北京市延慶區(qū)市級名校2025屆高二上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量檢測試題含解析

北京市延慶區(qū)市級名校2025屆高二上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量檢測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，是雙曲線的左，右焦點，經(jīng)過點且與x軸垂直的直線與雙曲線的一條漸近線相交于點A，且A在第三象限，四邊形為平行四邊形，為直線的傾斜角，若，則該雙曲線離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.2．如圖，在平行六面體中，AC與BD的交點為M.設(shè)，則下列向量中與相等的向量是（）A. B.C. D.3．函數(shù)在單調(diào)遞增的一個必要不充分條件是（）A. B.C. D.4．函數(shù)f（x）＝的圖象大致形狀是（）A. B.C. D.5．在下列各圖中，每個圖的兩個變量具有相關(guān)關(guān)系的圖是（）A.（1）（2） B.（1）（3）C.（2） D.（2）（3）6．已知橢圓C：的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過點F1作直線l交橢圓C于M，N兩點，則的周長為（）A.3 B.4C.6 D.87．橢圓的焦點為、，上頂點為，若，則（）A B.C. D.8．若數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項公式為（）A. B.C. D.9．等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，則=（）A.8 B.16C.32 D.6410．閱讀如圖所示程序框圖，運行相應(yīng)的程序，輸出的S的值等于（）A.2 B.6C.14 D.3011．已知關(guān)于的不等式的解集是，則的值是（）A. B.5C. D.712．根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)，得到回歸直線方程，則x345678y4.02.5－0.50.5－2.0－3.0A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列滿足，定義使（）為整數(shù)的k叫做“幸福數(shù)”，則區(qū)間內(nèi)所有“幸福數(shù)”的和為_____14．已知等差數(shù)列是首項為的遞增數(shù)列，若，，則滿足條件的數(shù)列的一個通項公式為______15．如圖，已知AB，CD分別是圓柱上、下底面圓的直徑，且，若該圓柱的底面圓直徑是其母線長的2倍，則異面直線AC與BD所成角的余弦值為______16．已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，其前項和滿足，則__________；記表示不超過的最大整數(shù)，例如，若，設(shè)的前項和為，則__________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓）過點A（0，），且與雙曲線有相同的焦點（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)M，N是橢圓C上異于A的兩點，且滿足，試判斷直線MN是否過定點，并說明理由18．（12分）已知的展開式中只有第五項的二項式系數(shù)最大.（1）求該展開式中有理項的項數(shù)；（2）求該展開式中系數(shù)最大的項.19．（12分）如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點.(1)證明：PB∥平面AEC(2)設(shè)二面角D-AE-C為60°，AP=1，AD=，求三棱錐E-ACD的體積20．（12分）如圖，已知頂點，，動點分別在軸，軸上移動，延長至點，使得，且.（1）求動點的軌跡；（2）過點分別作直線交曲線于兩點，若直線的傾斜角互補，證明：直線的斜率為定值；（3）過點分別作直線交曲線于兩點，若，直線是否經(jīng)過定點？若是，求出該定點，若不是，說明理由.21．（12分）某車間打算購買2臺設(shè)備，該設(shè)備有一個易損零件，在購買設(shè)備時可以額外購買這種易損零件作為備件，價格為每個100元.在設(shè)備使用期間，零件損壞，備件不足再臨時購買該零件，價格為每個300元.在使用期間，每臺設(shè)備需要更換的零件個數(shù)的分布列為567.表示2臺設(shè)備使用期間需更換的零件數(shù)，代表購買2臺設(shè)備的同時購買易損零件的個數(shù).（1）求的分布列；（2）以購買易損零件所需費用的期望為決策依據(jù)，試問在和中，應(yīng)選哪一個？22．（10分）△的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知（1）求角B的大??；（2）若△不為鈍角三角形，且，，求△的面積

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)可知也在雙曲線的漸近線上，且在第一象限，從而由可知軸，所以在直角三角形中，，由，可得的范圍，進而轉(zhuǎn)化為，的不等式，結(jié)合可得離心率的取值范圍【詳解】解：因為經(jīng)過點且與軸垂直的直線與雙曲線的一條漸近線相交于點，且在第三象限，四邊形為平行四邊形，所以由雙曲線的對稱性可知也在雙曲線的漸近線上，且在第一象限，由軸，可知軸，所以，在直角三角形中，，因為，所以，，即，所以，即，即，故，所以.故選：B2、B【解析】根據(jù)代入計算化簡即可.【詳解】故選：B.3、D【解析】求出導(dǎo)函數(shù)，由于函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，可得在區(qū)間上恒成立，求出的范圍，再根據(jù)充分必要條件的定義即可判斷得解.【詳解】由題得，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間上恒成立，而在區(qū)間上單調(diào)遞減，選項中只有是的必要不充分條件.選項AC是的充分不必要條件，選項B是充要條件.故選：D4、B【解析】利用函數(shù)的奇偶性排除選項A,C，然后利用特殊值判斷即可【詳解】解：由題得函數(shù)的定義域為，關(guān)于原點對稱.所以函數(shù)是奇函數(shù)，排除選項A,C.當(dāng)時，，排除選項D，故選：B5、D【解析】根據(jù)圖形可得（1）具有函數(shù)關(guān)系；（2）（3）的散點分布在一條直線或曲線附近，具有相關(guān)關(guān)系；（4）的散點雜亂無章，不具有相關(guān)關(guān)系.【詳解】對（1），所有的點都在曲線上，故具有函數(shù)關(guān)系；對（2），所有的散點分布在一條直線附近，具有相關(guān)關(guān)系；對（3），所有的散點分布在一條曲線附近，具有相關(guān)關(guān)系；對（4），所有的散點雜亂無章，不具有相關(guān)關(guān)系.故選：D.6、D【解析】由的周長為，結(jié)合橢圓的定義，即可求解.【詳解】由題意，橢圓，可得，即，如圖所示，根據(jù)橢圓的定義，可得的周長為故選：D.7、C【解析】分析出為等邊三角形，可得出，進而可得出關(guān)于的等式，即可解得的值.【詳解】在橢圓中，，，，如下圖所示：因為橢圓的上頂點為點，焦點為、，所以，，為等邊三角形，則，即，因此，.故選：C.8、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列的定義和通項公式直接得出結(jié)果.【詳解】因為，所以數(shù)列是等差數(shù)列，公差為1，所以.故選：B9、B【解析】由等比數(shù)列的下標和性質(zhì)即可求得答案.【詳解】由題意，，所以.故選：B.10、C【解析】模擬運行程序，直到得出輸出的S的值.【詳解】運行程序框圖，，，；，，；，，；，輸出.故選：C11、D【解析】由題意可得的根為，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系列方程組可求得結(jié)果【詳解】因為關(guān)于的不等式的解集是，所以方程的根為，所以，得，所以，故選：D12、B【解析】作出散點圖，由散點圖得出回歸直線中的的符號【詳解】作出散點圖如圖所示．由圖可知，回歸直線＝x＋的斜率＜0，當(dāng)x＝0時，＝＞0.故選B【點睛】本題考查了散點圖的概念，擬合線性回歸直線第一步畫散點圖，再由數(shù)據(jù)計算的值二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2036【解析】先用換底公式化簡之后，將表示出來，找出滿足條件的“幸福數(shù)”，然后求和即可.【詳解】當(dāng)時，，所以，若滿足正整數(shù)，則，即，所以在內(nèi)的所有“幸福數(shù)”的和為：,故答案為：2036.14、，答案不唯一【解析】由，，可得，進而解得，然后寫出通項公式即可.【詳解】設(shè)數(shù)列的公差為d，由題可得，因為，，所以有，解得，只要公差d滿足即可，然后根據(jù)等差數(shù)列的通項公式寫出即可，我們可以取，此時.故答案為：，答案不唯一.15、.【解析】利用空間向量夾角公式進行求解即可.【詳解】取CD的中點O，以O(shè)為原點，以CD所在直線為x軸，以底面內(nèi)過點O且與CD垂直的直線為y軸，以過點O且與底面垂直的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系設(shè)，則，，，，，，所以，所以異面直線AC與BD所成角的余弦值為故答案為：16、①.；②.60.【解析】先根據(jù)并結(jié)合等差數(shù)列的定義求出；然后討論n的取值范圍，討論出分別取1,2,3,4,5的情況，進而求出.【詳解】由題意，，n=1時，，滿足，時，，于是，，因為，所以.所以，是1為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以.若，即時，，若，則時，，若，則時，，若，則時，，若，則或22時，，于是，.故答案為：2n-1；60.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）直線過定點；理由見解析【解析】（1）根據(jù)題意可求得，進而求得橢圓方程；（2）考慮直線斜率是否存在，設(shè)直線方程并聯(lián)立橢圓方程，得到根與系數(shù)的關(guān)系式，然后利用，將根與系數(shù)的關(guān)系式代入化簡得到，結(jié)合直線方程,化簡可得結(jié)論.【小問1詳解】依題意，，所以，故橢圓方程為：【小問2詳解】當(dāng)直線MN的斜率不存在時，設(shè)M（），N（，），則，,此時M，N重合，不符合題意；當(dāng)直線MN的斜率存在時，設(shè)MN的方程為：，M（，），N（），與橢圓方程聯(lián)立可得：，即，∴，即，∴，∴，∴，當(dāng)時，,直線MN：，即，令，則，∴直線過定點【點睛】本題考查了橢圓方程的求法以及直線和橢圓相交時過定點的問題，解答時要注意解題思路的順暢，解答的難點在于運算量較大且復(fù)雜，需要十分細心.18、（1）；（2）和【解析】（1）先求出，再寫出二項式展開式的通項，令即可求解；（2）設(shè)第項系數(shù)最大，則，即可解得的值，進而可得展開式中系數(shù)最大的項.【詳解】（1）由題意可得：，得，的展開式通項為，，要求展開式中有理項，只需令，所以所以有理項有5項，（2）設(shè)第項系數(shù)最大，則，即，即，解得：，因為，所以或所以，所以展開式中系數(shù)最大的項為和.【點睛】解二項式的題關(guān)鍵是求二項式展開式的通項，求有理項需要讓的指數(shù)位置是整數(shù)，求展開式中系數(shù)最大的項需要滿足第項的系數(shù)大于等于第項的系數(shù)，第項的系數(shù)大于等于第項的系數(shù)，屬于中檔題19、【解析】（Ⅰ）連接BD交AC于O點，連接EO，只要證明EO∥PB，即可證明PB∥平面AEC；（Ⅱ）延長AE至M連結(jié)DM，使得AM⊥DM，說明∠CMD=60°，是二面角的平面角，求出CD，即可三棱錐E-ACD的體積試題解析：(1)證明：連接BD交AC于點O，連接EO.因為ABCD為矩形，所以O(shè)為BD中點又E為PD的中點，所以EO∥PB.因為EO?平面AEC，PB?平面AEC，所以PB∥平面AEC.(2)因為PA⊥平面ABCD，ABCD為矩形，所以AB，AD，AP兩兩垂直如圖，以A為坐標原點，，AD，AP的方向為x軸y軸z軸的正方向，||為單位長，建立空間直角坐標系A(chǔ)-xyz，則D，E，＝.設(shè)B(m，0，0)(m>0)，則C(m，，0)，＝(m，，0)設(shè)n1＝(x，y，z)為平面ACE的法向量，則即可取n1＝.又n2＝(1，0，0)為平面DAE的法向量，由題設(shè)易知|cos〈n1，n2〉|＝，即＝，解得m＝.因為E為PD的中點，所以三棱錐E-ACD的高為.三棱錐E-ACD的體積V＝××××＝.考點：二面角的平面角及求法；棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面平行的判定20、（1）；（2）證明見解析；（3）.【解析】（1）設(shè)點M,P,Q的坐標,將向量進行坐標化，整理即可得軌跡方程；（2）設(shè)點，，直線的傾斜角互補，則兩直線斜率互為相反數(shù)，用斜率公式計算得到，即可計算kAB；（3）若，由兩直線斜率積為-1，可得到關(guān)于與的等量關(guān)系，寫出直線AB的方程，將等量關(guān)系代入直線方程整理可得直線AB經(jīng)過的定點【詳解】（1）設(shè)，，.由，得，即.因為，所以，所以.所以動點的軌跡為拋物線，其方程為.（2）證明：設(shè)點，，若直線的傾斜角互補，則兩直線斜率互為相反數(shù)，又，，所以，，整理得，所以.（3）因為，所以，即，①直線的方程為：，整理得：，②將①代入②得，即，當(dāng)時，即直線經(jīng)過定點.【點睛】本題考查直接法求軌跡方程，考查直線斜率為定值的求法和直線恒過定點問題.21、（1）答案見解析；（2）應(yīng)選擇.【解析】(1)由每臺設(shè)備需更換零件個數(shù)的分布列求出的所有可能值，并求出對應(yīng)的概率即可得解.(2)分別求出和時購買零件所需費用的期望，比較大小即可作答.【小問1詳解】的可能取值為