福建省廈門市廈門第一中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)檢測(cè)試題含解析_第1頁(yè)
福建省廈門市廈門第一中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)檢測(cè)試題含解析_第2頁(yè)
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福建省廈門市廈門第一中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)檢測(cè)試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知橢圓C:的左,右焦點(diǎn),過(guò)原點(diǎn)的直線l與橢圓C相交于M,N兩點(diǎn).其中M在第一象限.,則橢圓C的離心率的取值范圍為()A. B.C. D.2.已知拋物線的焦點(diǎn)恰為雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn),的另一頂點(diǎn)為,與在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為,若,則直線的斜率為()A. B.C. D.3.函數(shù)的圖象大致為()A. B.C. D.4.從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球的口袋內(nèi)任取兩個(gè)球,則下列選項(xiàng)中的兩個(gè)事件為互斥事件的是()A.至多有1個(gè)白球;都是紅球 B.至少有1個(gè)白球;至少有1個(gè)紅球C.恰好有1個(gè)白球;都是紅球 D.至多有1個(gè)白球;至多有1個(gè)紅球5.如圖,在四面體中,,,,點(diǎn)為的中點(diǎn),,則()A. B.C. D.6.已知雙曲線的一條漸近線方程為,它的焦距為2,則雙曲線的方程為()A B.C. D.7.在中,B=30°,BC=2,AB=,則邊AC的長(zhǎng)等于()A. B.1C. D.28.已知雙曲線的一條漸近線方程是,它的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上,則雙曲線的方程為()A. B.C. D.9.在數(shù)列中,,則的值為()A. B.C. D.以上都不對(duì)10.動(dòng)點(diǎn)P,Q分別在拋物線和圓上,則的最小值為()A. B.C. D.11.某產(chǎn)品的銷售收入(萬(wàn)元)是產(chǎn)量x(千臺(tái))的函數(shù),且函數(shù)解析式為,生產(chǎn)成本(萬(wàn)元)是產(chǎn)量x(千臺(tái))的函數(shù),且函數(shù)解析式為,要使利潤(rùn)最大,則該產(chǎn)品應(yīng)生產(chǎn)()A.6千臺(tái) B.7千臺(tái)C.8千臺(tái) D.9千臺(tái)12.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,當(dāng)時(shí),()A.11 B.20C.33 D.35二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線方程;(2)求的單調(diào)區(qū)間;14.關(guān)于曲線C:1,有如下結(jié)論:①曲線C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;②曲線C關(guān)于直線x±y=0對(duì)稱;③曲線C是封閉圖形,且封閉圖形的面積大于2π;④曲線C不是封閉圖形,且它與圓x2+y2=2無(wú)公共點(diǎn);⑤曲線C與曲線D:|x|+|y|=2有4個(gè)公共點(diǎn),這4點(diǎn)構(gòu)成正方形其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是_____15.某市開展“愛我內(nèi)蒙,愛我家鄉(xiāng)”攝影比賽,9位評(píng)委給參賽作品A打出的分?jǐn)?shù)如莖葉圖所示,記分員算得平均分為91,復(fù)核員在復(fù)核時(shí),發(fā)現(xiàn)一個(gè)數(shù)字(莖葉圖中的x)無(wú)法看清,若記分員計(jì)算無(wú)誤,則數(shù)字x應(yīng)該是______16.從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中選取4個(gè)作為項(xiàng)點(diǎn),可得到四面體的概率為________三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù)(1)求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程;(2)求函數(shù)的極值18.(12分)三棱柱中,側(cè)面為菱形,,,,(1)求證:面面;(2)在線段上是否存在一點(diǎn)M,使得二面角為,若存在,求出的值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由19.(12分)已知,對(duì)于有限集,令表示集合中元素的個(gè)數(shù).例如:當(dāng)時(shí),,(1)當(dāng)時(shí),請(qǐng)直接寫出集合的子集的個(gè)數(shù);(2)當(dāng)時(shí),,都是集合的子集(,可以相同),并且.求滿足條件的有序集合對(duì)的個(gè)數(shù);(3)假設(shè)存在集合、具有以下性質(zhì):將1,1,2,2,··,,.這個(gè)整數(shù)按某種次序排成一列,使得在這個(gè)序列中,對(duì)于任意,與之間恰好排列個(gè)整數(shù).證明:是4的倍數(shù)20.(12分)已知圓C:x2+y2+2ax﹣3=0,且圓C上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線3x﹣2y﹣3=0對(duì)稱.(1)求圓C的半徑r;(2)若直線l過(guò)點(diǎn)A(2,),且與圓C交于MN,兩點(diǎn),|MN|=2,求直線l的方程.21.(12分)2021年7月29日,中國(guó)游泳隊(duì)獲得了女子米自由泳接力決賽冠軍并打破世界紀(jì)錄.受奧運(yùn)精神的鼓舞,某游泳俱樂部組織100名游泳愛好者進(jìn)行自由泳1500米測(cè)試,并記錄他們的時(shí)間(單位:分鐘),將所得數(shù)據(jù)分成5組:,,,,,整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求出直方圖中m的值;(2)利用樣本估計(jì)總體的思想,估計(jì)這100位游泳愛好者1500米自由泳測(cè)試時(shí)間的平均數(shù)和中位數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值作代表).22.(10分)已知函數(shù)(a是常數(shù)).(1)當(dāng)時(shí),求的單調(diào)區(qū)間與極值;(2)若,求a的取值范圍.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】由題設(shè)易知四邊形為矩形,可得,結(jié)合已知條件有即可求橢圓C的離心率的取值范圍.【詳解】由橢圓的對(duì)稱性知:,而,又,即四邊形為矩形,所以,則且M在第一象限,整理得,所以,又即,綜上,,整理得,所以.故選:D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:由橢圓的對(duì)稱性及矩形性質(zhì)可得,由已知條件得到,進(jìn)而得到橢圓參數(shù)的齊次式求離心率范圍.2、D【解析】根據(jù)題意,列出的方程組,解得,再利用斜率公式即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn),由題可知;又點(diǎn)在拋物線上,故可得;又,聯(lián)立方程組可得,整理得,解得(舍)或,此時(shí),又,故直線的斜率為.故選:D.3、A【解析】由題意首先確定函數(shù)的奇偶性,然后考查函數(shù)在特殊點(diǎn)的函數(shù)值排除錯(cuò)誤選項(xiàng)即可確定函數(shù)的圖象.【詳解】由函數(shù)的解析式可得:,則函數(shù)為奇函數(shù),其圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱,選項(xiàng)CD錯(cuò)誤;當(dāng)時(shí),,選項(xiàng)B錯(cuò)誤.故選:A.【點(diǎn)睛】函數(shù)圖象的識(shí)辨可從以下方面入手:(1)從函數(shù)的定義域,判斷圖象的左右位置;從函數(shù)的值域,判斷圖象的上下位置.(2)從函數(shù)的單調(diào)性,判斷圖象的變化趨勢(shì).(3)從函數(shù)的奇偶性,判斷圖象的對(duì)稱性.(4)從函數(shù)的特征點(diǎn),排除不合要求的圖象.利用上述方法排除、篩選選項(xiàng)4、C【解析】根據(jù)試驗(yàn)過(guò)程進(jìn)行分析,利用互斥事件的定義對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一判斷即可.【詳解】對(duì)于A:“至多有1個(gè)白球”包含都是紅球和一紅一白,“都是紅球”包含都是紅球,所以“至多有1個(gè)白球”與“都是紅球”不是互斥事件.故A錯(cuò)誤;對(duì)于B:“至少有1個(gè)白球”包含都是白球和一紅一白,“至少有1個(gè)紅球”包含都是紅球和一紅一白,所以“至少有1個(gè)白球”與“至少有1個(gè)紅球”不是互斥事件.故B錯(cuò)誤;對(duì)于C:“恰好有1個(gè)白球”包含一紅一白,“都是紅球”包含都是紅球,所以“恰好有1個(gè)白球”與“都是紅球”是互斥事件.故C錯(cuò)誤;對(duì)于D:“至多有1個(gè)紅球”包含都是白球和一紅一白,“至多有1個(gè)白球”包含都是紅球和一紅一白,所以“至多有1個(gè)白球”與“至多有1個(gè)紅球”不是互斥事件.故D錯(cuò)誤.故選:C5、B【解析】利用插點(diǎn)的方法,將歸結(jié)到題目中基向量中去,注意中線向量的運(yùn)用.【詳解】.故選:B.6、B【解析】根據(jù)雙曲線的一條漸近線方程為,可得,再結(jié)合焦距為2和,求得,即可得解.【詳解】解:因?yàn)殡p曲線的一條漸近線方程為,所以,即,又因焦距為2,即,即,因?yàn)?,所以,所以,所以雙曲線的方程為.故選:B.7、B【解析】利用余弦定理即得【詳解】由余弦定理,得,解得AC=1故選:B.8、A【解析】根據(jù)雙曲線漸近線方程得a和b的關(guān)系,根據(jù)焦點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線上得c的值,結(jié)合a、b、c關(guān)系即可求解.【詳解】∵雙曲線的一條漸近線方程是,∴,∵準(zhǔn)線方程是,∴,∵,∴,,∴雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為:.故選:A.9、C【解析】由數(shù)列的遞推公式可先求數(shù)列的前幾項(xiàng),從而發(fā)現(xiàn)數(shù)列的周期性的特點(diǎn),進(jìn)而可求.【詳解】解:,數(shù)列是以3為周期的數(shù)列故選:【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的項(xiàng),解題的關(guān)鍵是由遞推關(guān)系發(fā)現(xiàn)數(shù)列的周期性的特點(diǎn),屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】設(shè),根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式,先求得P到圓心的最小距離,根據(jù)圓的幾何性質(zhì),即可得答案.【詳解】設(shè),圓化簡(jiǎn)為,即圓心為(0,4),半徑為,所以點(diǎn)P到圓心的距離,令,則,令,,為開口向上,對(duì)稱軸為的拋物線,所以的最小值為,所以,所以的最小值為.故選:B11、A【解析】構(gòu)造利潤(rùn)函數(shù),求導(dǎo),判斷單調(diào)性,求得最大值處對(duì)應(yīng)的自變量即可.【詳解】設(shè)利潤(rùn)為y萬(wàn)元,則,∴.令,解得(舍去)或,經(jīng)檢驗(yàn)知既是函數(shù)的極大值點(diǎn)又是函數(shù)的最大值點(diǎn),∴應(yīng)生產(chǎn)6千臺(tái)該產(chǎn)品.故選:A【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在某區(qū)間上最值的規(guī)律:(1)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增或遞減,與一個(gè)為最大值,一個(gè)為最小值(2)若函數(shù)在閉區(qū)間上有極值,要先求出上的極值,與,比較,最大的是最大值,最小的是最小值,可列表完成(3)函數(shù)在區(qū)間上有唯一一個(gè)極值點(diǎn),這個(gè)極值點(diǎn)就是最大(或小)值點(diǎn),此結(jié)論在導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常用到12、B【解析】由數(shù)列的性質(zhì)可得,計(jì)算可得到答案.【詳解】由題意,.故答案為B.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、(1)(2)詳見解析【解析】(1)分別求得和,從而得到切線方程;(2)求導(dǎo)后,令求得兩根,分別在、和三種情況下根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【詳解】(1),,,,又,在處的切線方程為.(2),令,解得:,.①當(dāng)時(shí),若和時(shí),;若時(shí),;的單調(diào)遞增區(qū)間為,;單調(diào)遞減區(qū)間為;②當(dāng)時(shí),在上恒成立,的單調(diào)遞增區(qū)間為,無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間;③當(dāng)時(shí),若和時(shí),;若時(shí),;的單調(diào)遞增區(qū)間為,;單調(diào)遞減區(qū)間為;綜上所述:當(dāng)時(shí),的單調(diào)遞增區(qū)間為,;單調(diào)遞減區(qū)間為;當(dāng)時(shí),的單調(diào)遞增區(qū)間為,無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間;當(dāng)時(shí),的單調(diào)遞增區(qū)間為,;單調(diào)遞減區(qū)間為.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解曲線在某一點(diǎn)處的切線方程、利用導(dǎo)數(shù)討論含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的問題,屬于??碱}型.14、4【解析】直接利用曲線的性質(zhì),對(duì)稱性的應(yīng)用可判斷①②;求出可判斷③;聯(lián)立方程,解方程組可判斷④⑤的結(jié)論【詳解】對(duì)于①,將方程中的x換為﹣x,y換為﹣y,方程不變,曲線C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,故①正確;對(duì)于②,將方程中的x換為﹣y,把y換成﹣x,方程不變,曲線C關(guān)于直線x±y=0對(duì)稱,故②正確;對(duì)于③,由方程得,故曲線C不是封閉圖形,故③錯(cuò)誤;對(duì)于④,曲線C:,不是封閉圖形,聯(lián)立整理可得:,方程無(wú)解,故④正確;對(duì)于⑤,曲線C與曲線D:由于,解得,根據(jù)對(duì)稱性,可得公共點(diǎn)為,故曲線C與曲線D有四個(gè)交點(diǎn),這4點(diǎn)構(gòu)成正方形,故⑤正確故答案為:415、1【解析】由平均數(shù)列出方程,求出x的值.【詳解】由題意得:,解得:.故答案為:116、【解析】計(jì)算出正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中選取4個(gè)作為項(xiàng)點(diǎn)的取法和分從上底面取一個(gè)點(diǎn)下底面取三個(gè)點(diǎn)、從上底面取二個(gè)點(diǎn)下底面取二個(gè)點(diǎn)、從上底面取三個(gè)點(diǎn)下底面取一個(gè)點(diǎn)可得到四面體的取法,由古典概型概率計(jì)算公式可得答案.【詳解】正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中選取4個(gè)作為項(xiàng)點(diǎn),共有取法,可得到四面體的情況有從上底面取一個(gè)點(diǎn)下底面取三個(gè)點(diǎn)有種;從上底面取二個(gè)點(diǎn)下底面取二個(gè)點(diǎn)有種,其中當(dāng)上底面和下底面取的四個(gè)點(diǎn)在同一平面時(shí)共有10種情況不符合,此種情況共有種;從上底面取三個(gè)點(diǎn)下底面取一個(gè)點(diǎn)有種;一個(gè)有種,所以可得到四面體的概率為.故答案為:.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(2)極大值為12,極小值-15【解析】(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.(2)利用導(dǎo)數(shù)求解極值即可.【小問1詳解】,,切點(diǎn)為,故切線方程為,即;【小問2詳解】令,得或列表:-12+0-0+單調(diào)遞增12單調(diào)遞減-15單調(diào)遞增函數(shù)的極大值為,函數(shù)的極小值為.18、(1)證明見解析;(2)【解析】(1)取BC的中點(diǎn)O,連結(jié)AO、,在三角形中分別證明和,再利用勾股定理證明,結(jié)合線面垂直的判定定理可證明平面,再由面面垂直的判定定理即可證明結(jié)果.(2)建立空間直角坐標(biāo)系,假設(shè)點(diǎn)M存在,設(shè),求出M點(diǎn)坐標(biāo),然后求出平面的法向量,利用空間向量的方法根據(jù)二面角的平面角為可求出的值.【詳解】(1)取BC的中點(diǎn)O,連結(jié)AO,,,為等腰直角三角形,所以,;側(cè)面為菱形,,所以三角形為為等邊三角形,所以,又,所以,又,滿足,所以;因?yàn)?,所以平面,因?yàn)槠矫嬷?,所以平面平?(2)由(1)問知:兩兩垂直,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),為軸,為軸,為軸建立空間之間坐標(biāo)系.則,,,,若存在點(diǎn)M,則點(diǎn)M在上,不妨設(shè),則有,則,有,,設(shè)平面的法向量為,則解得:平面的法向量為則解得:或(舍)故存在點(diǎn)M,.【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何探索是否存在的問題,屬于中檔題.方法點(diǎn)睛:(1)判斷是否存在的問題,一般先假設(shè)存在;(2)設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo),作為已知條件,代入計(jì)算;(3)根據(jù)結(jié)果,判斷是否存在.19、(1)8(2)454(3)證明見詳解【解析】(1)n元集合的直接個(gè)數(shù)為可得;(2)由已知結(jié)合可得,或,然后可得集合的包含關(guān)系可解;(3)根據(jù)每?jī)蓚€(gè)相同整數(shù)之間的整數(shù)個(gè)數(shù)之和與總的數(shù)字個(gè)數(shù)之間的關(guān)系可證.【小問1詳解】當(dāng)時(shí),集合的子集個(gè)數(shù)為【小問2詳解】易知,又,所以,即,得,或,所以或1)若,則滿足條件的集合對(duì)共有,2)若,同理,滿足條件集合對(duì)共有2433)當(dāng)A=B時(shí),滿足條件的集合對(duì)共有所以,滿足條件集合對(duì)共243+243-32=454個(gè).【小問3詳解】記,則1,1,2,2,··,,共2n個(gè)正整數(shù),將這2n個(gè)正整數(shù)按照要求排列時(shí),需在1和1中間放入1個(gè)數(shù),在2和2中間放入2個(gè)數(shù),…,在n和n中間放入n個(gè)數(shù),共放入了個(gè)數(shù),由于排列完成后共有2n個(gè)數(shù),且1,1,2,2,··,,剛好放完,所以放入數(shù)字個(gè)數(shù)必為偶數(shù),即Z,所以,Z

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