2019高三數(shù)學(xué)理北師大版一輪教師用書第9章第4節(jié)　變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計案例

第四節(jié)變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計案例[考綱](教師用書獨具)1.會做兩個有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)的散點圖，并利用散點圖認(rèn)識變量間的相關(guān)關(guān)系.2.了解最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程(線性回歸系數(shù)公式不要求記憶).3.了解回歸分析的基本思想、方法及其簡單應(yīng)用.4.了解獨立性檢驗(只要求2×2列聯(lián)表)的思想、方法及其初步應(yīng)用．(對應(yīng)學(xué)生用書第165頁)[基礎(chǔ)知識填充]1．兩個變量的線性相關(guān)(1)正相關(guān)在散點圖中，點散布在從左下角到右上角的區(qū)域，對于兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱為正相關(guān)．(2)負(fù)相關(guān)在散點圖中，點散布在從左上角到右下角的區(qū)域，兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為負(fù)相關(guān)．(3)線性相關(guān)關(guān)系、回歸直線如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近，就稱這兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫作回歸直線．2．回歸方程(1)最小二乘法求回歸直線，使得樣本數(shù)據(jù)的點到它的距離的平方和最小的方法叫作最小二乘法．(2)回歸方程方程y＝bx＋a是兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回歸方程，其中a，b是待定參數(shù)．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝\f(\o(∑,\s\up7(n),\s\do7(i＝1))(xi－\x\to(x))(yi－\x\to(y)),\o(∑,\s\up7(n),\s\do7(i＝1))(xi－\x\to(x))2)＝\f(\o(∑,\s\up7(n),\s\do7(i＝1))xiyi－n\o(x,\s\up7(－))\o(y,\s\up7(－)),\o(∑,\s\up7(n),\s\do7(i＝1))x\o\al(2,i)－n\x\to(x)2),a＝\x\to(y)－b\x\to(x).))3．回歸分析(1)定義：對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進(jìn)行統(tǒng)計分析的一種常用方法．(2)樣本點的中心對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中(eq\o(x,\s\up7(－))，eq\o(y,\s\up7(－)))稱為樣本點的中心．(3)相關(guān)系數(shù)當(dāng)r＞0時，表明兩個變量正相關(guān)；當(dāng)r＜0時，表明兩個變量負(fù)相關(guān)．r的絕對值越接近于1，表明兩個變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)．r的絕對值越接近于0，表明兩個變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系．通常|r|大于0.75時，認(rèn)為兩個變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)性．4．獨立性檢驗(1)分類變量：變量的不同“值”表示個體所屬的不同類別，像這類變量稱為分類變量．(2)列聯(lián)表：列出兩個分類變量的頻數(shù)表，稱為列聯(lián)表．假設(shè)有兩個分類變量X和Y，它們的可能取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為2×2列聯(lián)表)為2×2列聯(lián)表y1y2總計x1aba＋bx2cdc＋d總計a＋cb＋da＋b＋c＋d構(gòu)造一個隨機(jī)變量χ2＝eq\f(n(ad－bc)2,(a＋b)(a＋c)(b＋d)(c＋d))，其中n＝a＋b＋c＋d為樣本容量．(3)獨立性檢驗利用隨機(jī)變量χ2來判斷“兩個分類變量有關(guān)系”的方法稱為獨立性檢驗．[知識拓展]1.b的幾何意義：體現(xiàn)平均增加或平均減少．2．由回歸直線求出的數(shù)據(jù)是估算值，不是精確值．[基本能力自測]1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)“名師出高徒”可以解釋為教師的教學(xué)水平與學(xué)生的水平成正相關(guān)關(guān)系．()(2)通過回歸直線方程y＝bx＋a可以估計預(yù)報變量的取值和變化趨勢．()(3)因為由任何一組觀測值都可以求得一個線性回歸方程，所以沒有必要進(jìn)行相關(guān)性檢驗．()(4)事件X，Y關(guān)系越密切，則由觀測數(shù)據(jù)計算得到的χ2的觀測值越大．()[答案](1)√(2)√(3)×(4)√2．(教材改編)已知變量x與y正相關(guān)，且由觀測數(shù)據(jù)算得樣本平均數(shù)eq\x\to(x)＝3，eq\x\to(y)＝3.5，則由該觀測數(shù)據(jù)算得的線性回歸方程可能是()A．y＝0.4x＋2.3 B．y＝2x－2.4C．y＝－2x＋9.5 D．y＝－0.3x＋4.4A[因為變量x和y正相關(guān)，排除選項C，D．又樣本中心(3,3.5)在回歸直線上，排除B，選項A滿足．]3．下面是一個2×2列聯(lián)表y1y2總計x1a2173x222527總計b46則表中a，b處的值分別為________．52,54[因為a＋21＝73，所以a＝52.又因為a＋2＝b，所以b＝54.]4．調(diào)查了某地若干戶家庭的年收入x(單位：萬元)和年飲食支出y(單位：萬元)，調(diào)查顯示年收入x與年飲食支出y具有線性相關(guān)關(guān)系，并由調(diào)查數(shù)據(jù)得到回歸直線方程：y＝0.254x＋0.321，由回歸直線方程可知，家庭年收入每增加1萬元，年飲食支出平均約增加________萬元．0.254[由題意知回歸直線的斜率為0.254，故家庭年收入每增加1萬元，年飲食支出平均約增加0.254萬元．]5．為了判斷高中三年級學(xué)生是否選修文科與性別的關(guān)系，現(xiàn)隨機(jī)抽取50名學(xué)生，得到如下2×2列聯(lián)表：理科文科男1310女720已知P(χ2≥3.841)≈0.05，P(χ2≥5.024)≈0.025.根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到χ2的觀測值k＝eq\f(50×(13×20－10×7)2,23×27×20×30)≈4.844.則認(rèn)為選修文科與性別有關(guān)系出錯的可能性為________．5%[χ2的觀測值k≈4.844，這表明小概率事件發(fā)生．根據(jù)假設(shè)檢驗的基本原理，應(yīng)該斷定“是否選修文科與性別之間有關(guān)系”成立，并且這種判斷出錯的可能性約為5%.](對應(yīng)學(xué)生用書第166頁)相關(guān)關(guān)系的判斷(1)已知變量x和y滿足關(guān)系y＝－0.1x＋1，變量y與z正相關(guān)．下列結(jié)論中正確的是()A．x與y正相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān)B．x與y正相關(guān)，x與z正相關(guān)C．x與y負(fù)相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān)D．x與y負(fù)相關(guān)，x與z正相關(guān)(2)x和y的散點圖如圖9-4-1所示，則下列說法中所有正確命題的序號為________.【導(dǎo)學(xué)號：79140333】圖9-4-1①x，y是負(fù)相關(guān)關(guān)系；②在該相關(guān)關(guān)系中，若用y＝c1ec2x擬合時的相關(guān)指數(shù)為Req\o\al(2,1)，用y＝bx＋a擬合時的相關(guān)指數(shù)為Req\o\al(2,2)，則Req\o\al(2,1)＞Req\o\al(2,2)；③x，y之間不能建立線性回歸方程．(1)C(2)①②[(1)因為y＝－0.1x＋1的斜率小于0，故x與y負(fù)相關(guān)．因為y與z正相關(guān)，可設(shè)z＝by＋a，b>0，則z＝by＋a＝－0.1bx＋b＋a，故x與z負(fù)相關(guān)．(2)在散點圖中，點散布在從左上角到右下角的區(qū)域，因此x，y是負(fù)相關(guān)關(guān)系，故①正確；由散點圖知用y＝c1ec2x擬合比用y＝bx＋a擬合效果要好，則Req\o\al(2,1)＞Req\o\al(2,2)，故②正確；x，y之間可以建立線性回歸方程，但擬合效果不好，故③錯誤．][規(guī)律方法]判定兩個變量正、負(fù)相關(guān)性的方法1畫散點圖：點的分布從左下角到右上角，兩個變量正相關(guān)；點的分布從左上角到右下角，兩個變量負(fù)相關(guān).2相關(guān)系數(shù)：r＞0時，正相關(guān)；r＜0時，負(fù)相關(guān).3線性回歸直線方程中：b>0時，正相關(guān)；b<0時，負(fù)相關(guān).[跟蹤訓(xùn)練]某公司在2017年上半年的月收入x(單位：萬元)與月支出y(單位：萬元)的統(tǒng)計資料如表所示：月份1月份2月份3月份4月份5月份6月份收入x12.314.515.017.019.820.6支出y5.635.755.825.896.116.18根據(jù)統(tǒng)計資料，則()A．月收入的中位數(shù)是15，x與y有正線性相關(guān)關(guān)系B．月收入的中位數(shù)是17，x與y有負(fù)線性相關(guān)關(guān)系C．月收入的中位數(shù)是16，x與y有正線性相關(guān)關(guān)系D．月收入的中位數(shù)是16，x與y有負(fù)線性相關(guān)關(guān)系C[月收入的中位數(shù)是eq\f(15＋17,2)＝16，收入增加，支出增加，故x與y有正線性相關(guān)關(guān)系．]回歸分析(2017·全國卷Ⅰ)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每隔30min從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取一個零件，并測量其尺寸(單位：cm)．下面是檢驗員在一天內(nèi)依次抽取的16個零件的尺寸：抽取次序12345678零件尺寸9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04抽取次序910111213141516零件尺寸10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經(jīng)計算得eq\x\to(x)＝eq\f(1,16)eq\o(∑,\s\up7(16),\s\do7(i＝1))xi＝9.97，s＝eq\r(\f(1,16)\o(∑,\s\up7(16),\s\do7(i＝1))(xi－\x\to(x))2)＝eq\r(\f(1,16)(\o(∑,\s\up7(16),\s\do7(i＝1))x\o\al(2,i)－16\x\to(x)2))≈0.212，eq\r(\o(∑,\s\up7(16),\s\do7(i＝1))(i－8.5)2)≈18.439，eq\o(∑,\s\up7(16),\s\do7(i＝1))(xi－eq\x\to(x))(i－8.5)＝－2.78，其中xi為抽取的第i個零件的尺寸，i＝1,2，…，16.(1)求(xi，i)(i＝1,2，…，16)的相關(guān)系數(shù)r，并回答是否可以認(rèn)為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變小(若|r|<0.25，則可以認(rèn)為零件的尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變小)；(2)一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在(eq\x\to(x)－3s，eq\x\to(x)＋3s)之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查．(ⅰ)從這一天抽檢的結(jié)果看，是否需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？(ⅱ)在(eq\x\to(x)－3s，eq\x\to(x)＋3s)之外的數(shù)據(jù)稱為離群值，試剔除離群值，估計這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的均值與標(biāo)準(zhǔn)差．(精確到0.01)附：樣本(xi，yi)(i＝1,2，…，n)的相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\o(∑,\s\up7(n),\s\do7(i＝1))(xi－\x\to(x))(yi－\x\to(y)),\r(\o(∑,\s\up7(n),\s\do7(i＝1))(xi－\x\to(x))2)\r(\o(∑,\s\up7(n),\s\do7(i＝1))(yi－\x\to(y))2))，eq\r(0.008)≈0.09.[解](1)由樣本數(shù)據(jù)得(xi，i)(i＝1,2，…，16)的相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\o(∑,\s\up7(16),\s\do7(i＝1))(xi－\x\to(x))(i－8.5),\r(\o(∑,\s\up7(16),\s\do7(i＝1))(xi－\x\to(x))2)\r(\o(∑,\s\up7(16),\s\do7(i＝1))(i－8.5)2))≈eq\f(－2.78,0.212×\r(16)×18.439)≈－0.18.由于|r|<0.25，因此可以認(rèn)為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變?。?2)(ⅰ)由于eq\x\to(x)＝9.97，s≈0.212，因此由樣本數(shù)據(jù)可以看出抽取的第13個零件的尺寸在(eq\x\to(x)－3s，eq\x\to(x)＋3s)以外，因此需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查．(ⅱ)剔除離群值，即第13個數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為eq\f(1,15)(16×9.97－9.22)＝10.02，這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的均值的估計值為10.02.eq\o(∑,\s\up7(16),\s\do7(i＝1))xeq\o\al(2,i)≈16×0.2122＋16×9.972≈1591.134，剔除第13個數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為eq\f(1,15)(1591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的標(biāo)準(zhǔn)差的估計值為eq\r(0.008)≈0.09.[規(guī)律方法]1.回歸直線方程中系數(shù)的兩種求法1利用公式，求出回歸系數(shù)b，a.2待定系數(shù)法：利用回歸直線過樣本點中心求系數(shù).2.回歸分析的兩種策略1利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測：把回歸直線方程看作一次函數(shù)，求函數(shù)值.2利用回歸直線判斷正、負(fù)相關(guān)：決定正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)的是回歸系數(shù)B．3.選擇填空中選一組數(shù)據(jù)的線性回歸直線方程的方法1過定點eq\x\to(x)，\x\to(y)，驗證.2正、負(fù)相關(guān)看b的符號.3代入數(shù)據(jù)看誤差大小.[跟蹤訓(xùn)練]為了解某地區(qū)某種農(nóng)產(chǎn)品的年產(chǎn)量x(單位：噸)對價格y(單位：千元/噸)和年利潤z的影響，對近五年該農(nóng)產(chǎn)品的年產(chǎn)量和價格統(tǒng)計如下表：x12345y7.06.55.53.82.2(1)求y關(guān)于x的線性回歸方程y＝bx＋a；(2)若每噸該農(nóng)產(chǎn)品的成本為2千元，假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品可全部賣出，預(yù)測當(dāng)年產(chǎn)量為多少時，年利潤z取到最大值？(保留兩位小數(shù))參考公式：b＝eq\f(\o(∑,\s\up7(n),\s\do7(i＝1))(xi－\x\to(x))(yi－\x\to(y)),\o(∑,\s\up7(n),\s\do7(i＝1))(xi－\x\to(x))2)＝eq\f(\o(∑,\s\up7(n),\s\do7(i＝1))xiyi－n\o(x,\s\up7(－))\o(y,\s\up7(－)),\o(∑,\s\up7(n),\s\do7(i＝1))x\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x).[解](1)由題知eq\x\to(x)＝3，eq\x\to(y)＝5，eq\o(∑,\s\up7(5),\s\do7(i＝1))xiyi＝62.7，eq\o(∑,\s\up7(5),\s\do7(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝55，b＝eq\f(\o(∑,\s\up7(5),\s\do7(i＝1))xiyi－5\o(x,\s\up7(－))\o(y,\s\up7(－)),\o(∑,\s\up7(5),\s\do7(i＝1))x\o\al(2,i)－5\x\to(x)2)＝eq\f(62.7－5×3×5,55－5×32)＝－1.23，a＝eq\x\to(y)－beq\o(x,\s\up7(－))＝5－(－1.23)×3＝8.69，所以y關(guān)于x的線性回歸方程為y＝－1.23x＋8.69.(2)年利潤z＝x(－1.23x＋8.69)－2x＝－1.23x2＋6.69＝－1.23eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(6.69,2.46)))2＋1.23×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6.69,2.46)))eq\s\up12(2)，即當(dāng)x＝eq\f(6.69,2.46)≈2.72時，年利潤z最大．獨立性檢驗(2017·皖北名校聯(lián)考)某醫(yī)院對治療支氣管肺炎的兩種方案A，B進(jìn)行比較研究，將志愿者分為兩組，分別采用方案A和方案B進(jìn)行治療，統(tǒng)計結(jié)果如下：有效無效總計使用方案A組96120使用方案B組72總計32(1)完成上述列聯(lián)表，并比較兩種治療方案有效的頻率；(2)能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為治療是否有效與方案選擇有關(guān)？附：χ2＝eq\f(n(ad－bc)2,(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d))，其中n＝a＋b＋c＋D．P(χ2≥k0)0.050.0100.001k03.8416.63510.828[解](1)列聯(lián)表如下：有效無效總計使用方案A組9624120使用方案B組72880總