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文檔簡介
齊魯名校教科研協(xié)作體山東、湖北部分重點(diǎn)中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.△ABC中,AB=3,,AC=4,則△ABC的面積是()A. B. C.3 D.2.已知函數(shù),且的圖象經(jīng)過第一、二、四象限,則,,的大小關(guān)系為()A. B.C. D.3.記單調(diào)遞增的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,,則()A. B. C. D.4.已知雙曲線:,,為其左、右焦點(diǎn),直線過右焦點(diǎn),與雙曲線的右支交于,兩點(diǎn),且點(diǎn)在軸上方,若,則直線的斜率為()A. B. C. D.5.設(shè)集合(為實(shí)數(shù)集),,,則()A. B. C. D.6.費(fèi)馬素?cái)?shù)是法國大數(shù)學(xué)家費(fèi)馬命名的,形如的素?cái)?shù)(如:)為費(fèi)馬索數(shù),在不超過30的正偶數(shù)中隨機(jī)選取一數(shù),則它能表示為兩個(gè)不同費(fèi)馬素?cái)?shù)的和的概率是()A. B. C. D.7.寧波古圣王陽明的《傳習(xí)錄》專門講過易經(jīng)八卦圖,下圖是易經(jīng)八卦圖(含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦),每一卦由三根線組成(“—”表示一根陽線,“——”表示一根陰線).從八卦中任取兩卦,這兩卦的六根線中恰有四根陰線的概率為()A. B. C. D.8.已知集合,,則()A. B. C. D.9.已知函數(shù),若關(guān)于的方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.10.2019年10月1日上午,慶祝中華人民共和國成立70周年閱兵儀式在天安門廣場隆重舉行.這次閱兵不僅展示了我國的科技軍事力量,更是讓世界感受到了中國的日新月異.今年的閱兵方陣有一個(gè)很搶眼,他們就是院??蒲蟹疥?他們是由軍事科學(xué)院、國防大學(xué)、國防科技大學(xué)聯(lián)合組建.若已知甲、乙、丙三人來自上述三所學(xué)校,學(xué)歷分別有學(xué)士、碩士、博士學(xué)位.現(xiàn)知道:①甲不是軍事科學(xué)院的;②來自軍事科學(xué)院的不是博士;③乙不是軍事科學(xué)院的;④乙不是博士學(xué)位;⑤國防科技大學(xué)的是研究生.則丙是來自哪個(gè)院校的,學(xué)位是什么()A.國防大學(xué),研究生 B.國防大學(xué),博士C.軍事科學(xué)院,學(xué)士 D.國防科技大學(xué),研究生11.設(shè),且,則()A. B. C. D.12.已知復(fù)數(shù)滿足,(為虛數(shù)單位),則()A. B. C. D.3二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在中,,是的角平分線,設(shè),則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.14.某校為了解學(xué)生學(xué)習(xí)的情況,采用分層抽樣的方法從高一人、高二人、高三人中,抽取人進(jìn)行問卷調(diào)查.已知高一被抽取的人數(shù)為,那么高三被抽取的人數(shù)為_______.15.若變量,滿足約束條件,則的最大值為__________.16.已知,為正實(shí)數(shù),且,則的最小值為________________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)為了拓展城市的旅游業(yè),實(shí)現(xiàn)不同市區(qū)間的物資交流,政府決定在市與市之間建一條直達(dá)公路,中間設(shè)有至少8個(gè)的偶數(shù)個(gè)十字路口,記為,現(xiàn)規(guī)劃在每個(gè)路口處種植一顆楊樹或者木棉樹,且種植每種樹木的概率均為.(1)現(xiàn)征求兩市居民的種植意見,看看哪一種植物更受歡迎,得到的數(shù)據(jù)如下所示:A市居民B市居民喜歡楊樹300200喜歡木棉樹250250是否有的把握認(rèn)為喜歡樹木的種類與居民所在的城市具有相關(guān)性;(2)若從所有的路口中隨機(jī)抽取4個(gè)路口,恰有個(gè)路口種植楊樹,求的分布列以及數(shù)學(xué)期望;(3)在所有的路口種植完成后,選取3個(gè)種植同一種樹的路口,記總的選取方法數(shù)為,求證:.附:0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82818.(12分)在平面四邊形中,已知,.(1)若,求的面積;(2)若求的長.19.(12分)某公園有一塊邊長為3百米的正三角形空地,擬將它分割成面積相等的三個(gè)區(qū)域,用來種植三種花卉.方案是:先建造一條直道將分成面積之比為的兩部分(點(diǎn)D,E分別在邊,上);再取的中點(diǎn)M,建造直道(如圖).設(shè),,(單位:百米).(1)分別求,關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;(2)試確定點(diǎn)D的位置,使兩條直道的長度之和最小,并求出最小值.20.(12分)隨著科技的發(fā)展,網(wǎng)絡(luò)已逐漸融入了人們的生活.網(wǎng)購是非常方便的購物方式,為了了解網(wǎng)購在我市的普及情況,某調(diào)查機(jī)構(gòu)進(jìn)行了有關(guān)網(wǎng)購的調(diào)查問卷,并從參與調(diào)查的市民中隨機(jī)抽取了男女各100人進(jìn)行分析,從而得到表(單位:人)經(jīng)常網(wǎng)購偶爾或不用網(wǎng)購合計(jì)男性50100女性70100合計(jì)(1)完成上表,并根據(jù)以上數(shù)據(jù)判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為我市市民網(wǎng)購與性別有關(guān)?(2)①現(xiàn)從所抽取的女市民中利用分層抽樣的方法抽取10人,再從這10人中隨機(jī)選取3人贈(zèng)送優(yōu)惠券,求選取的3人中至少有2人經(jīng)常網(wǎng)購的概率;②將頻率視為概率,從我市所有參與調(diào)查的市民中隨機(jī)抽取10人贈(zèng)送禮品,記其中經(jīng)常網(wǎng)購的人數(shù)為,求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差.參考公式:0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82821.(12分)已知件次品和件正品混放在一起,現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分,每次隨機(jī)檢測一件產(chǎn)品,檢測后不放回,直到檢測出件次品或者檢測出件正品時(shí)檢測結(jié)束.(1)求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率;(2)已知每檢測一件產(chǎn)品需要費(fèi)用元,設(shè)表示直到檢測出件次品或者檢測出件正品時(shí)所需要的檢測費(fèi)用(單位:元),求的分布列.22.(10分)已知橢圓的焦點(diǎn)為,,離心率為,點(diǎn)P為橢圓C上一動(dòng)點(diǎn),且的面積最大值為,O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)點(diǎn),為橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)為多少時(shí),點(diǎn)O到直線MN的距離為定值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】
由余弦定理求出角,再由三角形面積公式計(jì)算即可.【詳解】由余弦定理得:,又,所以得,故△ABC的面積.故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦定理的應(yīng)用,三角形的面積公式,考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.2、C【解析】
根據(jù)題意,得,,則為減函數(shù),從而得出函數(shù)的單調(diào)性,可比較和,而,比較,即可比較.【詳解】因?yàn)椋业膱D象經(jīng)過第一、二、四象限,所以,,所以函數(shù)為減函數(shù),函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,又因?yàn)?,所以,又,,則|,即,所以.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小,還考查化簡能力和轉(zhuǎn)化思想.3、C【解析】
先利用等比數(shù)列的性質(zhì)得到的值,再根據(jù)的方程組可得的值,從而得到數(shù)列的公比,進(jìn)而得到數(shù)列的通項(xiàng)和前項(xiàng)和,根據(jù)后兩個(gè)公式可得正確的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)闉榈缺葦?shù)列,所以,故即,由可得或,因?yàn)闉檫f增數(shù)列,故符合.此時(shí),所以或(舍,因?yàn)闉檫f增數(shù)列).故,.故選C.【點(diǎn)睛】一般地,如果為等比數(shù)列,為其前項(xiàng)和,則有性質(zhì):(1)若,則;(2)公比時(shí),則有,其中為常數(shù)且;(3)為等比數(shù)列()且公比為.4、D【解析】
由|AF2|=3|BF2|,可得.設(shè)直線l的方程x=my+,m>0,設(shè),,即y1=﹣3y2①,聯(lián)立直線l與曲線C,得y1+y2=-②,y1y2=③,求出m的值即可求出直線的斜率.【詳解】雙曲線C:,F(xiàn)1,F(xiàn)2為左、右焦點(diǎn),則F2(,0),設(shè)直線l的方程x=my+,m>0,∵雙曲線的漸近線方程為x=±2y,∴m≠±2,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),且y1>0,由|AF2|=3|BF2|,∴,∴y1=﹣3y2①由,得∴△=(2m)2﹣4(m2﹣4)>0,即m2+4>0恒成立,∴y1+y2=②,y1y2=③,聯(lián)立①②得,聯(lián)立①③得,,即:,,解得:,直線的斜率為,故選D.【點(diǎn)睛】本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系,考查韋達(dá)定理的運(yùn)用,考查向量知識(shí),屬于中檔題.5、A【解析】
根據(jù)集合交集與補(bǔ)集運(yùn)算,即可求得.【詳解】集合,,所以所以故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了集合交集與補(bǔ)集的混合運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】
基本事件總數(shù),能表示為兩個(gè)不同費(fèi)馬素?cái)?shù)的和只有,,,共有個(gè),根據(jù)古典概型求出概率.【詳解】在不超過的正偶數(shù)中隨機(jī)選取一數(shù),基本事件總數(shù)能表示為兩個(gè)不同費(fèi)馬素?cái)?shù)的和的只有,,,共有個(gè)則它能表示為兩個(gè)不同費(fèi)馬素?cái)?shù)的和的概率是本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法,考查列舉法解決古典概型問題,是基礎(chǔ)題.7、B【解析】
根據(jù)古典概型的概率求法,先得到從八卦中任取兩卦基本事件的總數(shù),再找出這兩卦的六根線中恰有四根陰線的基本事件數(shù),代入公式求解.【詳解】從八卦中任取兩卦基本事件的總數(shù)種,這兩卦的六根線中恰有四根陰線的基本事件數(shù)有6種,分別是(巽,坤),(兌,坤),(離,坤),(震,艮),(震,坎),(坎,艮),所以這兩卦的六根線中恰有四根陰線的概率是.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型的概率,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】
先求出集合B,再與集合A求交集即可.【詳解】由已知,,故,所以.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集運(yùn)算,考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力,是一道容易題.9、B【解析】
利用換元法設(shè),則等價(jià)為有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根,分三種情況進(jìn)行討論,結(jié)合函數(shù)的圖象,求出的取值范圍.【詳解】解:設(shè),則有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),,由即,解得,結(jié)合圖象可知,此時(shí)當(dāng)時(shí),得,則是唯一解,滿足題意;當(dāng)時(shí),此時(shí)當(dāng)時(shí),,此時(shí)函數(shù)有無數(shù)個(gè)零點(diǎn),不符合題意;當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),,此時(shí)最小值為,結(jié)合圖象可知,要使得關(guān)于的方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根,此時(shí).綜上所述:或.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)方程根的個(gè)數(shù)的應(yīng)用.利用換元法,數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵.10、C【解析】
根據(jù)①③可判斷丙的院校;由②和⑤可判斷丙的學(xué)位.【詳解】由題意①甲不是軍事科學(xué)院的,③乙不是軍事科學(xué)院的;則丙來自軍事科學(xué)院;由②來自軍事科學(xué)院的不是博士,則丙不是博士;由⑤國防科技大學(xué)的是研究生,可知丙不是研究生,故丙為學(xué)士.綜上可知,丙來自軍事科學(xué)院,學(xué)位是學(xué)士.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了合情推理的簡單應(yīng)用,由條件的相互牽制判斷符合要求的情況,屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】
將等式變形后,利用二次根式的性質(zhì)判斷出,即可求出的范圍.【詳解】即故選:C【點(diǎn)睛】此題考查解三角函數(shù)方程,恒等變化后根據(jù)的關(guān)系即可求解,屬于簡單題目.12、A【解析】,故,故選A.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
設(shè),,,由,用面積公式表示面積可得到,利用,即得解.【詳解】設(shè),,,由得:,化簡得,由于,故.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了解三角形綜合,考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化劃歸,綜合分析,數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,屬于中檔題.14、【解析】由分層抽樣的知識(shí)可得,即,所以高三被抽取的人數(shù)為,應(yīng)填答案.15、【解析】
根據(jù)約束條件可以畫出可行域,從而將問題轉(zhuǎn)化為直線在軸截距最大的問題的求解,通過數(shù)形結(jié)合的方式可確定過時(shí),取最大值,代入可求得結(jié)果.【詳解】由約束條件可得可行域如下圖陰影部分所示:將化為,則最大時(shí),直線在軸截距最大;由直線平移可知,當(dāng)過時(shí),在軸截距最大,由得:,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃中最值問題的求解,關(guān)鍵是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為直線在軸截距的最值的求解問題,通過數(shù)形結(jié)合的方式可求得結(jié)果.16、【解析】
由,為正實(shí)數(shù),且,可知,于是,可得,再利用基本不等式即可得出結(jié)果.【詳解】解:,為正實(shí)數(shù),且,可知,,.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).的最小值為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式的性質(zhì)應(yīng)用,恰當(dāng)變形是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)沒有(2)分布列見解析,(3)證明見解析【解析】
(1)根據(jù)公式計(jì)算卡方值,再對(duì)應(yīng)卡值表判斷..(2)根據(jù)題意,隨機(jī)變量的可能取值為0,1,2,3,4,分別求得概率,寫出分布列,根據(jù)期望公式求值.(3)因?yàn)橹辽?個(gè)的偶數(shù)個(gè)十字路口,所以,即.要證,即證,根據(jù)組合數(shù)公式,即證;易知有.成立.設(shè)個(gè)路口中有個(gè)路口種植楊樹,下面分類討論①當(dāng)時(shí),由論證.②當(dāng)時(shí),由論證.③當(dāng)時(shí),,設(shè),再論證當(dāng)時(shí),取得最小值即可.【詳解】(1)本次實(shí)驗(yàn)中,,故沒有99.9%的把握認(rèn)為喜歡樹木的種類與居民所在的城市具有相關(guān)性.(2)依題意,的可能取值為0,1,2,3,4,故,,01234故.(3)∵,∴.要證,即證;首先證明:對(duì)任意,有.證明:因?yàn)椋?設(shè)個(gè)路口中有個(gè)路口種植楊樹,①當(dāng)時(shí),,因?yàn)?,所以,于?②當(dāng)時(shí),,同上可得③當(dāng)時(shí),,設(shè),當(dāng)時(shí),,顯然,當(dāng)即時(shí),,當(dāng)即時(shí),,即;,因此,即.綜上,,即.【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)、離散型隨機(jī)變量的分布列以及期望、排列組合,還考查運(yùn)算求解能力以及必然與或然思想,屬于難題.18、(1);(2).【解析】
(1)在三角形中,利用余弦定理列方程,解方程求得的長,進(jìn)而由三角形的面積公式求得三角形的面積.(2)利用誘導(dǎo)公式求得,進(jìn)而求得,利用兩角差的正弦公式,求得,在三角形中利用正弦定理求得,在三角形中利用余弦定理求得的長.【詳解】(1)在中,,解得,.(2)在中,,..【點(diǎn)睛】本小題主要考查正弦定理、余弦定理解三角形,考查三角形的面積公式,屬于中檔題.19、(1),.,.(2)當(dāng)百米時(shí),兩條直道的長度之和取得最小值百米.【解析】
(1)由,可解得.方法一:再在中,利用余弦定理,可得關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;在和中,利用余弦定理,可得關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.方法二:在中,可得,則有,化簡整理即得;同理,化簡整理即得.(2)由(1)和基本不等式,計(jì)算即得.【詳解】解:(1),是邊長為3的等邊三角形,又,,.由,得.法1:在中,由余弦定理,得.故直道長度關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為,.在和中,由余弦定理,得①②因?yàn)镸為的中點(diǎn),所以.由①②,得,所以,所以.所以,直道長度關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為,.法2:因?yàn)樵谥?,,所?所以,直道長度關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為,.在中,因?yàn)镸為的中點(diǎn),所以.所以.所以,直道長度關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為,.(2)由(1)得,兩條直道的長度之和為(當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取“”).故當(dāng)百米時(shí),兩條直道的長度之和取得最小值百米.【點(diǎn)睛】本題考查了余弦定理和基本不等式,第一問也可以利用三角形中的向量關(guān)系進(jìn)行求解,屬于中檔題.20、(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ)①;②數(shù)學(xué)期望為6,方差為2.4.【解析】
(1)完成列聯(lián)表,由列聯(lián)表,得,由此能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為我市市民網(wǎng)購與性別有關(guān).(2)①由題意所抽取的10名女市民中,經(jīng)常網(wǎng)購的有人,偶爾或不用網(wǎng)購的有人,由此能選取的3人中至少有2人經(jīng)常網(wǎng)購的概率.②由列聯(lián)表可知,抽到經(jīng)常網(wǎng)購的市民的頻率為:,由題意,由此能求出隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差.【詳解】解:(1)完成列聯(lián)表(單位:人):經(jīng)常網(wǎng)購偶爾或不用網(wǎng)購合計(jì)男性5050100女性7030100合計(jì)12080200由列聯(lián)表,得:,∴能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為我市市民網(wǎng)購與性別有關(guān).(2)①由題意所抽取的10名女市民中,經(jīng)常網(wǎng)購的有人,偶爾或不用網(wǎng)購的有人,∴選取的3人中至少有2人經(jīng)常網(wǎng)購的概率為:.②
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