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2025屆福建省泉州市第十六中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上,在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.某口罩生產(chǎn)商為了檢驗(yàn)產(chǎn)品質(zhì)量,從總體編號(hào)為001,002,003,…,499,500的500盒口罩中,利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取10個(gè)樣本進(jìn)行抽檢,選取方法是從下面的隨機(jī)數(shù)表第1行第5列的數(shù)字開(kāi)始由左向右讀取,則選出的第3個(gè)樣本的編號(hào)為()160011661490844511657388059052274114862298122208075274958035696832506128473975345862A.148 B.116C.222 D.3252.設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,若,,則()A.26 B.-7C.-10 D.-133.已知p:,那么p的一個(gè)充分不必要條件是()A. B.C. D.4.已知點(diǎn)是雙曲線的左焦點(diǎn),是雙曲線右支上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作軸垂線并延長(zhǎng)交雙曲線左支于點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)向上移動(dòng)時(shí),的值()A.增大 B.減小C.不變 D.無(wú)法確定5.已知雙曲線的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸,一條漸近線為,則雙曲線的離心率為A.或 B.或C.或 D.或6.在空間直角坐標(biāo)系中,方程所表示的圖形是()A圓 B.橢圓C.雙曲線 D.球7.某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐內(nèi)切球的表面積為A.B.C.D.8.已知,為雙曲線的左,右頂點(diǎn),點(diǎn)P在雙曲線C上,為等腰三角形,且頂角為,則雙曲線C的離心率為()A. B.C.2 D.9.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,雙曲線(,)的左、右焦點(diǎn)分別為,,點(diǎn)M是雙曲線右支上一點(diǎn),,且,則雙曲線的離心率為()A. B.C. D.10.在長(zhǎng)方體中,,,點(diǎn)分別在棱上,,,則()A. B.C. D.11.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為()A. B.C. D.12.若數(shù)列{an}滿足……,則稱數(shù)列{an}為“半差遞增”數(shù)列.已知“半差遞增”數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn滿足,則實(shí)數(shù)t的取值范圍是()A. B.(-∞,1)C. D.(1,+∞)二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中,若,與的等差中項(xiàng)為12,則等于_______.14.?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和滿足:,則________15.已知直線與直線垂直,則__________16.某足球俱樂(lè)部選拔青少年隊(duì)員,每人要進(jìn)行3項(xiàng)測(cè)試.甲隊(duì)員每項(xiàng)測(cè)試通過(guò)的概率均為,且不同測(cè)試之間相互獨(dú)立,設(shè)他通過(guò)的測(cè)試項(xiàng)目數(shù)為X,則_________三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中;(1)若,求常數(shù)項(xiàng);(2)若第4項(xiàng)的系數(shù)與第7項(xiàng)的系數(shù)比為,求:①二項(xiàng)展開(kāi)式中的各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和;②二項(xiàng)展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)之和18.(12分)已知三棱柱中,面底面,,底面是邊長(zhǎng)為的等邊三角形,,、分別在棱、上,且.(1)求證:底面;(2)在棱上找一點(diǎn),使得和面所成角的余弦值為,并說(shuō)明理由.19.(12分)已知拋物線:上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為(1)求拋物線的方程;(2)設(shè)縱截距為的直線與拋物線交于,兩個(gè)不同的點(diǎn),若,求直線的方程20.(12分)已知直線,,,其中與交點(diǎn)為P(1)求過(guò)點(diǎn)P且與平行的直線方程;(2)求以點(diǎn)P為圓心,截所得弦長(zhǎng)為8的圓的方程21.(12分)已知等差數(shù)列的公差為2,且,,成等比數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.22.(10分)已知雙曲線()的一個(gè)焦點(diǎn)是,離心率.(1)求雙曲線的方程;(2)若斜率為的直線與雙曲線交于兩個(gè)不同的點(diǎn),線段的垂直平分線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為,求直線的方程
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】按隨機(jī)數(shù)表法逐個(gè)讀取數(shù)字即可得到答案.【詳解】根據(jù)隨機(jī)數(shù)表法讀取的數(shù)字分別為:116,614(舍),908(舍),445,116(舍),573(舍),880(舍),590(舍),522(舍),741(舍),148,故選出的第3個(gè)樣本的編號(hào)為148.故選:A.2、C【解析】直接利用等差數(shù)列通項(xiàng)和求和公式計(jì)算得到答案.【詳解】,,解得,故.故選:C.3、C【解析】按照充分不必要條件依次判斷4個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】A選項(xiàng):,錯(cuò)誤;B選項(xiàng):,錯(cuò)誤;C選項(xiàng):,,正確;D選項(xiàng):,錯(cuò)誤.故選:C.4、C【解析】令雙曲線右焦點(diǎn)為,由對(duì)稱性可知,,結(jié)合雙曲線的定義即可得出結(jié)果.【詳解】令雙曲線右焦點(diǎn)為,由對(duì)稱性可知,,則,為常數(shù),故選:C.5、B【解析】分雙曲線的焦點(diǎn)在軸上和在軸上兩種情況討論,求出的值,利用可求得雙曲線的離心率的值.【詳解】若焦點(diǎn)在軸上,則有,則雙曲線的離心率為;若焦點(diǎn)在軸上,則有,則,則雙曲線的離心率為.綜上所述,雙曲線的離心率為或.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的求解,在雙曲線的焦點(diǎn)位置不確定的情況下,要對(duì)雙曲線的焦點(diǎn)位置進(jìn)行分類討論,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】方程表示空間中的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為2,從而可知圖形的形狀【詳解】由,得,表示空間中的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為2,所以方程所表示的圖形是以原點(diǎn)為球心,2為半徑的球,故選:D7、A【解析】由三視圖可知該幾何體是一個(gè)三棱錐,根據(jù)等積法求出幾何體內(nèi)切球的半徑,再計(jì)算內(nèi)切球的表面積【詳解】解:由三視圖知該幾何體是一個(gè)三棱錐,放入棱長(zhǎng)為2的正方體中,如圖所示:設(shè)三棱錐內(nèi)切球的半徑為,則由等體積法得,解得,所以該三棱錐內(nèi)切球的表面積為故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了由三視圖求三棱錐內(nèi)切球表面積的應(yīng)用問(wèn)題,屬于中檔題8、A【解析】根據(jù)給定條件求出點(diǎn)P的坐標(biāo),再代入雙曲線方程計(jì)算作答.【詳解】由雙曲線對(duì)稱性不妨令點(diǎn)P在第一象限,過(guò)P作軸于B,如圖,因?yàn)榈妊切?,且頂角為,則有,,有,于是得,即點(diǎn),因此,,解得,所以雙曲線C的離心率為.故選:A9、A【解析】本題考查雙曲線的定義、幾何性質(zhì)及直角三角形的判定即可解決.【詳解】因?yàn)?,,所以在中,邊上的中線等于的一半,所以.因?yàn)?,所以可設(shè),,則,解得,所以,由雙曲線的定義得,所以雙曲線的離心率故選:A10、D【解析】依題意可得,從而得到,即可得到,從而得解;【詳解】解:由長(zhǎng)方體的性質(zhì)可得,又,所以,因?yàn)?,所以,所以,因?yàn)椋?;故選:D11、D【解析】先求定義域,再求導(dǎo)數(shù),令解不等式,即可.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)榱?,解得故選:D【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,屬于中檔題.12、A【解析】根據(jù),利用遞推公式求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.再根據(jù)新定義的意義,代入解不等式即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)樗援?dāng)時(shí),兩式相減可得,即,所以數(shù)列是以公比的等比數(shù)列當(dāng)時(shí),所以,則由“差半遞增”數(shù)列的定義可知化簡(jiǎn)可得解不等式可得即實(shí)數(shù)的取值范圍為故選:A.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、128【解析】先根據(jù)條件利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列方程組求出首項(xiàng)和公差,進(jìn)而可得.【詳解】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的公比為,由已知,得,①,又,②,由①②得,故答案為:128.14、【解析】利用“當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),"即可得出.【詳解】當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),,不適合上式,數(shù)列的通項(xiàng)公式.故答案為:.15、-3【解析】因?yàn)橹本€與直線垂直,所以考點(diǎn):本題考查兩直線垂直的充要條件點(diǎn)評(píng):若兩直線方程分別為,則他們垂直的充要條件是16、【解析】根據(jù)二項(xiàng)分布的方差公式即可求出【詳解】因?yàn)椋怨蚀鸢笧椋喝?、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)60(2)①1024;②1【解析】(1)根據(jù)二項(xiàng)式定理求解(2)根據(jù)二項(xiàng)式定理與條件求解,二項(xiàng)式系數(shù)之和為,系數(shù)和可賦值【小問(wèn)1詳解】若,則,(,…,9)令∴∴常數(shù)項(xiàng)為.【小問(wèn)2詳解】,(,…,),解得①②令,得系數(shù)和為18、(1)證明見(jiàn)解析;(2)為的中點(diǎn),理由見(jiàn)解析.【解析】(1)取的中點(diǎn),連接,利用面面垂直的性質(zhì)定理可得出平面,可得出,再由,結(jié)合線面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立;(2)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)點(diǎn),利用空間向量法可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的方程,求出的值,即可得出結(jié)論.【詳解】(1)取的中點(diǎn),連接,如圖:因?yàn)槿切问堑冗吶切?,所以,又因?yàn)槊娴酌?,平面平面,面,所以平面,又面,所以,又,,平面;?)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則、、,在上找一點(diǎn),其中,,,,設(shè)面的一個(gè)法向量,則,不妨令,則,和面所成角的余弦值為,則,解得或(舍),所以,為的中點(diǎn),符合題意.19、(1);(2)【解析】(1)利用拋物線的性質(zhì)即可求解.(2)設(shè)直線方程,與拋物線聯(lián)立,利用韋達(dá)定理,即可求解.【詳解】(1)由題設(shè)知,拋物線的準(zhǔn)線方程為,由點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為,得,解得,所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(2)設(shè),,顯然直線的斜率存在,故設(shè)直線的方程為,聯(lián)立消去得,由得,即所以,又因?yàn)?,,所以,所以,即,解得,滿足,所以直線的方程為20、(1);(2).【解析】(1)首先求、的交點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)的斜率,應(yīng)用點(diǎn)斜式寫(xiě)出過(guò)P且與平行的直線方程;(2)根據(jù)弦心距、弦長(zhǎng)、半徑的關(guān)系求圓的半徑,結(jié)合P的坐標(biāo)寫(xiě)出圓的方程.【小問(wèn)1詳解】聯(lián)立、得:,可得,故,又的斜率為,則過(guò)P且與平行的直線方程,∴所求直線方程為.【小問(wèn)2詳解】由(1),P到的距離,∴以P為圓心,截所得弦長(zhǎng)為8的圓的半徑,∴所求圓的方程為.21、(1)(2)【解析】(1)由,,成等比數(shù)列和,可得,解方程求出,從而可求出的通項(xiàng)公式,(2)由(1)可得,然后利用裂項(xiàng)相消法可求出【小問(wèn)1詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列的公差為2,所以
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