,是基礎(chǔ)題.3、B【解析】化簡(jiǎn)圓M:x2+(y-a)2=a又N(1,1),r4、A【解析】

過(guò)作與準(zhǔn)線(xiàn)垂直,垂足為,利用拋物線(xiàn)的定義可得,要使最大,則應(yīng)最大,此時(shí)與拋物線(xiàn)相切,再用判別式或?qū)?shù)計(jì)算即可.【詳解】過(guò)作與準(zhǔn)線(xiàn)垂直,垂足為,,則當(dāng)取得最大值時(shí),最大,此時(shí)與拋物線(xiàn)相切,易知此時(shí)直線(xiàn)的斜率存在,設(shè)切線(xiàn)方程為,則.則,則直線(xiàn)的方程為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系,涉及到拋物線(xiàn)的定義,考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸的思想,是一道中檔題.5、A【解析】

向量,,,則,即,或者-1,判斷出即可.【詳解】解:向量,,,則,即,或者-1,所以是或者的充分不必要條件,故選:A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷,考查向量平行的坐標(biāo)表示,屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】

直線(xiàn)的傾斜角為,易得.設(shè)雙曲線(xiàn)C的右焦點(diǎn)為E,可得中,,則,所以雙曲線(xiàn)C的離心率為.故選B.7、C【解析】

討論當(dāng)時(shí),是否恒成立;討論當(dāng)恒成立時(shí),是否成立,即可選出正確答案.【詳解】解:當(dāng)時(shí),,由開(kāi)口向上,則恒成立;當(dāng)恒成立時(shí),若,則不恒成立,不符合題意,若時(shí),要使得恒成立,則,即.所以“”是“恒成立”的充要條件.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了命題的關(guān)系,考查了不等式恒成立問(wèn)題.對(duì)于探究?jī)蓚€(gè)命題的關(guān)系時(shí),一般分成兩步,若,則推出是的充分條件;若,則推出是的必要條件.8、B【解析】

計(jì)算出樣本在的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù),再減去樣本在的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)即可得出結(jié)果.【詳解】由題意可知,樣本在的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為,樣本在的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為,因此,樣本在、內(nèi)的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查利用頻數(shù)分布表計(jì)算頻數(shù),要理解頻數(shù)、樣本容量與頻率三者之間的關(guān)系,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】

利用充分條件、必要條件與集合包含關(guān)系之間的等價(jià)關(guān)系,即可得出。【詳解】設(shè)對(duì)應(yīng)的集合是,由解得且對(duì)應(yīng)的集合是,所以,故是的必要不充分條件,故選B?!军c(diǎn)睛】本題主要考查充分條件、必要條件的判斷方法——集合關(guān)系法。設(shè),如果,則是的充分條件;如果B則是的充分不必要條件;如果,則是的必要條件;如果,則是的必要不充分條件。10、D【解析】

根據(jù)已知得本題首先求出直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)的交點(diǎn),再利用,求出點(diǎn),因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線(xiàn)上,及,代入整理及得,又已知,即可求出離心率.【詳解】由題意可知,代入得:,代入雙曲線(xiàn)方程整理得:,又因?yàn)椋纯傻玫?,故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查的是雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)和向量的坐標(biāo)運(yùn)算,離心率問(wèn)題關(guān)鍵尋求關(guān)于,,的方程或不等式,由此計(jì)算雙曲線(xiàn)的離心率或范圍,屬于中檔題.11、C【解析】

利用通項(xiàng)公式找到的系數(shù),令其等于-10即可.【詳解】二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)為,令,得,則,所以,解得.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查求二項(xiàng)展開(kāi)式中特定項(xiàng)的系數(shù),考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力,是一道容易題.12、B【解析】

先求出,再利用投影公式求解即可.【詳解】解:由已知得,由在方向上的投影為,得,則.故答案為:B.【點(diǎn)睛】本題考查向量的幾何意義,考查投影公式的應(yīng)用,是基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

由條件得到函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性,從而得到結(jié)果【詳解】∵f=f,∴x=是函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)的一條對(duì)稱(chēng)軸.∴f=±2.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦型三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性,注意對(duì)稱(chēng)軸必過(guò)最高點(diǎn)或最低點(diǎn),屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

通過(guò)平方,將無(wú)理不等式化為有理不等式求解即可?!驹斀狻坑傻茫獾?,所以解集是。【點(diǎn)睛】本題主要考查無(wú)理不等式的解法。15、【解析】

利用,解出,即可求出雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程.【詳解】,且,,,該雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為:.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線(xiàn)離心率與漸近線(xiàn)方程,考查了雙曲線(xiàn)基本量的關(guān)系,考查了運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】,由題意,得,解得,則的周期為4,且,所以.考點(diǎn):三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)見(jiàn)解析(2)直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).【解析】

(1)設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo),利用導(dǎo)數(shù)求得切線(xiàn)的方程,設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)并代入切線(xiàn)的方程,同理將點(diǎn)坐標(biāo)代入切線(xiàn)的方程,利用韋達(dá)定理求得線(xiàn)段中點(diǎn)的橫坐標(biāo),由此判斷出軸.(2)求得點(diǎn)的縱坐標(biāo),由此求得點(diǎn)坐標(biāo),求得直線(xiàn)的斜率,由此求得直線(xiàn)的方程,化簡(jiǎn)后可得直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).【詳解】(1)設(shè)切點(diǎn),,,∴切線(xiàn)的斜率為,切線(xiàn):,設(shè),則有,化簡(jiǎn)得,同理可的.∴,是方程的兩根,∴,,,∴軸.(2)∵,∴.∵,∴直線(xiàn):,即,∴直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線(xiàn)和拋物線(xiàn)的位置關(guān)系,考查直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.18、(1),;(2)2.【解析】

(1)由得,求出曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程.由直線(xiàn)的參數(shù)方程消去參數(shù),即求直線(xiàn)的普通方程;(2)將直線(xiàn)的參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)式(為參數(shù)),代入曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程,韋達(dá)定理得,點(diǎn)在直線(xiàn)上,則,即可求出的值.【詳解】(1)由可得,即,即,曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為,由直線(xiàn)的參數(shù)方程(t為參數(shù)),消去得,即直線(xiàn)的普通方程為.(Ⅱ)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為,則點(diǎn)在直線(xiàn)上.將直線(xiàn)的參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)式(為參數(shù)),代入曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程,整理得,直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于兩點(diǎn),,即.設(shè)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為,由韋達(dá)定理可得,.點(diǎn)在直線(xiàn)上,,.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程和普通方程的互化及應(yīng)用,屬于中檔題.19、(1),;(2).【解析】

(1)根據(jù)面積公式和數(shù)量積性質(zhì)求角及最大邊;(2)根據(jù)的長(zhǎng)度求出,再根據(jù)面積比值求,從而求出.【詳解】(1)在中,由,得,由,得,所以,所以,,因?yàn)樵谥校?,所以,因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等),所以長(zhǎng)的最小值為;(2)在三角形中,因?yàn)闉橹芯€(xiàn),所以,,所以,因?yàn)?,所以,所以,由?)知,所以,或,,所以,因?yàn)闉榻瞧椒志€(xiàn),,,或2,所以,或,所以.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算,余弦定理解三角形及三角形面積公式的應(yīng)用,屬于中檔題.20、(1)(2)見(jiàn)解析【解析】

(1)分三種情況去絕對(duì)值,求出最大值與已知最大值相等列式可解得;(2)將所證不等式轉(zhuǎn)化為2ab≥1,再構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性求出最小值可證.【詳解】(1)∵,∴.∴當(dāng)時(shí),取得最大值.∴.(2)由(Ⅰ),得,.∵,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,∴.令,.則在上單調(diào)遞減.∴.∴當(dāng)時(shí),.∴.【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值不等式的解法,屬中檔題.本題主要考查了絕對(duì)值不等式的求解,以及不等式的恒成立問(wèn)題,其中解答中根據(jù)絕對(duì)值的定義,合理去掉絕對(duì)值號(hào),及合理轉(zhuǎn)化恒成立問(wèn)題是解答本題的關(guān)鍵,著重考查分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力,以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.21、(1)當(dāng)時(shí),的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是;當(dāng)時(shí),的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是;(2),證明見(jiàn)解析.【解析】

(1)求出,對(duì)分類(lèi)討論,分別求出的解,即可得出結(jié)論;(2)由(1)得出有兩解時(shí)的范圍,以及關(guān)系,將,等價(jià)轉(zhuǎn)化為證明,不妨設(shè),令,則,即證,構(gòu)造函數(shù),只要證明對(duì)于任意恒成立即可.【詳解】(1)的定義域?yàn)镽,且.由,得;由,得.故當(dāng)時(shí),函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是;當(dāng)時(shí),函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是.(2)由(1)知當(dāng)時(shí),,且.當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),直線(xiàn)與的圖像有兩個(gè)交點(diǎn),實(shí)數(shù)t的取值范圍是.方程有兩個(gè)不等實(shí)根,,,,,,即.要證,只需證,即證,不妨設(shè).令,則,則要證,即證.令,則.令,則,在上單調(diào)遞增,.,在上單調(diào)遞增,,即成立,即成立..【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,涉及到函數(shù)單調(diào)性、極值、零點(diǎn)、不等式證明,構(gòu)造函數(shù)函數(shù)是解題的關(guān)鍵,意在考查直觀(guān)想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)計(jì)算能力,屬于較難題.22、(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】

(1)連接交于點(diǎn),由三角形中位線(xiàn)定理得,由此能證明平面.(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向

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