云南省玉溪市元江民中2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測(cè)試題含解析

云南省玉溪市元江民中2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知，則（）A. B.C. D.2．已知，則下列不等式一定成立的是（）A B.C. D.3．設(shè)，命題“若，則或”的否命題是（）A.若，則或B.若，則或C.若，則且D.若，則且4．函數(shù)的定義域?yàn)殚_區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖像如圖所示，則函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)有極小值點(diǎn)（）A.個(gè) B.個(gè)C.個(gè) D.個(gè)5．在中國(guó)，周朝時(shí)期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例.在西方，最早提出并證明此定理的為公元前世紀(jì)古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，他們用演繹法證明了直角三角形斜邊平方等于兩直角邊平方之和.若一個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)等于則這個(gè)直角三角形周長(zhǎng)的最大值為（）A. B.C. D.6．已知數(shù)列滿足，在任意相鄰兩項(xiàng)與(k＝1，2，…)之間插入個(gè)2，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列．記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則的值為（）A.162 B.163C.164 D.1657．直線且的傾斜角為（）A. B.C. D.8．設(shè)是等比數(shù)列，且，，則（）A.12 B.24C.30 D.329．某地政府為落實(shí)疫情防控常態(tài)化，不定時(shí)從當(dāng)?shù)?80名公務(wù)員中，采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取30人做核酸檢測(cè).把這批公務(wù)員按001到780進(jìn)行編號(hào)，若054號(hào)被抽中，則下列編號(hào)也被抽中的是（）A.076 B.104C.390 D.52210．設(shè)橢圓C：的右焦點(diǎn)為F，過原點(diǎn)O的動(dòng)直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，那么的周長(zhǎng)的取值范圍為（）A. B.C. D.11．給出下列判斷，其中正確的是（）A.三點(diǎn)唯一確定一個(gè)平面B.一條直線和一個(gè)點(diǎn)唯一確定一個(gè)平面C.兩條平行直線與同一條直線相交，三條直線在同一平面內(nèi)D.空間兩兩相交的三條直線在同一平面內(nèi)12．方程化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)f(x)=x3－3x2+2，則函數(shù)f(x)的極大值為______14．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是__________15．已知數(shù)列滿足：，，則______16．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，雙曲線左支上點(diǎn)滿足，則的面積為_________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）二項(xiàng)式展開式中第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是第三項(xiàng)系數(shù)的4倍.求：（1）；（2）展開式中的所有的有理項(xiàng).18．（12分）圓的圓心為，且與直線相切，求：（1）求圓的方程；（2）過的直線與圓交于，兩點(diǎn)，如果，求直線的方程19．（12分）某工廠修建一個(gè)長(zhǎng)方體無蓋蓄水池，其容積為4800立方米，深度為3米．池底每平方米的造價(jià)為150元，池壁每平方米的造價(jià)為120元．設(shè)池底長(zhǎng)方形長(zhǎng)為x米（1）求底面積，并用含x的表達(dá)式表示池壁面積；（2）怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低?最低造價(jià)是多少?20．（12分）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，，分別為線段，的中點(diǎn).（1）求點(diǎn)到平面的距離；（2）求平面與平面夾角的余弦值.21．（12分）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，其外接圓半徑為，已知（1）求角；（2）若邊的長(zhǎng)是該邊上高的倍，求22．（10分）在①，；②，；③，.這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中.問題：已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，___________.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）已知，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及求導(dǎo)法則求導(dǎo)函數(shù)即可.【詳解】.故選：B.2、B【解析】運(yùn)用不等式的性質(zhì)及舉反例的方法可求解.【詳解】對(duì)于A，如，滿足條件，但不成立，故A不正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，所以，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，所以不成立，故C不正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，所以，故D不正確.故選：B3、C【解析】根據(jù)否命題的定義直接可得.【詳解】根據(jù)否命題的定義可得命題“若，則或”的否命題是若，則且，故選：C.4、A【解析】利用極小值的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】由導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的圖象可知，函數(shù)在內(nèi)的圖象與軸有四個(gè)公共點(diǎn)，在從左到右第一個(gè)點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)左正右負(fù)，在從左到右第二個(gè)點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)左負(fù)右正，在從左到右第三個(gè)點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)左正右正，在從左到右第四個(gè)點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)左正右負(fù)，所以函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的極小值點(diǎn)有個(gè)，故選：A.5、C【解析】設(shè)直角三角形的兩條直角邊邊長(zhǎng)分別為，則，根據(jù)基本不等式求出的最大值后，可得三角形周長(zhǎng)的最大值.【詳解】設(shè)直角三角形的兩條直角邊邊長(zhǎng)分別為，則.因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故這個(gè)直角三角形周長(zhǎng)的最大值為故選：C6、C【解析】確定數(shù)列的前70項(xiàng)含有的前6項(xiàng)和64個(gè)2，從而求出前70項(xiàng)和.【詳解】，其中之間插入2個(gè)2，之間插入4個(gè)2，之間插入8個(gè)2，之間插入16個(gè)2，之間插入32個(gè)2，之間插入64個(gè)2，由于，，故數(shù)列的前70項(xiàng)含有的前6項(xiàng)和64個(gè)2，故故選：C7、C【解析】由直線方程可知其斜率，根據(jù)斜率和傾斜角關(guān)系可得結(jié)果.【詳解】直線方程可化為：，直線的斜率，直線的傾斜角為.故選：C.8、D【解析】根據(jù)已知條件求得的值，再由可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，，因此，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列基本量的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題9、D【解析】根據(jù)題意，求得組數(shù)與抽中編號(hào)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，即可判斷和選擇.【詳解】從780名公務(wù)員中，采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取30人做核酸檢測(cè)，故需要分為組，每組人，設(shè)第組抽中的編號(hào)為，設(shè)，由題可知：，故可得，故可得.當(dāng)時(shí)，.故選：.10、A【解析】根據(jù)橢圓的對(duì)稱性橢圓的定義可得，結(jié)合的范圍求的周長(zhǎng)的取值范圍.【詳解】的周長(zhǎng)，又因?yàn)锳，B兩點(diǎn)為過原點(diǎn)O的動(dòng)直線l與橢圓C的交點(diǎn)，所以A，B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，橢圓C的左焦點(diǎn)為，則，所以，又因?yàn)槿c(diǎn)不共線，所以，所以的周長(zhǎng)的取值范圍為，故選：A.11、C【解析】根據(jù)確定平面的條件可對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷.【詳解】對(duì)A，如果三點(diǎn)在同一條直線上，則不能確定一個(gè)平面，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，如果這個(gè)點(diǎn)在這條直線上，就不能確定一個(gè)平面，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，兩條平行直線確定一個(gè)平面，一條直線與這兩條平行直線都相交，則這條直線就在這兩條平行直線確定的一個(gè)平面內(nèi)，故這三條直線在同一平面內(nèi)，C正確；對(duì)D，空間兩兩相交的三條直線可確定一個(gè)平面，也可確定三個(gè)平面，故D錯(cuò)誤.故選：C12、D【解析】由方程的幾何意義得到是橢圓，進(jìn)而得到焦點(diǎn)和長(zhǎng)軸長(zhǎng)求解.【詳解】∵方程，表示平面內(nèi)到定點(diǎn)、的距離的和是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡，∴它的軌跡是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸，焦距的橢圓；∴；∴橢圓的方程是，即為化簡(jiǎn)的結(jié)果故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而得到極大值.【詳解】，令，解得：，00極大值極小值所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，即函數(shù)的極大值為.故答案為：14、【解析】利用復(fù)數(shù)除法化簡(jiǎn)，由共軛復(fù)數(shù)的概念寫出即可.【詳解】，∴.故答案為：15、【解析】令n=n-1代回原式，相減可得，利用累乘法，即可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，兩式相減可得，整理得，所以，整理得，又，解得.故答案為：16、3【解析】由雙曲線方程可得，利用雙曲線定義，以及直角三角形的勾股定理可得，由此求得答案.【詳解】由雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，雙曲線左支上點(diǎn)滿足，可得:，則，且，故，所以，故，故答案為：3三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）6；（2），，【解析】（1）先得到二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，再根據(jù)第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是第三項(xiàng)系數(shù)的4倍，建立方程求解.（2）根據(jù)（1）的通項(xiàng)公式求解.【詳解】（1）二項(xiàng)展開式的通項(xiàng).依題意得，，所以，解得.（2）由（1）得，當(dāng)，3，6時(shí)為有理項(xiàng)，故有理有，，.【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.18、（1）（2）或【解析】由點(diǎn)到直線的距離公式求得圓的半徑，則圓的方程可求；當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，求得弦長(zhǎng)為，滿足題意；當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)出直線方程，求出圓心到直線的距離，再由垂徑定理列式求，則直線方程可求【小問1詳解】由題意得：圓的半徑為，則圓的方程為；【小問2詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為，得，符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，即圓心到直線的距離，則，解得直線的方程為直線的方程為或19、（1)1600,（平方米）；（2）池底設(shè)計(jì)為邊長(zhǎng)40米的正方形時(shí)總造價(jià)最低，最低造價(jià)為268800元.【解析】（1）根據(jù)題意，由于修建一個(gè)長(zhǎng)方體無蓋蓄水池，其容積為4800立方米，深度為3米可得底面積為1600，池壁面積s=.（2）同時(shí)池底每平方米的造價(jià)為150元，池壁每平方米的造價(jià)為120元設(shè)池底長(zhǎng)方形長(zhǎng)為x米，則可知總造價(jià)s=,x=40時(shí)，則.故可知當(dāng)x=40時(shí)，則有可使得總造價(jià)最低,最低造價(jià)是268800元.考點(diǎn)：不等式求解最值點(diǎn)評(píng)：主要是考查了不等式求解最值的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）；（2）.【解析】（1）以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.可根據(jù)題意寫出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出平面的法向量和的坐標(biāo)，點(diǎn)到平面的距離.計(jì)算即可求出答案.（2）由（1）知平面的法向量，在把平面的法向量表示出來，平面與平面夾角的余弦值為，計(jì)算即可求出答案.【小問1詳解】以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由于正方體的棱長(zhǎng)為2和，分別為線段，的中點(diǎn)知，.設(shè)平面的法向量為..則..故點(diǎn)到平面的距離.【小問2詳解】平面的法向量，平面與平面夾角的余弦值.21、（1）；（2）【解析】（1）利用正弦定理將角化邊，再利用余弦定理計(jì)算可得；（2）記邊上的高為，不妨設(shè)，即可求出，再利用余弦定理求出，在中，記，根據(jù)銳角三角函數(shù)求出，，最后根據(jù)，利用兩角和的余弦公式計(jì)算可得；【詳解】解：（1）由已知條件，所以，所以所以，，由余弦定理可得，而，于是（2）記邊上的高為，不妨設(shè)，則，，，所以，由余弦定理得，在中，記，則