2025屆陜西省西安市長安區(qū)數(shù)學高二上期末教學質(zhì)量檢測試題含解析

2025屆陜西省西安市長安區(qū)數(shù)學高二上期末教學質(zhì)量檢測試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．變量與的數(shù)據(jù)如表所示，其中缺少了一個數(shù)值，已知關于的線性回歸方程為，則缺少的數(shù)值為（）22232425262324▲2628A.24 B.25C.25.5 D.262．方程有兩個不同的解，則實數(shù)k的取值范圍為（）A. B.C. D.3．已知雙曲線，其漸近線方程為，則a的值為（）A. B.C. D.24．已知方程表示的曲線是焦點在軸上的橢圓，則的取值范圍A. B.C. D.5．已知O為坐標原點，，點P是上一點，則當取得最小值時，點P的坐標為（）A. B.C. D.6．已知橢圓的左，右兩個焦點分別為，若橢圓C上存在一點A，滿足，則橢圓C的離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.7．已知等差數(shù)列滿足，則等于（）A. B.C. D.8．已知為坐標原點，向量，點，.若點在直線上，且，則點的坐標為（）.A. B.C. D.9．已知函數(shù)，則函數(shù)在點處的切線方程為（）A. B.C. D.10．已知函數(shù)，若對任意的，，且，總有，則的取值范圍是（）A B.C. D.11．已知拋物線的焦點恰為雙曲線的一個頂點，的另一頂點為，與在第一象限內(nèi)的交點為，若，則直線的斜率為（）A. B.C. D.12．某地政府為落實疫情防控常態(tài)化，不定時從當?shù)?80名公務員中，采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取30人做核酸檢測．把這批公務員按001到780進行編號，若018號被抽中，則下列編號也被抽中的是（）A.076 B.122C.390 D.522二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知、是橢圓的兩個焦點，點在橢圓上，且，，則橢圓離心率是___________14．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的結果________15．已知數(shù)列滿足，且，則______，數(shù)列的通項_____16．如圖，已知，分別是橢圓的左、右焦點，現(xiàn)以為圓心作一個圓恰好經(jīng)過橢圓的中心并且交橢圓于點，．若過點的直線是圓的切線，則橢圓的離心率為_________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）當時，證明：存在唯一的零點；（2）若，求實數(shù)的取值范圍.18．（12分）某省食品藥品監(jiān)管局對15個大學食堂“進貨渠道合格性”和“食品安全”進行量化評估，滿分為10分，大部分大學食堂的評分在7~10分之間，以下表格記錄了它們的評分情況：分數(shù)段食堂個數(shù)1383（1）現(xiàn)從15個大學食堂中隨機抽取3個，求至多有1個大學食堂的評分不低于9分的概率；（2）以這15個大學食堂的評分數(shù)據(jù)評估全國的大學食堂的評分情況，若從全國的大學食堂中任選3個，記X表示抽到評分不低于9分的食堂個數(shù)，求X的分布列及數(shù)學期望.19．（12分）如圖，在三棱錐中，，點為線段上的點.（1）若平面，試確定點的位置，并說明理由；（2）若，，，在（1）成立的前提下，求二面角的余弦值.20．（12分）如圖所示，在直三棱柱中，是等腰直角三角形，（1）證明：；（2）若點E是棱的中點，求平面與平面所成銳二面角的余弦值21．（12分）已知橢圓的離心率為，且過點.（1）求橢圓的方程；（2）若，分別為橢圓的上，下頂點，過點且斜率為的直線交橢圓于另一點（異于橢圓的右頂點），交軸于點，直線與直線相交于點.求證：直線的斜率為定值.22．（10分）已知極坐標系的極點在直角坐標系的原點處，極軸與軸的正半軸重合，直線的極坐標方程為，曲線的參數(shù)方程是（是參數(shù)）（1）求直線的直角坐標方程及曲線的普通方程；（2）求曲線上的點到直線的距離的最大值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】可設出缺少的數(shù)值，利用表中的數(shù)據(jù)，分別表示出、，將樣本中心點帶入回歸方程，即可求得參數(shù).【詳解】設缺少的數(shù)值為，則，，因為回歸直線方程經(jīng)過樣本點的中心，所以，解得.故選：A2、C【解析】轉(zhuǎn)化為圓心在原點半徑為1的上半圓和表示恒過定點的直線始終有兩個公共點，結合圖形可得答案.【詳解】令，平方得表示圓心在原點半徑為1的上半圓，表示恒過定點的直線，方程有兩個不同的解即半圓和直線要始終有兩個公共點，如圖圓心到直線的距離為，解得，當直線經(jīng)過時由得，當直線經(jīng)過時由得，所以實數(shù)k的取值范圍為.故選：C.3、A【解析】由雙曲線方程，根據(jù)其漸近線方程有，求參數(shù)值即可.【詳解】由漸近線，結合雙曲線方程，∴，可得.故選：A.4、A【解析】根據(jù)條件，列出滿足條件的不等式，求的取值范圍.【詳解】曲線表示交點在軸的橢圓，，解得：.故選A【點睛】本題考查根據(jù)橢圓的焦點位置求參數(shù)的取值范圍，意在考查基本概念，屬于基礎題型.5、A【解析】根據(jù)三點共線，可得，然后利用向量的減法坐標運算，分別求得，最后計算，經(jīng)過化簡觀察，可得結果.【詳解】設，則則∴當時，取最小值為-10，此時點P的坐標為.故選：A【點睛】本題主要考查向量數(shù)量積的坐標運算，難點在于三點共線，審清題干，簡單計算，屬基礎題.6、C【解析】根據(jù)題意可知當A為橢圓的上下頂點時，即可滿足橢圓C上存在一點A，使得，由此可得，解此不等式可得答案.【詳解】由橢圓的對稱性可知，當A為橢圓的上下頂點時，最大，故只需即可滿足題意，設O為坐標原點，則只需,即有，所以，解得，故選：C7、A【解析】利用等差中項求出的值，進而可求得的值.【詳解】因為得，因此，.故選：A.8、A【解析】由在直線上，設，再利用向量垂直，可得，進而可求E點坐標.【詳解】因為在直線上，故存在實數(shù)使得，.若，則，所以，解得，因此點的坐標為.故選：A.【定睛】本題考查了空間向量的共線和數(shù)量積運算，考查了運算求解能力和邏輯推理能力，屬于一般題目.9、C【解析】依據(jù)導數(shù)幾何意義去求函數(shù)在點處的切線方程即可解決.【詳解】則，又則函數(shù)在點處的切線方程為，即故選：C10、B【解析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義、二次函數(shù)性質(zhì)及對稱軸方程，即可求解參數(shù)取值范圍.【詳解】依題意可得，在上為減函數(shù)，則，即的取值范圍是故選：B【點睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性定義，二次函數(shù)性質(zhì)，屬于基礎題.11、D【解析】根據(jù)題意，列出的方程組，解得，再利用斜率公式即可求得結果.【詳解】因為拋物線的焦點，由題可知；又點在拋物線上，故可得；又，聯(lián)立方程組可得，整理得，解得（舍）或，此時，又，故直線的斜率為.故選：D.12、B【解析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣的特點，寫出組數(shù)與對應抽取編號的關系式，即可判斷和選擇.【詳解】根據(jù)題意，780名公務員中，采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取30人，則需要分為組，每組人；設第組抽取的編號為，故可設，又第一組抽中號，故可得，解得故，當時，.故選：.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先由，根據(jù)橢圓的定義，求出，，再由余弦定理，根據(jù)，即可列式求出離心率.【詳解】因為點在橢圓上，所以，又，所以，因，在中，由，根據(jù)余弦定理可得，解得（負值舍去）故答案為：.【點睛】本題主要考查求橢圓的離心率，屬于?？碱}型.14、132【解析】根據(jù)程序框圖模擬程序運行，確定變量值的變化可得結論【詳解】程序運行時，變量值變化如下：，判斷循環(huán)條件，滿足，，；判斷循環(huán)條件，滿足，，；判斷循環(huán)條件，不滿足，輸出故答案為：13215、①.②.【解析】判斷出是等差數(shù)列，由此求得，利用累加法求得.【詳解】依題意，則，所以數(shù)列是以為首項，公差為的等差數(shù)列，所以，，當時，，，也符合上式，所以.故答案為：；16、##【解析】根據(jù)給定條件探求出橢圓長軸長與其焦距的關系即可計算作答.【詳解】設橢圓長軸長為，焦距為，即，依題意，，而直線是圓的切線，即，則有，又點在橢圓上，即，因此，，從而有，所以橢圓的離心率為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）【解析】（1）當時，求導得到，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，可證得命題成立；（2）當且時，不滿足題意，故，又定義域為，講不等式化簡，參變分離后構造新函數(shù)，求導判斷單調(diào)性并求出最值，可得實數(shù)的取值范圍【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，當時，由，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增；.且，故存在唯一的零點；（2）當時，不滿足恒成立，故由定義域為，可得，令，則，則當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，故當時，函數(shù)取得最大值（1），故實數(shù)的取值范圍是【點睛】方法點睛：本題考查函數(shù)零點的問題，考查導數(shù)的應用，考查不等式的恒成立問題，關于恒成立問題的幾種常見解法總結如下：

參變分離法，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化函數(shù)求最值問題；

主元變換法，把已知取值范圍的變量作為主元，把求取值范圍的變量看作參數(shù)；

分類討論，利用函數(shù)的性質(zhì)討論參數(shù)，分別判斷單調(diào)性求出最值；

數(shù)形結合法，將不等式兩端的式子分別看成兩個函數(shù)，作出函數(shù)圖象，列出參數(shù)的不等式求解18、（1）（2）分布列見解析，【解析】（1）利用古典概型的概率公式可求概率.（2）由題設可得，故利用二項分布可求的分布列，利用公式可求其期望.【小問1詳解】設至多有1個大學食堂的評分不低于9分為事件，則.所以至多有1個大學食堂的評分不低于9分的概率為.【小問2詳解】任意一個大學食堂，其評分不低于9分的概率為，故，所以，，，，的分布列為：0123.19、（1）點為MC的中點，理由見解析；（2）【解析】（1）由線面垂直得到線線垂直，進而由三線合一得到點為MC的中點；（2）作出輔助線，找到二面角的平面角，利用勾股定理求出各邊長，用余弦定理求出答案.【小問1詳解】點為MC的中點，理由如下：因為平面，平面，所以，，又，由三線合一得：點為MC的中點【小問2詳解】取AB的中點H，連接PH，CH，則由（1）知：，結合點為MC的中點，所以PA=PB，故由三線合一得：PH⊥AB，且CH⊥AB，所以∠CHP即為二面角的平面角，因為，，，所以，，，由勾股定理得：，，，在△PCH中，由余弦定理得：，故二面角的余弦值為20、（1）證明見解析（2）【解析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理證出平面，即可證得；（2）以A為原點，分別以所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，根據(jù)二面角的向量公式即可求出【小問1詳解】如圖，連接，由已知可得四邊形是正方形，所以在直三棱柱中，平面平面，交線為，在中，可知，所以平面，于因為，所以平面，而平面，所以【小問2詳解】如圖所示，以A為原點，分別以所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則，于是設平面的法向量為，則，可取而平面的一個法向量為，所以故平面與平面所成銳二面角的余弦值為21、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）根據(jù)條件求出，即可寫出橢圓方程；（2）設直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓，可表示出坐標，繼而得出直線的方程，令可得的坐標，即可求出直線的斜率并得出定值.【詳解】（1）設橢圓的焦距為，則①，②，又③，由①②③解得，，，所以橢圓的標準方程為.（2）證明：易得，，直線的方程為，因為直線不過點，所以，由，得，所以，從而