2025屆文昌中學(xué)數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析_第1頁
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2025屆文昌中學(xué)數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題注意事項1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.設(shè),,則()A. B.C. D.2.已知向量,則是的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.既不充分也不必要條件 D.充要條件3.已知集合,,則集合的真子集的個數(shù)是()A.8 B.7 C.4 D.34.已知復(fù)數(shù),其中,,是虛數(shù)單位,則()A. B. C. D.5.達(dá)芬奇的經(jīng)典之作《蒙娜麗莎》舉世聞名.如圖,畫中女子神秘的微笑,,數(shù)百年來讓無數(shù)觀賞者人迷.某業(yè)余愛好者對《蒙娜麗莎》的縮小影像作品進行了粗略測繪,將畫中女子的嘴唇近似看作一個圓弧,在嘴角處作圓弧的切線,兩條切線交于點,測得如下數(shù)據(jù):(其中).根據(jù)測量得到的結(jié)果推算:將《蒙娜麗莎》中女子的嘴唇視作的圓弧對應(yīng)的圓心角大約等于()A. B. C. D.6.如圖在一個的二面角的棱有兩個點,線段分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi),且都垂直于棱,且,則的長為()A.4 B. C.2 D.7.若某幾何體的三視圖(單位:cm)如圖所示,則此幾何體的體積是()A.36cm3 B.48cm3 C.60cm3 D.72cm38.已知定義在上的函數(shù)滿足,且當(dāng)時,,則方程的最小實根的值為()A. B. C. D.9.如圖所示,矩形的對角線相交于點,為的中點,若,則等于().A. B. C. D.10.某設(shè)備使用年限x(年)與所支出的維修費用y(萬元)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)分別為,,,,由最小二乘法得到回歸直線方程為,若計劃維修費用超過15萬元將該設(shè)備報廢,則該設(shè)備的使用年限為()A.8年 B.9年 C.10年 D.11年11.已知函數(shù),則()A.函數(shù)在上單調(diào)遞增 B.函數(shù)在上單調(diào)遞減C.函數(shù)圖像關(guān)于對稱 D.函數(shù)圖像關(guān)于對稱12.已知是過拋物線焦點的弦,是原點,則()A.-2 B.-4 C.3 D.-3二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.西周初數(shù)學(xué)家商高在公元前1000年發(fā)現(xiàn)勾股定理的一個特例:勾三,股四,弦五.此發(fā)現(xiàn)早于畢達(dá)哥拉斯定理五百到六百年.我們把可以構(gòu)成一個直角三角形三邊的一組正整數(shù)稱為勾股數(shù).現(xiàn)從3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13這11個數(shù)中隨機抽取3個數(shù),則這3個數(shù)能構(gòu)成勾股數(shù)的概率為__________.14.已知雙曲線:(,),直線:與雙曲線的兩條漸近線分別交于,兩點.若(點為坐標(biāo)原點)的面積為32,且雙曲線的焦距為,則雙曲線的離心率為________.15.記實數(shù)中的最大數(shù)為,最小數(shù)為.已知實數(shù)且三數(shù)能構(gòu)成三角形的三邊長,若,則的取值范圍是.16.已知實數(shù)x,y滿足(2x-y)2+4y三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)某商場為改進服務(wù)質(zhì)量,在進場購物的顧客中隨機抽取了人進行問卷調(diào)查.調(diào)查后,就顧客“購物體驗”的滿意度統(tǒng)計如下:滿意不滿意男女是否有的把握認(rèn)為顧客購物體驗的滿意度與性別有關(guān)?若在購物體驗滿意的問卷顧客中按照性別分層抽取了人發(fā)放價值元的購物券.若在獲得了元購物券的人中隨機抽取人贈其紀(jì)念品,求獲得紀(jì)念品的人中僅有人是女顧客的概率.附表及公式:.18.(12分)已知等差數(shù)列中,,數(shù)列的前項和.(1)求;(2)若,求的前項和.19.(12分)如圖,在四棱錐中,平面平面ABCD,,,底面ABCD是邊長為2的菱形,點E,F(xiàn)分別為棱DC,BC的中點,點G是棱SC靠近點C的四等分點.求證:(1)直線平面EFG;(2)直線平面SDB.20.(12分)已知函數(shù),.(1)若對于任意實數(shù),恒成立,求實數(shù)的范圍;(2)當(dāng)時,是否存在實數(shù),使曲線:在點處的切線與軸垂直?若存在,求出的值;若不存在,說明理由.21.(12分)已知函數(shù).(Ⅰ)當(dāng)時,求不等式的解集;(Ⅱ)若不等式對任意實數(shù)恒成立,求實數(shù)的取值范圍.22.(10分)已知兩數(shù).(1)當(dāng)時,求函數(shù)的極值點;(2)當(dāng)時,若恒成立,求的最大值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

由不等式的性質(zhì)及換底公式即可得解.【詳解】解:因為,,則,且,所以,,又,即,則,即,故選:D.【點睛】本題考查了不等式的性質(zhì)及換底公式,屬基礎(chǔ)題.2、A【解析】

向量,,,則,即,或者-1,判斷出即可.【詳解】解:向量,,,則,即,或者-1,所以是或者的充分不必要條件,故選:A.【點睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷,考查向量平行的坐標(biāo)表示,屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】

轉(zhuǎn)化條件得,利用元素個數(shù)為n的集合真子集個數(shù)為個即可得解.【詳解】由題意得,,集合的真子集的個數(shù)為個.故選:D.【點睛】本題考查了集合的化簡和運算,考查了集合真子集個數(shù)問題,屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】試題分析:由,得,則,故選D.考點:1、復(fù)數(shù)的運算;2、復(fù)數(shù)的模.5、A【解析】

由已知,設(shè).可得.于是可得,進而得出結(jié)論.【詳解】解:依題意,設(shè).則.,.設(shè)《蒙娜麗莎》中女子的嘴唇視作的圓弧對應(yīng)的圓心角為.則,.故選:A.【點睛】本題考查了直角三角形的邊角關(guān)系、三角函數(shù)的單調(diào)性、切線的性質(zhì),考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.6、A【解析】

由,兩邊平方后展開整理,即可求得,則的長可求.【詳解】解:,,,,,,.,,故選:.【點睛】本題考查了向量的多邊形法則、數(shù)量積的運算性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系,考查了空間想象能力,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.7、B【解析】試題分析:該幾何體上面是長方體,下面是四棱柱;長方體的體積,四棱柱的底面是梯形,體積為,因此總的體積.考點:三視圖和幾何體的體積.8、C【解析】

先確定解析式求出的函數(shù)值,然后判斷出方程的最小實根的范圍結(jié)合此時的,通過計算即可得到答案.【詳解】當(dāng)時,,所以,故當(dāng)時,,所以,而,所以,又當(dāng)時,的極大值為1,所以當(dāng)時,的極大值為,設(shè)方程的最小實根為,,則,即,此時令,得,所以最小實根為411.故選:C.【點睛】本題考查函數(shù)與方程的根的最小值問題,涉及函數(shù)極大值、函數(shù)解析式的求法等知識,本題有一定的難度及高度,是一道有較好區(qū)分度的壓軸選這題.9、A【解析】

由平面向量基本定理,化簡得,所以,即可求解,得到答案.【詳解】由平面向量基本定理,化簡,所以,即,故選A.【點睛】本題主要考查了平面向量基本定理的應(yīng)用,其中解答熟記平面向量的基本定理,化簡得到是解答的關(guān)鍵,著重考查了運算與求解能力,數(shù)基礎(chǔ)題.10、D【解析】

根據(jù)樣本中心點在回歸直線上,求出,求解,即可求出答案.【詳解】依題意在回歸直線上,,由,估計第年維修費用超過15萬元.故選:D.【點睛】本題考查回歸直線過樣本中心點、以及回歸方程的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】

依題意可得,即函數(shù)圖像關(guān)于對稱,再求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),即可判斷函數(shù)的單調(diào)性;【詳解】解:由,,所以函數(shù)圖像關(guān)于對稱,又,在上不單調(diào).故正確的只有C,故選:C【點睛】本題考查函數(shù)的對稱性的判定,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】

設(shè),,設(shè):,聯(lián)立方程得到,計算得到答案.【詳解】設(shè),,故.易知直線斜率不為,設(shè):,聯(lián)立方程,得到,故,故.故選:.【點睛】本題考查了拋物線中的向量的數(shù)量積,設(shè)直線為可以簡化運算,是解題的關(guān)鍵.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

由組合數(shù)結(jié)合古典概型求解即可【詳解】從11個數(shù)中隨機抽取3個數(shù)有種不同的方法,其中能構(gòu)成勾股數(shù)的有共三種,所以,所求概率為.故答案為【點睛】本題考查古典概型與數(shù)學(xué)文化,考查組合問題,數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用意識.14、或【解析】

用表示出的面積,求得等量關(guān)系,聯(lián)立焦距的大小,以及,即可容易求得,則離心率得解.【詳解】聯(lián)立解得.所以的面積,所以.而由雙曲線的焦距為知,,所以.聯(lián)立解得或故雙曲線的離心率為或.故答案為:或.【點睛】本題考查雙曲線的方程與性質(zhì),考查運算求解能力以及函數(shù)與方程思想,屬中檔題.15、【解析】試題分析:顯然,又,①當(dāng)時,,作出可行區(qū)域,因拋物線與直線及在第一象限內(nèi)的交點分別是(1,1)和,從而②當(dāng)時,,作出可行區(qū)域,因拋物線與直線及在第一象限內(nèi)的交點分別是(1,1)和,從而綜上所述,的取值范圍是.考點:不等式、簡單線性規(guī)劃.16、2【解析】

直接利用柯西不等式得到答案.【詳解】根據(jù)柯西不等式:2x-y2+4y當(dāng)2x-y=2y,即x=328故答案為:2.【點睛】本題考查了柯西不等式求最值,也可以利用均值不等式,三角換元求得答案.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、有的把握認(rèn)為顧客購物體驗的滿意度與性別有關(guān);.【解析】

由題得,根據(jù)數(shù)據(jù)判斷出顧客購物體驗的滿意度與性別有關(guān);獲得了元購物券的人中男顧客有人,記為,;女顧客有人,記為,,,.從中隨機抽取人,所有基本事件有個,其中僅有1人是女顧客的基本事件有個,進而求出獲得紀(jì)念品的人中僅有人是女顧客的概率.【詳解】解析:由題得所以,有的把握認(rèn)為顧客購物體驗的滿意度與性別有關(guān).獲得了元購物券的人中男顧客有人,記為,;女顧客有人,記為,,,.從中隨機抽取人,所有基本事件有:,,,,,,,,,,,,,,,共個.其中僅有1人是女顧客的基本事件有:,,,,,,,,共個.所以獲得紀(jì)念品的人中僅有人是女顧客的概率.【點睛】本小題主要考查統(tǒng)計案例、卡方分布、概率等基本知識,考查概率統(tǒng)計基本思想以及抽象概括等能力和應(yīng)用意識,屬于中檔題.18、(1),;(2).【解析】

(1)由條件得出方程組,可求得的通項,當(dāng)時,,可得,當(dāng)時,,得出是以1為首項,2為公比的等比數(shù)列,可求得的通項;(2)由(1)可知,,分n為偶數(shù)和n為奇數(shù)分別求得.【詳解】(1)由條件知,,,當(dāng)時,,即,當(dāng)時,,是以1為首項,2為公比的等比數(shù)列,;(2)由(1)可知,,當(dāng)n為偶數(shù)時,當(dāng)n為奇數(shù)時,綜上,【點睛】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項的求得,以及其前n項和,注意分n為偶數(shù)和n為奇數(shù)兩種情況分別求得其數(shù)列的和,屬于中檔題.19、(1)見解析(2)見解析【解析】

(1)連接AC、BD交于點O,交EF于點H,連接GH,再證明即可.(2)證明與即可.【詳解】(1)連接AC、BD交于點O,交EF于點H,連接GH,所以O(shè)為AC的中點,H為OC的中點,由E、F為DC、BC的中點,再由題意可得,所以在三角形CAS中,平面EFG,平面EFG,所以直線平面EFG.(2)在中,,,,由余弦定理得,,即,解得,由勾股定理逆定理可知,因為側(cè)面底面ABCD,由面面垂直的性質(zhì)定理可知平面ABCD,所以,因為底面ABCD是菱形,所以,因為,所以平面SDB.【點睛】本題考查線面平行與垂直的證明.需要根據(jù)題意利用等比例以及余弦定理勾股定理等證明.屬于中檔題.20、(1);(2)不存在實數(shù),使曲線在點處的切線與軸垂直.【解析】

(1)分類時,恒成立,時,分離參數(shù)為,引入新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)最值即可;(2),導(dǎo)出導(dǎo)函數(shù),問題轉(zhuǎn)化為在上有解.再用導(dǎo)數(shù)研究的性質(zhì)可得.【詳解】解:(1)因為當(dāng)時,恒成立,所以,若,為任意實數(shù),恒成立.若,恒成立,即當(dāng)時,,設(shè),,當(dāng)時,,則在上單調(diào)遞增,當(dāng)時,,則在上單調(diào)遞減,所以當(dāng)時,取得最大值.,所以,要使時,恒成立,的取值范圍為.(2)由題意,曲線為:.令,所以,設(shè),則,當(dāng)時,,故在上為增函數(shù),因此在區(qū)間上的最小值,所以,當(dāng)時,,,所以,曲線在點處的切線與軸垂直等價于方程在上有實數(shù)解.而,即方程無實數(shù)解.故不存在實數(shù),使曲線在點處的切線與軸垂直.【點睛】本題考查不等式恒成立,考查用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,由導(dǎo)數(shù)幾何把問題進行轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵.本題屬于困難題.21、(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】試題分析:(Ⅰ)分三種情況討論,分別求解不等式組,然后求并集即可得不等式的解集;(Ⅱ)根據(jù)絕對值不等式的性質(zhì)可得,不等式對任意實數(shù)恒成立,等價于,解不等式即可求的取值范圍.試題解析:(Ⅰ)當(dāng)時,即,①當(dāng)時,得,所以;②當(dāng)時,得,即,所以;③當(dāng)時,得成立,所以.故不等式的解集為.(Ⅱ)因為,由題意得,則,解得,故的取值范圍是.22、(1)唯一的極大值點1,無極小值點.(2)1【解析】

(1)求出導(dǎo)函數(shù),求得的解,確定此解兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值

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