甘肅省永昌縣第四中學2025屆高二上數學期末學業(yè)質量監(jiān)測模擬試題含解析

甘肅省永昌縣第四中學2025屆高二上數學期末學業(yè)質量監(jiān)測模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某中學的校友會為感謝學校的教育之恩，準備在學校修建一座四角攢尖的思源亭如圖它的上半部分的輪廓可近似看作一個正四棱錐，已知此正四棱錐的側面與底面所成的二面角為30°，側棱長為米，則以下說法不正確（）A.底面邊長為6米 B.體積為立方米C.側面積為平方米 D.側棱與底面所成角的正弦值為2．如圖，在直三棱柱中，且，點E為中點．若平面過點E，且平面與直線AB所成角和平面與平面所成銳二面角的大小均為30°，則這樣的平面有（）A.1個 B.2個C.3個 D.4個3．等差數列中，已知，，則的前項和的最小值為（）A. B.C. D.4．下列命題中正確的是（）A.若為真命題，則為真命題B.在中“”是“”的充分必要條件C.命題“若，則或”的逆否命題是“若或，則”D.命題，使得，則，使得5．等比數列的第4項與第6項分別為12和48，則公比的值為（）A. B.2C.或2 D.或6．如圖，在四面體中，，，，D為BC的中點，E為AD的中點，則可用向量，，表示為（）A. B.C. D.7．設函數在上可導，則等于（）A. B.C. D.以上都不對8．早在古希臘時期，亞歷山大的科學家赫倫就發(fā)現:光從一點直接傳播到另一點選擇最短路徑，即這兩點間的線段.若光從一點不是直接傳播到另一點，而是經由一面鏡子(即便鏡面是曲面)反射到另一點，仍然選擇最短路徑.已知曲線，且將假設為能起完全反射作用的曲面鏡，若光從點射出，經由上一點反射到點，則（）A. B.C. D.9．已知雙曲線的右焦點為，漸近線為，，過的直線與垂直，且交于點，交于點，若，則雙曲線的離心率為（）A. B.C.2 D.10．已知空間四個點，，，，則直線AD與平面ABC所成的角為（）A. B.C. D.11．已知雙曲線的兩個焦點為，，是此雙曲線上的一點，且滿足，，則該雙曲線的方程是（）A. B.C. D.12．設，隨機變量X的分布列如下表所示，隨機變量Y滿足，則當a在上增大時，關于的表述下列正確的是（）X013PabA增大 B.減小C.先增大后減小 D.先減小后增大二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知等差數列公差不為0，且，，等比數列，則_________.14．已知是橢圓的兩個焦點，點M在C上，則的最大值為_______15．已知命題p：若，則，那么命題p的否命題為______16．函數的圖象在點處的切線方程為____.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某城市地鐵公司為鼓勵人們綠色出行，決定按照乘客經過地鐵站的數量實施分段優(yōu)惠政策，不超過12站的地鐵票價如下表：乘坐站數票價（元）246現有甲、乙兩位乘客同時從起點乘坐同一輛地鐵，已知他們乘坐地鐵都不超過12站，且他們各自在每個站下地鐵的可能性是相同的.（1）若甲、乙兩人共付費6元，則甲、乙下地鐵的方案共有多少種？（2）若甲、乙兩人共付費8元，則甲比乙先下地鐵的方案共有多少種？18．（12分）設命題p：實數x滿足x≤2，或x＞6，命題q：實數x滿足x2﹣3ax+2a2＜0（其中a＞0）（1）若a＝2，且為真命題，求實數x的取值范圍；（2）若q是的充分不必要條件，求實數a的取值范圍.19．（12分）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，動點M滿足（1）求動點M的軌跡方程；（2）若動點M在雙曲線C上，設雙曲線C的左支上有兩個不同的點P，Q，點，且，直線NQ與雙曲線C交于另一點B．證明：動直線PB經過定點20．（12分）已知數列的前n項和為，，且（1）求數列的通項公式；（2）令，記數列的前n項和為，求證：21．（12分）求滿足下列條件的圓錐曲線方程的標準方程.（1）經過點，兩點的橢圓；（2）與雙曲線－＝1有相同的漸近線且經過點的雙曲線.22．（10分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面ABCD，，，，，.（1）證明：平面平面PAC；（2）求平面PCD與平面PAB夾角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】連接底面正方形的對角線交于點，連接，則為該正四棱錐的高，即平面，取的中點，連接，則的大小為側面與底面所成，設正方形的邊長為，求出該正四棱錐的底面邊長，斜高和高，然后對選項進行逐一判斷即可.【詳解】連接底面正方形的對角線交于點，連接則為該正四棱錐的高，即平面取的中點，連接，由正四棱錐的性質，可得由分別為的中點，所以，則所以為二面角的平面角，由條件可得設正方形的邊長為，則,又則,解得故選項A正確.所以,則該正四棱錐的體積為，故選項B正確.該正四棱錐的側面積為，故選項C正確.由題意為側棱與底面所成角，則，故選項D不正確.故選：D2、B【解析】構造出長方體，取中點連接然后利用臨界位置分情況討論即可.【詳解】如圖，構造出長方體，取中點，連接則所有過點與成角的平面，均與以為軸的圓錐相切，過點繞且與成角，當與水平面垂直且在面的左側（在長方體的外面）時，與面所成角為75°（與面成45°，與成30°），過點繞旋轉，轉一周，90°顯然最大，到了另一個邊界（在面與之間）為15度，即與面所成角從75°→90°→15°→90°→75°變化，此過程中，有兩次角為30

，綜上，這樣的平面α有2個，故選：B.3、B【解析】由等差數列的性質將轉化為，而，可知數列是遞增數，從而可求得結果【詳解】∵等差數列中，，∴，即．又，∴的前項和的最小值為故選：B4、B【解析】A選項，當一真一假時也滿足條件，但不滿足為真命題；B選項，可以使用正弦定理和大邊對大角，大角對大邊進行證明；C選項，利用逆否命題的定義進行判斷，D選項，特稱命題的否定，把存在改為任意，把結論否定，故可判斷D選項.【詳解】若為真命題，則可能均為真，或一真一假，則可能為真命題，也可能為假命題，故A錯誤；在中，由正弦定理得：，若，則，從而，同理，若，則由正弦定理得，，所以，故在中“”是“”的充分必要條件，B正確；命題“若，則或”的逆否命題是“若且，則”，故C錯誤；命題，使得，則，使得，故D錯誤.故選：B5、C【解析】根據等比數列的通項公式計算可得；詳解】解：依題意、，所以，即，所以；故選：C6、B【解析】利用空間向量的基本定理，用，，表示向量【詳解】因為是的中點，是的中點，，故選：B7、C【解析】根據目標式，結合導數的定義即可得結果.【詳解】.故選：C8、B【解析】記橢圓的右焦點為，根據橢圓定義，得到，由題中條件，確定本題的本質即是求的最小值，結合題中數據，即可求出結果.【詳解】記橢圓的右焦點為，根據橢圓的定義可得，，所以，因為，當且僅當三點共線時，，即；由題意可得，求的值，即是求最短路徑，即求的最小值，所以的最小值為，因此.故選：B.【點睛】思路點睛：求解橢圓上動點到一焦點和一定點距離和的最小值或差的最大值時，一般需要利用橢圓的定義，將問題轉化為動點與另一焦點以及該定點距離和的最值問題來求解即可.9、C【解析】由題設易知是的中垂線，進而可得，結合雙曲線參數關系及離心率公式求雙曲線的離心率即可.【詳解】由題意，是的中垂線，故，由對稱性得，則，故，∴.故選：C.10、A【解析】根據向量法求出線面角即可.【詳解】設平面的法向量為，直線AD與平面ABC所成的角為令，則則故選：A【點睛】本題主要考查了利用向量法求線面角，屬于中檔題.11、A【解析】由，可得進一步求出，由此得到，則該雙曲線的方程可求【詳解】，即，則．即，則該雙曲線的方程是：故選：A【點睛】方法點睛：求圓錐曲線的方程，常用待定系數法，先定式（根據已知確定焦點所在的坐標軸，設出曲線的方程），再定式（根據已知建立方程組解方程組得解）.12、A【解析】先求得參數b，再去依次去求、、，即可判斷出的單調性.【詳解】由得則，由得a在上增大時,增大.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設等差數列的公差為，由，，等比數列，可得，則的值可求【詳解】解：設等差數列的公差為，，，等比數列，，則，得，故答案為：14、16【解析】根據橢圓定義可得：，再用基本不等式求解.【詳解】由橢圓的定義可得：，由基本不等式得：，當且僅當時，等號成立，故的最大值為16故答案為：1615、若，則【解析】直接利用否命題的定義，對原命題的條件與結論都否定即可得結果【詳解】因為命題：若，則，所以否定條件與結論后，可得命題的否命題為若，則，故答案為若，則，【點睛】本題主要考查命題的否命題，意在考查對基礎知識的掌握與應用，屬于基礎題16、【解析】先求出導函數，進而根據導數的幾何意義求出切線的斜率，然后求出切線方程.【詳解】由題意，，，則切線方程為：.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）24（種）（2）21（種）【解析】（1）先根據共付費6元得一人付費2元一人付費4元，再確定人與乘坐站數，即可得結果；（2）先根據共付費8元得一人付費2元一人付費6元或兩人都付費4元，再求甲比乙先下地鐵的方案數.【小問1詳解】由已知可得：甲、乙兩人共付費6元，則甲、乙一人付費2元一人付費4元，又付費2元的乘坐站數有1，2，3三種選擇，付費4元的乘坐站數有4，5，6，7四種選，所以甲、乙下地鐵的方案共有（3×4）×2=24（種）.【小問2詳解】甲、乙兩人共付費8元，則甲、乙一人付費2元一人付費6元或兩人都付費4元；當甲付費2元，乙付費6元時，甲乘坐站數有1，2，3三種選擇，乙乘坐站數有8，9，10，11，12五種選擇，此時，共有35=15（種）方案；當兩人都付費4元時，若甲在第4站下地鐵，則乙可在第5，6，7站下地鐵，有3種方案；若甲在第5站下地鐵，則乙可在第6，7站下地鐵，有2種方案；若甲在第6站下地鐵，則乙可在第7站下地鐵，有1種方案；綜上，甲比乙先下地鐵的方案共有（種）.18、（1）{x|2＜x＜4}；（2）.【解析】（1）分別求出命題和為真時對應的取值范圍，即可求出；（2）由題可知，列出不等式組即可求解.【詳解】解：（1）當a＝2時，命題q：2＜x＜4，∵命題p：x≤2或x＞6，，又為真命題，∴x滿足，∴2＜x＜4，∴實數x的取值范圍{x|2＜x＜4}；（2）由題意得：命題q：a＜x＜2a；∵q是的充分不必要條件，，，解得，∴實數a的取值范圍.【點睛】結論點睛：本題考查根據充分不必要條件求參數，一般可根據如下規(guī)則判斷：（1）若是的必要不充分條件，則對應集合是對應集合的真子集；（2）若是的充分不必要條件，則對應集合是對應集合的真子集；（3）若是的充分必要條件，則對應集合與對應集合相等；（4）若是的既不充分又不必要條件，則對應的集合與對應集合互不包含19、（1）（2）證明見解析【解析】（1）根據雙曲線的定義求得的值得雙曲線方程；（2）確定垂直于軸，設直線BP的方程為，設，，則，直線方程代入雙曲線方程，由相交求得范圍，由韋達定理，利用N、B、Q三點共線，且NQ斜率存在，由斜率相等得出的關系，代入韋達定理的結論可求得的值，從而得直線BP所過定點【小問1詳解】因為，所以，動點M的軌跡是以點、為左、右焦點的雙曲線的左支，則，可得，，所以，點M的軌跡方程為；【小問2詳解】證明：∵，∴直線PQ垂直于x軸，易知，直線BP的斜率存在且不為0，設直線BP的方程為，設，，則，聯立，化簡得：，直線與雙曲線左支、右支各有一個交點，需滿足或，∴，，又，又N、B、Q三點共線，且NQ斜率存在，∴，即，∴，∴，∴，化簡得：，∴，∴，即，滿足判別式大于0，即直線BP方程為，所以直線BP過定點20、（1）（2）證明見解析【解析】（1）依題意可得，即可得到是以為首項，為公比的等比數列，從而求出數列的通項公式；（2）由（1）可得，利用錯位相減法求和，即可證明；【小問1詳解】解：因為，，所以，所以是以為首項，為公比的等比數列，所以，所以；【小問2詳解】解：由（1）可知，所以①，所以②；①②得所以；21、（1）；（2）【解析】（1）由題意可得，，從而可求出橢圓的標準方程，（2）由題意設雙曲線的共漸近線方程為,再將的坐標代入方程可求出的值，從而可求出雙曲線方程【小問1詳解】因為，所以P、Q分別是橢圓長軸和短軸上的端點，且橢圓的焦點在x軸上，所以，所以橢圓的標準方程為.【小問2詳解】設與雙曲線共漸近線的方程為,代入點，解得m=2,所以雙曲線的標準方程為22、（1）證明見解析（2）【解析】（1）過點C作于點H，由平面幾何知識證明，然后由線面垂直的性質得線線垂直，從而得線面垂直，然后可得面面垂直；（2）建立如圖所示的空