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文檔簡介
2025屆廣東六校聯(lián)盟高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研模擬試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1.已知函數(shù),若關(guān)于的方程有8個(gè)不等的實(shí)數(shù)根,則的取值范圍是A. B.C. D.2.已知O是所在平面內(nèi)的一定點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P滿足,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過的()A.內(nèi)心 B.外心C.重心 D.垂心3.已知函數(shù),則的()A.最小正周期,最大值為 B.最小正周期為,最大值為C.最小正周期為,最大值為 D.最小正周期為,最大值為4.已知函數(shù),,則函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢 B.C. D.5.下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是()A. B.C. D.6.已知集合,,若,則的子集個(gè)數(shù)為A.14 B.15C.16 D.327.福州新港江陰港區(qū)地處福建最大海灣興化灣西北岸,全年全日船泊進(jìn)出港不受航道及潮水的限制,是迄今為止“我國少有、福建最佳”的天然良港.如圖,是港區(qū)某個(gè)泊位一天中6時(shí)到18時(shí)的水深變化曲線近似滿足函數(shù),據(jù)此可知,這段時(shí)間水深(單位:m)的最大值為()A.5 B.6C.8 D.108.已知命題,則p的否定為()A. B.C. D.9.“”是“冪函數(shù)在上單調(diào)遞增”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件10.17世紀(jì),在研究天文學(xué)的過程中,為了簡化大數(shù)運(yùn)算,蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾發(fā)明了對數(shù),對數(shù)的思想方法即把乘方和乘法運(yùn)算分別轉(zhuǎn)化為乘法和加法,數(shù)學(xué)家拉普拉斯稱贊為“對數(shù)的發(fā)明在實(shí)效上等于把天文學(xué)家的壽命延長了許多倍”.已知,,設(shè),則所在的區(qū)間為()A. B.C. D.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.已知函數(shù),則___________..12.已知函數(shù)(為常數(shù))的一條對稱軸為,若,且滿足,在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù),則的最小值為__________.13.已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)分別為a,b,則的取值范圍是_____________14.向量在邊長為1的正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示,則__________15.已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí),求的值域;(2)若,且,求的值;16.已知函數(shù),且函數(shù)恰有兩個(gè)不同零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.已知有半徑為1,圓心角為a(其中a為給定的銳角)的扇形鐵皮OMN,現(xiàn)利用這塊鐵皮并根據(jù)下列方案之一,裁剪出一個(gè)矩形.方案1:如圖1,裁剪出的矩形ABCD的頂點(diǎn)A,B在線段ON上,點(diǎn)C在弧MN上,點(diǎn)D在線段OM上;方案2:如圖2,裁剪出的矩形PQRS的頂點(diǎn)P,S分別在線段OM,ON上,頂點(diǎn)Q,R在弧MN上,并且滿足PQ∥RS∥OE,其中點(diǎn)E為弧MN的中點(diǎn).(1)按照方案1裁剪,設(shè)∠NOC=,用表示矩形ABCD的面積S1,并證明S1的最大值為;(2)按照方案2裁剪,求矩形PQRS的面積S2的最大值,并與(1)中的結(jié)果比較后指出按哪種方案可以裁剪出面積最大的矩形.18.如圖,已知AA1⊥平面ABC,BB1∥AA1,AB=AC=3,BC=2,AA1=,BB1=2,點(diǎn)E和F分別為BC和A1C的中點(diǎn)(1)求證:EF∥平面A1B1BA;(2)求直線A1B1與平面BCB1所成角的大?。?9.已知函數(shù).(1)在①,②這兩個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面的橫線上,并解答.問題:已知函數(shù)___________,,求的值域.注:如果選擇兩個(gè)條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.(2)若,,,求的取值范圍.20.某種放射性元素的原子數(shù)隨時(shí)間的變化規(guī)律是,其中是正的常數(shù),為自然對數(shù)的底數(shù).(1)判斷函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù);(2)把表示成原子數(shù)的函數(shù).21.已知且是上的奇函數(shù),且(1)求的解析式;(2)若不等式對恒成立,求取值范圍;(3)把區(qū)間等分成份,記等分點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為,,設(shè),記,是否存在正整數(shù),使不等式有解?若存在,求出所有的值,若不存在,說明理由.
參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】畫出函數(shù)的圖象,利用函數(shù)的圖象,判斷的范圍,然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解的范圍【詳解】解:函數(shù),的圖象如圖:關(guān)于的方程有8個(gè)不等的實(shí)數(shù)根,必須有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根且兩根位于之間,由函數(shù)圖象可知,.令,方程化為:,,,開口向下,對稱軸為:,可知:的最大值為:,的最小值為:2故選:【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用,函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷與應(yīng)用,考查數(shù)形結(jié)合以及計(jì)算能力,屬于中檔題2、A【解析】表示的是方向上的單位向量,畫圖象,根據(jù)圖象可知點(diǎn)在的角平分線上,故動(dòng)點(diǎn)必過三角形的內(nèi)心.【詳解】如圖,設(shè),,已知均為單位向量,故四邊形為菱形,所以平分,由得,又與有公共點(diǎn),故三點(diǎn)共線,所以點(diǎn)在的角平分線上,故動(dòng)點(diǎn)的軌跡經(jīng)過的內(nèi)心.故選:A.3、B【解析】利用輔助角公式化簡得到,求出最小正周期和最大值.【詳解】所以最小正周期為,最大值為2.故選:B4、B【解析】先判斷函數(shù)的單調(diào)性,再利用單調(diào)性求解.【詳解】因?yàn)椋谏隙际窃龊瘮?shù),由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知:函數(shù),在上為增函數(shù),所以函數(shù)的值域?yàn)?,故選:B5、B【解析】利用函數(shù)奇偶性的定義可判斷A、B、C選項(xiàng)中各函數(shù)的奇偶性,利用特殊值法可判斷D選項(xiàng)中函數(shù)的奇偶性.【詳解】對于A選項(xiàng),令,該函數(shù)的定義域?yàn)椋?,所以,函?shù)為奇函數(shù);對于B選項(xiàng),令,該函數(shù)的定義域?yàn)椋?,所以,函?shù)為偶函數(shù);對于C選項(xiàng),函數(shù)的定義域?yàn)?,則函數(shù)為非奇非偶函數(shù);對于D選項(xiàng),令,則,,且,所以,函數(shù)為非奇非偶函數(shù).故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性的判斷,考查函數(shù)奇偶性定義的應(yīng)用,考查推理能力,屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】根據(jù)集合的并集的概念得到,集合的子集個(gè)數(shù)有個(gè),即16個(gè)故答案為C7、C【解析】從圖象中的最小值入手,求出,進(jìn)而求出函數(shù)的最大值,即為答案.【詳解】從圖象可以看出,函數(shù)最小值為-2,即當(dāng)時(shí),函數(shù)取得最小值,即,解得:,所以,當(dāng)時(shí),函數(shù)取得最大值,,這段時(shí)間水深(單位:m)的最大值為8m.故選:C8、D【解析】全稱命題的否定為存在命題,利用相關(guān)定義進(jìn)行判斷即可【詳解】全稱命題的否定為存在命題,命題,則為.故選:D9、A【解析】由冪函數(shù)的概念,即可求出或,再根據(jù)或均滿足在上單調(diào)遞增以及充分條件、必要條件的概念,即可得到結(jié)果.【詳解】若為冪函數(shù),則,解得或,又或都滿足在上單調(diào)遞增故“”是“冪函數(shù)在上單調(diào)遞增”的充分不必要條件故選:A.10、C【解析】利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求出,由此可得答案.【詳解】,所以.故選:C二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、17【解析】根據(jù)分段函數(shù)解析式計(jì)算可得;【詳解】解:因?yàn)?,故答案為?2、【解析】根據(jù)是的對稱軸可取得最值,即可求出的值,進(jìn)而可得的解析式,再結(jié)合對稱中心的性質(zhì)即可求解.【詳解】因?yàn)槭堑膶ΨQ軸,所以,化簡可得:,即,所以,有,,可得,,因?yàn)?,且滿足,在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù),又因?yàn)閷ΨQ中心,所以,當(dāng)時(shí),取得最小值.故答案為:.13、【解析】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)可轉(zhuǎn)化為有2個(gè)不等的根,利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知,由均值不等式求解即可.詳解】不妨設(shè),因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn)分別為a,b,所以,所以,即,且,,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號成立,此時(shí)不滿足題意,,即,故答案為:14、3【解析】由題意可知故答案為315、(1)(2)【解析】(1)化簡函數(shù)解析式為,再利用余弦函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的值域即可;(2)由已知得,利用同角之間的關(guān)系求得,再利用湊角公式及兩角差的余弦公式即可得解.【小問1詳解】,,利用余弦函數(shù)的性質(zhì)知,則【小問2詳解】,又,,則則16、【解析】作出函數(shù)的圖象,把函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖象交點(diǎn)問題解決.【詳解】由得,即函數(shù)零點(diǎn)是直線與函數(shù)圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo),當(dāng)時(shí),是增函數(shù),函數(shù)值從1遞增到2(1不能取),當(dāng)時(shí),是增函數(shù),函數(shù)值為一切實(shí)數(shù),在坐標(biāo)平面內(nèi)作出函數(shù)的圖象,如圖,觀察圖象知,當(dāng)時(shí),直線與函數(shù)圖象有2個(gè)交點(diǎn),即函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn),所以實(shí)數(shù)的取值范圍是:.故答案為:三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1),證明見解析;(2),方案1可以裁剪出面積最大的矩形.【解析】(1)分別用含有的三角函數(shù)表示,寫出矩形的面積,利用三角函數(shù)求最值;(2)利用(1)的結(jié)論,根據(jù)對稱性知,矩形的最大面積為,然后利用作差法比較大小即可【小問1詳解】在圖1中,,,,,,,當(dāng)時(shí),矩形最大面積為,得證.【小問2詳解】在圖(2)中,設(shè)與邊,分別交于點(diǎn),,由(1)的結(jié)論,可得矩形的最大面積為,根據(jù)對稱性知,矩形的最大面積為.因?yàn)闉殇J角,所以,于是.因此,.故按照方案1可以裁剪出面積最大的矩形,其最大面積為.18、(1)詳見解析(2)30°【解析】(1)連接A1B,結(jié)合三角形中位線定理,得到平行,結(jié)合直線與平面平行,的判定定理,即可.(2)取的中點(diǎn)N,連接,利用直線與平面垂直判定定理,得到平面,找出即為所求的角,解三角形,計(jì)算該角的大小,即可【詳解】解:(1)證明:如圖,連接A1B.在△A1BC中,因?yàn)镋和F分別是BC和A1C的中點(diǎn),所以EF∥BA1.又EF?平面A1B1BA,所以EF∥平面A1B1BA(2)解:因?yàn)锳B=AC,E為BC的中點(diǎn),所以AE⊥BC.因?yàn)锳A1⊥平面ABC,BB1∥AA1,所以BB1⊥平面ABC,從而BB1⊥AE.又BC∩BB1=B,所以AE⊥平面BCB1,.取BB1的中點(diǎn)M和B1C的中點(diǎn)N,連接A1M,A1N,NE.因?yàn)镹和E分別為B1C和BC的中點(diǎn),所以NE∥B1B,NE=B1B,故NE∥A1A且NE=A1A,所以A1N∥AE,且A1N=AE.因?yàn)锳E⊥平面BCB1,所以A1N⊥平面BCB1,從而∠A1B1N為直線A1B1與平面BCB1所成的角.在△ABC中,可得AE=2,所以A1N=AE=2.因?yàn)锽M∥AA1,BM=AA1,所以A1M∥AB,A1M=AB,由AB⊥BB1,有A1M⊥BB1.在Rt△A1MB1中,可得A1B1=4.在Rt△A1NB1中,sin∠A1B1N=,因此∠A1B1N=30°.所以直線A1B1與平面BCB1所成的角為30°【點(diǎn)睛】本題考查了直線與平面垂直、平行判定定理和直線與平面所成角的找法,證明直線與平面平行關(guān)鍵找出一條直線與平面內(nèi)一條直線平行,直線與平面所成角的找法關(guān)鍵找出直線垂直平面的那條直線,建立角,解三角形,即可.19、(1)答案見解析(2)【解析】(1)根據(jù)復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)即可得到的值域;(2)令,求出其最小值,則問題轉(zhuǎn)化為恒成立,進(jìn)而求最小值即可.【小問1詳解】選擇①,,令,則,故函數(shù)的值域?yàn)镽,即的值域?yàn)镽.選擇②,,令,則,因?yàn)楹瘮?shù)單調(diào)遞增,所以,即的值域?yàn)?【小問2詳解】令.當(dāng)時(shí),,,;當(dāng)時(shí),,,.因?yàn)?,所以的最小值?,所以,即.令,則,所以,故,即的取值范圍為.20、(1)減函數(shù);(2)(其中).【解析】(1)即得是關(guān)于的減函數(shù);(2)利用指數(shù)式與對數(shù)式的互化,可以把t表示為原子數(shù)N的函數(shù)試題解析:(1)由已知可得因?yàn)槭钦?shù),,所以,即,又是正常數(shù),所以是關(guān)于的減函數(shù)(2)因?yàn)?,所以,所以,即(其中?點(diǎn)睛:本題利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可容易得出函數(shù)的單調(diào)性,利用指數(shù)與對數(shù)的互化可得出函數(shù)的表達(dá)式.21、(1);(2);(3)存在,正整數(shù)或2.【解析】(1)根據(jù),,即可求出的值,從而可求函數(shù)的解析式;(2)根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性由題意可得到恒成立,然后通過分類討論,根據(jù)二次不等式恒成立問題的解決方法即可求出答案;
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