橢圓的簡單幾何性質(zhì)講義-2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性-

專題3.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)【基本知識梳理】知識點1：橢圓的幾何性質(zhì)焦點的位置焦點在x軸上焦點在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)范圍－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a頂點A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)軸長短軸長等于2b，長軸長等于2a焦點(±eq\r(a2－b2)，0)(0，±eq\r(a2－b2))焦距|F1F2|＝2eq\r(a2－b2)對稱性對稱軸：x軸、y軸，對稱中心：原點注意點：(1)橢圓的焦點一定在它的長軸上．(2)橢圓上到中心的距離最小的點是短軸的兩個端點，到中心的距離最大的點是長軸的兩個端點．(3)橢圓上到焦點的距離最大和最小的點分別是長軸的兩個端點，最大值為a＋c，最小值為a－c.知識點2：橢圓的離心率橢圓的離心率：e＝eq\f(c,a)∈(0,1)．注意點：(1)e＝eq\r(1－\f(b2,a2)).(2)離心率的范圍為(0,1)．(3)e越大，橢圓越扁平；e越小，橢圓越接近于圓．當(dāng)e越接近于1時，c越接近于a，從而b=越小，因此橢圓越扁；當(dāng)e越接近于0時，c越接近于0，從而b=越接近于a，因此橢圓越接近于圓；當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，c=0，這時兩個焦點重合，圖形變?yōu)閳A，它的方程為.知識點3：橢圓的對稱性范圍：－a≤x≤a，－b≤y≤b；對稱性：對稱軸為x軸，y軸，對稱中心為原點；頂點：A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)．(1)從形的角度看：橢圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形.

(2)從數(shù)的角度看：在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(a>b>0)中以y代替y，方程并不改變，這說明當(dāng)點P(x,y)在橢圓上時，它關(guān)于x軸的對稱點(x,y)也在橢圓上，所以橢圓關(guān)于x軸對稱；同理，以x代替x，方程也不改變，所以橢圓關(guān)于y軸對稱；以x代替x，以y代替y，方程也不改變，所以橢圓關(guān)于原點對稱.坐標(biāo)軸是橢圓的對稱軸，原點是橢圓的對稱中心，橢圓的對稱中心叫作橢圓的中心.【題型1根據(jù)橢圓的有界性求范圍或最值】【例1】（20222023?高二下?黑龍江大慶?開學(xué)考）以為焦點的橢圓上有一動點M【詳解】因為為橢圓的焦點，所以，，所以由，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，如圖所示：因為為橢圓的左焦點，為橢圓上的動點，故當(dāng)處于右頂點時最大，且最大值為，故答案為：3.【變式11】（20232024?高三上?湖南師大附中?模擬）已知橢圓x216+y212=1的左頂點為A．?16,0B．?8,0C．0,8D．0,16【解題思路】解法一：由題意可得，A?4,0，F(xiàn)2,0，設(shè)Mx0,y0.表示出MA?MF=14x【解答過程】解法一：由題意知A?4,0，F(xiàn)2,0，設(shè)則MA?MF=?4?x0,?因為x0216+y所以0≤MA解法二：由題意知A?4,0，F(xiàn)設(shè)Mx0,y0，取線段AF的中點N則MA?MF=MA+MF2?MA因為x0216+y所以0≤MA故選：D．【變式12】（20232024?高二上?江蘇揚州?期中）已知是橢圓上的點，則的值可能是（A.13 B.14 C.15 D.16【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，可設(shè)，得到，求得的取值范圍，即可求解.【詳解】由橢圓，可設(shè)，其中，則，其中，因為，所以，即的取值范圍為，結(jié)合選項，可得A符合題意.故選：A.【變式13】（20232024?高二上?福建廈門?期中）已知是橢圓的兩個焦點，點在上，則的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】設(shè)，，根據(jù)橢圓定義得到，將整理為，然后根據(jù)范圍求的范圍即可.【詳解】橢圓，則，，所以，設(shè)，，則，所以，又，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，即的取值范圍是.故答案為：.【題型2橢圓的對稱性的應(yīng)用】【例2】（20232024?高二上?湖北黃岡?期中）已知橢圓與軸交于點A，B，把線段AB分成6等份，過每個分點作軸的垂線交橢圓的上半部分于點，，，，，是橢圓C的右焦點，則（）A.20 B. C.36 D.30【答案】D【解析】【分析】由題意知與，與分別關(guān)于y軸對稱，設(shè)橢圓的左焦點為，從而，，利用即可求解．【詳解】由題意，知與，與分別關(guān)于y軸對稱

設(shè)橢圓的左焦點為，由已知a=6,則，同時

∴

故選：D．【變式21】（20222023?高二上?四川樂山?期末）已知橢圓C:x225+y29A．2個 B．4個 C．6個 D．8個【解題思路】根據(jù)橢圓的對稱性及cos∠【解答過程】當(dāng)F1為直角頂點時，根據(jù)橢圓的對稱性，可得滿足的點P有2當(dāng)F2為直角頂點時，根據(jù)橢圓的對稱性，可得滿足的點P有2設(shè)橢圓C的上頂點為B，由橢圓C:x225+y29=1，可得a2則BF1=所以cos∠F1所以存在4個點滿足以P為直角頂點的△PF故滿足本題條件的點P共有8個.故選：D.【變式22】（20222023?高二上?江蘇南京?期中）若，是橢圓：的兩個焦點，點，為橢圓上關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的兩點，且，則四邊形的面積為_________．【答案】8【解析】【分析】根據(jù)橢圓對稱性及矩形的性質(zhì)知四邊形為矩形，進而有，再根據(jù)橢圓定義、勾股定理求即可.【詳解】由已知及對稱性得：四邊形為矩形，即，所以，由橢圓定義與勾股定理知：，可得．所以四邊形的面積為8.故答案為：8【題型3利用橢圓的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程】【例3】（20232024?高二上?浙江杭州?期中）過點A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)所求橢圓方程為，依題意可得，解得、，即可求出橢圓方程.【詳解】橢圓的焦點為或，設(shè)所求橢圓方程為，則，解得，所以橢圓方程為.故選：D【變式31】（20232024?高二上?山東?期中）已知橢圓的焦點為和，離心率為，則的方程為（

A． B．C． D．【答案】B【分析】依題意可得，，即可求出、，從而得解.【詳解】依題意可得，，所以，所以，所以方程為.故選：B【變式32】（20222023?高二上?山東臨沂?期中）已知橢圓的焦點在A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)橢圓焦點在軸，設(shè)出方程，結(jié)合題干條件列出方程組，求出，得到橢圓方程.【詳解】因為橢圓的焦點在軸，所以設(shè)橢圓方程為，則，且，解得：，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：D【變式33】（20232024?高二上?浙江寧波?期A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】由題意得到，再根據(jù),求出，分焦點在x軸和y軸上寫出標(biāo)準(zhǔn)方程即可【詳解】解：因為橢圓的長軸長為10，其焦點到中心的距離為4，所以，解得，又，所以當(dāng)橢圓的焦點在x軸上時，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；當(dāng)橢圓的焦?在y軸上時，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故選：BD【題型4橢圓的焦距與長軸、短軸】【例4】（20232024?高二上?福建南平?期末）已知橢圓的離心率為，則橢圓的長軸長為（A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由離心率公式首先求得參數(shù)的值，進一步可得以及長軸長.【詳解】因為方程表示橢圓，所以，從而，解得，所以，則橢圓的長軸長為.故選：C.【變式41】（20232024?高二上?重慶?期中）曲線A.長軸長相等 B.焦距相等 C.離心率相等 D.短軸長相等【答案】B【解析】【分析】根據(jù)，得到，再利用a，b，c的關(guān)系求解.【詳解】解：因為，所以，則，，所以兩曲線長軸長不相等，焦距相等，離心率不相等，短軸長不相等，故選：B【變式42】（20232024?高二上?甘肅?期中）（多選）關(guān)于橢圓A．長軸長為4B．焦距為C．離心率為D．左頂點的坐標(biāo)為【答案】ABC【變式43】（20232024?高二上?重慶?期中）（多選）設(shè)橢圓的左右焦點為，P是C上的動點，則（A. B.離心率C.短軸長為2，長軸長為4 D.不可能是鈍角【答案】AD【解析】【分析】利用橢圓定義及性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】橢圓，，，A正確；離心率，B錯誤；短軸長為，長軸長為，C錯誤；當(dāng)點P在橢圓短軸端點處時，最大，此時，得，故不可能是鈍角，D正確.故選：AD.【題型5求橢圓的離心率】【例5】（20232024?高二上?山東臨沂?期中）已知橢圓，為其左焦點，直線與橢圓交于點、，且．若，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)橢圓的右焦點為，連接、，分析可知，四邊形為矩形，，求出、，利用橢圓的定義可求得該橢圓的離心率的值.【詳解】設(shè)橢圓的右焦點為，連接、，如下圖所示：因為直線關(guān)于原點對稱，橢圓也關(guān)于原點對稱，直線與橢圓交于點、，則、也關(guān)于原點對稱，所以為、的中點，又因，則四邊形為矩形，所以，則，所以，，，由橢圓的定義可得，故該橢圓的離心率為.故選：A.【變式51】（20232024?高二上?上海浦東新區(qū)?期中）已知，，是橢圓（）左，右焦點，P為橢圓上一點，為等腰三角形，，則C的離心率為________．【答案】【解析】【分析】由題設(shè)，結(jié)合余弦定理得到橢圓參數(shù)的齊次方程，進而求離心率.【詳解】由為等腰三角形，，則，又，可得，所以，可得.故答案為：【變式52】（20232024?高二上?浙江?期中）在以O(shè)為中心，、為焦點的橢圓上存在一點M，滿足，則該橢圓的離心率為_____________【答案】##【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合橢圓定義可得，進而利用余弦定理列式求解.【詳解】因為，所以，因為與互補，且，由余弦定理可得，可得，所以.故選：C．【變式53】（20232024?高二上?山東泰安?期末）已知分別為橢圓的左頂點和左焦點，是橢圓上關(guān)于原點對稱的點，若直線交線段于，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，由可得點的坐標(biāo)，由三點共線得建立關(guān)系即得.【詳解】由題意得，設(shè)，又，所以，即，解得，即，又由三點共線得.所以，整理得，所以.故選：B.【變式54】（20232024?高二上?重慶?期中）（多選）已知、分別為橢圓：的左、右焦點，不過原點且斜率為1的直線與橢圓交于、兩點，則下列結(jié)論正確的有（）A.橢圓的離心率為B.橢圓的長軸長為C.若點是線段的中點，則的斜率為D.的面積最大值為【答案】BCD【解析】【分析】AB選項，根據(jù)橢圓方程得到，，從而求出離心率和長軸長；C選項，設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，求出兩根之和，兩根之積，表達出點坐標(biāo)，得到的斜率；D選項，在C選項基礎(chǔ)上，求出和點到直線的距離為，表達出的面積，求出最大值.【詳解】AB選項，由題意得，故，故橢圓的離心率為，長軸長為，A錯誤，B正確；C選項，設(shè)不過原點且斜率為1的直線為，聯(lián)立得，由，解得，設(shè)，則，則，故，故的斜率為，C正確；D選項，由C選項可知，，點到直線的距離為，故的面積為，因為，所以，故當(dāng)時，的面積取得最大值，最大值為，D正確.故選：BCD【點睛】圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值或范圍．【題型6求橢圓的離心率的取值范圍】【例6】（20232024?高二上?山東菏澤?月考）已知橢圓E：的左、右焦點分別為A，B，若E上存在點P滿足：，則E的離心率的取值范圍是【答案】【解析】【分析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)分析可得，進而可求離心率.【詳解】設(shè)橢圓E的上頂點為Q，則，則，又因為，則，即E的離心率的取值范圍是．故答案為：.【變式61】（20222023?高二上?四川雅安?期中）已知F是橢圓的一個焦點，若存在直線與橢圓相交于A，B兩點，且，則橢圓離心率的取值范圍是（A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由橢圓的性質(zhì)可得四邊形為平行四邊形，可得，在三角形中有余弦定理及均值不等式可得離心率的取值范圍．【詳解】解：連接，與左右焦點，的連線，由，由橢圓及直線的對稱性可得四邊形為平行四邊形，，在三角形中，，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，又直線的斜率存在，故，即，可得，所以橢圓的離心率.故選：A．【變式62】（20232024?高二上?山東?期中）已知焦點在軸上的橢圓，點，當(dāng)時，上有且僅有一點到點的距離最小，則的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)橢圓上任意一點，可得出，可知在時取得最小值，結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可得出，可得出，再結(jié)合可得出該橢圓離心率的取值范圍.【詳解】設(shè)橢圓上任意一點，則，由對稱性可知：在時取得最小值，又因為二次函數(shù)對稱軸為，所以，即，所以，又因為，所以.故選：A.【變式63】（20222023?高二上?山東棗莊?期中）已知橢圓是橢圓上的點，是橢圓的左右焦點，若恒成立，則橢圓的離心率的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】設(shè)出點坐標(biāo)，將轉(zhuǎn)化為離心率的形式，從而求得離心率的取值范圍.【詳解】設(shè)，則，由于恒成立，即，，，由于，所以，所以，兩邊除以得，即，解得.所以橢圓的離心率的取值范圍是.故答案為：【題型7橢圓的焦點三角形問題】【例7】（20232024?高三上?重慶?期末）已知橢圓兩個焦點分別為，離心率為，且過點.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)P是橢圓C上的點，且，求三角形的面積.【答案】(1)(2)(1)解：因為橢圓的離心為，則，所以，即，又，即，所以，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；(2)解：因為，，由，即，所以，所以.【變式71】（20232024?高二上?全國?課時練習(xí)）設(shè)為橢圓上一點，，為左、右焦點，且，則（）A.為銳角三角形 B.為鈍角三角形C.為直角三角形 D.，，三點構(gòu)不成三角形【答案】D【解析】【分析】根據(jù)橢圓方程求出，然后結(jié)合橢圓定義和已知條件求出并求出，進而判斷答案.【詳解】由題意可知，，由橢圓的定義可知，而，聯(lián)立方程解得，且，則6+2=8，即不構(gòu)成三角形.故選：D.【變式72】（20232024?高二上?內(nèi)蒙古?期中）（多選）已知橢圓的左、右焦點分別為，點在上，且的最大值為3，最小值為1，則（）A.橢圓的離心率為 B.的周長為4C.若，則的面積為3 D.若，則【答案】AD【解析】【分析】對A，根據(jù)題意可得，即可求解；對B，根據(jù)橢圓的定義判斷即可；對C，根據(jù)余弦定理結(jié)合橢圓的定義判斷即可；對D，根據(jù)余弦定理與橢圓的定義求解即可．【詳解】對A，由題意，，故，，故A正確；對B，的周長為，故B錯誤；對C，，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，因為在上遞減，所以此時最大，又，，所以的最大值為，，不成立，故C錯誤；對D，由余弦定理，即，解得，故，故D正確；故選：AD【變式73】（20232024?高二上?浙江溫州?期中）（多選）已知點橢圓上一點，橢圓的焦點是，則下列說法中正確的是（）A.橢圓的長軸長是9 B.橢圓焦距是C.存在使得 D.三角形的面積的最大值是【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)逐個判斷即可.【詳解】，所以，對于A：因為，所以長軸為，A錯誤；對于B：因為，所以焦距為，B正確；對于C：當(dāng)取到上頂點時此時取到最大值，此時，，所以，所以此時為鈍角，所以存在使得，C正確；對于D：當(dāng)取到上頂點時此時三角形的面積取到最大值，此時，D正確，故選：BCD【題型8橢圓的實際應(yīng)用問題】【例8】（20232024?高二上?山東濰坊?期中）開普勒第一定律指出，所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的一個焦點上.若某行星距太陽表面的最大距離為，最小距離，太陽半徑為，則該行星運行軌跡橢圓的離心率為（

A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)橢圓的焦距為，長軸長為，根據(jù)題意得到，計算可得離心率.【詳解】設(shè)橢圓的焦距為，長軸長為，則由已知可得，兩式相加可得，兩式相減可得，則，，所以離心率.故選：A.【變式81】（20232024?高三下?河北?模擬）中國國家大劇院的外觀被設(shè)計成了半橢球面的形狀.如圖，若以橢球的中心為原點建立空間直角坐標(biāo)系，半橢球面的方程為（，，且a，b，c不全相等）.若該建筑的室內(nèi)地面是