福建省廈門市廈門第一中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)檢測(cè)試題含解析

福建省廈門市廈門第一中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)檢測(cè)試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知橢圓C：的左，右焦點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)的直線l與橢圓C相交于M，N兩點(diǎn)．其中M在第一象限．，則橢圓C的離心率的取值范圍為（）A. B.C. D.2．已知拋物線的焦點(diǎn)恰為雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)，的另一頂點(diǎn)為，與在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為，若，則直線的斜率為（）A. B.C. D.3．函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.4．從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球的口袋內(nèi)任取兩個(gè)球，則下列選項(xiàng)中的兩個(gè)事件為互斥事件的是（）A.至多有1個(gè)白球；都是紅球 B.至少有1個(gè)白球；至少有1個(gè)紅球C.恰好有1個(gè)白球；都是紅球 D.至多有1個(gè)白球；至多有1個(gè)紅球5．如圖，在四面體中，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，則（）A. B.C. D.6．已知雙曲線的一條漸近線方程為，它的焦距為2，則雙曲線的方程為（）A B.C. D.7．在中，B=30°，BC=2，AB=，則邊AC的長(zhǎng)等于（）A. B.1C. D.28．已知雙曲線的一條漸近線方程是，它的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為()A. B.C. D.9．在數(shù)列中，，則的值為（）A. B.C. D.以上都不對(duì)10．動(dòng)點(diǎn)P，Q分別在拋物線和圓上，則的最小值為（）A. B.C. D.11．某產(chǎn)品的銷售收入（萬(wàn)元）是產(chǎn)量x（千臺(tái)）的函數(shù)，且函數(shù)解析式為，生產(chǎn)成本（萬(wàn)元）是產(chǎn)量x（千臺(tái)）的函數(shù)，且函數(shù)解析式為，要使利潤(rùn)最大，則該產(chǎn)品應(yīng)生產(chǎn)（）A.6千臺(tái) B.7千臺(tái)C.8千臺(tái) D.9千臺(tái)12．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，（）A.11 B.20C.33 D.35二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求的單調(diào)區(qū)間；14．關(guān)于曲線C：1，有如下結(jié)論：①曲線C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；②曲線C關(guān)于直線x±y＝0對(duì)稱；③曲線C是封閉圖形，且封閉圖形的面積大于2π；④曲線C不是封閉圖形，且它與圓x2+y2＝2無(wú)公共點(diǎn)；⑤曲線C與曲線D：|x|+|y|＝2有4個(gè)公共點(diǎn)，這4點(diǎn)構(gòu)成正方形其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是_____15．某市開展“愛我內(nèi)蒙，愛我家鄉(xiāng)”攝影比賽，9位評(píng)委給參賽作品A打出的分?jǐn)?shù)如莖葉圖所示，記分員算得平均分為91，復(fù)核員在復(fù)核時(shí)，發(fā)現(xiàn)一個(gè)數(shù)字（莖葉圖中的x）無(wú)法看清，若記分員計(jì)算無(wú)誤，則數(shù)字x應(yīng)該是______16．從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中選取4個(gè)作為項(xiàng)點(diǎn)，可得到四面體的概率為________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（1）求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程；（2）求函數(shù)的極值18．（12分）三棱柱中，側(cè)面為菱形，，，，（1）求證：面面；（2）在線段上是否存在一點(diǎn)M，使得二面角為，若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由19．（12分）已知，對(duì)于有限集，令表示集合中元素的個(gè)數(shù)．例如：當(dāng)時(shí)，，（1）當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出集合的子集的個(gè)數(shù)；（2）當(dāng)時(shí)，，都是集合的子集（，可以相同），并且．求滿足條件的有序集合對(duì)的個(gè)數(shù)；（3）假設(shè)存在集合、具有以下性質(zhì)：將1，1，2，2，··，，．這個(gè)整數(shù)按某種次序排成一列，使得在這個(gè)序列中，對(duì)于任意，與之間恰好排列個(gè)整數(shù)．證明：是4的倍數(shù)20．（12分）已知圓C：x2+y2+2ax﹣3＝0，且圓C上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線3x﹣2y﹣3＝0對(duì)稱.（1）求圓C的半徑r；（2）若直線l過(guò)點(diǎn)A（2，），且與圓C交于MN，兩點(diǎn)，|MN|＝2，求直線l的方程.21．（12分）2021年7月29日，中國(guó)游泳隊(duì)獲得了女子米自由泳接力決賽冠軍并打破世界紀(jì)錄.受奧運(yùn)精神的鼓舞，某游泳俱樂部組織100名游泳愛好者進(jìn)行自由泳1500米測(cè)試，并記錄他們的時(shí)間（單位：分鐘），將所得數(shù)據(jù)分成5組：，，，，，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求出直方圖中m的值；（2）利用樣本估計(jì)總體的思想，估計(jì)這100位游泳愛好者1500米自由泳測(cè)試時(shí)間的平均數(shù)和中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值作代表）.22．（10分）已知函數(shù)（a是常數(shù)）.（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間與極值；（2）若，求a的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】由題設(shè)易知四邊形為矩形，可得，結(jié)合已知條件有即可求橢圓C的離心率的取值范圍.【詳解】由橢圓的對(duì)稱性知：，而，又，即四邊形為矩形，所以，則且M在第一象限，整理得，所以，又即，綜上，，整理得，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由橢圓的對(duì)稱性及矩形性質(zhì)可得，由已知條件得到，進(jìn)而得到橢圓參數(shù)的齊次式求離心率范圍.2、D【解析】根據(jù)題意，列出的方程組，解得，再利用斜率公式即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)，由題可知；又點(diǎn)在拋物線上，故可得；又，聯(lián)立方程組可得，整理得，解得（舍）或，此時(shí)，又，故直線的斜率為.故選：D.3、A【解析】由題意首先確定函數(shù)的奇偶性，然后考查函數(shù)在特殊點(diǎn)的函數(shù)值排除錯(cuò)誤選項(xiàng)即可確定函數(shù)的圖象.【詳解】由函數(shù)的解析式可得：，則函數(shù)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，選項(xiàng)CD錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，選項(xiàng)B錯(cuò)誤.故選：A.【點(diǎn)睛】函數(shù)圖象的識(shí)辨可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)．(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性．(4)從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象．利用上述方法排除、篩選選項(xiàng)4、C【解析】根據(jù)試驗(yàn)過(guò)程進(jìn)行分析，利用互斥事件的定義對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一判斷即可.【詳解】對(duì)于A：“至多有1個(gè)白球”包含都是紅球和一紅一白，“都是紅球”包含都是紅球，所以“至多有1個(gè)白球”與“都是紅球”不是互斥事件.故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：“至少有1個(gè)白球”包含都是白球和一紅一白，“至少有1個(gè)紅球”包含都是紅球和一紅一白，所以“至少有1個(gè)白球”與“至少有1個(gè)紅球”不是互斥事件.故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：“恰好有1個(gè)白球”包含一紅一白，“都是紅球”包含都是紅球，所以“恰好有1個(gè)白球”與“都是紅球”是互斥事件.故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：“至多有1個(gè)紅球”包含都是白球和一紅一白，“至多有1個(gè)白球”包含都是紅球和一紅一白，所以“至多有1個(gè)白球”與“至多有1個(gè)紅球”不是互斥事件.故D錯(cuò)誤.故選：C5、B【解析】利用插點(diǎn)的方法，將歸結(jié)到題目中基向量中去，注意中線向量的運(yùn)用.【詳解】.故選：B.6、B【解析】根據(jù)雙曲線的一條漸近線方程為，可得，再結(jié)合焦距為2和，求得，即可得解.【詳解】解：因?yàn)殡p曲線的一條漸近線方程為，所以，即，又因焦距為2，即，即，因?yàn)?，所以，所以，所以雙曲線的方程為.故選：B.7、B【解析】利用余弦定理即得【詳解】由余弦定理，得，解得AC=1故選：B.8、A【解析】根據(jù)雙曲線漸近線方程得a和b的關(guān)系，根據(jù)焦點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線上得c的值，結(jié)合a、b、c關(guān)系即可求解.【詳解】∵雙曲線的一條漸近線方程是，∴，∵準(zhǔn)線方程是，∴，∵，∴，，∴雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為：.故選：A.9、C【解析】由數(shù)列的遞推公式可先求數(shù)列的前幾項(xiàng)，從而發(fā)現(xiàn)數(shù)列的周期性的特點(diǎn)，進(jìn)而可求.【詳解】解：，數(shù)列是以3為周期的數(shù)列故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的項(xiàng)，解題的關(guān)鍵是由遞推關(guān)系發(fā)現(xiàn)數(shù)列的周期性的特點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】設(shè)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，先求得P到圓心的最小距離，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，即可得答案.【詳解】設(shè)，圓化簡(jiǎn)為，即圓心為（0,4），半徑為，所以點(diǎn)P到圓心的距離，令，則，令，，為開口向上，對(duì)稱軸為的拋物線，所以的最小值為，所以，所以的最小值為.故選：B11、A【解析】構(gòu)造利潤(rùn)函數(shù)，求導(dǎo)，判斷單調(diào)性，求得最大值處對(duì)應(yīng)的自變量即可.【詳解】設(shè)利潤(rùn)為y萬(wàn)元，則，∴.令，解得（舍去）或，經(jīng)檢驗(yàn)知既是函數(shù)的極大值點(diǎn)又是函數(shù)的最大值點(diǎn)，∴應(yīng)生產(chǎn)6千臺(tái)該產(chǎn)品.故選：A【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在某區(qū)間上最值的規(guī)律：(1)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增或遞減，與一個(gè)為最大值，一個(gè)為最小值(2)若函數(shù)在閉區(qū)間上有極值，要先求出上的極值，與，比較，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成(3)函數(shù)在區(qū)間上有唯一一個(gè)極值點(diǎn)，這個(gè)極值點(diǎn)就是最大(或小)值點(diǎn)，此結(jié)論在導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常用到12、B【解析】由數(shù)列的性質(zhì)可得，計(jì)算可得到答案.【詳解】由題意，.故答案為B.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、（1）（2）詳見解析【解析】（1）分別求得和，從而得到切線方程；（2）求導(dǎo)后，令求得兩根，分別在、和三種情況下根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【詳解】（1），，，，又，在處的切線方程為.（2），令，解得：，.①當(dāng)時(shí)，若和時(shí)，；若時(shí)，；的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為；②當(dāng)時(shí)，在上恒成立，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；③當(dāng)時(shí)，若和時(shí)，；若時(shí)，；的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為；綜上所述：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解曲線在某一點(diǎn)處的切線方程、利用導(dǎo)數(shù)討論含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的問題，屬于?？碱}型.14、4【解析】直接利用曲線的性質(zhì)，對(duì)稱性的應(yīng)用可判斷①②；求出可判斷③；聯(lián)立方程，解方程組可判斷④⑤的結(jié)論【詳解】對(duì)于①，將方程中的x換為﹣x，y換為﹣y，方程不變，曲線C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故①正確；對(duì)于②，將方程中的x換為﹣y，把y換成﹣x，方程不變，曲線C關(guān)于直線x±y＝0對(duì)稱，故②正確；對(duì)于③，由方程得，故曲線C不是封閉圖形，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，曲線C：，不是封閉圖形，聯(lián)立整理可得：，方程無(wú)解，故④正確；對(duì)于⑤，曲線C與曲線D：由于，解得，根據(jù)對(duì)稱性，可得公共點(diǎn)為，故曲線C與曲線D有四個(gè)交點(diǎn)，這4點(diǎn)構(gòu)成正方形，故⑤正確故答案為：415、1【解析】由平均數(shù)列出方程，求出x的值.【詳解】由題意得：，解得：.故答案為：116、【解析】計(jì)算出正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中選取4個(gè)作為項(xiàng)點(diǎn)的取法和分從上底面取一個(gè)點(diǎn)下底面取三個(gè)點(diǎn)、從上底面取二個(gè)點(diǎn)下底面取二個(gè)點(diǎn)、從上底面取三個(gè)點(diǎn)下底面取一個(gè)點(diǎn)可得到四面體的取法，由古典概型概率計(jì)算公式可得答案.【詳解】正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中選取4個(gè)作為項(xiàng)點(diǎn)，共有取法，可得到四面體的情況有從上底面取一個(gè)點(diǎn)下底面取三個(gè)點(diǎn)有種；從上底面取二個(gè)點(diǎn)下底面取二個(gè)點(diǎn)有種，其中當(dāng)上底面和下底面取的四個(gè)點(diǎn)在同一平面時(shí)共有10種情況不符合，此種情況共有種；從上底面取三個(gè)點(diǎn)下底面取一個(gè)點(diǎn)有種；一個(gè)有種，所以可得到四面體的概率為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）極大值為12，極小值-15【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.（2）利用導(dǎo)數(shù)求解極值即可.【小問1詳解】，，切點(diǎn)為，故切線方程為，即；【小問2詳解】令，得或列表：-12+0-0+單調(diào)遞增12單調(diào)遞減-15單調(diào)遞增函數(shù)的極大值為，函數(shù)的極小值為.18、（1）證明見解析；（2）【解析】（1）取BC的中點(diǎn)O，連結(jié)AO、，在三角形中分別證明和，再利用勾股定理證明，結(jié)合線面垂直的判定定理可證明平面，再由面面垂直的判定定理即可證明結(jié)果.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，假設(shè)點(diǎn)M存在，設(shè)，求出M點(diǎn)坐標(biāo)，然后求出平面的法向量，利用空間向量的方法根據(jù)二面角的平面角為可求出的值.【詳解】（1）取BC的中點(diǎn)O，連結(jié)AO,,，為等腰直角三角形，所以，；側(cè)面為菱形，，所以三角形為為等邊三角形，所以，又，所以，又，滿足，所以；因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫嬷?，所以平面平?（2）由（1）問知：兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間之間坐標(biāo)系.則，，，，若存在點(diǎn)M，則點(diǎn)M在上，不妨設(shè)，則有，則，有，，設(shè)平面的法向量為，則解得：平面的法向量為則解得：或（舍）故存在點(diǎn)M，.【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何探索是否存在的問題，屬于中檔題.方法點(diǎn)睛：（1）判斷是否存在的問題，一般先假設(shè)存在；（2）設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，作為已知條件，代入計(jì)算；（3）根據(jù)結(jié)果，判斷是否存在.19、（1）8（2）454（3）證明見詳解【解析】（1）n元集合的直接個(gè)數(shù)為可得；（2）由已知結(jié)合可得，或，然后可得集合的包含關(guān)系可解；（3）根據(jù)每?jī)蓚€(gè)相同整數(shù)之間的整數(shù)個(gè)數(shù)之和與總的數(shù)字個(gè)數(shù)之間的關(guān)系可證.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，集合的子集個(gè)數(shù)為【小問2詳解】易知，又，所以，即，得，或，所以或1）若，則滿足條件的集合對(duì)共有，2）若，同理，滿足條件集合對(duì)共有2433）當(dāng)A=B時(shí)，滿足條件的集合對(duì)共有所以，滿足條件集合對(duì)共243+243-32=454個(gè).【小問3詳解】記，則1，1，2，2，··，，共2n個(gè)正整數(shù)，將這2n個(gè)正整數(shù)按照要求排列時(shí)，需在1和1中間放入1個(gè)數(shù)，在2和2中間放入2個(gè)數(shù)，…，在n和n中間放入n個(gè)數(shù)，共放入了個(gè)數(shù)，由于排列完成后共有2n個(gè)數(shù)，且1，1，2，2，··，，剛好放完，所以放入數(shù)字個(gè)數(shù)必為偶數(shù)，即Z，所以，Z