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文檔簡介
2025屆云南省河口縣第一中學(xué)高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.在中,點為中點,過點的直線與,所在直線分別交于點,,若,,則的最小值為()A. B.2 C.3 D.2.設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域為,若從圓:的內(nèi)部隨機選取一點,則取自的概率為()A. B. C. D.3.某幾何體的三視圖如右圖所示,則該幾何體的外接球表面積為()A. B.C. D.4.已知函數(shù),滿足對任意的實數(shù),都有成立,則實數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.5.已知,,,則的大小關(guān)系為()A. B. C. D.6.若,,,則下列結(jié)論正確的是()A. B. C. D.7.若函數(shù)的定義域為M={x|-2≤x≤2},值域為N={y|0≤y≤2},則函數(shù)的圖像可能是()A. B. C. D.8.已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù),設(shè)其前n項和,若(),則()A.30 B. C. D.629.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A. B. C. D.10.某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐的體積為A. B. C.2 D.11.某三棱錐的三視圖如圖所示,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為,則該三棱錐外接球的表面積為()A. B. C. D.12.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.拋物線的焦點坐標(biāo)為______.14.已知變量x,y滿足約束條件x-y≤0x+2y≤34x-y≥-6,則15.棱長為的正四面體與正三棱錐的底面重合,若由它們構(gòu)成的多面體的頂點均在一球的球面上,則正三棱錐的內(nèi)切球半徑為______.16.從一箱產(chǎn)品中隨機地抽取一件,設(shè)事件抽到一等品,事件抽到二等品,事件抽到三等品,且已知,,,則事件“抽到的產(chǎn)品不是一等品”的概率為________三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)某市計劃在一片空地上建一個集購物、餐飲、娛樂為一體的大型綜合園區(qū),如圖,已知兩個購物廣場的占地都呈正方形,它們的面積分別為13公頃和8公頃;美食城和歡樂大世界的占地也都呈正方形,分別記它們的面積為公頃和公頃;由購物廣場、美食城和歡樂大世界圍成的兩塊公共綠地都呈三角形,分別記它們的面積為公頃和公頃.(1)設(shè),用關(guān)于的函數(shù)表示,并求在區(qū)間上的最大值的近似值(精確到0.001公頃);(2)如果,并且,試分別求出、、、的值.18.(12分)已知(1)當(dāng)時,判斷函數(shù)的極值點的個數(shù);(2)記,若存在實數(shù),使直線與函數(shù)的圖象交于不同的兩點,求證:.19.(12分)某貧困地區(qū)幾個丘陵的外圍有兩條相互垂直的直線型公路,以及鐵路線上的一條應(yīng)開鑿的直線穿山隧道,為進一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀,計劃修建一條連接兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公路,以所在的直線分別為軸,軸,建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示,山區(qū)邊界曲線為,設(shè)公路與曲線相切于點,的橫坐標(biāo)為.(1)當(dāng)為何值時,公路的長度最短?求出最短長度;(2)當(dāng)公路的長度最短時,設(shè)公路交軸,軸分別為,兩點,并測得四邊形中,,,千米,千米,求應(yīng)開鑿的隧道的長度.20.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)若,求曲線與的交點坐標(biāo);(2)過曲線上任意一點作與夾角為45°的直線,交于點,且的最大值為,求的值.21.(12分)設(shè)不等式的解集為M,.(1)證明:;(2)比較與的大小,并說明理由.22.(10分)表示,中的最大值,如,己知函數(shù),.(1)設(shè),求函數(shù)在上的零點個數(shù);(2)試探討是否存在實數(shù),使得對恒成立?若存在,求的取值范圍;若不存在,說明理由.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】
由,,三點共線,可得,轉(zhuǎn)化,利用均值不等式,即得解.【詳解】因為點為中點,所以,又因為,,所以.因為,,三點共線,所以,所以,當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立,所以的最小值為1.故選:B【點睛】本題考查了三點共線的向量表示和利用均值不等式求最值,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運算的能力,屬于中檔題.2、B【解析】
畫出不等式組表示的可行域,求得陰影部分扇形對應(yīng)的圓心角,根據(jù)幾何概型概率計算公式,計算出所求概率.【詳解】作出中在圓內(nèi)部的區(qū)域,如圖所示,因為直線,的傾斜角分別為,,所以由圖可得取自的概率為.故選:B【點睛】本小題主要考查幾何概型的計算,考查線性可行域的畫法,屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】
由三視圖知:幾何體為三棱錐,且三棱錐的一條側(cè)棱垂直于底面,結(jié)合直觀圖判斷外接球球心的位置,求出半徑,代入求得表面積公式計算.【詳解】由三視圖知:幾何體為三棱錐,且三棱錐的一條側(cè)棱垂直于底面,高為2,底面為等腰直角三角形,斜邊長為,如圖:的外接圓的圓心為斜邊的中點,,且平面,,的中點為外接球的球心,半徑,外接球表面積.故選:A【點睛】本題考查了由三視圖求幾何體的外接球的表面積,根據(jù)三視圖判斷幾何體的結(jié)構(gòu)特征,利用幾何體的結(jié)構(gòu)特征與數(shù)據(jù)求得外接球的半徑是解答本題的關(guān)鍵.4、B【解析】
由題意可知函數(shù)為上為減函數(shù),可知函數(shù)為減函數(shù),且,由此可解得實數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意知函數(shù)是上的減函數(shù),于是有,解得,因此,實數(shù)的取值范圍是.故選:B.【點睛】本題考查利用分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù),一般要分析每支函數(shù)的單調(diào)性,同時還要考慮分段點處函數(shù)值的大小關(guān)系,考查運算求解能力,屬于中等題.5、A【解析】
根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,借助特殊值即可比較大小.【詳解】因為,所以.因為,所以,因為,為增函數(shù),所以所以,故選:A.【點睛】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,利用單調(diào)性比較大小,屬于中檔題.6、D【解析】
根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),取得的取值范圍,即可求解,得到答案.【詳解】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),可得,即,又由,所以.故選:D.【點睛】本題主要考查了指數(shù)冪的比較大小,其中解答中熟記指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),求得的取值范圍是解答的關(guān)鍵,著重考查了計算能力,屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】因為對A不符合定義域當(dāng)中的每一個元素都有象,即可排除;對B滿足函數(shù)定義,故符合;對C出現(xiàn)了定義域當(dāng)中的一個元素對應(yīng)值域當(dāng)中的兩個元素的情況,不符合函數(shù)的定義,從而可以否定;對D因為值域當(dāng)中有的元素沒有原象,故可否定.故選B.8、B【解析】
根據(jù),分別令,結(jié)合等比數(shù)列的通項公式,得到關(guān)于首項和公比的方程組,解方程組求出首項和公式,最后利用等比數(shù)列前n項和公式進行求解即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為,由題意可知中:.由,分別令,可得、,由等比數(shù)列的通項公式可得:,因此.故選:B【點睛】本題考查了等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式的應(yīng)用,考查了數(shù)學(xué)運算能力.9、A【解析】
利用已知條件畫出幾何體的直觀圖,然后求解幾何體的體積.【詳解】幾何體的三視圖的直觀圖如圖所示,則該幾何體的體積為:.故選:.【點睛】本題考查三視圖求解幾何體的體積,判斷幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵.10、A【解析】由給定的三視圖可知,該幾何體表示一個底面為一個直角三角形,且兩直角邊分別為和,所以底面面積為高為的三棱錐,所以三棱錐的體積為,故選A.11、C【解析】
作出三棱錐的實物圖,然后補成直四棱錐,且底面為矩形,可得知三棱錐的外接球和直四棱錐的外接球為同一個球,然后計算出矩形的外接圓直徑,利用公式可計算出外接球的直徑,再利用球體的表面積公式即可得出該三棱錐的外接球的表面積.【詳解】三棱錐的實物圖如下圖所示:將其補成直四棱錐,底面,可知四邊形為矩形,且,.矩形的外接圓直徑,且.所以,三棱錐外接球的直徑為,因此,該三棱錐的外接球的表面積為.故選:C.【點睛】本題考查三棱錐外接球的表面積,解題時要結(jié)合三視圖作出三棱錐的實物圖,并分析三棱錐的結(jié)構(gòu),選擇合適的模型進行計算,考查推理能力與計算能力,屬于中等題.12、D【解析】
將復(fù)數(shù)化簡得,,即可得到對應(yīng)的點為,即可得出結(jié)果.【詳解】,對應(yīng)的點位于第四象限.故選:.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運算,考查共軛復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)與平面內(nèi)點的對應(yīng),難度容易.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
變換得到,計算焦點得到答案.【詳解】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為,,所以焦點坐標(biāo)為.故答案為:【點睛】本題考查了拋物線的焦點坐標(biāo),屬于簡單題.14、-5【解析】
畫出x,y滿足的可行域,當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=x-2y經(jīng)過點A時,z最小,求解即可?!驹斀狻慨嫵鰔,y滿足的可行域,由x+2y=34x-y=-6解得A-1,2,當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=x-2y經(jīng)過點A【點睛】本題考查的是線性規(guī)劃問題,解決線性規(guī)劃問題的實質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化,即數(shù)形結(jié)合思想。需要注意的是:一,準(zhǔn)確無誤地作出可行域;二,畫目標(biāo)函數(shù)所對應(yīng)的直線時,要注意讓其斜率與約束條件中的直線的斜率進行比較,避免出錯;三,一般情況下,目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值會在可行域的端點或邊界上取得。15、【解析】
由棱長為的正四面體求出外接球的半徑,進而求出正三棱錐的高及側(cè)棱長,可得正三棱錐的三條側(cè)棱兩兩相互垂直,進而求出體積與表面積,設(shè)內(nèi)切圓的半徑,由等體積,求出內(nèi)切圓的半徑.【詳解】由題意可知:多面體的外接球即正四面體的外接球作面交于,連接,如圖則,且為外接球的直徑,可得,設(shè)三角形的外接圓的半徑為,則,解得,設(shè)外接球的半徑為,則可得,即,解得,設(shè)正三棱錐的高為,因為,所以,所以,而,所以正三棱錐的三條側(cè)棱兩兩相互垂直,所以,設(shè)內(nèi)切球的半徑為,,即解得:.故答案為:.【點睛】本題考查多面體與球的內(nèi)切和外接問題,考查轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查空間想象能力、運算求解能力,求解時注意借助幾何體的直觀圖進行分析.16、0.35【解析】
根據(jù)對立事件的概率和為1,結(jié)合題意,即可求出結(jié)果來.【詳解】解:由題意知本題是一個對立事件的概率,抽到的不是一等品的對立事件是抽到一等品,,抽到不是一等品的概率是,故答案為:.【點睛】本題考查了求互斥事件與對立事件的概率的應(yīng)用問題,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1),最大值公頃;(2)17、25、5、5.【解析】
(1)由余弦定理求出三角形ABC的邊長BC,進而可以求出,,由面積公式求出,,即可求出,并求出最值;(2)由(1)知,,,即可求出、,再算出,代入(1)中表達式求出,?!驹斀狻浚?)由余弦定理得,,所以,,同理可得又,所以,故在區(qū)間上的最大值為,近似值為。(2)由(1)知,,,所以,進而,由知,,,故、、、的值分別是17、25、5、5?!军c睛】本題主要考查利用余弦定理解三角形以及同角三角函數(shù)平方關(guān)系的應(yīng)用,意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模以及數(shù)學(xué)運算能力。18、(1)沒有極值點;(2)證明見解析【解析】
(1)求導(dǎo)可得,再求導(dǎo)可得,則在遞增,則,從而在遞增,即可判斷;(2)轉(zhuǎn)化問題為存在且,使,可得,由(1)可知,即,則,整理可得,則,設(shè),則可整理為,設(shè),利用導(dǎo)函數(shù)可得,即可求證.【詳解】(1)當(dāng)時,,,所以在遞增,所以,所以在遞增,所以函數(shù)沒有極值點.(2)由題,,若存在實數(shù),使直線與函數(shù)的圖象交于不同的兩點,即存在且,使.由可得,,由(1)可知,可得.,所以,即,下面證明,只需證明:,令,則證,即.設(shè),那么,所以,所以,即【點睛】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的極值點,考查利用導(dǎo)函數(shù)解決雙變量問題,考查運算能力與推理論證能力.19、(1)當(dāng)時,公路的長度最短為千米;(2)(千米).【解析】
(1)設(shè)切點的坐標(biāo)為,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的方程為,根據(jù)兩點間距離得出,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)性,從而得出極值和最值,即可得出結(jié)果;(2)在中,由余弦定理得出,利用正弦定理,求出,最后根據(jù)勾股定理即可求出的長度.【詳解】(1)由題可知,設(shè)點的坐標(biāo)為,又,則直線的方程為,由此得直線與坐標(biāo)軸交點為:,則,故,設(shè),則.令,解得=10.當(dāng)時,是減函數(shù);當(dāng)時,是增函數(shù).所以當(dāng)時,函數(shù)有極小值,也是最小值,所以,此時.故當(dāng)時,公路的長度最短,最短長度為千米.(2)在中,,,所以,所以,根據(jù)正弦定理,,,,又,所以.在中,,,由勾股定理可得,即,解得,(千米).【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)解決實際的最值問題,涉及構(gòu)造函數(shù)法以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性和極值,還考查正余弦定理的實際應(yīng)用,還考查解題分析能力和計算能力.20、(1),;(2)或【解析】
(1)將曲線的極坐標(biāo)方程和直線的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程,聯(lián)立方程,即可求得曲線與的交點坐標(biāo);(2)由直線的普通方程為,故上任意一點,根據(jù)點到直線距離公式求得到直線的距離,根據(jù)三角函數(shù)的有界性,即可求得答案.【詳解】(1),.由,得,曲線的直角坐標(biāo)方程為.當(dāng)時,直線的普通方程為由解得或.從而與的交點坐標(biāo)為,.(2)由題意知直線的普通方程為,的參數(shù)方程為(為參數(shù))故上任意一點到的距離為則.當(dāng)時,的最大值為所以;當(dāng)時,的最大值為,所以.綜上所述,或【點睛】解題關(guān)鍵是掌握極坐標(biāo)和參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法,和點到直線距離公式,考查了分析能力和計算能力,屬于中檔題.21、(1)證明見解析;(2).【解析】試題分析:(1)首先求得集合M,然后結(jié)合絕對值不等式的性質(zhì)即可證得題中的結(jié)論;(2)利用平方做差的方法可證得|1-4ab|>2|a-b|.試題解析:(Ⅰ)證明:記f(x)=|x-1|-|x+2|,則f(x)=,所以解得-<x<,故M=(-,).所以,||≤|a|+|b|<×+×=.(Ⅱ)由(Ⅰ)得0≤a2<,0≤b2<.|1-4ab|2-4|a-b|2=(1-8ab+16a2b2)-4(a2-2ab+b2)=4(a2-1)(b2-1)>0.所以,|1-4ab|>2|a-b|.22、(1)個;(1)存在,.【解析】試題分析:(1)設(shè),對其求導(dǎo),及最小值,從而得到的解析式,進一步求值域即可;(1)分別對和兩種情況進行討論,得到的解析式,進一步構(gòu)造,通過求導(dǎo)得到最值,得到滿足條件的的范圍.試題解析:(1)設(shè),...
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