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2022~2023學(xué)年度第一學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷一、單項(xiàng)選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若直線的斜率為k,在y軸上的截距為b,則().A., B.,C., D.,2.中國(guó)是世界上最古老的文明中心之一,中國(guó)古代對(duì)世界上最重要的貢獻(xiàn)之一就是發(fā)明了瓷器,中國(guó)陶瓷是世界上獨(dú)一無(wú)二的.它的發(fā)展過(guò)程蘊(yùn)藏著十分豐富的科學(xué)和藝術(shù),陶瓷形狀各式各樣,從不同角度詮釋了數(shù)學(xué)中幾何的形式之美.現(xiàn)有一橢圓形明代瓷盤,經(jīng)測(cè)量得到圖中數(shù)據(jù),則該橢圓瓷盤的焦距為()A. B. C. D.43.若圓x2+y2-2ax+3by=0的圓心位于第三象限,那么直線x+ay+b=0一定不經(jīng)過(guò)()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.已知從點(diǎn)發(fā)出的一束光線,經(jīng)x軸反射后,反射光線恰好平分圓:的圓周,則反射光線所在的直線方程為()A. B.C D.5.設(shè),為實(shí)數(shù),若直線與圓相交,則點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是()A.在圓上 B.在圓外 C.在圓內(nèi) D.不能確定6.某學(xué)習(xí)小組研究一種衛(wèi)星接收天線(如圖①所示),發(fā)現(xiàn)其曲面與軸截面的交線為拋物線,在軸截面內(nèi)的衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入形為拋物線的接收天線,經(jīng)反射聚焦到焦點(diǎn)處(如圖②所示).已知接收天線的口徑(直徑)為3.6m,深度為0.6m,則該拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為()A.1.35m B.2.05m C.2.7m D.5.4m7.已知,是橢圓的左,右焦點(diǎn),是的左頂點(diǎn),點(diǎn)在過(guò)且斜率為的直線上,為等腰三角形,,則的離心率為A. B. C. D.8.如圖,已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為、,,是雙曲線右支上的一點(diǎn),,直線與軸交于點(diǎn),的內(nèi)切圓半徑為,則雙曲線的離心率是()A. B.C. D.二、多項(xiàng)選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求,全部選對(duì)的得5分,選對(duì)但不全的得2分,有選錯(cuò)的得0分.9.已知圓:,直線:.圓上恰有個(gè)點(diǎn)到直線的距離為,則的值為()A. B. C. D.10.將一個(gè)橢圓繞其對(duì)稱中心旋轉(zhuǎn),若所得橢圓的兩頂點(diǎn)恰好是旋轉(zhuǎn)前橢圓的兩焦點(diǎn),則稱該橢圓為“對(duì)偶橢圓”下列橢圓的方程中,是“對(duì)偶橢圓”的方程的是()A. B.C. D.11.如圖為陜西博物館收藏的國(guó)寶——唐金筐寶鈿團(tuán)花紋金杯,杯身曲線內(nèi)收,巧奪天工,是唐代金銀細(xì)作的典范.該杯的主體部分可以近似看作是雙曲線的右支與直線,,圍成的曲邊四邊形繞軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體,若該金杯主體部分的上口外直徑為,下底外直徑為,雙曲線與坐標(biāo)軸交于,,則()A.雙曲線的方程為B雙曲線與雙曲線共漸近線C.存在一點(diǎn),使過(guò)該點(diǎn)任意直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)D.存在無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn),使它與,兩點(diǎn)的連線的斜率之積為312.已知拋物線的焦點(diǎn)為,、是拋物線上兩動(dòng)點(diǎn),是平面內(nèi)一定點(diǎn),下列說(shuō)法正確的有()A.拋物線準(zhǔn)線方程為B.若,則線段中點(diǎn)到軸距離為C.的周長(zhǎng)的最小為D.以線段為直徑的圓與準(zhǔn)線相切第Ⅱ卷三、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分.13.畫(huà)法幾何創(chuàng)始人蒙日發(fā)現(xiàn):橢圓上兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)必在一個(gè)與橢圓同心的圓上,且圓半徑的平方等于長(zhǎng)半軸?短半軸的平方和,此圓被命名為該橢圓的蒙日?qǐng)A.若橢圓的蒙日?qǐng)A為,則該橢圓的離心率為_(kāi)__________.14.若三點(diǎn),,共線,則______.15.已知AB為圓O:的直徑,點(diǎn)P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn),則的最小值為_(kāi)_____.16.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為,虛軸的上端點(diǎn)為,點(diǎn),為上兩點(diǎn),點(diǎn)為弦的中點(diǎn),且,記雙曲線的離心率為,則______.四、解答題:本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟.17.已知雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,,實(shí)軸長(zhǎng)為4,(1)求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若雙曲線上存在一點(diǎn)使得,求的面積.18.已知直線恒過(guò)定點(diǎn).(Ⅰ)若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與直線垂直,求直線的方程;(Ⅱ)若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離等于3,求直線的方程.19.已知圓E經(jīng)過(guò)點(diǎn),,從下列3個(gè)條件選取一個(gè):①過(guò)點(diǎn);②圓E恒被直線平分;③與軸相切.(1)求圓E的方程;(2)過(guò)點(diǎn)的直線l與圓E相交于A、B兩點(diǎn),求AB中點(diǎn)M的軌跡方程.20.已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)和.(1)求橢圓的方程;(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與相交于,兩點(diǎn)(不經(jīng)過(guò)點(diǎn)),設(shè)直線,的斜率分別為,,試問(wèn)是否為定值?若是,求出該定值;否則,請(qǐng)說(shuō)明理由.21.如圖所示,第九屆亞洲機(jī)器人錦標(biāo)賽VEX中國(guó)選拔賽永州賽區(qū)中,主辦方設(shè)計(jì)了一個(gè)矩形坐標(biāo)場(chǎng)地ABCD(包含邊界和內(nèi)部,A為坐標(biāo)原點(diǎn)),AD長(zhǎng)為10米,在AB邊上距離A點(diǎn)4米的F處放置一只電子狗,在距離A點(diǎn)2米的E處放置一個(gè)機(jī)器人,機(jī)器人行走速度為v,電子狗行走速度為,若電子狗和機(jī)器人在場(chǎng)地內(nèi)沿直線方向同時(shí)到達(dá)場(chǎng)地內(nèi)某點(diǎn)M,那么電子狗將被機(jī)器人捕獲,點(diǎn)M叫成功點(diǎn).(1)求在這個(gè)矩形場(chǎng)地內(nèi)成功點(diǎn)M的軌跡方程;(2)P為矩形場(chǎng)地AD邊上的一動(dòng)點(diǎn),若存在兩個(gè)成功點(diǎn)到直線FP的距離為,且直線FP與點(diǎn)M的軌跡沒(méi)有公共點(diǎn),求P點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍.22.如圖,已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn),點(diǎn)在拋物線上,使得的重心在軸上,直線交軸于點(diǎn),且在點(diǎn)右側(cè).記的面積為.(1)求的值及拋物線的準(zhǔn)線方程;(2)求最小值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).2022~2023學(xué)年度第一學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷一、單項(xiàng)選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若直線的斜率為k,在y軸上的截距為b,則().A., B.,C., D.,【答案】B【解析】【分析】根據(jù)直線的斜截式方程的定義,結(jié)合直線方程,即可求解.【詳解】由直線,根據(jù)直線的斜截式方程的概念,可得直線的斜率為,在y軸上的截距為.故選:B.2.中國(guó)是世界上最古老的文明中心之一,中國(guó)古代對(duì)世界上最重要的貢獻(xiàn)之一就是發(fā)明了瓷器,中國(guó)陶瓷是世界上獨(dú)一無(wú)二的.它的發(fā)展過(guò)程蘊(yùn)藏著十分豐富的科學(xué)和藝術(shù),陶瓷形狀各式各樣,從不同角度詮釋了數(shù)學(xué)中幾何的形式之美.現(xiàn)有一橢圓形明代瓷盤,經(jīng)測(cè)量得到圖中數(shù)據(jù),則該橢圓瓷盤的焦距為()A. B. C. D.4【答案】C【解析】【分析】由圖形可得橢圓的值,由求得的值即可得到答案.【詳解】因?yàn)闄E圓的,所以,因?yàn)椋?,則.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的焦距,考查對(duì)橢圓方程的理解,屬于基礎(chǔ)題,求解時(shí)注意求的是焦距,而不是半焦距.3.若圓x2+y2-2ax+3by=0的圓心位于第三象限,那么直線x+ay+b=0一定不經(jīng)過(guò)()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【詳解】圓x2+y2-2ax+3by=0的圓心為(a,),則a<0,b>0.直線y=-,其斜率k=>0,在y軸上的截距為->0,所以直線不經(jīng)過(guò)第四象限,故選D.考點(diǎn):圓與直線.4.已知從點(diǎn)發(fā)出的一束光線,經(jīng)x軸反射后,反射光線恰好平分圓:的圓周,則反射光線所在的直線方程為()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)反射性質(zhì),結(jié)合圓的性質(zhì)、直線斜率公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,圓的圓心坐標(biāo)為,設(shè)是x軸上一點(diǎn),因?yàn)榉瓷涔饩€恰好平分圓的圓周,所以反射光線經(jīng)過(guò)點(diǎn),由反射的性質(zhì)可知:,于是,所以反射光線所在的直線方程為:,故選:A5.設(shè),為實(shí)數(shù),若直線與圓相交,則點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是()A.在圓上 B.在圓外 C.在圓內(nèi) D.不能確定【答案】B【解析】【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系,求得滿足的關(guān)系式,結(jié)合點(diǎn)與圓位置關(guān)系的判斷方法,判斷即可.【詳解】根據(jù)題意,即,故點(diǎn)在圓外.故選:B.6.某學(xué)習(xí)小組研究一種衛(wèi)星接收天線(如圖①所示),發(fā)現(xiàn)其曲面與軸截面的交線為拋物線,在軸截面內(nèi)的衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入形為拋物線的接收天線,經(jīng)反射聚焦到焦點(diǎn)處(如圖②所示).已知接收天線的口徑(直徑)為3.6m,深度為0.6m,則該拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為()A.1.35m B.2.05m C.2.7m D.5.4m【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意先建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,可設(shè)出拋物線方程,利用已知條件得出點(diǎn)在拋物線上,代入方程求得p值,進(jìn)而求得焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離.【詳解】如圖所示,在接收天線的軸截面所在平面上建立平面直角坐標(biāo)系xOy,使接收天線的頂點(diǎn)(即拋物線的頂點(diǎn))與原點(diǎn)O重合,焦點(diǎn)F在x軸上.設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為,由已知條件可得,點(diǎn)在拋物線上,所以,解得,因此,該拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為1.35m,故選:A.7.已知,是橢圓的左,右焦點(diǎn),是的左頂點(diǎn),點(diǎn)在過(guò)且斜率為的直線上,為等腰三角形,,則的離心率為A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】分析:先根據(jù)條件得PF2=2c,再利用正弦定理得a,c關(guān)系,即得離心率.詳解:因?yàn)闉榈妊切?,,所以PF2=F1F2=2c,由斜率為得,,由正弦定理得,所以,故選D.點(diǎn)睛:解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問(wèn)題其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于的方程或不等式,再根據(jù)的關(guān)系消掉得到的關(guān)系式,而建立關(guān)于的方程或不等式,要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等.8.如圖,已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為、,,是雙曲線右支上的一點(diǎn),,直線與軸交于點(diǎn),的內(nèi)切圓半徑為,則雙曲線的離心率是()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件結(jié)合直角三角形內(nèi)切圓半徑與邊長(zhǎng)的關(guān)系求出雙曲線實(shí)半軸長(zhǎng)a,再利用離心率公式計(jì)算作答.【詳解】依題意,,的內(nèi)切圓半徑,由直角三角形內(nèi)切圓性質(zhì)知:,由雙曲線對(duì)稱性知,,于得,即,又雙曲線半焦距c=2,所以雙曲線的離心率.故選:D【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛:二直角邊長(zhǎng)為a,b,斜邊長(zhǎng)為c的直角三角形內(nèi)切圓半徑.二、多項(xiàng)選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求,全部選對(duì)的得5分,選對(duì)但不全的得2分,有選錯(cuò)的得0分.9.已知圓:,直線:.圓上恰有個(gè)點(diǎn)到直線的距離為,則的值為()A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】由圓上恰有個(gè)點(diǎn)到直線的距離為可確定圓心到直線距離為,由此構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】由圓方程知:圓心,半徑;圓上恰有個(gè)點(diǎn)到直線的距離為,圓心到直線的距離,即,解得:或.故選:BC.10.將一個(gè)橢圓繞其對(duì)稱中心旋轉(zhuǎn),若所得橢圓的兩頂點(diǎn)恰好是旋轉(zhuǎn)前橢圓的兩焦點(diǎn),則稱該橢圓為“對(duì)偶橢圓”下列橢圓的方程中,是“對(duì)偶橢圓”的方程的是()A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)對(duì)偶橢圓的定義求出,再根據(jù)關(guān)系逐一判斷即可.【詳解】由題意,根據(jù)對(duì)偶橢圓定義,在橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中,,則,,,,,是對(duì)偶橢圓;B,,,不滿足,不是對(duì)偶橢圓;C,,,滿足,是對(duì)偶橢圓;D,,,不滿足,不是對(duì)偶橢圓.故選:AC11.如圖為陜西博物館收藏的國(guó)寶——唐金筐寶鈿團(tuán)花紋金杯,杯身曲線內(nèi)收,巧奪天工,是唐代金銀細(xì)作的典范.該杯的主體部分可以近似看作是雙曲線的右支與直線,,圍成的曲邊四邊形繞軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體,若該金杯主體部分的上口外直徑為,下底外直徑為,雙曲線與坐標(biāo)軸交于,,則()A.雙曲線的方程為B.雙曲線與雙曲線共漸近線C.存在一點(diǎn),使過(guò)該點(diǎn)的任意直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)D.存在無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn),使它與,兩點(diǎn)的連線的斜率之積為3【答案】ABD【解析】【分析】由題意可得,代入雙曲線方程可求出,從而可求出雙曲線方程,然后逐個(gè)分析判斷【詳解】由題意可得,所以,即,解得,所以雙曲線方程為,所以A正確,雙曲線的漸近線方程為,雙曲線的漸近線方程為,所以B正確,由雙曲線的性質(zhì)可知,過(guò)平面內(nèi)的任意一點(diǎn)的直線與雙曲線的漸近線平行時(shí),只與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn),所以不存在一點(diǎn),使過(guò)該點(diǎn)的任意直線與雙曲線C有兩個(gè)交點(diǎn),所以C錯(cuò)誤,由題意得,設(shè)為雙曲線上任意一點(diǎn),則,,所以,所以雙曲線C上存在無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn),使它與兩點(diǎn)的連線的斜率之積為3,所以D正確,故選:ABD12.已知拋物線的焦點(diǎn)為,、是拋物線上兩動(dòng)點(diǎn),是平面內(nèi)一定點(diǎn),下列說(shuō)法正確的有()A.拋物線準(zhǔn)線方程為B.若,則線段中點(diǎn)到軸距離為C.的周長(zhǎng)的最小為D.以線段為直徑的圓與準(zhǔn)線相切【答案】BC【解析】【分析】求出拋物線的準(zhǔn)線方程,可判斷A選項(xiàng)的正誤;求出線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo),可判斷B選項(xiàng)的正誤;利用拋物線的定義可判斷C選項(xiàng)的正誤;利用點(diǎn)、沒(méi)有任何限制可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng),拋物線的準(zhǔn)線方程為,焦點(diǎn),故A錯(cuò);對(duì)于B選項(xiàng),設(shè)點(diǎn)、,由拋物線的定義可得,可得,所以,線段中點(diǎn)到軸的距離為,故B對(duì);對(duì)于C選項(xiàng),設(shè)在準(zhǔn)線上投影為,,,當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)取最小值,所以的周長(zhǎng)的最小值為,故C對(duì);對(duì)于D選項(xiàng),因?yàn)辄c(diǎn)、沒(méi)有任何限制條件,可以是拋物線上任意兩點(diǎn),所以以線段為直徑的圓與準(zhǔn)線不一定相切,故D錯(cuò).故選:BC.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:拋物線定義的兩種應(yīng)用:(1)實(shí)現(xiàn)距離轉(zhuǎn)化,根據(jù)拋物線的定義,拋物線上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線的距離,因此,由拋物線的定義可實(shí)現(xiàn)點(diǎn)點(diǎn)距與點(diǎn)線距的相互轉(zhuǎn)化,從而簡(jiǎn)化某些問(wèn)題;(2)解決最值問(wèn)題,在拋物線中求解與焦點(diǎn)有關(guān)的兩點(diǎn)間距離和的最小值,往往用拋物線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化,即化折線為直線解決最值問(wèn)題.第Ⅱ卷三、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分.13.畫(huà)法幾何創(chuàng)始人蒙日發(fā)現(xiàn):橢圓上兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)必在一個(gè)與橢圓同心的圓上,且圓半徑的平方等于長(zhǎng)半軸?短半軸的平方和,此圓被命名為該橢圓的蒙日?qǐng)A.若橢圓的蒙日?qǐng)A為,則該橢圓的離心率為_(kāi)__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)蒙日?qǐng)A半徑的平方等于長(zhǎng)半軸?短半軸的平方和,求出,進(jìn)而可得答案.【詳解】因?yàn)槊扇請(qǐng)A半徑的平方等于橢圓的長(zhǎng)半軸?短半軸的平方和,而的蒙日?qǐng)A半徑的平方為10,故有,故,故答案為:.14若三點(diǎn),,共線,則______.【答案】3【解析】【分析】利用的斜率相等,列出方程求解.【詳解】由,,三點(diǎn)共線,可得,,解得,故答案為:315.已知AB為圓O:的直徑,點(diǎn)P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn),則的最小值為_(kāi)_____.【答案】2【解析】【分析】方法一:通過(guò)對(duì)稱性取特殊位置,設(shè)出P的坐標(biāo),利用向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化求解最小值即可.方法二:利用向量的數(shù)量積,轉(zhuǎn)化為向量的和與差的平方,通過(guò)圓的特殊性,轉(zhuǎn)化求解即可.【詳解】解:方法一:依據(jù)對(duì)稱性,不妨設(shè)直徑AB在x軸上,x,,,.從而.故答案為2.方法二:,而,則答案為2.故答案為2.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系、橢圓方程的幾何性質(zhì)考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力.16.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為,虛軸的上端點(diǎn)為,點(diǎn),為上兩點(diǎn),點(diǎn)為弦的中點(diǎn),且,記雙曲線的離心率為,則______.【答案】【解析】【分析】解法一,利用點(diǎn)差法,結(jié)合,以及,變形得到,再轉(zhuǎn)化為關(guān)于的齊次方程,求解;解法二,設(shè)直線,,與雙曲線方程聯(lián)立,利用根與系數(shù)的關(guān)系表示中點(diǎn)坐標(biāo),再轉(zhuǎn)化為關(guān)于的齊次方程,求解.【詳解】解法一由題意知,,則.設(shè),,則兩式相減,得.因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為,所以,,又,所以,整理得,所以,得,得.解法二由題意知,,則.設(shè)直線的方程為,即,代入雙曲線方程,得.設(shè),,結(jié)合為的中點(diǎn),得.又,所以,整理得,所以,得,得.故答案為:【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛:常見(jiàn)的求雙曲線離心率的方法:①根據(jù)已知條件列方程組,解出,的值,直接利用離心率公式求解即可;②根據(jù)已知條件得到一個(gè)關(guān)于,(或,)的齊次方程,然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率的方程來(lái)求解.四、解答題:本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟.17.已知雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,,實(shí)軸長(zhǎng)為4,(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若雙曲線上存在一點(diǎn)使得,求的面積.【答案】(1);(2)1.【解析】【分析】(1)由題可知的值即可求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)由雙曲線的定義及面積公式即可求出.【詳解】(1)設(shè)雙曲線方程為,由條件知,,∴,∴雙曲線的方程為.(2)由雙曲線的定義可知,.∵,∴,即∴,∴的面積.18.已知直線恒過(guò)定點(diǎn).(Ⅰ)若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與直線垂直,求直線的方程;(Ⅱ)若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離等于3,求直線的方程.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)或.【解析】【分析】(Ⅰ)求出定點(diǎn)的坐標(biāo),設(shè)要求直線的方程為,將點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程可求得的值,即可寫(xiě)出直線的方程(Ⅱ)分直線斜率存在和不存在兩種情況討論,根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可得到答案【詳解】直線可化為,由可得,所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為.(Ⅰ)設(shè)直線的方程為,將點(diǎn)A代入方程可得,所以直線的方程為,(Ⅱ)①當(dāng)直線斜率不存在時(shí),因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)A,所以直線方程為,符合原點(diǎn)到直線的距離等于3.②當(dāng)直線斜率不存在時(shí),設(shè)直線方程為,即因?yàn)樵c(diǎn)到直線的距離為3,所以,解得所以直線的方程為綜上所以直線的方程為或.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線的垂直關(guān)系的應(yīng)用及直線方程的求法,點(diǎn)到直線的距離公式,主要分斜率存在和不存在兩種情況討論,屬于基礎(chǔ)題.19.已知圓E經(jīng)過(guò)點(diǎn),,從下列3個(gè)條件選取一個(gè):①過(guò)點(diǎn);②圓E恒被直線平分;③與軸相切.(1)求圓E的方程;(2)過(guò)點(diǎn)的直線l與圓E相交于A、B兩點(diǎn),求AB中點(diǎn)M的軌跡方程.【答案】(1)(2),【解析】【分析】(1)結(jié)合已知條件利用待定系數(shù)法或圓的幾何性質(zhì)即可求解;(2)結(jié)合已知條件,利用垂徑定理可知M的軌跡為以EP為直徑的圓落在圓E內(nèi)的一段弧,進(jìn)而得到答案.【小問(wèn)1詳解】若選①:不妨設(shè)圓E的方程為:,因?yàn)閳AE經(jīng)過(guò)點(diǎn),,,所以,故圓E的方程為:,即;若選②:由直線方程可知,,故直線恒過(guò)點(diǎn),因?yàn)閳AE恒被直線平分,所以圓E的圓心為,因?yàn)樵趫A上,故圓的半徑,從而圓E的方程為:;若選③:不妨設(shè)圓E的圓心為,半徑為,此時(shí),故圓E的方程為:,分別將,代入上式可得,,故圓E的方程為:.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)镸為AB中點(diǎn),E為圓心,根據(jù)垂徑定理,得,所以點(diǎn)M落在以EP為直徑的圓上,且點(diǎn)M在圓E的內(nèi)部,即點(diǎn)M的軌跡為以EP為直徑的圓落在圓E內(nèi)的一段?。?yàn)?,,所以以EP為直徑的圓的方程為:,由,所以M的軌跡方程為:,.20.已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)和.(1)求橢圓的方程;(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與相交于,兩點(diǎn)(不經(jīng)過(guò)點(diǎn)),設(shè)直線,的斜率分別為,,試問(wèn)是否為定值?若是,求出該定值;否則,請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)是定值,.【解析】【分析】(1)根據(jù)題意,待定系數(shù)求解即可;(2)根據(jù)題意設(shè)直線的方程為,,進(jìn)而得,,再將直線方程與橢圓聯(lián)立,結(jié)合韋達(dá)定理化簡(jiǎn)整理求解即可.【小問(wèn)1詳解】解:因?yàn)闄E圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)和,所以,解得,所以橢圓的方程為.【小問(wèn)2詳解】解:根據(jù)題意,設(shè)直線的斜率必存在,故可設(shè)方程為,,所以聯(lián)立方程得,所以,解得,所以,所以因?yàn)?,,所?所以為定值,21.如圖所示,第九屆亞洲機(jī)器人錦標(biāo)賽VEX中國(guó)選拔賽永州賽區(qū)中,主辦方設(shè)計(jì)了一個(gè)矩形坐標(biāo)場(chǎng)地ABCD(包含邊界和內(nèi)部,A為坐標(biāo)原點(diǎn)),AD長(zhǎng)為10米,在AB邊上距離A點(diǎn)4米的F處放置一只電子狗,在距離A點(diǎn)2米的E處放置一個(gè)機(jī)器人,機(jī)器人行走速度為v,電子狗行走速度為,若電子狗和機(jī)器人在

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