專題11二元二次方程組的列方程（組）解應(yīng)用題（5大考點(diǎn)5種題型）（原卷版）

專題11二元二次方程組的、列方程（組）解應(yīng)用題（5大考點(diǎn)+5種題型）思維導(dǎo)圖核心考點(diǎn)與題型分類聚焦考點(diǎn)一：二元二次方程考點(diǎn)二：二元二次方程組考點(diǎn)三：二元二次方程組的解法考點(diǎn)四：一元二次方程的應(yīng)用考點(diǎn)五：分式方程的應(yīng)用考點(diǎn)一：二元二次方程考點(diǎn)二：二元二次方程組考點(diǎn)三：二元二次方程組的解法(1)解二元二次方程組的基本思想：是消元和降次.(2)題型一：解方程組即方程組由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方程組.方法：代入消元法；一般步驟：①將方程組中二元一次方程的一個(gè)未知數(shù)用另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示；②將這個(gè)未知數(shù)所表示的代數(shù)式代入二元二次方程中，得到關(guān)于另一個(gè)未知數(shù)的一元二次方程；③解這個(gè)一元二次方程；④將求得的兩個(gè)解分別代入二元一次方程，求相應(yīng)的另一個(gè)未知數(shù)的值；⑤把相應(yīng)的兩組解寫(xiě)出來(lái)，即是原方程組的解.(3)題型二：解方程組（其中一個(gè)方程可以分解為兩個(gè)一次因式積等于零的形式）方法：因式分解法；解法：把原方程組化為兩個(gè)分別由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程所組成的方程組，然后分別求解.考點(diǎn)四：一元二次方程的應(yīng)用1、列方程解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟是：審清題意設(shè)未知數(shù)，列出方程，解所列方程求所列方程的解，檢驗(yàn)和作答．2、列一元二次方程解應(yīng)用題中常見(jiàn)問(wèn)題：（1）數(shù)字問(wèn)題：個(gè)位數(shù)為a，十位數(shù)是b，則這個(gè)兩位數(shù)表示為10b+a．（2）增長(zhǎng)率問(wèn)題：增長(zhǎng)率＝增長(zhǎng)數(shù)量/原數(shù)量×100%．如：若原數(shù)是a，每次增長(zhǎng)的百分率為x，則第一次增長(zhǎng)后為a（1+x）；第二次增長(zhǎng)后為a（1+x）2，即原數(shù)×（1+增長(zhǎng)百分率）2＝后來(lái)數(shù)．（3）形積問(wèn)題：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的邊長(zhǎng)．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圓的面積，以及柱體體積公式建立等量關(guān)系列一元二次方程．③利用相似三角形的對(duì)應(yīng)比例關(guān)系，列比例式，通過(guò)兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積，得到一元二次方程．（4）運(yùn)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題：物體運(yùn)動(dòng)將會(huì)沿著一條路線或形成一條痕跡，運(yùn)行的路線與其他條件會(huì)構(gòu)成直角三角形，可運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)列方程求解．【規(guī)律方法】列一元二次方程解應(yīng)用題的“六字訣”1．審：理解題意，明確未知量、已知量以及它們之間的數(shù)量關(guān)系．2．設(shè)：根據(jù)題意，可以直接設(shè)未知數(shù)，也可以間接設(shè)未知數(shù)．3．列：根據(jù)題中的等量關(guān)系，用含所設(shè)未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知量，從而列出方程．4．解：準(zhǔn)確求出方程的解．5．驗(yàn)：檢驗(yàn)所求出的根是否符合所列方程和實(shí)際問(wèn)題．6．答：寫(xiě)出答案．考點(diǎn)五：分式方程的應(yīng)用1、列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：設(shè)、列、解、驗(yàn)、答．必須嚴(yán)格按照這5步進(jìn)行做題，規(guī)范解題步驟，另外還要注意完整性：如設(shè)和答敘述要完整，要寫(xiě)出單位等．2、要掌握常見(jiàn)問(wèn)題中的基本關(guān)系，如行程問(wèn)題：速度＝路程時(shí)間；工作量問(wèn)題：工作效率＝工作量工作時(shí)間等等．列分式方程解應(yīng)用題一定要審清題意，找相等關(guān)系是著眼點(diǎn)，要學(xué)會(huì)分析題意，提高理解能力．題型一：二元二次方程【例1】．（2022秋·上?！ぐ四昙?jí)校考階段練習(xí)）寫(xiě)出一個(gè)二元二次方程_______________，使得該方程有一個(gè)解是．【變式1】．（2022秋·上?！ぐ四昙?jí)校考期中）二元二次方程可以化為兩個(gè)一次方程，它們是______．題型二：二元二次方程組【例2】．（2022秋·上?！ぐ四昙?jí)?？茧A段練習(xí)）下列方程組中是二元二次方程組的是（

）A． B． C． D．【變式1】．（2022秋·上海浦東新·八年級(jí)校考期中）方程組的解的情況是（

）A．有兩組相同的實(shí)數(shù)解 B．有兩組不同的實(shí)數(shù)解C．沒(méi)有實(shí)數(shù)解 D．不能確定【變式2】．（2022春·上海靜安·八年級(jí)新中初級(jí)中學(xué)?？计谀?xiě)出一個(gè)由二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的二元二次方程組___________，使它的解是和．【變式3】．（2022秋·上海浦東新·八年級(jí)?？计谥校┓匠探M的解只有一組，則的取值范圍是______．題型三：二元二次方程組的解法【例3】．（2022秋·上?！ぐ四昙?jí)期中）解方程組.【變式1】．（2022秋·上海奉賢·八年級(jí)校考期末）解方程組：【變式2】．（2022秋·上海浦東新·八年級(jí)?？计谥校┙夥匠探M：．【變式3】．（2022秋·上?！ぐ四昙?jí)校考期中）解方程組：【變式4】．（2022秋·上海閔行·八年級(jí)上海市民辦文綺中學(xué)?？茧A段練習(xí)）解方程組：【變式5】．（2022秋·上海·八年級(jí)上海市市西初級(jí)中學(xué)校考期中）“程，課程也，二物者二程，三物者三程，皆如物數(shù)程之，并列為行，故謂之方程．”這是我國(guó)古代著名數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)》對(duì)方程一詞給出的注釋．對(duì)于一些特殊的方程，我們給出兩個(gè)定義：①若兩個(gè)方程有相同的一個(gè)解，則稱這兩個(gè)方程為“相似方程”：②若兩個(gè)方程有相同的整數(shù)解，則稱這兩個(gè)方程為“相伴方程”．(1)判斷分式方程與無(wú)理方程是否是“相似方程”，并說(shuō)明理由；(2)已知關(guān)于x，y的方程：和，它們是“相似方程”嗎？如果是，請(qǐng)寫(xiě)出它們的公共解；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)已知關(guān)于x，y的二元一次方程：和（其中k為常數(shù)）是“相伴方程”，求k的值.題型四：．一元二次方程的應(yīng)用【例4】．（2023秋?黃浦區(qū)期末）一商店銷售某種商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．為了擴(kuò)大銷售、增加盈利，該店采取了降價(jià)措施，在每件盈利不少于25元的前提下，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間銷售，發(fā)現(xiàn)銷售單價(jià)每降低1元，平均每天可多售出2件．問(wèn)當(dāng)每件商品降價(jià)多少元時(shí)，該商店每天銷售利潤(rùn)為1200元？【變式1】．（2023春?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)月考）某商店以每件20元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批文具盒，然后以每只30元的價(jià)格出售，結(jié)果每周可以售出400只，后來(lái)經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：當(dāng)單價(jià)每提高0.5元，每周銷售量會(huì)少10只，如果某一周銷售這種文具盒的總利潤(rùn)是4500元，那么這周每只文具盒的售價(jià)為多少元？【變式2】．（2021春?浦東新區(qū)期中）聯(lián)華超市于今年年初以每件25元的進(jìn)價(jià)購(gòu)進(jìn)一批商品．當(dāng)商品售價(jià)為40元時(shí)，一月份銷售256件．二、三月該商品十分暢銷，銷售量持續(xù)走高．在售價(jià)不變的基礎(chǔ)上，三月底的銷售量達(dá)到400件，設(shè)二、三這兩個(gè)月月平均增長(zhǎng)率不變．（1）求二、三這兩個(gè)月的月平均增長(zhǎng)率．（2）從四月份起，聯(lián)華超市決定采用降價(jià)促銷的方式回饋顧客，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，銷售單價(jià)與月平均銷售的關(guān)系如下表：銷售單價(jià)（元34353637383940月平均銷售量（件430425420415410405400若要使利潤(rùn)達(dá)到4250元，且盡可能多的提升月平均銷售量，則銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元？【變式3】．（2021春?浦東新區(qū)月考）阿里巴巴電商扶貧對(duì)某貧困地區(qū)一種特色農(nóng)產(chǎn)品進(jìn)行網(wǎng)上銷售，按原價(jià)每件300元出售，一個(gè)月可賣出100件，通過(guò)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，售價(jià)每件每降低10元，月銷售件數(shù)增加20件．已知該農(nóng)產(chǎn)品的成本是每件200元，在保持月利潤(rùn)不變的情況下，盡快銷售完畢，則售價(jià)應(yīng)定為多少元？題型五：分式方程的應(yīng)用【例5】．（2023春?楊浦區(qū)期末）近年來(lái)，我國(guó)逐步完善養(yǎng)老金保險(xiǎn)制度．甲、乙兩人計(jì)劃分別繳納養(yǎng)老保險(xiǎn)金12萬(wàn)元和8萬(wàn)元，雖然甲計(jì)劃每年比乙計(jì)劃每年多繳納養(yǎng)老保險(xiǎn)金0.1萬(wàn)元，但是甲計(jì)劃繳納養(yǎng)老保險(xiǎn)金的年數(shù)還是比乙要多4年，已知甲、乙兩人計(jì)劃繳納養(yǎng)老保險(xiǎn)金的年數(shù)都不超過(guò)20年，求甲計(jì)劃每年繳納養(yǎng)老保險(xiǎn)金多少萬(wàn)元？【變式1】．（2023春?松江區(qū)期末）松江區(qū)于4月22日，舉辦“”上海余山半程馬拉松比賽．主辦方打算為參賽選手定制一批護(hù)膝，并交由廠家完成．已知廠家要在規(guī)定的天數(shù)內(nèi)生產(chǎn)3600對(duì)護(hù)膝，但由于參賽選手臨時(shí)增加，不但要求廠家在原計(jì)劃基礎(chǔ)上增加的總量，而且還要比原計(jì)劃提前3天完成．經(jīng)預(yù)測(cè)，要完成新計(jì)劃，平均每天的生產(chǎn)總量要比原計(jì)劃多20對(duì)，求原計(jì)劃每天生產(chǎn)多少對(duì)護(hù)膝．【變式2】．（2022春?靜安區(qū)校級(jí)期中）甲、乙兩城間的鐵路路程為1600千米，經(jīng)過(guò)技術(shù)改造，列車實(shí)施了提速，提速后比提速前速度增加了20千米時(shí)，列車從甲城到乙城行駛時(shí)間減少4小時(shí)，這條鐵路在現(xiàn)有條件下安全行駛速度不得超過(guò)140千米時(shí)，請(qǐng)你用學(xué)過(guò)的知識(shí)說(shuō)明在這條鐵路的現(xiàn)有條件下列車是否還可以再次提速．【變式3】．（2023春?浦東新區(qū)校級(jí)期末）甲、乙兩位同學(xué)同時(shí)從學(xué)校出發(fā)，騎自行車前往距離學(xué)校10千米的郊野公園．已知甲同學(xué)比乙同學(xué)平均每小時(shí)多騎行2千米，甲同學(xué)在路上因事耽擱了15分鐘，結(jié)果兩人同時(shí)到達(dá)公園．問(wèn)：甲、乙兩位同學(xué)平均每小時(shí)各騎行多少千米？一、單選題1．（2023下·上海·八年級(jí)專題練習(xí)）下列方程組中是二元二次方程組的是（

）A．B． C． D．2．（2023下·上海寶山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）上海市16個(gè)區(qū)共約1326條健身步進(jìn)和綠道，甲、乙兩人沿著總長(zhǎng)度為9千米的“健身步道”行走，甲的速度是乙的1.5倍，甲比乙提前15分鐘走完全程，如果設(shè)乙的速度為x千米/時(shí)，那么下列方程中正確的是（

）A． B． C． D．3．（2023下·八年級(jí)單元測(cè)試）方程組的解是（）A． B． C． D．4．（2023下·上海·八年級(jí)專題練習(xí)）“綠水青山就是金山銀山”．某工程隊(duì)承接了60萬(wàn)平方米的荒山綠化任務(wù)，為了迎接雨季的到來(lái)，實(shí)際工作時(shí)每天的工作效率比原計(jì)劃提高了，結(jié)果提前30天完成了這一任務(wù)．設(shè)實(shí)際工作時(shí)每天綠化的面積x萬(wàn)平方米，則下面所列方程中正確的是（）A． B．C． D．5．（2023下·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）二元二次方程組的解的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)6．（2023下·上海浦東新·八年級(jí)上海市進(jìn)才中學(xué)北校校考階段練習(xí)）方程組有實(shí)數(shù)解，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、填空題7．（2023下·八年級(jí)單元測(cè)試）已知方程組，消去y，化簡(jiǎn)后所得到的方程是．8．（2023下·上?！ぐ四昙?jí)上海民辦南模中學(xué)?？茧A段練習(xí)）寫(xiě)出一個(gè)二元二次方程組，使它的的解是和．9．（2023下·上海浦東新·八年級(jí)統(tǒng)考期末）寫(xiě)出二元二次方程的一對(duì)整數(shù)解是．10．（2023下·八年級(jí)單元測(cè)試）把方程組，化成兩個(gè)二元二次方程組是．11．（2023下·八年級(jí)單元測(cè)試）方程組的解只有一組，則的取值范圍是．12．（2023下·八年級(jí)單元測(cè)試）把方程化為兩個(gè)二元一次方程，它們是和．13．（2023下·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）已知二元二次方程組有一組解是，寫(xiě)出一個(gè)符合上述條件的二元二次方程組為．14．（2023下·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）甲乙兩人加工一批零件，甲先加工了一半，然后乙加工了剩下部分，前后共用了10天完成，如果甲乙兩人一起加工，6天可加工完，如設(shè)甲、乙兩人單獨(dú)加工完成這批零件各需x天．y天可列方程組為．15．（2023下·上?！ぐ四昙?jí)期中）某工人要完成個(gè)零件，起初機(jī)器出現(xiàn)故障，每分鐘比原計(jì)劃少加工個(gè)零件，加工個(gè)零件后，換了一臺(tái)新機(jī)器，每分鐘比原計(jì)劃多加工個(gè)零件．已知用新機(jī)器加工零件的時(shí)間比前面用舊機(jī)器加工零件的時(shí)間少分鐘，設(shè)原計(jì)劃每分鐘加工個(gè)零件，則可列方程為：．三、解答題16．（2023下·上海黃浦·八年級(jí)統(tǒng)考期末）解方程組：17．（2023下·上海虹口·八年級(jí)上外附中校考期末）．18．（2023下·上海虹口·八年級(jí)上外附中校考期末）．19．（2023下·上海浦東新·八年級(jí)?？计谀?0．（2023下·上海楊浦·八年級(jí)統(tǒng)考期末）解方程組：21．（2023下·上海靜安·八年級(jí)上海市回民中學(xué)?？计谥校┘?、乙兩家便利店到批發(fā)站采購(gòu)一批飲料，共25箱，由于兩店所處的地理位置不同，因此甲店的銷售價(jià)格比乙店的銷售價(jià)格每箱多10元．當(dāng)兩店將所進(jìn)的飲料全部售完后，甲店的營(yíng)業(yè)額為1000元，比乙店少350元，求甲、乙兩店各進(jìn)貨多少箱飲料？22．（2023下·上海楊浦·八年級(jí)統(tǒng)考期末）近年來(lái)，我國(guó)逐步完善養(yǎng)老金保險(xiǎn)制度．甲，乙兩人計(jì)劃分別繳納養(yǎng)老保險(xiǎn)金12萬(wàn)元和8萬(wàn)元，雖然甲計(jì)劃每年比乙計(jì)劃每年多繳納養(yǎng)老保險(xiǎn)金0.1萬(wàn)元，但是甲計(jì)劃繳納養(yǎng)老保險(xiǎn)金的年數(shù)還是比乙要多4年，已知甲、乙兩人計(jì)劃繳納養(yǎng)老保險(xiǎn)金的年數(shù)都不超過(guò)20年，求甲計(jì)劃每年繳納養(yǎng)老保險(xiǎn)金多少萬(wàn)元？23．（2023下·上海楊浦·八年級(jí)?？计谥校┬≌瑢W(xué)帶著48元錢去水果店買水果，看到水果店里的蘋(píng)果比梨每千克貴2元，數(shù)學(xué)能手小正同學(xué)發(fā)現(xiàn)：如果將48元全部買蘋(píng)果就比將48元全部買梨少4千克，最后，小正同學(xué)用42元買了這兩種水果，且兩者的千克數(shù)相同．(1)這家水果店的蘋(píng)果和梨每千克的價(jià)格各是多少元？(2)小正同學(xué)最終買了多少千克的水果？24．（2023下·上海虹口·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知甲、乙兩地相距千米，一輛貨車和一輛轎車先后從甲地出發(fā)前往乙地，轎車比貨車晚出發(fā)2小時(shí)，轎車每小時(shí)比貨車多行駛30千米，最后同時(shí)到達(dá)．

(1)求貨車的速度；(2)設(shè)貨車行駛時(shí)間為x小時(shí)，離甲地的距離是y千米，如圖，線段分別表示貨車、轎車離甲地距離y（千米）與x（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系，那么點(diǎn)A的坐標(biāo)是；線段對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為．（不需要寫(xiě)出定義域）25．（2023下·上海長(zhǎng)寧·八年級(jí)上海市延安初級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某廠家接到定制5400套防護(hù)服任務(wù)，可以