清單05分式（23個考點梳理題型解讀核心素養(yǎng)提升中考聚焦）

清單05分式（23個考點梳理+題型解讀+核心素養(yǎng)提升+中考聚焦）【知識導(dǎo)圖】【知識清單】考點一．科學(xué)記數(shù)法—表示較小的數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n為由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．【規(guī)律方法】用科學(xué)記數(shù)法表示有理數(shù)x的規(guī)律x的取值范圍表示方法a的取值n的取值|x|≥10a×10n1≤|a|＜10整數(shù)的位數(shù)﹣1|x|＜1a×10﹣n第一位非零數(shù)字前所有0的個數(shù)（含小數(shù)點前的0）1．（2022秋?肇慶期末）奧密克戎是一種新型冠狀病毒，它的直徑約為60～140納米（1納米＝0.000000001米）．其中“140納米”用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．1.4×10﹣11米 B．1.4×10﹣7米 C．14×10﹣8米 D．0.14×10﹣10米【分析】絕對值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為a×10﹣n，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．【解答】解：140×0.000000001＝0.00000014（米），則“140納米”用科學(xué)記數(shù)法表示為1.4×10﹣7米；故選：B．【點評】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n為由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．考點二．分式的定義（1）分式的概念：一般地，如果A，B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．（2）因為0不能做除數(shù)，所以分式的分母不能為0．（3）分式是兩個整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分?jǐn)?shù)線可以理解為除號，還兼有括號的作用．（4）分式的分母必須含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即從形式上看是的形式，從本質(zhì)上看分母必須含有字母，同時，分母不等于零，且只看初始狀態(tài)，不要化簡．（5）分式是一種表達(dá)形式，如x++2是分式，如果形式都不是的形式，那就不能算是分式了，如：（x+1）÷（x+2），它只表示一種除法運算，而不能稱之為分式，但如果用負(fù)指數(shù)次冪表示的某些代數(shù)式如（a+b）﹣2，y﹣1，則為分式，因為y﹣1＝僅是一種數(shù)學(xué)上的規(guī)定，而非一種運算形式．2．（2022秋?望城區(qū)期末）下列式子中，是分式的是（）A．﹣3x B． C． D．【分析】由分式的概念即可判斷．【解答】解：﹣3x、、的分母中不含有字母，不是分式；﹣的分母中含有字母，屬于分式．觀察選項，只有選項D符合題意．故選：D．【點評】本題考查了分式的定義，能熟記分式的定義是解此題的關(guān)鍵，已知整式A和B，如果中分母B含有字母，那么叫分式．3．（2022秋?高邑縣期末）如圖，甲、乙、丙、丁四人手中各有一個圓形卡片，則卡片中的式子是分式的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)分式的定義“形如，B中含有字母的式子叫分式”逐項判斷即可求解．【解答】解：甲、是分式；乙、中，π是一個數(shù)，故不是分式；丙、是分式；丁、，分母不含字母，不是分式．綜上，是分式的有甲、丙，共2個，故選：B．【點評】本題考查了分式的定義，熟知分式的定義是解題的關(guān)鍵．考點三．分式有意義的條件（1）分式有意義的條件是分母不等于零．（2）分式無意義的條件是分母等于零．（3）分式的值為正數(shù)的條件是分子、分母同號．（4）分式的值為負(fù)數(shù)的條件是分子、分母異號．4．（2023秋?崆峒區(qū)期末）分式有意義，x的取值范圍是（）A．x≠0 B．x≠﹣2 C．x≥0 D．x≥﹣2【分析】根據(jù)分式有意義的條件即可求出答案．【解答】解：由題意可知：x+2≠0，x≠﹣2，故選：B．【點評】本題考查分式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是正確理解分式有意義的條件，本題屬于基礎(chǔ)題型．5．（2023秋?喀什市期末）若分式有意義，則x．【分析】根據(jù)分式有意義的條件可得2x﹣1≠0，再解即可．【解答】解：由題意得：2x﹣1≠0，解得：x≠，故答案為：．【點評】此題主要考查了分式有意義的條件，關(guān)鍵是掌握分式有意義的條件是分母不等于零．考點四．分式的值為零的條件分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不為零”這個條件不能少．6．（2023春?宣漢縣期末）已知分式的值為0，那么x的值為（）A．0 B．﹣1 C．1 D．±1【分析】根據(jù)分式值為零的條件可得x2﹣1＝0，且x﹣1≠0，再解可得答案．【解答】解：由題意得：x2﹣1＝0，且x﹣1≠0解得：x＝﹣1，故選：B．【點評】此題主要考查了分式值為零的條件，即分子等于零且分母不等于零．7．（2023秋?崆峒區(qū)期末）若分式的值為0，則x的值等于．【分析】分式的值為零：分子等于零，且分母不等于零．【解答】解：依題意，得|x|﹣4＝0，且x+4≠0．解得x＝4．故答案為：4．【點評】本題考查了分式是值為零的條件．若分式的值為零，需同時具備兩個條件：（1）分子為0；（2）分母不為0．這兩個條件缺一不可．考點五．分式的值分式求值歷來是各級考試中出現(xiàn)頻率較高的題型，而條件分式求值是較難的一種題型，在解答時應(yīng)從已知條件和所求問題的特點出發(fā)，通過適當(dāng)?shù)淖冃?、轉(zhuǎn)化，才能發(fā)現(xiàn)解題的捷徑．8．（2023春?開江縣校級期末）若y＝，則的值為（）A． B．﹣1 C． D．【分析】根據(jù)已知可得y﹣x＝2xy，然后代入式子中進(jìn)行計算即可解答．【解答】解：∵y＝，∴y﹣2xy＝x，∴y﹣x＝2xy，∴＝＝＝﹣，故選：D．【點評】本題考查了分式的值，根據(jù)題目的已知求出y﹣x與xy的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．9．（2023春?清苑區(qū)期末）如圖，若，則表示的值的點落在（）A．段① B．段② C．段③ D．段④【分析】把＝3變形得a＝3b，代入即可求出分式的值，再看值的點落在的位置．【解答】解：∵＝3，∴a＝3b，∴＝＝＝﹣，∴表示的值的點落在段②，故選：B．【點評】本題考查了分式的值，能正確把＝3變形為a＝3b是解此題的關(guān)鍵．考點六．分式的基本性質(zhì)（1）分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母同乘（或除以）一個不等于0的整式，分式的值不變．（2）分式中的符號法則：分子、分母、分式本身同時改變兩處的符號，分式的值不變．【方法技巧】利用分式的基本性質(zhì)可解決的問題1．分式中的系數(shù)化整問題：當(dāng)分子、分母的系數(shù)為分?jǐn)?shù)或小數(shù)時，應(yīng)用分?jǐn)?shù)的性質(zhì)將分式的分子、分母中的系數(shù)化為整數(shù)．2．解決分式中的變號問題：分式的分子、分母及分式本身的三個符號，改變其中的任何兩個，分式的值不變，注意分子、分母是多項式時，分子、分母應(yīng)為一個整體，改變符號是指改變分子、分母中各項的符號．3．處理分式中的恒等變形問題：分式的約分、通分都是利用分式的基本性質(zhì)變形的．10．（2022秋?劍閣縣期末）在分式中，若將x、y都擴大為原來的2倍，則所得分式的值（）A．不變 B．是原來的2倍 C．是原來的4倍 D．無法確定【分析】根據(jù)分式的分子分母同時乘以或除以同一個不為零的整式，結(jié)果不變，可得答案．【解答】解：分式中，若將x、y都擴大為原來的2倍，則所得分式的值不變．故選：A．【點評】本題考查了分式的基本性質(zhì)，分式的分子分母同時乘以或除以同一個不為零的整式，結(jié)果不變．11．（2022秋?海陽市期末）下列各式中，與分式的值相等的是（）A． B． C． D．【分析】把分式的分子、分母同時乘以﹣1即可得出結(jié)論．【解答】解：把分式﹣的分子、分母同時乘以﹣1得，＝．故選：D．【點評】本題考查的是分式的基本性質(zhì)，熟知分式的分子與分母同乘（或除以）一個不等于0的整式，分式的值不變是解答此題的關(guān)鍵．考點七．約分（1）約分的定義：約去分式的分子與分母的公因式，不改變分式的值，這樣的分式變形叫做分式的約分．（2）確定公因式要分為系數(shù)、字母、字母的指數(shù)來分別確定．①分式約分的結(jié)果可能是最簡分式，也可能是整式．②當(dāng)分子與分母含有負(fù)號時，一般把負(fù)號提到分式本身的前面．③約分時，分子與分母都必須是乘積式，如果是多項式的，必須先分解因式．（3）規(guī)律方法總結(jié)：由約分的概念可知，要首先將分子、分母轉(zhuǎn)化為乘積的形式，再找出分子、分母的最大公因式并約去，注意不要忽視數(shù)字系數(shù)的約分．12．（2022秋?舒蘭市期末）下列約分正確的是（）A． B． C． D．【分析】約去分子、分母的公因式即可得出答案．【解答】解：A．原式＝＝a+b，此選項正確；B．原式＝＝﹣1，此選項錯誤；C．原式＝＝a+2b，此選項錯誤；D．原式＝，此選項錯誤；故選：A．【點評】本題考查了約分：首先將分子、分母轉(zhuǎn)化為乘積的形式，再找出分子、分母的最大公因式并約去，注意不要忽視數(shù)字系數(shù)的約分．13．（2023春?遂寧期末）如果一個分式的分子或分母可以因式分解，且這個分式不可約分，那么我們稱這個分式為“和諧分式”，下列分式中是和諧分式的是（）A． B． C． D．【分析】利用題中的新定義判斷即可．【解答】解：A、＝＝，原分式不是最簡分式，故原分式不是“和諧分式”，故此選項不符合題意；B、＝＝，原分式不是最簡分式，故原分式不是“和諧分式”，故此選項不符合題意；C、是最簡分式，且分母可以利用平方差公式進(jìn)行因式分解，故此分式是“和諧分式”，此選項符合題意；D、是最簡分式，但分子分母均不能因式分解，故此分式不是“和諧分式”，故此選項不符合題意；故選：C．【點評】本題屬于新定義題目，考查最簡分式，分式的約分，掌握利用平方差公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）進(jìn)行因式分解是解題關(guān)鍵．考點八．通分（1）通分的定義：把幾個異分母的分式分別化為與原來的分式相等的同分母的分式，這樣的分式變形叫做分式的通分．（2）通分的關(guān)鍵是確定最簡公分母．①最簡公分母的系數(shù)取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)．②最簡公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次冪的積．（3）規(guī)律方法總結(jié)：通分時若各分式的分母還能分解因式，一定要分解因式，然后再去找各分母的最簡公分母，最簡公分母的系數(shù)為各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)，因式為各分母中相同因式的最高次冪，各分母中不相同的因式都要作為最簡公分母中的因式，要防止遺漏因式．14．（2022秋?澧縣期末）分式的分母經(jīng)過通分后變成2（a﹣b）2（a+b），那么分子應(yīng)變?yōu)椋ǎ〢．6a（a﹣b）2（a+b） B．2（a﹣b） C．6a（a﹣b） D．6a（a+b）【分析】分式的分母a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b），經(jīng)過通分后變成2（a﹣b）2（a+b），那么分母乘以了2（a﹣b），根據(jù)分式的基本性質(zhì)，將分子3a乘以2（a﹣b），計算即可得解．【解答】解：＝＝．故選：C．【點評】本題考查了分式的基本性質(zhì)，是基礎(chǔ)知識，需熟練掌握．考點九．最簡分式最簡分式的定義：一個分式的分子與分母沒有公因式時，叫最簡分式．和分?jǐn)?shù)不能化簡一樣，叫最簡分?jǐn)?shù)．15．（2022秋?匯川區(qū)期末）下列各分式中，是最簡分式的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)最簡分式的定義，逐項判斷即可求解．【解答】解：A、，不是最簡分式，故本選項不符合題意；B、，不是最簡分式，故本選項不符合題意；C、是最簡分式，故本選項符合題意；D、，不是最簡分式，故本選項不符合題意．故選：C．【點評】本題考查了最簡分式的識別，與最簡分?jǐn)?shù)的意義類似，當(dāng)一個分式的分子與分母，除了1以外沒有其它的公因式時，這樣的分式叫做最簡分式．16．（2023春?連州市期末）下列各分式中是最簡分式的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)最簡分式的定義對各選項進(jìn)行判斷．【解答】解：A、原式＝，所以A選項不符合；B、為最簡分式，所以B選項符合；C、原式＝＝，所以C選項不符合；D、原式＝＝﹣x+y，所以D選項不符合．故選：B．【點評】本題考查了最簡分式：一個分式的分子與分母沒有公因式時，叫最簡分式．考點十．最簡公分母（1）最簡公分母的定義：通常取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與字母因式的最高次冪的積作公分母，這樣的公分母叫做最簡公分母．（2）一般方法：①如果各分母都是單項式，那么最簡公分母就是各系數(shù)的最小公倍數(shù)，相同字母的最高次冪，所有不同字母都寫在積里．②如果各分母都是多項式，就可以將各個分母因式分解，取各分母數(shù)字系數(shù)的最小公倍數(shù)，凡出現(xiàn)的字母（或含字母的整式）為底數(shù)的冪的因式都要取最高次冪．17．（2022秋?匯川區(qū)期末）分式與的最簡公分母是（）A．3abc B．a(chǎn)3b3c3 C．3a3b2c D．a(chǎn)3b2c【分析】取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與字母因式的最高次冪的積作公分母，這樣的公分母叫做最簡公分母．當(dāng)各分母都是單項式，那么最簡公分母就是各系數(shù)的最小公倍數(shù)，相同字母的最高次冪，所有不同字母都寫在積里，據(jù)此求解即可．【解答】解：分式與的最簡公分母是3a3b2c，故選：C．【點評】本題主要考查了求最簡公分母，解題的關(guān)鍵是需要掌握最簡公分母的定義．18．（2022秋?江漢區(qū)校級期末）下列說法錯誤的是（）A．當(dāng)x＝2時，分式無意義 B．當(dāng)x＞5時，分式的值為正數(shù) C．當(dāng)分式時，m＝±3 D．分式與的最簡公分母是3ab2【分析】根據(jù)分式無意義的條件判斷A；根據(jù)分式值為正數(shù)的條件判斷B；根據(jù)分式的值為0的條件判斷C；根據(jù)確定最簡公分母的方法判斷D．【解答】解：A、當(dāng)x＝2時，分式無意義，故本選項說法正確，不符合題意；B、當(dāng)x＞5時，分式的值為正數(shù)，故本選項說法正確，不符合題意；C、當(dāng)分式時，m＝3，故本選項說法錯誤，符合題意；D、分式與的最簡公分母是3ab2，故本選項說法正確，不符合題意；故選：C．【點評】本題考查了分式無意義的條件，分式值為正數(shù)的條件，分式的值為0的條件，確定最簡公分母的方法，都是基礎(chǔ)知識，需熟練掌握．考點十一．分式的乘除法（1）分式的乘法法則：分式乘分式，用分子的積作積的分子，分母的積作積的分母．（2）分式的除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘．（3）分式的乘方法則：把分子、分母分別乘方．（4）分式的乘、除、乘方混合運算．運算順序應(yīng)先把各個分式進(jìn)行乘方運算，再進(jìn)行分式的乘除運算，即“先乘方，再乘除”．（5）規(guī)律方法總結(jié)：①分式乘除法的運算，歸根到底是乘法的運算，當(dāng)分子和分母是多項式時，一般應(yīng)先進(jìn)行因式分解，再約分．②整式和分式進(jìn)行運算時，可以把整式看成分母為1的分式．③做分式乘除混合運算時，要注意運算順序，乘除法是同級運算，要嚴(yán)格按照由左到右的順序進(jìn)行運算，切不可打亂這個運算順序．19．（2023秋?喀什市期末）化簡的結(jié)果是（）A．m B． C．﹣m D．﹣【分析】原式利用除法法則變形，約分即可得到結(jié)果．【解答】解：原式＝﹣?＝﹣m．故選：C．【點評】此題考查了分式的乘除法，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．20．（2023春?鯉城區(qū)校級期中）計算：?的結(jié)果是（）A． B． C． D．【分析】由原式得到原式＝，然后分子分母都約去ac即可．【解答】解：原式＝＝．故選：B．【點評】本題考查了分式的乘法：?＝．也考查了約分．考點十二．分式的加減法（1）同分母分式加減法法則：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減．（2）異分母分式加減法法則：把分母不相同的幾個分式化成分母相同的分式，叫做通分，經(jīng)過通分，異分母分式的加減就轉(zhuǎn)化為同分母分式的加減．說明：①分式的通分必須注意整個分子和整個分母，分母是多項式時，必須先分解因式，分子是多項式時，要把分母所乘的相同式子與這個多項式相乘，而不能只同其中某一項相乘．②通分是和約分是相反的一種變換．約分是把分子和分母的所有公因式約去，將分式化為較簡單的形式；通分是分別把每一個分式的分子分母同乘以相同的因式，使幾個較簡單的分式變成分母相同的較復(fù)雜的形式．約分是對一個分式而言的；通分則是對兩個或兩個以上的分式來說的．21．（2022秋?冠縣期末）由值的正負(fù)可以比較與的大小，下列正確的是（）A．當(dāng)c＝﹣3時， B．當(dāng)c＝0時， C．當(dāng)c＜﹣3時， D．當(dāng)c＜0時，【分析】將c＝﹣3和0分別代入A中計算求值即可判斷出選項A，B的對錯；當(dāng)c＜﹣3和c＜0時計算的正負(fù)，即可判斷出選項C，D的對錯．【解答】解：A選項，當(dāng)c＝﹣3時，分式無意義，故該選項不符合題意；B選項，當(dāng)c＝0時，，故該選項不符合題意；C選項，＝＝；∵c＜﹣3，∴3+c＜0，c＜0，∴3（3+c）＜0，∴，∴，故該選項符合題意；D選項，當(dāng)c＜0時，∵3（3+c）的正負(fù)無法確定，∴A與的大小就無法確定，故該選項不符合題意；故選：C．【點評】本題考查了分式的求值，分式的加減法，通過作差法比較大小是解題的關(guān)鍵．22．（2022秋?淄川區(qū)期末）已知分式化簡后的結(jié)果在數(shù)軸上對應(yīng)的點位于原點左側(cè)，則x的值可以是（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】根據(jù)分式的加減法法則化簡，根據(jù)化簡后的結(jié)果在數(shù)軸上對應(yīng)的點位于原點左側(cè)列出不等式求出x的范圍即可得出答案．【解答】解：原式＝＝＝x﹣5，∵化簡后的結(jié)果在數(shù)軸上對應(yīng)的點位于原點左側(cè)，∴x﹣5＜0，∴x＜5，故選：A．【點評】本題考查了分式的加減法，掌握同分母分式加減法法則：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減是解題的關(guān)鍵．考點十三．分式的混合運算（1）分式的混合運算，要注意運算順序，式與數(shù)有相同的混合運算順序；先乘方，再乘除，然后加減，有括號的先算括號里面的．（2）最后結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分，注意運算的結(jié)果要化成最簡分式或整式．（3）分式的混合運算，一般按常規(guī)運算順序，但有時應(yīng)先根據(jù)題目的特點，運用乘法的運算律進(jìn)行靈活運算．【規(guī)律方法】分式的混合運算順序及注意問題1．注意運算順序：分式的混合運算，先乘方，再乘除，然后加減，有括號的先算括號里面的．2．注意化簡結(jié)果：運算的結(jié)果要化成最簡分式或整式．分子、分母中有公因式的要進(jìn)行約分化為最簡分式或整式．3．注意運算律的應(yīng)用：分式的混合運算，一般按常規(guī)運算順序，但有時應(yīng)先根據(jù)題目的特點，運用乘法的運算律運算，會簡化運算過程．23．（2022秋?韓城市期末）下列計算正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)分式的加減運算以及乘除運算法則即可求出答案．【解答】解：A、原式＝，故A不符合題意．B、原式＝，故B不符合題意．C、原式＝＝a+b，故C不符合題意．D、原式＝＝1，故D符合題意．故選：D．【點評】本題考查分式的混合運算，解題的關(guān)鍵是熟練運用分式的加減運算法則以及乘除運算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．24．（2022秋?河北期末）若m≠n，則下列分式化簡正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)約分的要求計算判斷即可．【解答】解：∵是最簡分式，無法約分，∴A錯誤，不符合題意；∵是最簡分式，無法約分，∴B錯誤，不符合題意；∵是最簡分式，無法約分，∴C錯誤，不符合題意；∵，∴D正確，符合題意．故選：D．【點評】本題考查的是分式的混合運算，正確尋找公因式是解題的關(guān)鍵．考點十四．分式的化簡求值先把分式化簡后，再把分式中未知數(shù)對應(yīng)的值代入求出分式的值．在化簡的過程中要注意運算順序和分式的化簡．化簡的最后結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分，注意運算的結(jié)果要化成最簡分式或整式．【規(guī)律方法】分式化簡求值時需注意的問題1．化簡求值，一般是先化簡為最簡分式或整式，再代入求值．化簡時不能跨度太大，而缺少必要的步驟，代入求值的模式一般為“當(dāng)…時，原式＝…”．2．代入求值時，有直接代入法，整體代入法等常用方法．解題時可根據(jù)題目的具體條件選擇合適的方法．當(dāng)未知數(shù)的值沒有明確給出時，所選取的未知數(shù)的值必須使原式中的各分式都有意義，且除數(shù)不能為0．25．（2022秋?新市區(qū)校級期末）先化簡，再求值：，其中a＝5．【分析】先將分子分母因式分解，除法改寫為乘法，括號里面同分計算，再根據(jù)分式混合運算的運算法則和運算順序進(jìn)行化簡，最后將a的值代入計算即可．【解答】解：原式＝＝＝＝，當(dāng)a＝5時，原式＝．【點評】本題考查分式的化簡求值，熟練掌握平方差公式、完全平方公式和分式的混合運算法則是解題的關(guān)鍵．26．（2023秋?崆峒區(qū)期末）先化簡：，再從﹣3，1，2中選取一個合適的數(shù)作為x的值代入求值．【分析】先利用異分母分式加減法法則計算括號里，再算括號外，然后把x的值代入化簡后的式子進(jìn)行計算即可解答．【解答】解：＝?＝?＝，∵x+3≠0，x﹣1≠0，∴x≠﹣3，x≠1，∴當(dāng)x＝2時，原式＝＝2．【點評】本題考查了分式的化簡求值，熟練掌握因式分解是解題的關(guān)鍵．考點十五．負(fù)整數(shù)指數(shù)冪負(fù)整數(shù)指數(shù)冪：a﹣p＝（a≠0，p為正整數(shù)）注意：①a≠0；②計算負(fù)整數(shù)指數(shù)冪時，一定要根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義計算，避免出現(xiàn)（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的錯誤．③當(dāng)?shù)讛?shù)是分?jǐn)?shù)時，只要把分子、分母顛倒，負(fù)指數(shù)就可變?yōu)檎笖?shù)．④在混合運算中，始終要注意運算的順序．27．（2023春?信都區(qū)期末）2﹣3的值是（）A．﹣6 B．﹣8 C． D．﹣【分析】直接利用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)分析得出答案．【解答】解：2﹣3＝＝．故選：C．【點評】此題主要考查了負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)，正確把握定義是解題關(guān)鍵．28．（2022秋?金灣區(qū)期末）計算：（﹣3）﹣2+（﹣）0＝．【分析】先根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪及零指數(shù)冪的運算法則分別計算出各數(shù)，再根據(jù)實數(shù)的運算法則進(jìn)行計算即可．【解答】解：原式＝+1＝+1＝．故答案為：．【點評】本題考查的是零指數(shù)冪及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，熟知運算法則是解題的關(guān)鍵．考點十六．列代數(shù)式（分式）（1）定義：把問題中與數(shù)量有關(guān)的詞語，用含有數(shù)字、字母和運算符號的式子表示出來，就是列代數(shù)式．（2）列代數(shù)式五點注意：①仔細(xì)辨別詞義．②分清數(shù)量關(guān)系．③注意運算順序．④規(guī)范書寫格式．⑤正確進(jìn)行代換．注意代數(shù)式的正確書寫：出現(xiàn)除號的時候，用分?jǐn)?shù)線代替．29．（2023春?皇姑區(qū)期末）甲從A地到B地要走m小時，乙從B地到A地要走n小時，若甲、乙二人同時從A、B兩地出發(fā)，經(jīng)過幾小時相遇（）A．（m+n）小時 B．小時 C．小時 D．小時【分析】時間＝路程÷甲乙速度之和，題中沒有路程，可設(shè)路程為1，關(guān)鍵描述語是：甲、乙二人同時從A、B兩地出發(fā)．【解答】解：依題意得：1÷（+）＝1÷＝（小時）．故選D．【點評】解決問題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到關(guān)鍵描述語，找到所求的量的等量關(guān)系，當(dāng)題中沒有一些必須的量時，為了簡便，可設(shè)其為1．30．（2023春?金寨縣期末）一項工程，甲單獨做需m小時完成，若與乙合作20小時可以完成，則乙單獨完成需要的時間是（）A．小時 B．小時 C．小時 D．小時【分析】設(shè)工作總量為1，甲乙合作20小時可以完成，那么甲乙合作的工效是，甲單獨做需m小時完成，甲的工效為，則乙的工效為：（），由時間＝工作量÷工效列式．【解答】解：設(shè)工作總量為1，那么甲乙合作的工效是，甲單獨做需m小時完成，甲的工效為，乙單獨完成需要的時間是1÷（）＝1÷＝小時．故選：A．【點評】本題考查工作量＝工效×?xí)r間這個等量關(guān)系，如果沒有工作總量，通常把工作總量看成1．考點十七．分式方程的定義分式方程的定義：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．判斷一個方程是否為分式方程主要是看這個方程的分母中是否含有未知數(shù)．31．（2022秋?西豐縣期末）下列方程中，是分式方程的是（）A．+＝1 B．x+＝2 C．2x＝x﹣5 D．x﹣4y＝1【分析】根據(jù)分式方程的定義對各選項進(jìn)行逐一分析即可．【解答】解：A、該方程是一元一次方程，故本選項不符合題意；B、該方程符合分式方程的定義，故本選項符合題意；C、該方程是一元一次方程，故本選項不符合題意；D、該方程是二元一次方程，故本選項不符合題意；故選：B．【點評】本題考查的是分式方程的定義，即分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．考點十八．分式方程的解求出使分式方程中令等號左右兩邊相等且分母不等于0的未知數(shù)的值，這個值叫方程的解．注意：在解方程的過程中因為在把分式方程化為整式方程的過程中，擴大了未知數(shù)的取值范圍，可能產(chǎn)生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．32．（2023秋?南關(guān)區(qū)期末）若關(guān)于x的分式方程+1＝的解為非負(fù)數(shù)，則m的取值范圍是（）A．m≤1且m≠﹣1 B．m≥﹣1且m≠1 C．m＜1且m≠﹣1 D．m＞﹣1且m≠1【分析】解含參的分式方程，然后結(jié)合已知條件及分式有意義的條件列得不等式并計算即可．【解答】解：+1＝，兩邊同乘（x﹣1），去分母得：x+x﹣1＝﹣m，移項，合并同類項得：2x＝1﹣m，系數(shù)化為1得：x＝，∵原分式方程的解為非負(fù)數(shù)，∴≥0，且≠1解得：m≤1且m≠﹣1，故選：A．【點評】本題考查根據(jù)含參分式方程解的情況確定參數(shù)的取值范圍，結(jié)合已知條件解含參分式方程求得x＝是解題的關(guān)鍵．考點十九．解分式方程（1）解分式方程的步驟：①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗；④得出結(jié)論．（2）解分式方程時，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母為0，所以應(yīng)如下檢驗：①將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解．②將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值為0，則整式方程的解不是原分式方程的解．所以解分式方程時，一定要檢驗．33．（2022秋?楊浦區(qū)期末）解方程：．【分析】按步驟解分式方程并檢驗即可．【解答】解：1﹣x2+1＝﹣x（1+x），1﹣x2+1＝﹣x﹣x2，x＝﹣2．檢驗：當(dāng)x＝﹣2時，1﹣x2≠0，x﹣1≠0，∴x＝﹣2是原方程的解．【點評】本題考查解分式方程，熟練掌握解分式方程的步驟是解答本題的關(guān)鍵．考點二十．換元法解分式方程1、解數(shù)學(xué)題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法．換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡單化，變得容易處理．2、我們常用的是整體換元法，是在已知或者未知中，某個代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個字母來代替它從而簡化問題，當(dāng)然有時候要通過變形才能發(fā)現(xiàn)．34．（2022秋?青浦區(qū)校級期末）解分式方程+＝時，設(shè)＝y(tǒng)，則原方程化為關(guān)于y的整式方程是．【分析】根據(jù)換元法，可得答案．【解答】解：設(shè)＝y(tǒng)，則原方程化為y+﹣＝0兩邊都乘以y，得y2﹣y+1＝0，故答案為：y2﹣y+1＝0．【點評】本題考查了解分式方程，利用換元法是解題關(guān)鍵．35．（2022秋?華容區(qū)期末）閱讀下面材料，解答后面的問題．解方程：﹣＝0．解：設(shè)y＝，則原方程化為：y﹣＝0，方程兩邊同時乘y得：y2﹣4＝0，解得：y1＝2，y2＝﹣2．經(jīng)檢驗：y1＝2，y2＝﹣2都是方程y﹣＝0的解．當(dāng)y＝2時，＝2，解得：x＝﹣1；當(dāng)y＝﹣2時，＝﹣2，解得：x＝．經(jīng)檢驗：x1＝﹣1或x2＝都是原分式方程的解．∴原分式方程的解為x1＝﹣1或x2＝．上述這種解分式方程的方法稱為換元法．問題：（1）若在方程﹣＝0中，設(shè)y＝，則原方程可化為：；（2）若在方程﹣＝0中，設(shè)y＝，則原方程可化為：；（3）模仿上述換元法解方程：﹣﹣1＝0．【分析】（1）將所設(shè)的y代入原方程即可；（2）將所設(shè)的y代入原方程即可；（3）利用換元法解分式方程，設(shè)，將原方程化為，求出y的值并檢驗是否為原方程的解，然后求解x的值即可．【解答】解：（1）將代入原方程，則原方程化為．故答案為：；（2）將代入方程，則原方程可化為．故答案為：；（3）原方程化為：，設(shè)，則原方程化為：，方程兩邊同時乘y得：y2﹣1＝0，解得：y＝±1，經(jīng)檢驗：y＝±1都是方程的解，當(dāng)y＝1時，，該方程無解，當(dāng)y＝﹣1時，，解得：，經(jīng)檢驗：是原分式方程的解，∴原分式方程的解為．【點評】本題考查了分式方程的解法，掌握換元法解分式方程是關(guān)鍵．考點二十一．分式方程的增根（1）增根的定義：在分式方程變形時，有可能產(chǎn)生不適合原方程的根，即代入分式方程后分母的值為0或是轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值的根，叫做原方程的增根．（2）增根的產(chǎn)生的原因：對于分式方程，當(dāng)分式中，分母的值為零時，無意義，所以分式方程，不允許未知數(shù)取哪些使分母的值為零的值，即分式方程本身就隱含著分母不為零的條件．當(dāng)把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程以后，這種限制取消了，換言之，方程中未知數(shù)的值范圍擴大了，如果轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值，那么就會出現(xiàn)增根．（3）檢驗增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最簡公分母，看最簡公分母是否為0，如果為0，則是增根；如果不是0，則是原分式方程的根．36．（2023春?蒲城縣期末）若關(guān)于x的分式方程﹣1＝有增根，則a的值為（）A．﹣3 B．3 C．2 D．﹣【分析】先求出方程的解，因為方程有增根，所以x﹣2＝0，所以x＝2，根據(jù)方程的解等于2，求得a的值．【解答】解：方程兩邊都乘以（x﹣2）得：6﹣（x﹣2）＝﹣ax，解得：x＝，∵方程有增根，∴x﹣2＝0，∴x＝2，∴＝2，解得：a＝﹣3．故選：A．【點評】本題考查了分式方程的增根，求出方程的解和增根的值是解題的關(guān)鍵．37．（2023春?榆陽區(qū)期末）已知關(guān)于x的方程有增根，則a的值為（）A．4 B．5 C．6 D．﹣5【分析】首先最簡公分母為0，求出增根，化分式方程為整式方程，把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．【解答】解：∵方程有增根，∴x﹣5＝0，∴x＝5，，x＝3（x﹣5）﹣a，x＝3x﹣15﹣a，把x＝5代入整式方程解得a＝﹣5，故選：D．【點評】本題考查了分式方程的增根，熟練掌握分式方程的增根產(chǎn)生的原因，增根確定后可按如下步驟進(jìn)行：①化分式方程為整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值，這是解題的關(guān)鍵．考點二十二．由實際問題抽象出分式方程由實際問題抽象出分式方程的關(guān)鍵是分析題意找出相等關(guān)系．（1）在確定相等關(guān)系時，一是要理解一些常用的數(shù)量關(guān)系和一些基本做法，如行程問題中的相遇問題和追擊問題，最重要的是相遇的時間相等、追擊的時間相等．（2）列分式方程解應(yīng)用題要多思、細(xì)想、深思，尋求多種解法思路．38．（2023秋?蛟河市期末）某化肥廠原計劃每天生產(chǎn)化肥x噸，由于采取了新技術(shù)，每天多生產(chǎn)化肥3噸，實際生產(chǎn)180噸與原計劃生產(chǎn)120噸的時間相等，那么適合x的方程是（）A． B． C． D．【分析】關(guān)鍵描述語是：實際生產(chǎn)180噸與原計劃生產(chǎn)120噸的時間相等，等量關(guān)系為：原計劃生產(chǎn)120噸的時間＝實際生產(chǎn)180噸的時間．【解答】解：原計劃生產(chǎn)120噸的時間為天，實際生產(chǎn)180噸的時間為天．那么所列方程為．故選：C．【點評】本題主要考查了由實際問題抽象出分式方程，找到關(guān)鍵描述語，找到相應(yīng)的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．39．（2023秋?蛟河市期末）小明家離學(xué)校2000米，小明平時從家到學(xué)校需要用x分鐘，今天起床晚，怕遲到，走路速度比平時快5米/分鐘，結(jié)果比平時少用了2分鐘到達(dá)學(xué)校，則根據(jù)題意可列方程．【分析】設(shè)小明平時從家到學(xué)校需要用x分鐘，則實際從家到學(xué)校用（x﹣2）分鐘，根據(jù)走路速度比平時快5米/分鐘列出方程即可．【解答】解：設(shè)小明平時從家到學(xué)校需要用x分鐘，則實際從家到學(xué)校用（x﹣2）分鐘，根據(jù)題意，得．故答案為：．【點評】本題考查了由實際問題抽象出分式方程，找到關(guān)鍵描述語，找到合適的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．考點二十三．分式方程的應(yīng)用1、列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：設(shè)、列、解、驗、答．必須嚴(yán)格按照這5步進(jìn)行做題，規(guī)范解題步驟，另外還要注意完整性：如設(shè)和答敘述要完整，要寫出單位等．2、要掌握常見問題中的基本關(guān)系，如行程問題：速度＝路程時間；工作量問題：工作效率＝工作量工作時間等等．列分式方程解應(yīng)用題一定要審清題意，找相等關(guān)系是著眼點，要學(xué)會分析題意，提高理解能力．40．（2023春?衡山縣期末）某市開發(fā)區(qū)在一項工程招標(biāo)時，接到甲、乙兩個工程隊的投標(biāo)書，工程領(lǐng)導(dǎo)小組根據(jù)甲、乙兩隊的投標(biāo)書測算，共有三種施工方案：①甲隊單獨完成這項工程，剛好如期完工；②乙隊單獨完成此項工程要比規(guī)定工期多用5天；③，剩下的工程由乙隊單獨做，也正好如期完工．某同學(xué)設(shè)規(guī)定的工期為x天，根據(jù)題意列出了方程：，則方案③中被墨水污染的部分應(yīng)該是（）A．甲乙合作了4天 B．甲先做了4天 C．甲先做了工程的 D．甲乙合作了工程的【分析】根據(jù)題意和方程，可知甲干了4天，乙干了x天，從而可以得到③后面應(yīng)填入的內(nèi)容，本題得以解決．【解答】解：∵某同學(xué)設(shè)規(guī)定的工期為x天，根據(jù)題意列出了方程：，∴甲工作了4天，乙工作了x天，即甲乙合作了4天，剩下的工程由乙隊單獨做，也正好如期完工，∴可知在③應(yīng)填入的內(nèi)容為：甲乙合作了4天，故選：A．【點評】本題考查分式方程的應(yīng)用，解答此類題目的關(guān)鍵是明確題意，根據(jù)方程可以推測出空白處應(yīng)填寫的內(nèi)容，注意要聯(lián)系實際情況．41．（2023秋?喀什市期末）元旦晚會上，王老師要為她的學(xué)生及班級的六位科任老師送上賀年卡，網(wǎng)上購買賀年卡的優(yōu)惠條件是：購買50或50張以上享受團(tuán)購價．王老師發(fā)現(xiàn)：零售價與團(tuán)購價的比是5：4，王老師計算了一下，按計劃購買賀年卡只能享受零售價，如果比原計劃多購買6張賀年卡就能享受團(tuán)購價，這樣她正好花了100元，而且比原計劃還節(jié)約10元錢；（1）賀年卡的零售價是多少？（2）班里有多少學(xué)生？【分析】（1）首先設(shè)零售價為5x元，團(tuán)購價為4x元，由題意可得等量關(guān)系：零售價用110元所購買的數(shù)量+6＝團(tuán)購價用100元所購買的數(shù)量，根據(jù)等量關(guān)系列出方程，計算出x的值；（2）根據(jù)（1）中求得的賀年卡的零售價求學(xué)生數(shù)．【解答】解：（1）設(shè)零售價為5x元，團(tuán)購價為4x元，則解得，，經(jīng)檢驗：x＝是原分式方程的解，5x＝2.5答：零售價為2.5元；（2）學(xué)生數(shù)為﹣6＝38（人）答：王老師的班級里有38名學(xué)生．【點評】此題主要考查了分式方程的應(yīng)用，以及一元一次不等式的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系，設(shè)出未知數(shù)列出方程，注意分式方程必須檢驗．【核心素養(yǎng)提升】1邏輯推理——類比分?jǐn)?shù)解分式問題1．（2023上·吉林長春·八年級校聯(lián)考期末）觀察下列各式：，，，(1)由此可推測：______；(2)依照上述規(guī)律，寫出的推測過程；(3)請你猜想出能表示以上式子的一般規(guī)律，用含（表示整數(shù)）的等式表示出來，并說明理由；(4)請直接用（3）中的規(guī)律計算的值．【答案】(1)(2)(3)，理由見解析(4)0【分析】本題考查了分式的規(guī)律探究，分式的加減運算．根據(jù)題意推導(dǎo)出一般性規(guī)律是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意求解即可；（2）將分解成兩個相鄰整數(shù)的乘積，進(jìn)而可得結(jié)果；（3）根據(jù)題意可推導(dǎo)一般性規(guī)律，然后證明即可；（4）根據(jù)題意進(jìn)行拆分，然后加減運算即可．【詳解】（1）解：由題意知，，故答案為：；（2）解：由題意知，；（3）解：，理由如下：右邊．．（4）解：．2數(shù)學(xué)運算2．（2023上·江蘇南京·八年級南京大學(xué)附屬中學(xué)校考期末）（1）已知，求代數(shù)式的值；（2）先化簡，然后從的范圍內(nèi)選擇一個合適的整數(shù)作為a的值代入求值．【答案】（1）13；（2）；時，原式（答案不唯一）．【分析】（1）本題主要考查整式的化簡求值，解答本題的關(guān)鍵在于能正確根據(jù)乘法公式的運算法則進(jìn)行化簡，將給定的條件適當(dāng)變形即可求解．（2）本題主要考查分式的運算，根據(jù)分式的運算法則化簡，選取合適的整數(shù)代入求解即可，解題的關(guān)鍵是熟練運用分式的加減、乘除混合運算，以及完全平方公式的靈活運用．【詳解】解：（1），又∵，∴．∴原式．（2），∵，又∵，且，∴a不能取和2，∴a只能取整數(shù)，0，1．∴當(dāng)a=0時，原式==1．(答案不唯一)3數(shù)學(xué)建模——構(gòu)建方程模型，解決實際問題3．（2022上·湖北咸寧·八年級統(tǒng)考期末）【閱讀理解】閱讀下面的解題過程：已知：，求的值．解：由知，∴，即①∴②，故的值為．（1）第①步由得到逆用了法則：______；第②步運用了公式：______；（法則，公式都用式子表示）【類比探究】（2）上題的解法叫做“倒數(shù)法”，請你利用“倒數(shù)法”解決下面的問題：已知，求的值；【拓展延伸】（3）已知，，，求的值．【答案】（1），；（2）的值為；（3）的值為【分析】（1）根據(jù)同分母分式的加法法則及完全平方公式的變形進(jìn)行解答；（2）仿照例題計算即可；（3）將已知三個等式相加，得到，再利用倒數(shù)法解答．【詳解】解：（1）第①步由得到逆用了法則：；第②步運用了公式：；故答案為：；；（2）∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴；（3）∵，，，∴，∴，∴，∴．【點睛】此題考查了分式的求值，分式加法的逆運算，完全平方公式的變形計算，正確理解題意掌握解題思路及分式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【中考熱點聚焦】熱點1.分式有意義、無意義和值為0的條件1．（2023?廣西）若分式有意義，則x的取值范圍是（）A．x≠﹣1 B．x≠0 C．x≠1 D．x≠2【分析】根據(jù)分式有意義的條件解答即可．【解答】解：∵分式有意義，∴x+1≠0，解得x≠﹣1．故選：A．【點評】本題考查的是分式有意義的條件，熟知分式有意義的條件是分母不等于零是解題的關(guān)鍵．2．（2023?涼山州）分式的值為0，則x的值是（）A．0 B．﹣1 C．1 D．0或1【分析】根據(jù)分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零列式計算．【解答】解：∵分