寒假作業(yè)09銳角三角函數(shù)（原卷版）-2024年九年級(jí)數(shù)學(xué)寒假培優(yōu)練（人教版）

限時(shí)練習(xí)：40min完成時(shí)間：月日天氣：寒假作業(yè)09銳角三角函數(shù)1、銳角三角函數(shù)的定義：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，正弦：sinA=；余弦：cosA=；正切：tanA=．根據(jù)定義求三角函數(shù)值時(shí)，一定根據(jù)題目圖形來(lái)理解，嚴(yán)格按照三角函數(shù)的定義求解，有時(shí)需要通過(guò)輔助線來(lái)構(gòu)造直角三角形.2、特殊角的三角函數(shù)值（要求準(zhǔn)確記憶）．3、解直角三角形：在直角三角形中，除直角外，一共有五個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的過(guò)程叫做解直角三角形．解直角三角形的常用關(guān)系：在Rt△ABC中，∠C=90°，則：1）三邊關(guān)系：a2+b2=c2；2）兩銳角關(guān)系：∠A+∠B=90°；3）邊與角關(guān)系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=；4）sin2A+cos2A=1．4、解直角三角形的應(yīng)用1）仰角和俯角仰角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角．俯角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線下方的角叫做俯角．2）坡度和坡角坡度：坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），記作i=．坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡．3)方向角（或方位角）指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角叫做方向角．1.在中，，，那么下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．2．如圖，一款可調(diào)節(jié)的筆記本電腦支架放置在水平桌面上，調(diào)節(jié)桿，，的最大仰角為.當(dāng)時(shí)，則點(diǎn)到桌面的最大高度是（

）A． B． C． D．3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有三點(diǎn)，，，則（

）A． B． C． D．4．為測(cè)量此塔頂?shù)母叨?，在地面選取了與塔底共線的兩點(diǎn)、，、在的同側(cè)，在處測(cè)量塔頂?shù)难鼋菫?，在處測(cè)量塔頂?shù)难鼋菫?，到的距離是米．設(shè)的長(zhǎng)為米，則下列關(guān)系式正確的是(

)A．B．C．D．5．如圖，大壩橫截面的迎水坡的坡比為∶，即∶∶，若坡面長(zhǎng)度米，則坡面的水平寬度長(zhǎng)為（

）A．米 B．米 C．米 D．米6．如圖，一艘海輪位于燈塔P的東北方向距離燈塔海里的A處，它沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東方向上的B處，則海輪行駛的路程的值為（）A．海里B．海里C．海里D．海里7．若，則銳角的度數(shù)是．8．計(jì)算：(1)；(2)．9．位于河南省登封市嵩山南麓嵩岳寺內(nèi)的嵩岳寺塔是中國(guó)現(xiàn)存最早的磚塔，也是全國(guó)古塔中的孤例．嵩岳寺塔建于北魏正光年間，歷經(jīng)1400多年風(fēng)雨侵蝕，仍巍然屹立，也是中國(guó)唯一的一座十二邊形塔．某數(shù)學(xué)小組測(cè)量嵩岳寺塔的高度，如圖，在臺(tái)階底端A處用測(cè)角儀測(cè)得嵩岳寺塔頂端D的仰角為，在臺(tái)階頂端B處用測(cè)角儀又測(cè)得嵩岳寺塔頂端D的仰角為．已知測(cè)角儀的高度為，平臺(tái)的高度為，臺(tái)階的坡度，圖中所有點(diǎn)均在同一豎直平面內(nèi)，點(diǎn)A，H與點(diǎn)C在同一水平線上，求嵩岳寺塔的高度．（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：，，）

10．翠湖公園中有一四邊形空地，如圖1，已知空地邊緣，且、之間的距離為30米，經(jīng)測(cè)量，，長(zhǎng)度為42米．（參考數(shù)據(jù)：，）(1)求空地邊緣的長(zhǎng)度（結(jié)果精確到1米）；(2)為了打造更具觀賞性、娛樂(lè)性、參與性的城市名片，如圖2，公園管理處準(zhǔn)備在四邊形空地內(nèi)修建寬度為2米的園林卵石步道，其余地面鋪成顆粒塑膠，經(jīng)調(diào)研每平米卵石步道成本為80元，每平米顆粒塑膠成本為45元，公園目前可用資金有75000元，請(qǐng)用（1）的結(jié)果計(jì)算此次修建費(fèi)用是否足夠？11．如圖，某人在山坡坡腳C處測(cè)得一座建筑物頂點(diǎn)A的仰角為，沿山坡向上走到P處再測(cè)得該建筑物頂點(diǎn)A的仰角為．已知BC=90米，且B、C、D在同一條直線上，山坡坡度i=5：12，求此人從所在位置點(diǎn)P走到建筑物底部B點(diǎn)的路程（）米.（結(jié)果精確到0.1米）（測(cè)傾器的高度忽略不計(jì)，參考數(shù)據(jù)：，）A． B． C． D．12．圖1是某電動(dòng)沙發(fā)的實(shí)物圖，圖2是該沙發(fā)主要功能介紹，其側(cè)面示意圖如圖3所示．沙發(fā)通過(guò)開(kāi)關(guān)控制，靠背和腳托可分別繞點(diǎn)B，C旋轉(zhuǎn)調(diào)整角度，坐深與地面水平線平行．圖2中的度數(shù)指的是的度數(shù)，如“看電視”模式時(shí)．已知，，，，初始狀態(tài)時(shí)．

(1)直接寫(xiě)出“閱讀”模式下的度數(shù)為_(kāi)____°，該沙發(fā)從初始位置調(diào)至該模式時(shí)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為_(kāi)______cm．(2)調(diào)至“睡覺(jué)”模式時(shí)，該沙發(fā)占地長(zhǎng)度最大，請(qǐng)計(jì)算此時(shí)A，之間的水平距離（結(jié)果精確到0.1）．（參考數(shù)據(jù)：，）13．請(qǐng)閱讀下面材料，并根據(jù)提供的解題思路求解問(wèn)題：如圖1，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，連接格點(diǎn)D，N和E，C，和相交于點(diǎn)P，求的值．【解題思路】要求一個(gè)銳角的三角函數(shù)值，我們往往需要找出（或構(gòu)造出）一個(gè)直角三角形．觀察發(fā)現(xiàn)問(wèn)題中不在直角三角形中，我們可以利用網(wǎng)格畫(huà)平行線等方法解獲此類(lèi)問(wèn)題，比如連接格點(diǎn)M，N，可發(fā)現(xiàn)，則，連接，那么就變換到中，進(jìn)而求出答案．【解決問(wèn)題】(1)根據(jù)上述方法歸納，請(qǐng)求圖1中的值；(2)如圖2，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，與相交于點(diǎn)P，求的值．14．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表，其中《方田》章給出計(jì)算弧田面積所用公式為：弧田面積，弧田(如圖)是由圓弧和其所對(duì)的弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對(duì)弦長(zhǎng)，“矢”等于半徑長(zhǎng)與圓心O到弦的距離之差.在如圖所示的弧田中，“弦”為8，“矢”為3，則(

)A． B． C． D．15．我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作《數(shù)學(xué)九章》一書(shū)中，給出了這樣的一個(gè)結(jié)論：三邊分別為a、b、c的△的面積為．△的邊a、b、c所對(duì)的角分別是∠A、∠B、∠C，則．下列結(jié)論中正確的是（

）A．B．C．D．16．劉徽是我國(guó)魏晉時(shí)期卓越的數(shù)學(xué)家，他在《九章算術(shù)》中提出了“割圓術(shù)”，利用圓的內(nèi)接正多邊形逐步逼近圓來(lái)近似計(jì)算圓的周長(zhǎng)．如圖，正十二邊形的邊長(zhǎng)是4，則可求出此十二邊形的周長(zhǎng)近似代替其外接圓周長(zhǎng)，便可估計(jì)π的值，下面π的值正確的是（）A．π＝ B．π＝ C．π＝6sin15° D．π＝12sin15°17．閱讀理解學(xué)習(xí)：在學(xué)習(xí)《銳角三角函數(shù)》這一章時(shí)，小迪同學(xué)勤學(xué)好問(wèn)，在課外學(xué)習(xí)活動(dòng)中，探究發(fā)現(xiàn)，三角形的面積、邊、角之間存在一定的數(shù)量關(guān)系，下面是她的學(xué)習(xí)筆記．請(qǐng)仔細(xì)閱讀下列材料并完成相應(yīng)的任務(wù)．【閱讀材料】：在△中，的對(duì)邊分別記為△的面積記為，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，，，同理可得：，即：．①由以上推理得結(jié)論①：三角形的面積等于兩邊及其夾角正弦積的一半．又，將等式兩邊同除以得．②由以上推理得結(jié)論②：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比值相等．【理解應(yīng)用】請(qǐng)你學(xué)習(xí)上述閱讀材料解答以下問(wèn)題：如圖，甲船以海里/時(shí)的速度向正北方向航行，當(dāng)甲船位于處時(shí)，乙船位于甲船的南偏西方向的處，且乙船從處沿北偏東方向勻速直線航行，當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)處時(shí)，乙船航行到甲船的南偏西方向的處，此時(shí)兩船相距海里．(1)求的面積；(2)求乙船航行的路程是多少海里（結(jié)果保留根號(hào)）．18．（2023年山東省淄博市中考真題）如圖，與斜坡垂直的太陽(yáng)光線照射立柱（與水平地面垂直）形成的影子，一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上．若米，米，斜坡的坡角，則立柱的高為米（結(jié)果精確到米）．科學(xué)計(jì)算器按鍵順序計(jì)算結(jié)果（已取近似值）

19．（2023年中考真題）圖1是某款籃球架，圖2是其示意圖，立柱垂直地面，支架與交于點(diǎn)，支架交于點(diǎn)，支架平行地面，籃筺與支架在同一直線上，米，米，．

(1)求的度數(shù)．(2)某運(yùn)動(dòng)員準(zhǔn)備給籃筐掛上籃網(wǎng)，如果他站在凳子上，最高可以把籃網(wǎng)掛到離地面米處，那么他能掛上籃網(wǎng)嗎？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：）20．（2023年浙江省寧波市中考真題）某綜合實(shí)踐研究小組為了測(cè)量觀察目標(biāo)時(shí)的仰角和俯角，利用量角器和鉛錘自制了一個(gè)簡(jiǎn)易測(cè)角儀，如圖1所示．(1)如圖2，在點(diǎn)觀察所測(cè)物體最高點(diǎn)，當(dāng)量角器零刻度線上兩點(diǎn)均在視線上時(shí)，測(cè)得視線與鉛垂線所夾的銳角為，設(shè)仰角為，請(qǐng)直接用含的代數(shù)式示．(2)如圖3，為了測(cè)量廣場(chǎng)上空氣球離地面的高度，該小組利用自制簡(jiǎn)易測(cè)角儀在點(diǎn)分別測(cè)得氣球的仰角為，為，地面上點(diǎn)在同一水平直線上，，求氣球離地面的高度．（參考數(shù)據(jù)：，）21．（2023年四川省自貢市中考真題）為測(cè)量學(xué)校后山高度，數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)過(guò)程如下：(1)測(cè)量坡角：如圖1，后山一側(cè)有三段相對(duì)平直的山坡，山的高度即為三段坡面的鉛直高度之和，坡面的長(zhǎng)度可以直接測(cè)量得到，要求山坡高度還需要知道坡角大?。鐖D2，同學(xué)們將兩根直桿的一端放在坡面起始端A處，直桿沿坡面方向放置，在直桿另一端N用細(xì)線系小重物G，當(dāng)直桿與鉛垂線重合時(shí)，測(cè)得兩桿夾角的度數(shù)，由此可得山坡AB坡角的度數(shù)．請(qǐng)直接寫(xiě)出之間的數(shù)量關(guān)系．(2)測(cè)量山高：同學(xué)們測(cè)得山坡的坡長(zhǎng)依次為40米，50米，40米，坡角依次為，為求，小熠同學(xué)在作業(yè)本上畫(huà)了一個(gè)含角的（如圖3），量得．求山高．（，結(jié)果精確到1米）(3)測(cè)量改進(jìn)：由于測(cè)量工作量較大，同學(xué)們圍繞如何優(yōu)化測(cè)