1721勾股定理的逆定理和勾股數(shù)(精講)-2021-2022學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下學(xué)期重要考點(diǎn)(人教版)

17.2.1勾股定理的逆定理和勾股數(shù)勾股定理的逆定理如果三角形的三條邊長，滿足，那么這個三角形是直角三角形.注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一個三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“數(shù)”轉(zhuǎn)為“形”，是通過計(jì)算來判定一個三角形是否為直角三角形.題型1：勾股定理的逆定理1.下列數(shù)據(jù)中不能作為直角三角形的三邊長是（）A．1、1、 B．5、12、13 C．3、5、7 D．6、8、10【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理進(jìn)行計(jì)算分析，從而得到答案．【解答】解：A、12+12＝（）2，能構(gòu)成直角三角形，故選項(xiàng)錯誤；B、52+122＝132，能構(gòu)成直角三角形，故選項(xiàng)錯誤；C、32+52≠72，不能構(gòu)成直角三角形，故選項(xiàng)正確；D、62+82＝102，能構(gòu)成直角三角形，故選項(xiàng)錯誤．故選：C【變式11】以a、b、c三邊長能構(gòu)成直角三角形的是（）A．a(chǎn)＝1，b＝2，c＝3 B．a(chǎn)＝32，b＝42，c＝52 C．a(chǎn)＝，b＝，c＝ D．a(chǎn)＝5，b＝6，c＝7【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理對各個選項(xiàng)逐一代入計(jì)算，看是否符合a2+b2＝c2即可．【解答】解：A、∵12+22≠32，∴不符合a2+b2＝c2．∴不能構(gòu)成直角三角形．B、∵a＝32，b＝42，c＝52，∴a＝9，b＝16．c＝25，∵92+162≠252，不符合a2+b2＝c2，∴不能構(gòu)成直角三角形．C、+＝，符合a2+b2＝c2，∴能構(gòu)成直角三角形．D、52+62≠72，不符合a2+b2＝c2，∴不能構(gòu)成直角三角形．故選：C【變式12】已知a、b、c為△ABC的三邊，旦滿足（a2﹣b2）（a2+b2﹣c2）＝0，則它的形狀為三角形．【分析】由已知條件得出a2﹣b2＝0或a2+b2﹣c2＝0，得出△ABC是等腰三角形或直角三角形．【解答】解：∵（a2﹣b2）（a2+b2﹣c2）＝0，∴a2﹣b2＝0，或a2+b2﹣c2＝0，∴a＝b，或a2+b2＝c2，∴△ABC是等腰三角形，或△ABC是直角三角形；故答案為：等腰或直角【變式13】如圖，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，點(diǎn)D是Rt△ABC外一點(diǎn)，連接DC，DB，且CD＝4，BD＝3．（1）求BC的長；（2）求證：△BCD是直角三角形．【分析】（1）在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理即可求得BC的長；（2）利用勾股定理逆定理即可證明△BCD是直角三角形．【解答】（1）解：∵Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，∴BC＝＝＝5；（2）證明：∵在△BCD中，CD＝4，BD＝3，BC＝5，∴CD2+BD2＝42+32＝52＝BC2，∴△BCD是直角三角形如何判定一個三角形是否是直角三角形首先確定最大邊（如）.驗(yàn)證與是否具有相等關(guān)系.若，則△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，則△ABC不是直角三角形.注意：當(dāng)時，此三角形為鈍角三角形；當(dāng)時，此三角形為銳角三角形，其中為三角形的最大邊.題型2：判定三邊能否構(gòu)成三角形（具體數(shù)值、比值或字母參數(shù)）2.現(xiàn)有四塊正方形紙片，面積分別是2，3，4，5，選取其中三塊按如圖的方式圍成一個三角形，如果要使這個三角形是直角三角形，那么選取的三塊紙片的面積分別是（）A．2，3，4 B．2，3，5 C．2，4，5 D．3，4，5【分析】根據(jù)題意可知，三塊正方形的面積中，兩個較小的面積之和等于最大的面積，圍成的三角形是直角三角形，即可解答本題．【解答】解：∵四塊正方形紙片，面積分別是2，3，4，5，∴四塊正方形紙片的邊長分別是，，，，由題意可得，三角形各邊的平方是對應(yīng)的各個正方形的面積，當(dāng)選取的三塊紙片的面積分別是2，3，4，2+3≠4，圍成的三角形不是直角三角形；當(dāng)選取的三塊紙片的面積分別是2，3，5時，2+3＝5，圍成的三角形是直角三角形；當(dāng)選取的三塊紙片的面積分別是2，4，5時，2+4≠5，圍成的三角形不是直角三角形；當(dāng)選取的三塊紙片的面積分別是3，4，5時，3+4≠5，圍成的三角形不是直角三角形；故選：B【變式21】如圖，已知AD＝6，BD＝8，AC＝26，BC＝24，∠ADB＝90°．問△ABC是直角三角形嗎？并說明理由．【分析】由勾股定理求出AB，再求出AB2+BC2＝AC2，由勾股定理的逆定理證出△ABC是直角三角形即可．【解答】解：△ABC是直角三角形；理由如下：∵∠ADB＝90°，∴AB＝＝＝10，∵AB2+BC2＝100+576＝676＝262，∴AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形【變式22】有一塊薄鐵片ABCD，∠B＝90°，各邊的尺寸如圖所示（單位：cm），如果沿著對角線AC剪開，那么得到的兩塊三角形鐵皮的形狀都是“直角三角形”嗎？請說明理由．【分析】先在△ABC中，由∠B＝90°，可得△ABC為直角三角形；根據(jù)勾股定理得出AC2＝AB2+BC2＝130000，得出AD2+CD2≠AC2，由勾股定理的逆定理可得△ACD不是直角三角形．【解答】解：△ABC是直角三角形，△ADC不是直角三角形．理由如下：連接AC．如圖所示：在△ABC中，∵∠B＝90°，∴△ABC為直角三角形；∴AC2＝AB2+BC2＝2002+3002＝130000，又∵AD2+CD2＝10000+90000＝100000≠130000，∴AD2+CD2≠AC2，∴△ACD不是直角三角形．【變式23】已知△ABC的三邊a＝m2﹣1（m＞1），b＝2m，c＝m2+1．（1）求證：△ABC是直角三角形．（2）利用第（1）題的結(jié)論，寫出兩個直角三角形的邊長，要求它們的邊長均為正整數(shù)．【分析】（1）知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；（2）依據(jù)m＞1，a，b，c均為正整數(shù)，即可得到直角三角形的邊長．【解答】解：（1）∵△ABC的三邊a＝m2﹣1（m＞1），b＝2m，c＝m2+1，而當(dāng)m＞1時，m2﹣1＜m2+1，2m＜m2+1，∴（m2﹣1）2+（2m）2＝m4+1﹣2m2+4m2＝（m2+1）2，即a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形；（2）當(dāng)m＝2時，直角三角形的邊長為3，4，5；當(dāng)m＝3時，直角三角形的邊長為8，6，10（答案不唯一）互逆命題如果兩個命題的題設(shè)與結(jié)論正好相反，則稱它們?yōu)榛ツ婷}.如果把其中一個叫原命題，則另一個叫做它的逆命題.注意：原命題正確，逆命題未必正確；原命題不正確，其逆命題也不一定錯誤；正確的命題我們稱為真命題，錯誤的命題我們稱它為假命題.題型3：互逆命題3.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別記為a，b，c，下列結(jié)論中不正確的是（）A．如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形 B．如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠C＝90° C．如果∠A：∠B：∠C＝1：3：2，那么△ABC是直角三角形 D．如果a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC是直角三角形【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理、三角形內(nèi)角和定理、直角三角形的判定定理解得即可．【解答】解：如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形，A正確；如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠B＝90°，B錯誤；如果∠A：∠B：∠C＝1：3：2，設(shè)∠A＝x，則∠B＝2x，∠C＝3x，則x+3x+2x＝180°，解得，x＝30°，則3x＝90°，那么△ABC是直角三角形，C正確；如果a2：b2：c2＝9：16：25，則如果a2+b2＝c2，那么△ABC是直角三角形，D正確；故選：B【變式31】下列命題中，正確的個數(shù)是（）（1）三邊長分別為、、的三角形是直角三角形；（2）三邊長分別為15、20、25的三角形是直角三角形；（3）有兩條邊的長分別為3和4，另一邊的長大于5的三角形不是直角三角形；（4）有兩條邊的長分別為3和4，另一邊的長小于5的三角形不是直角三角形．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷．【解答】解：（1）∵（）2+（）2≠（）2，∴三邊長分別為、、的三角形不是直角三角形，故原來的說法是錯誤的；（2）∵152+202＝252，∴三邊長分別為15、20、25的三角形是直角三角形，故原來的說法是正確的；（3）∵32+42＝52，∴有兩條邊的長分別為3和4，另一邊的長大于5的三角形不是直角三角形，故原來的說法是正確的；（4）∵32+42＝52，∴有兩條邊的長分別為3和4，另一邊的長小于5的三角形不是直角三角形，故原來的說法是正確的．故選：C．【變式32】下列命題正確的是（）A．若直角三角形有兩條邊的長分別為3和4，則第三邊一定為5，第三邊上的高是2.4 B．在△ABC中，若∠A＝90°，∠B＝60°，∠C＝30°，則AB：AC：BC＝1：2：3 C．三邊長為1：1：的三角形是等腰直角三角形 D．因?yàn)椋ǎ?+（）2≠（）2，所以為邊的三角形不是直角三角形【分析】利用直角三角形的性質(zhì)及判定分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．【解答】解：A、若直角三角形有兩條邊的長分別為3和4，則第三邊一定為5或，錯誤；B、在△ABC中，若∠A＝90°，∠B＝60°，∠C＝30°，則∠C：∠B：∠A＝1：2：3，錯誤；C、三邊長為1：1：的三角形是等腰直角三角形，正確；D、因?yàn)椋ǎ?+（）2＝（）2，所以為邊的三角形是直角三角形，錯誤；故選：C勾股數(shù)滿足不定方程的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)（又稱為高數(shù)或畢達(dá)哥拉斯數(shù)），顯然，以為三邊長的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股數(shù)，對解題會很有幫助：3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……如果是勾股數(shù)，當(dāng)為正整數(shù)時，以為三角形的三邊長，此三角形必為直角三角形.注意：（1）（是自然數(shù)）是直角三角形的三條邊長；（2）（是自然數(shù)）是直角三角形的三條邊長；（3）（是自然數(shù)）是直角三角形的三條邊長；勾股數(shù)的求法：如果a為一個大于1的奇數(shù)，b，c是兩個連續(xù)的自然數(shù)，且有a2=b+c，則a,b,c為一組勾股數(shù)；如果a,b,c為一組勾股數(shù)，那么na，nb，nc也是一組勾股數(shù)，其中n為自然數(shù).題型4：勾股數(shù)4.下列各組數(shù)中，為勾股數(shù)的是（）A．1，2，3 B．3，4，5 C．1.5，2，2.5 D．5，10，12【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理分別進(jìn)行分析，從而得到答案．【解答】解：A、∵12+22≠32，∴這組數(shù)不是勾股數(shù)；B、∵32+42＝52，∴這組數(shù)是勾股數(shù)；C、∵1.52+22＝2.52，但這三個數(shù)不都是整數(shù)，∴這組數(shù)不是勾股數(shù)；D、∵52+102≠122，∴這組數(shù)不是勾股數(shù)．故選：B【變式41】若3、4、a為勾股數(shù)，則a的相反數(shù)的值為（）A．﹣5 B．5 C．﹣5或﹣ D．5或【分析】根據(jù)勾股數(shù)的定義：滿足a2+b2＝c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)求解即可．【解答】解：∵3、4、a為勾股數(shù)，∴a＝＝5，∴a的相反數(shù)為﹣5，故選：A【變式42】觀察右面幾組勾股數(shù)，①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；并尋找規(guī)律，請你寫出有以上規(guī)律的第⑤組勾股數(shù)：，第n組勾股數(shù)是．【分析】先找出每組勾股數(shù)與其組數(shù)的關(guān)系，找出規(guī)律，再根據(jù)此規(guī)律進(jìn)行解答．【解答】解：∵①3＝2×1+1，4＝2×12+2×1，5＝2×12+2×1+1；②5＝2×2+1，12＝2×22+2×2，13＝2×22+2×2+1；③7＝2×3+1，24＝2×32+2×3，25＝2×32+2×3+1；④9＝2×4+1，40＝2×42+2×4，41＝2×42+2×4+1；∴第⑤組勾股數(shù)為2×5+1＝11，2×52+2×5＝60，2×52+2×5+1＝61，第n組勾股數(shù)是2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1．故答案為：11，60，61；2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1【變式43】滿足a2+b2＝c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．若正整數(shù)a，n滿足a2+n2＝（n+1）2，這樣的三個整數(shù)a，n，n+1（如：3，4，5或5，12，13）我們稱它們?yōu)橐唤M“完美勾股數(shù)”，當(dāng)n＜150時，共有組這樣的“完美勾股數(shù)”．【分析】由于n＜150，149+150＝299，大于等于9小于297的非偶數(shù)完全平方數(shù)有9，25，49，81，121，169，225，289，一共8個，可得共有8組這樣的“完美勾股數(shù)”．【解答】解：∵n＜150，（n+1）2﹣n2＝2n+1，149+150＝299，大于等于9小于297的非偶數(shù)完全平方數(shù)有9，25，49，81，121，169，225，289，一共8個，∴共有8組這樣的“完美勾股數(shù)”．故答案為：8題型5：勾股定理逆定理的應(yīng)用5如圖，在4個均由16個小正方形組成的網(wǎng)格正方形中，各有一個格點(diǎn)三角形，那么這4個正方形網(wǎng)格中不是直角三角形的是（）A． B． C． D．【分析】分別求A、B、C、D選項(xiàng)中各三角形的邊長，根據(jù)勾股定理的逆定理可以判定A、B、D中三角形為直角三角形，C為鈍角三角形，即可解題．【解答】解：設(shè)網(wǎng)格中每個小正方形的邊長是1．圖A中各邊長為2、4、2，22+42＝（2）2，故該三角形為直角三角形；圖B中各邊長、2、，（）2+（2）2＝（）2，故該三角形為直角三角形；圖C中三角形各邊長為、、，（）2+（）2＝（）2，故該三角形為鈍角三角形；圖D中各邊長為、2、5，（）2+（2）2＝52，故該三角形為直角三角形．即A、B、D是直角三角形，C不是直角三角形．故選：C【變式51】如圖是單位長度為1的網(wǎng)格圖，A、B、C、D是4個網(wǎng)格線的交點(diǎn)，以其中兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段中，任意取3條，能夠組成個直角三角形．【分析】由勾股定理求出線段AD、AC、AB、BC、BD、CD的平方，由勾股定理的逆定理即可得出結(jié)果．【解答】解：由勾股定理得：AD2＝BD2＝12+32＝10，AC2＝12+22＝5，AB2＝22+42＝20，BC2＝CD2＝25，∵AD2+BD2＝AB2，AC2+AB2＝BC2，∴能夠組成2個直角三角形．故答案為：2【變式52】若一個三角形的三邊長分別為25cm、15cm、20cm，則這個三角形最長邊上的高為12cm．【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理可得該三角形為直角三角形，然后再利用三角形的面積公式即可求解．【解答】解：∵一個三角形的三邊長分別為25cm、15cm、20cm，又∵152+202＝252，∴該三角形為直角三角形．∴這個三角形最長邊上的高＝15×20××2÷25＝12（cm）．故答案為：12【變式53】如圖，在△ABC中，AB＝10，BD＝8，AD＝6，CD＝2（1）試說明AD⊥BC；（2）試求點(diǎn)D到直線AC的距離．【分析】（1）根據(jù)已知條件推知AD2+BD2＝AB2，然后利用勾股定理的逆定理推得結(jié)論；（2）在直角△ACD中，利用勾股定理可以求得AC的長度，由三角形的面積公式來求點(diǎn)D到直線AC的距離．【解答】解：（1）∵AD2+BD2＝62+82＝100，AB2＝102＝100，∴AD2+BD2＝AB2，∴△ABD是直角三角形，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC；（2）∵∠ADB＝90°，且點(diǎn)D為BC邊上的一點(diǎn)，∴∠ADC＝90°，∴由勾股定理得：AC＝＝＝4，∴點(diǎn)D到直線AC的距離為6×2÷2×2÷4＝3【變式54】如圖，已知CD＝6m，AD＝8m，∠ADC＝90°，BC＝24m，AB＝26m；求圖中陰影部分的面積．【分析】先根據(jù)勾股定理求出AC的長，再根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出△ACB為直角三角形，再根據(jù)S陰影＝AC×BC﹣AD×CD即可得出結(jié)論．【解答】解：在Rt△ADC中，∵CD＝6米，AD＝8米，BC＝24米，AB＝26米，∴