江西省贛州市十四縣2025屆數(shù)學(xué)高三上期末統(tǒng)考模擬試題含解析_第1頁(yè)
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江西省贛州市十四縣2025屆數(shù)學(xué)高三上期末統(tǒng)考模擬試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效;在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.不等式的解集記為,有下面四個(gè)命題:;;;.其中的真命題是()A. B. C. D.2.已知拋物線的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線為,是上一點(diǎn),是直線與拋物線的一個(gè)交點(diǎn),若,則()A. B.3 C. D.23.如圖是正方體截去一個(gè)四棱錐后的得到的幾何體的三視圖,則該幾何體的體積是()A. B. C. D.4.的展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為()A. B.60 C.70 D.805.若函數(shù)()的圖象過(guò)點(diǎn),則()A.函數(shù)的值域是 B.點(diǎn)是的一個(gè)對(duì)稱中心C.函數(shù)的最小正周期是 D.直線是的一條對(duì)稱軸6.復(fù)數(shù)滿足,則復(fù)數(shù)等于()A. B. C.2 D.-27.設(shè)、,數(shù)列滿足,,,則()A.對(duì)于任意,都存在實(shí)數(shù),使得恒成立B.對(duì)于任意,都存在實(shí)數(shù),使得恒成立C.對(duì)于任意,都存在實(shí)數(shù),使得恒成立D.對(duì)于任意,都存在實(shí)數(shù),使得恒成立8.某幾何體的三視圖如右圖所示,則該幾何體的外接球表面積為()A. B.C. D.9.已知盒中有3個(gè)紅球,3個(gè)黃球,3個(gè)白球,且每種顏色的三個(gè)球均按,,編號(hào),現(xiàn)從中摸出3個(gè)球(除顏色與編號(hào)外球沒(méi)有區(qū)別),則恰好不同時(shí)包含字母,,的概率為()A. B. C. D.10.設(shè)為拋物線的焦點(diǎn),,,為拋物線上三點(diǎn),若,則().A.9 B.6 C. D.11.設(shè)i為虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù),則復(fù)數(shù)z等于()A. B. C. D.012.現(xiàn)有甲、乙、丙、丁4名學(xué)生平均分成兩個(gè)志愿者小組到校外參加兩項(xiàng)活動(dòng),則乙、丙兩人恰好參加同一項(xiàng)活動(dòng)的概率為A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知實(shí)數(shù)滿足,則的最大值為________.14.已知向量,且,則___________.15.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、,過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作一條直線交橢圓于點(diǎn)、.則內(nèi)切圓面積的最大值是_________.16.已知等差數(shù)列滿足,,則的值為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)山東省2020年高考將實(shí)施新的高考改革方案.考生的高考總成績(jī)將由3門統(tǒng)一高考科目成績(jī)和自主選擇的3門普通高中學(xué)業(yè)水平等級(jí)考試科目成績(jī)組成,總分為750分.其中,統(tǒng)一高考科目為語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ),自主選擇的3門普通高中學(xué)業(yè)水平等級(jí)考試科目是從物理、化學(xué)、生物、歷史、政治、地理6科中選擇3門作為選考科目,語(yǔ)、數(shù)、外三科各占150分,選考科目成績(jī)采用“賦分制”,即原始分?jǐn)?shù)不直接用,而是按照學(xué)生分?jǐn)?shù)在本科目考試的排名來(lái)劃分等級(jí)并以此打分得到最后得分.根據(jù)高考綜合改革方案,將每門等級(jí)考試科目中考生的原始成績(jī)從高到低分為A、B+、B、C+、C、D+、D、E共8個(gè)等級(jí)。參照正態(tài)分布原則,確定各等級(jí)人數(shù)所占比例分別為3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.等級(jí)考試科目成績(jī)計(jì)入考生總成績(jī)時(shí),將A至E等級(jí)內(nèi)的考生原始成績(jī),依照等比例轉(zhuǎn)換法則,分別轉(zhuǎn)換到91-100、81-90、71-80,61-70、51-60、41-50、31-40、21-30八個(gè)分?jǐn)?shù)區(qū)間,得到考生的等級(jí)成績(jī).舉例說(shuō)明.某同學(xué)化學(xué)學(xué)科原始分為65分,該學(xué)科C+等級(jí)的原始分分布區(qū)間為58~69,則該同學(xué)化學(xué)學(xué)科的原始成績(jī)屬C+等級(jí).而C+等級(jí)的轉(zhuǎn)換分區(qū)間為61~70,那么該同學(xué)化學(xué)學(xué)科的轉(zhuǎn)換分為:設(shè)該同學(xué)化學(xué)科的轉(zhuǎn)換等級(jí)分為x,69-6565-58=70-x四舍五入后該同學(xué)化學(xué)學(xué)科賦分成績(jī)?yōu)?7.(1)某校高一年級(jí)共2000人,為給高一學(xué)生合理選科提供依據(jù),對(duì)六個(gè)選考科目進(jìn)行測(cè)試,其中物理考試原始成績(jī)基本服從正態(tài)分布ξ~N(60,12(i)若小明同學(xué)在這次考試中物理原始分為84分,等級(jí)為B+,其所在原始分分布區(qū)間為82~93,求小明轉(zhuǎn)換后的物理成績(jī);(ii)求物理原始分在區(qū)間(72,84)的人數(shù);(2)按高考改革方案,若從全省考生中隨機(jī)抽取4人,記X表示這4人中等級(jí)成績(jī)?cè)趨^(qū)間[61,80]的人數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.(附:若隨機(jī)變量ξ~N(μ,σ2),則Pμ-σ<ξ<μ+σ=0.68218.(12分)已知數(shù)列中,,前項(xiàng)和為,若對(duì)任意的,均有(是常數(shù),且)成立,則稱數(shù)列為“數(shù)列”.(1)若數(shù)列為“數(shù)列”,求數(shù)列的前項(xiàng)和;(2)若數(shù)列為“數(shù)列”,且為整數(shù),試問(wèn):是否存在數(shù)列,使得對(duì)任意,成立?如果存在,求出這樣數(shù)列的的所有可能值,如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.19.(12分)如圖(1)五邊形中,,將沿折到的位置,得到四棱錐,如圖(2),點(diǎn)為線段的中點(diǎn),且平面.(1)求證:平面平面;(2)若直線與所成角的正切值為,求直線與平面所成角的正弦值.20.(12分)已知奇函數(shù)的定義域?yàn)?,且?dāng)時(shí),.(1)求函數(shù)的解析式;(2)記函數(shù),若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.21.(12分)已知矩陣,,若矩陣,求矩陣的逆矩陣.22.(10分)某百貨商店今年春節(jié)期間舉行促銷活動(dòng),規(guī)定消費(fèi)達(dá)到一定標(biāo)準(zhǔn)的顧客可進(jìn)行一次抽獎(jiǎng)活動(dòng),隨著抽獎(jiǎng)活動(dòng)的有效開展,參與抽獎(jiǎng)活動(dòng)的人數(shù)越來(lái)越多,該商店經(jīng)理對(duì)春節(jié)前天參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)的人數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),表示第天參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)的人數(shù),得到統(tǒng)計(jì)表格如下:123456758810141517(1)經(jīng)過(guò)進(jìn)一步統(tǒng)計(jì)分析,發(fā)現(xiàn)與具有線性相關(guān)關(guān)系.請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程;(2)該商店規(guī)定:若抽中“一等獎(jiǎng)”,可領(lǐng)取600元購(gòu)物券;抽中“二等獎(jiǎng)”可領(lǐng)取300元購(gòu)物券;抽中“謝謝惠顧”,則沒(méi)有購(gòu)物券.已知一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)獲得“一等獎(jiǎng)”的概率為,獲得“二等獎(jiǎng)”的概率為.現(xiàn)有張、王兩位先生參與了本次活動(dòng),且他們是否中獎(jiǎng)相互獨(dú)立,求此二人所獲購(gòu)物券總金額的分布列及數(shù)學(xué)期望.參考公式:,,,.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

作出不等式組表示的可行域,然后對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一分析可得結(jié)果.【詳解】作出可行域如圖所示,當(dāng)時(shí),,即的取值范圍為,所以為真命題;為真命題;為假命題.故選:A【點(diǎn)睛】此題考查命題的真假判斷與應(yīng)用,著重考查作圖能力,熟練作圖,正確分析是關(guān)鍵,屬于中檔題.2、D【解析】

根據(jù)拋物線的定義求得,由此求得的長(zhǎng).【詳解】過(guò)作,垂足為,設(shè)與軸的交點(diǎn)為.根據(jù)拋物線的定義可知.由于,所以,所以,所以,所以.故選:D【點(diǎn)睛】本小題主要考查拋物線的定義,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】

根據(jù)三視圖作出幾何體的直觀圖,結(jié)合三視圖的數(shù)據(jù)可求得幾何體的體積.【詳解】根據(jù)三視圖還原幾何體的直觀圖如下圖所示:由圖可知,該幾何體是在棱長(zhǎng)為的正方體中截去四棱錐所形成的幾何體,該幾何體的體積為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查利用三視圖計(jì)算幾何體的體積,考查空間想象能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】

展開式中含的項(xiàng)是由的展開式中含和的項(xiàng)分別與前面的常數(shù)項(xiàng)和項(xiàng)相乘得到,由二項(xiàng)式的通項(xiàng),可得解【詳解】由題意,展開式中含的項(xiàng)是由的展開式中含和的項(xiàng)分別與前面的常數(shù)項(xiàng)和項(xiàng)相乘得到,所以的展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式系數(shù)的求解,考查了學(xué)生綜合分析,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】

根據(jù)函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn),求出,可得,再利用余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì),得出結(jié)論.【詳解】由函數(shù)()的圖象過(guò)點(diǎn),可得,即,,,故,對(duì)于A,由,則,故A正確;對(duì)于B,當(dāng)時(shí),,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,當(dāng)時(shí),,故D錯(cuò)誤;故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查了二倍角的余弦公式、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),需熟記性質(zhì)與公式,屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】

通過(guò)復(fù)數(shù)的模以及復(fù)數(shù)的代數(shù)形式混合運(yùn)算,化簡(jiǎn)求解即可.【詳解】復(fù)數(shù)滿足,∴,故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算,復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的概念,屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】

取,可排除AB;由蛛網(wǎng)圖可得數(shù)列的單調(diào)情況,進(jìn)而得到要使,只需,由此可得到答案.【詳解】取,,數(shù)列恒單調(diào)遞增,且不存在最大值,故排除AB選項(xiàng);由蛛網(wǎng)圖可知,存在兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn),且,,因?yàn)楫?dāng)時(shí),數(shù)列單調(diào)遞增,則;當(dāng)時(shí),數(shù)列單調(diào)遞減,則;所以要使,只需要,故,化簡(jiǎn)得且.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查遞推數(shù)列的綜合運(yùn)用,考查邏輯推理能力,屬于難題.8、A【解析】

由三視圖知:幾何體為三棱錐,且三棱錐的一條側(cè)棱垂直于底面,結(jié)合直觀圖判斷外接球球心的位置,求出半徑,代入求得表面積公式計(jì)算.【詳解】由三視圖知:幾何體為三棱錐,且三棱錐的一條側(cè)棱垂直于底面,高為2,底面為等腰直角三角形,斜邊長(zhǎng)為,如圖:的外接圓的圓心為斜邊的中點(diǎn),,且平面,,的中點(diǎn)為外接球的球心,半徑,外接球表面積.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了由三視圖求幾何體的外接球的表面積,根據(jù)三視圖判斷幾何體的結(jié)構(gòu)特征,利用幾何體的結(jié)構(gòu)特征與數(shù)據(jù)求得外接球的半徑是解答本題的關(guān)鍵.9、B【解析】

首先求出基本事件總數(shù),則事件“恰好不同時(shí)包含字母,,”的對(duì)立事件為“取出的3個(gè)球的編號(hào)恰好為字母,,”,記事件“恰好不同時(shí)包含字母,,”為,利用對(duì)立事件的概率公式計(jì)算可得;【詳解】解:從9個(gè)球中摸出3個(gè)球,則基本事件總數(shù)為(個(gè)),則事件“恰好不同時(shí)包含字母,,”的對(duì)立事件為“取出的3個(gè)球的編號(hào)恰好為字母,,”記事件“恰好不同時(shí)包含字母,,”為,則.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型及其概率計(jì)算公式,考查了排列組合的知識(shí),解答的關(guān)鍵在于正確理解題意,屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】

設(shè),,,由可得,利用定義將用表示即可.【詳解】設(shè),,,由及,得,故,所以.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查利用拋物線定義求焦半徑的問(wèn)題,考查學(xué)生等價(jià)轉(zhuǎn)化的能力,是一道容易題.11、B【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算法則,即可求解.【詳解】.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】

求得基本事件的總數(shù)為,其中乙丙兩人恰好參加同一項(xiàng)活動(dòng)的基本事件個(gè)數(shù)為,利用古典概型及其概率的計(jì)算公式,即可求解.【詳解】由題意,現(xiàn)有甲乙丙丁4名學(xué)生平均分成兩個(gè)志愿者小組到校外參加兩項(xiàng)活動(dòng),基本事件的總數(shù)為,其中乙丙兩人恰好參加同一項(xiàng)活動(dòng)的基本事件個(gè)數(shù)為,所以乙丙兩人恰好參加同一項(xiàng)活動(dòng)的概率為,故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了排列組合的應(yīng)用,以及古典概型及其概率的計(jì)算問(wèn)題,其中解答中合理應(yīng)用排列、組合的知識(shí)求得基本事件的總數(shù)和所求事件所包含的基本事件的個(gè)數(shù),利用古典概型及其概率的計(jì)算公式求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了運(yùn)算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

作出不等式組所表示的平面區(qū)域,將目標(biāo)函數(shù)看作點(diǎn)與可行域的點(diǎn)所構(gòu)成的直線的斜率,當(dāng)直線過(guò)時(shí),直線的斜率取得最大值,代入點(diǎn)A的坐標(biāo)可得答案.【詳解】畫出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域,如下圖所示,由得點(diǎn),目標(biāo)函數(shù)表示點(diǎn)與可行域的點(diǎn)所構(gòu)成的直線的斜率,當(dāng)直線過(guò)時(shí),直線的斜率取得最大值,此時(shí)的最大值為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查求目標(biāo)函數(shù)的最值,關(guān)鍵在于明確目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,屬于中檔題.14、【解析】

由向量平行的坐標(biāo)表示得出,求解即可得出答案.【詳解】因?yàn)?,所以,解?故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了由向量共線或平行求參數(shù),屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】令直線:,與橢圓方程聯(lián)立消去得,可設(shè),則,.可知,又,故.三角形周長(zhǎng)與三角形內(nèi)切圓的半徑的積是三角形面積的二倍,則內(nèi)切圓半徑,其面積最大值為.故本題應(yīng)填.點(diǎn)睛:圓錐曲線中最值與范圍的求法有兩種:(1)幾何法:若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義,則考慮利用圖形性質(zhì)來(lái)解決,這就是幾何法.(2)代數(shù)法:若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù),則可首先建立起目標(biāo)函數(shù),再求這個(gè)函數(shù)的最值,求函數(shù)最值的常用方法有配方法,判別式法,重要不等式及函數(shù)的單調(diào)性法等.16、11【解析】

由等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)可得,由即可求出公差,即可求解;【詳解】解:設(shè)等差數(shù)列的公差為,,又因?yàn)?,解得故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(i)83.;(ii)272.(2)見(jiàn)解析.【解析】

(1)根據(jù)原始分?jǐn)?shù)分布區(qū)間及轉(zhuǎn)換分區(qū)間,結(jié)合所給示例,即可求得小明轉(zhuǎn)換后的物理成績(jī);根據(jù)正態(tài)分布滿足N60,122(2)根據(jù)各等級(jí)人數(shù)所占比例可知在區(qū)間61,80內(nèi)的概率為25,由二項(xiàng)分布即可求得X【詳解】(1)(i)設(shè)小明轉(zhuǎn)換后的物理等級(jí)分為x,93-8484-82求得x≈82.64.小明轉(zhuǎn)換后的物理成績(jī)?yōu)?3分;(ii)因?yàn)槲锢砜荚囋挤只痉恼龖B(tài)分布N60,所以P(72<ξ<84)=P(60<ξ<84)-P(60<ξ<72)===0.136.所以物理原始分在區(qū)間72,84的人數(shù)為2000×0.136=272(人);(2)由題意得,隨機(jī)抽取1人,其等級(jí)成績(jī)?cè)趨^(qū)間61,80內(nèi)的概率為25隨機(jī)抽取4人,則X~B4,PX=0=3PX=2=CPX=4X的分布列為X01234P812162169616數(shù)學(xué)期望EX【點(diǎn)睛】本題考查了統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用,正態(tài)分布下求某區(qū)間概率的方法,分布列及數(shù)學(xué)期望的求法,文字多,數(shù)據(jù)多,需要細(xì)心的分析和理解,屬于中檔題。18、(1)(2)存在,【解析】

由數(shù)列為“數(shù)列”可得,,,兩式相減得,又,利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可求出,進(jìn)而求出;由題意得,,,兩式相減得,,據(jù)此可得,當(dāng)時(shí),,進(jìn)而可得,即數(shù)列為常數(shù)列,進(jìn)而可得,結(jié)合,得到關(guān)于的不等式,再由時(shí),且為整數(shù)即可求出符合題意的的所有值.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為“數(shù)列”,所以,故,兩式相減得,在中令,則可得,故所以,所以數(shù)列是以為首項(xiàng),以為公比的等比數(shù)列,所以,因?yàn)椋?(2)由題意得,故,兩式相減得所以,當(dāng)時(shí),又因?yàn)樗援?dāng)時(shí),所以成立,所以當(dāng)時(shí),數(shù)列是常數(shù)列,所以因?yàn)楫?dāng)時(shí),成立,所以,所以在中令,因?yàn)?,所以可得,所以,由時(shí),且為整數(shù),可得,把分別代入不等式可得,,所以存在數(shù)列符合題意,的所有值為.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的新定義、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列遞推公式的運(yùn)用;考查運(yùn)算求解能力、邏輯推理能力和對(duì)新定義的理解能力;通過(guò)反復(fù)利用遞推公式,得到數(shù)列為常數(shù)列是求解本題的關(guān)鍵;屬于綜合型強(qiáng)、難度大型試題.19、(1)見(jiàn)解析(2)【解析】試題分析:(1)根據(jù)已知條件由線線垂直得出線面垂直,再根據(jù)面面垂直的判定定理證得成立;(2)通過(guò)已知條件求出各邊長(zhǎng)度,建系如圖所示,求出平面的法向量,根據(jù)線面角公式代入坐標(biāo)求得結(jié)果.試題解析:(1)證明:取的中點(diǎn),連接,則,又,所以,則四邊形為平行四邊形,所以,又平面,∴平面,∴.由即及為的中點(diǎn),可得為等邊三角形,∴,又,∴,∴,∴平面平面,∴平面平面.(2)解:,∴為直線與所成的角,由(1)可得,∴,∴,設(shè),則,取的中點(diǎn),連接,過(guò)作的平行線,可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,∴,所以,設(shè)為平面的法向量,則,即,取,則為平面的一個(gè)法向量,∵,則直線與平面所成角的正弦

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