2025屆浙江省寧波華茂外國(guó)語(yǔ)學(xué)校數(shù)學(xué)高一上期末考試試題含解析

2025屆浙江省寧波華茂外國(guó)語(yǔ)學(xué)校數(shù)學(xué)高一上期末考試試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿(mǎn)、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線(xiàn)條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．若單位向量，滿(mǎn)足，則向量，夾角的余弦值為（）A. B.C. D.2．已知，則角所在的象限是A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限3．已知點(diǎn)，向量，若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.4．設(shè)，則（）A.a>b>c B.a>c>bC.c>a>b D.c>b>a5．已知集合M={x|1≤x＜3}，N={1，2}，則M∩N=（）A. B.C. D.6．已知函數(shù)，則函數(shù)（）A.有最小值 B.有最大值C.有最大值 D.沒(méi)有最值7．已知圓錐的底面半徑為，當(dāng)圓錐的體積為時(shí)，該圓錐的母線(xiàn)與底面所成角的正弦值為（）A. B.C. D.8．如圖，在平面內(nèi)放置兩個(gè)相同的直角三角板，其中，且三點(diǎn)共線(xiàn)，則下列結(jié)論不成立的是A. B.C.與共線(xiàn) D.9．如圖，正方體中，①與平行；②與垂直；③與垂直以上三個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是（）A.①② B.②③C.③ D.①②③10．已知中，，，點(diǎn)M是線(xiàn)段BC（含端點(diǎn)）上的一點(diǎn)，且，則的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．邊長(zhǎng)為3的正方形的四個(gè)頂點(diǎn)都在球上，與對(duì)角線(xiàn)的夾角為45°，則球的體積為_(kāi)_____.12．某房屋開(kāi)發(fā)公司用14400萬(wàn)元購(gòu)得一塊土地，該地可以建造每層的樓房，樓房的總建筑面積（即各層面積之和）每平方米平均建筑費(fèi)用與建筑高度有關(guān)，樓房每升高一層整幢樓房每平方米建筑費(fèi)用提高640元．已知建筑5層樓房時(shí)，每平方米建筑費(fèi)用為8000元，公司打算造一幢高于5層的樓房，為了使該樓房每平米的平均綜合費(fèi)用最低（綜合費(fèi)用是建筑費(fèi)用與購(gòu)地費(fèi)用之和），公司應(yīng)把樓層建成____________層，此時(shí)，該樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最低為_(kāi)___________元13．設(shè)是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則__________14．已知，則的值為_(kāi)__________.15．已知函數(shù)(，，)的部分圖象如圖，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為_(kāi)_____.16．給出以下四個(gè)結(jié)論：①若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域是；②函數(shù)（其中，且）圖象過(guò)定點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)的圖象是一條直線(xiàn)；④若，則的取值范圍是；⑤若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是___________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．—條光線(xiàn)從點(diǎn)發(fā)出，經(jīng)軸反射后，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求入射光線(xiàn)和反射光線(xiàn)所在的直線(xiàn)方程.18．如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，D，E分別為棱AB，BC的中點(diǎn)，M為棱AA1的中點(diǎn)（1）證明：A1B1⊥C1D；（2）若AA1＝4，求三棱錐A﹣MDE的體積19．已知函數(shù).（1）當(dāng)函數(shù)取得最大值時(shí)，求自變量x的集合；（2）完成下表，并在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)在的圖象.x0y20．如圖，角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，且.（1）求；（2）求.21．如圖，已知直角梯形中，且，又分別為的中點(diǎn)，將△沿折疊，使得.（Ⅰ）求證：AE⊥平面CDE；（Ⅱ）求證：FG∥平面BCD；（Ⅲ）在線(xiàn)段AE上找一點(diǎn)R，使得平面BDR⊥平面DCB，并說(shuō)明理由

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】將平方可得，再利用向量夾角公式可求出.【詳解】，是單位向量，，，，即，即，解得，則向量，夾角的余弦值為.故選：A.2、A【解析】根據(jù)題意，由于，則說(shuō)明正弦值和余弦值都是正數(shù)，因此可知角所在的象限是第一象限，故選A.考點(diǎn)：三角函數(shù)的定義點(diǎn)評(píng)：主要是考查了三角函數(shù)的定義的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題3、B【解析】設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算建立方程組，解之可得選項(xiàng).【詳解】設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，，A，所以，又，，所以.解得，解得點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：B.4、C【解析】分別求出的范圍即可比較.【詳解】，，，，，.故選：C.5、B【解析】根據(jù)集合交集的定義可得所求結(jié)果【詳解】∵，∴故選B【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是弄清兩集合交集中元素的特征，進(jìn)而得到所求集合，屬于基礎(chǔ)題6、B【解析】換元法后用基本不等式進(jìn)行求解.【詳解】令，則，因?yàn)?，，故，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故函數(shù)有最大值，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)，即有最小值.故選：B7、A【解析】首先理解圓錐體中母線(xiàn)與底面所成角的正弦值為它的高與母線(xiàn)的比值，結(jié)合圓錐的體積公式及已知條件即可求出正弦值.【詳解】如圖，根據(jù)圓錐的性質(zhì)得底面圓，所以即為母線(xiàn)與底面所成角，設(shè)圓錐的高為，則由題意，有，所以，所以母線(xiàn)的長(zhǎng)為，則圓錐的母線(xiàn)與底面所成角的正弦值為.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的體積，線(xiàn)面角的概念，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.本題解題的關(guān)鍵在于根據(jù)圓錐的性質(zhì)得即為母線(xiàn)與底面所成角，再根據(jù)幾何關(guān)系求解.8、D【解析】設(shè)BC=DE=m，∵∠A=30°，且B，C，D三點(diǎn)共線(xiàn)，則CD═AB=m，AC=EC=2m，∴∠ACB=∠CED=60°，∠ACE=90°，,故A、B、C成立；而，，即不成立，故選D.9、C【解析】根據(jù)線(xiàn)面平行、線(xiàn)面垂直的判定與性質(zhì)，即可得到正確答案【詳解】解：對(duì)于①，在正方體中，由圖可知與異面，故①不正確對(duì)于②，因?yàn)椋淮怪?，所以與不垂直，故②不正確對(duì)于③，在正方體中，平面，又∵平面，∴與垂直.故③正確故選：C【點(diǎn)睛】此題考查線(xiàn)線(xiàn)平行、線(xiàn)線(xiàn)垂直，考查學(xué)生的空間想象能力和對(duì)線(xiàn)面平行、線(xiàn)面垂直的判定與性質(zhì)的理解與掌握，屬基礎(chǔ)題10、D【解析】如圖所示，建立直角坐標(biāo)系，則，，，．利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得．再利用數(shù)量積運(yùn)算，可得．利用數(shù)量積性質(zhì)可得，可得．再利用，，可得，即可得出【詳解】如圖所示，建立直角坐標(biāo)系則，，，，，及四邊形為矩形，，，．即點(diǎn)在直線(xiàn)上，，，，，，即（當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)取等號(hào)），綜上可得：故選：【點(diǎn)睛】本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算及其性質(zhì)、不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】根據(jù)給定條件結(jié)合球的截面小圓性質(zhì)求出球O的半徑，再利用球的體積公式計(jì)算作答.【詳解】因邊長(zhǎng)為3的正方形的四個(gè)頂點(diǎn)都在球上，則正方形的外接圓是球O的截面小圓，其半徑為，令正方形的外接圓圓心為，由球面的截面小圓性質(zhì)知是直角三角形，且有，而與對(duì)角線(xiàn)的夾角為45°，即是等腰直角三角形，球O半徑，所以球體積為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及求球的表面積、體積問(wèn)題，利用球的截面小圓性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.12、①.15②.24000【解析】設(shè)公司應(yīng)該把樓建成層，可知每平方米的購(gòu)地費(fèi)用，已知建筑5層樓房時(shí)，每平方米建筑費(fèi)用為8000元，從中可得出建層的每平方米的建筑費(fèi)用，然后列出式子求得其最小值，從而可求得答案【詳解】設(shè)公司應(yīng)該把樓建成層，則由題意得每平方米購(gòu)地費(fèi)用為（元），每平方米的建筑費(fèi)用為（元），所以每平方米的平均綜合費(fèi)用為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以公司應(yīng)把樓層建成15層，此時(shí)，該樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最低為24000元，故答案為：15，2400013、【解析】由函數(shù)的性質(zhì)得，代入當(dāng)時(shí)的解析式求出的值，即可得解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，是上的奇函數(shù)，故答案為：14、##【解析】根據(jù)給定條件結(jié)合二倍角的正切公式計(jì)算作答.【詳解】因，則，所以的值為.故答案為：15、【解析】由函數(shù)的圖象得到函數(shù)的周期，同時(shí)根據(jù)圖象的性質(zhì)求得一個(gè)單調(diào)增區(qū)間，然后利用周期性即可寫(xiě)出所有的增區(qū)間.【詳解】由圖可知函數(shù)f(x)的最小正周期.如圖所示，一個(gè)周期內(nèi)的最低點(diǎn)和最高點(diǎn)分別記作，分別作在軸上的射影，記作,根據(jù)的對(duì)稱(chēng)性可得的橫坐標(biāo)分別為,∴是函數(shù)f(x)的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間，∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是,故答案為：,【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵在于掌握函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性和周期性.一般往往先從函數(shù)的圖象確定函數(shù)中的各個(gè)參數(shù)的值，再利用函數(shù)的解析式和正弦函數(shù)的性質(zhì)求得單調(diào)區(qū)間，但是直接由圖象得到函數(shù)的周期，并根據(jù)函數(shù)的圖象的性質(zhì)求得一個(gè)單調(diào)增區(qū)間，進(jìn)而寫(xiě)出所有的增區(qū)間，更為簡(jiǎn)潔.16、①④⑤【解析】根據(jù)抽象函數(shù)的定義域，對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、冪函數(shù)的定義、對(duì)數(shù)不等式的求解方法，以及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的討論，對(duì)每一項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】對(duì)①：因?yàn)椋?，所以的定義域?yàn)?，令，故，即的定義域?yàn)?，故①正確；對(duì)②：當(dāng)，，圖象恒過(guò)定點(diǎn)，故②錯(cuò)誤；對(duì)③：若，則的圖象是兩條射線(xiàn)，故③錯(cuò)誤；對(duì)④：原不等式等價(jià)于，故（無(wú)解）或，解得，故④正確；對(duì)⑤：實(shí)數(shù)應(yīng)滿(mǎn)足，解得，故⑤正確；綜上所述：正確結(jié)論的序號(hào)為①④⑤.【點(diǎn)睛】（1）抽象函數(shù)的定義域是一個(gè)難點(diǎn)，一般地，如果已知的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)椋敲吹亩x域?yàn)?；如果已知的定義域?yàn)?，那么的定義域可取為.（2）形如的復(fù)合函數(shù)，如果已知其在某區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，我們不僅要考慮在給定區(qū)間上單調(diào)性，還要考慮到其在給定區(qū)間上總有成立.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、入射光線(xiàn)所在直線(xiàn)方程為2x－y－4＝0，反射光線(xiàn)所在直線(xiàn)方程為2x＋y－4＝0【解析】如圖所示，作A點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，顯然，A′坐標(biāo)為(3，－2)，連接A′B，則A′B所在直線(xiàn)即為反射光線(xiàn)由兩點(diǎn)式可得直線(xiàn)A′B的方程為，即2x＋y－4＝0.同理，點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B′(－1，－6)，由兩點(diǎn)式可得直線(xiàn)AB′的方程為，即2x－y－4＝0，∴入射光線(xiàn)所在直線(xiàn)方程為2x－y－4＝0，反射光線(xiàn)所在直線(xiàn)方程為2x＋y－4＝0.考點(diǎn)：兩點(diǎn)式直線(xiàn)方程，對(duì)稱(chēng)問(wèn)題.18、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）通過(guò)證明AB⊥CD，AB⊥CC1，證明A1B1⊥平面CDC1，然后證明A1B1⊥C1D；（2）求出底面△DCE的面積，求出對(duì)應(yīng)的高，即點(diǎn)到底面DCE的距離，然后求解四面體M-CDE的體積，由三棱錐A﹣MDE的體積就是三棱錐M﹣CDE的體積得結(jié)論.【詳解】（1）證明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，∴AB⊥CD，AB⊥CC1，CD∩CC1＝C，∴AB⊥平面CDC1，∵A1B1∥AB，∴A1B1⊥平面CDC1，∵C1D平面CDC1，∴A1B1⊥C1D；（2）解：三棱錐A﹣MDE的體積就是三棱錐M﹣CDE的體積，AC＝BC＝2，D，E分別為棱AB，BC的中點(diǎn)，M為棱AA1的中點(diǎn)．AA1＝4，所以AM＝2，AB⊥CD，三棱錐A﹣MDE的體積：【點(diǎn)睛】本題考查線(xiàn)面垂直，考查點(diǎn)到面的距離，解題的關(guān)鍵是利用線(xiàn)面垂直證明線(xiàn)線(xiàn)線(xiàn)垂直，利用等體積法求點(diǎn)到面的距離，是中檔題19、（1）（2）答案見(jiàn)解析【解析】(1)由三角恒等變換求出解析式，再求得最大值時(shí)的x的集合,(2)由五點(diǎn)法作圖,列出表格,并畫(huà)圖即可.【小問(wèn)1詳解】令，函數(shù)取得最大值，解得，所以此時(shí)x集合為.【小問(wèn)2詳解】表格如下：x0y11作圖如下，20、（1）；（2）【解析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義，平方關(guān)系以及點(diǎn)的位置可求出，再由商數(shù)關(guān)系即可求出；（2）利用誘導(dǎo)公式即可求出【小問(wèn)1詳解】由三角函數(shù)定義知,所以,因,所以,所以.【小問(wèn)2詳解】原式.21、（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）見(jiàn)解析【解析】（Ⅰ）（Ⅱ）利用判定定理證明線(xiàn)面平行時(shí)，關(guān)鍵是在平面內(nèi)找一條與已知直線(xiàn)平行的直線(xiàn)，解題時(shí)可先直觀判斷平面內(nèi)是否已有，若沒(méi)有，則需作出該直線(xiàn)，?？紤]三角形的中位線(xiàn)、平行四邊形的對(duì)邊或過(guò)平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例等．證明直線(xiàn)和平面垂直的常用方法：（1）利用判定定理．（2）利用判定定理的推論．（3）利用面面平行的性質(zhì)．（4）利用面面垂直的性質(zhì).（Ⅲ）判定面面垂直的方法（1）面面垂直的定義，即證兩平面所成的二面角為直角；（2）面面垂直的判定定理試題解析：（1）由已知得DE⊥AE，AE⊥EC.∵DE∩EC＝