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17.2.1勾股定理的逆定理和勾股數(shù)勾股定理的逆定理如果三角形的三條邊長(zhǎng),滿足,那么這個(gè)三角形是直角三角形.注意:(1)勾股定理的逆定理的作用是判定某一個(gè)三角形是否是直角三角形.(2)勾股定理的逆定理是把“數(shù)”轉(zhuǎn)為“形”,是通過計(jì)算來判定一個(gè)三角形是否為直角三角形.題型1:勾股定理的逆定理1.下列數(shù)據(jù)中不能作為直角三角形的三邊長(zhǎng)是()A.1、1、 B.5、12、13 C.3、5、7 D.6、8、10【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理進(jìn)行計(jì)算分析,從而得到答案.【解答】解:A、12+12=()2,能構(gòu)成直角三角形,故選項(xiàng)錯(cuò)誤;B、52+122=132,能構(gòu)成直角三角形,故選項(xiàng)錯(cuò)誤;C、32+52≠72,不能構(gòu)成直角三角形,故選項(xiàng)正確;D、62+82=102,能構(gòu)成直角三角形,故選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選:C【變式11】以a、b、c三邊長(zhǎng)能構(gòu)成直角三角形的是()A.a(chǎn)=1,b=2,c=3 B.a(chǎn)=32,b=42,c=52 C.a(chǎn)=,b=,c= D.a(chǎn)=5,b=6,c=7【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一代入計(jì)算,看是否符合a2+b2=c2即可.【解答】解:A、∵12+22≠32,∴不符合a2+b2=c2.∴不能構(gòu)成直角三角形.B、∵a=32,b=42,c=52,∴a=9,b=16.c=25,∵92+162≠252,不符合a2+b2=c2,∴不能構(gòu)成直角三角形.C、+=,符合a2+b2=c2,∴能構(gòu)成直角三角形.D、52+62≠72,不符合a2+b2=c2,∴不能構(gòu)成直角三角形.故選:C【變式12】已知a、b、c為△ABC的三邊,旦滿足(a2﹣b2)(a2+b2﹣c2)=0,則它的形狀為三角形.【分析】由已知條件得出a2﹣b2=0或a2+b2﹣c2=0,得出△ABC是等腰三角形或直角三角形.【解答】解:∵(a2﹣b2)(a2+b2﹣c2)=0,∴a2﹣b2=0,或a2+b2﹣c2=0,∴a=b,或a2+b2=c2,∴△ABC是等腰三角形,或△ABC是直角三角形;故答案為:等腰或直角【變式13】如圖,在Rt△ABC中,∠BCA=90°,AC=12,AB=13,點(diǎn)D是Rt△ABC外一點(diǎn),連接DC,DB,且CD=4,BD=3.(1)求BC的長(zhǎng);(2)求證:△BCD是直角三角形.【分析】(1)在Rt△ABC中,根據(jù)勾股定理即可求得BC的長(zhǎng);(2)利用勾股定理逆定理即可證明△BCD是直角三角形.【解答】(1)解:∵Rt△ABC中,∠BCA=90°,AC=12,AB=13,∴BC===5;(2)證明:∵在△BCD中,CD=4,BD=3,BC=5,∴CD2+BD2=42+32=52=BC2,∴△BCD是直角三角形如何判定一個(gè)三角形是否是直角三角形首先確定最大邊(如).驗(yàn)證與是否具有相等關(guān)系.若,則△ABC是∠C=90°的直角三角形;若,則△ABC不是直角三角形.注意:當(dāng)時(shí),此三角形為鈍角三角形;當(dāng)時(shí),此三角形為銳角三角形,其中為三角形的最大邊.題型2:判定三邊能否構(gòu)成三角形(具體數(shù)值、比值或字母參數(shù))2.現(xiàn)有四塊正方形紙片,面積分別是2,3,4,5,選取其中三塊按如圖的方式圍成一個(gè)三角形,如果要使這個(gè)三角形是直角三角形,那么選取的三塊紙片的面積分別是()A.2,3,4 B.2,3,5 C.2,4,5 D.3,4,5【分析】根據(jù)題意可知,三塊正方形的面積中,兩個(gè)較小的面積之和等于最大的面積,圍成的三角形是直角三角形,即可解答本題.【解答】解:∵四塊正方形紙片,面積分別是2,3,4,5,∴四塊正方形紙片的邊長(zhǎng)分別是,,,,由題意可得,三角形各邊的平方是對(duì)應(yīng)的各個(gè)正方形的面積,當(dāng)選取的三塊紙片的面積分別是2,3,4,2+3≠4,圍成的三角形不是直角三角形;當(dāng)選取的三塊紙片的面積分別是2,3,5時(shí),2+3=5,圍成的三角形是直角三角形;當(dāng)選取的三塊紙片的面積分別是2,4,5時(shí),2+4≠5,圍成的三角形不是直角三角形;當(dāng)選取的三塊紙片的面積分別是3,4,5時(shí),3+4≠5,圍成的三角形不是直角三角形;故選:B【變式21】如圖,已知AD=6,BD=8,AC=26,BC=24,∠ADB=90°.問△ABC是直角三角形嗎?并說明理由.【分析】由勾股定理求出AB,再求出AB2+BC2=AC2,由勾股定理的逆定理證出△ABC是直角三角形即可.【解答】解:△ABC是直角三角形;理由如下:∵∠ADB=90°,∴AB===10,∵AB2+BC2=100+576=676=262,∴AB2+BC2=AC2,∴△ABC是直角三角形【變式22】有一塊薄鐵片ABCD,∠B=90°,各邊的尺寸如圖所示(單位:cm),如果沿著對(duì)角線AC剪開,那么得到的兩塊三角形鐵皮的形狀都是“直角三角形”嗎?請(qǐng)說明理由.【分析】先在△ABC中,由∠B=90°,可得△ABC為直角三角形;根據(jù)勾股定理得出AC2=AB2+BC2=130000,得出AD2+CD2≠AC2,由勾股定理的逆定理可得△ACD不是直角三角形.【解答】解:△ABC是直角三角形,△ADC不是直角三角形.理由如下:連接AC.如圖所示:在△ABC中,∵∠B=90°,∴△ABC為直角三角形;∴AC2=AB2+BC2=2002+3002=130000,又∵AD2+CD2=10000+90000=100000≠130000,∴AD2+CD2≠AC2,∴△ACD不是直角三角形.【變式23】已知△ABC的三邊a=m2﹣1(m>1),b=2m,c=m2+1.(1)求證:△ABC是直角三角形.(2)利用第(1)題的結(jié)論,寫出兩個(gè)直角三角形的邊長(zhǎng),要求它們的邊長(zhǎng)均為正整數(shù).【分析】(1)知道三條邊的大小,用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較,如果相等,則三角形為直角三角形;(2)依據(jù)m>1,a,b,c均為正整數(shù),即可得到直角三角形的邊長(zhǎng).【解答】解:(1)∵△ABC的三邊a=m2﹣1(m>1),b=2m,c=m2+1,而當(dāng)m>1時(shí),m2﹣1<m2+1,2m<m2+1,∴(m2﹣1)2+(2m)2=m4+1﹣2m2+4m2=(m2+1)2,即a2+b2=c2,∴△ABC是直角三角形;(2)當(dāng)m=2時(shí),直角三角形的邊長(zhǎng)為3,4,5;當(dāng)m=3時(shí),直角三角形的邊長(zhǎng)為8,6,10(答案不唯一)互逆命題如果兩個(gè)命題的題設(shè)與結(jié)論正好相反,則稱它們?yōu)榛ツ婷}.如果把其中一個(gè)叫原命題,則另一個(gè)叫做它的逆命題.注意:原命題正確,逆命題未必正確;原命題不正確,其逆命題也不一定錯(cuò)誤;正確的命題我們稱為真命題,錯(cuò)誤的命題我們稱它為假命題.題型3:互逆命題3.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的對(duì)邊分別記為a,b,c,下列結(jié)論中不正確的是()A.如果∠A﹣∠B=∠C,那么△ABC是直角三角形 B.如果a2=b2﹣c2,那么△ABC是直角三角形且∠C=90° C.如果∠A:∠B:∠C=1:3:2,那么△ABC是直角三角形 D.如果a2:b2:c2=9:16:25,那么△ABC是直角三角形【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理、三角形內(nèi)角和定理、直角三角形的判定定理解得即可.【解答】解:如果∠A﹣∠B=∠C,那么△ABC是直角三角形,A正確;如果a2=b2﹣c2,那么△ABC是直角三角形且∠B=90°,B錯(cuò)誤;如果∠A:∠B:∠C=1:3:2,設(shè)∠A=x,則∠B=2x,∠C=3x,則x+3x+2x=180°,解得,x=30°,則3x=90°,那么△ABC是直角三角形,C正確;如果a2:b2:c2=9:16:25,則如果a2+b2=c2,那么△ABC是直角三角形,D正確;故選:B【變式31】下列命題中,正確的個(gè)數(shù)是()(1)三邊長(zhǎng)分別為、、的三角形是直角三角形;(2)三邊長(zhǎng)分別為15、20、25的三角形是直角三角形;(3)有兩條邊的長(zhǎng)分別為3和4,另一邊的長(zhǎng)大于5的三角形不是直角三角形;(4)有兩條邊的長(zhǎng)分別為3和4,另一邊的長(zhǎng)小于5的三角形不是直角三角形.A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷.【解答】解:(1)∵()2+()2≠()2,∴三邊長(zhǎng)分別為、、的三角形不是直角三角形,故原來的說法是錯(cuò)誤的;(2)∵152+202=252,∴三邊長(zhǎng)分別為15、20、25的三角形是直角三角形,故原來的說法是正確的;(3)∵32+42=52,∴有兩條邊的長(zhǎng)分別為3和4,另一邊的長(zhǎng)大于5的三角形不是直角三角形,故原來的說法是正確的;(4)∵32+42=52,∴有兩條邊的長(zhǎng)分別為3和4,另一邊的長(zhǎng)小于5的三角形不是直角三角形,故原來的說法是正確的.故選:C.【變式32】下列命題正確的是()A.若直角三角形有兩條邊的長(zhǎng)分別為3和4,則第三邊一定為5,第三邊上的高是2.4 B.在△ABC中,若∠A=90°,∠B=60°,∠C=30°,則AB:AC:BC=1:2:3 C.三邊長(zhǎng)為1:1:的三角形是等腰直角三角形 D.因?yàn)椋ǎ?+()2≠()2,所以為邊的三角形不是直角三角形【分析】利用直角三角形的性質(zhì)及判定分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng).【解答】解:A、若直角三角形有兩條邊的長(zhǎng)分別為3和4,則第三邊一定為5或,錯(cuò)誤;B、在△ABC中,若∠A=90°,∠B=60°,∠C=30°,則∠C:∠B:∠A=1:2:3,錯(cuò)誤;C、三邊長(zhǎng)為1:1:的三角形是等腰直角三角形,正確;D、因?yàn)椋ǎ?+()2=()2,所以為邊的三角形是直角三角形,錯(cuò)誤;故選:C勾股數(shù)滿足不定方程的三個(gè)正整數(shù),稱為勾股數(shù)(又稱為高數(shù)或畢達(dá)哥拉斯數(shù)),顯然,以為三邊長(zhǎng)的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股數(shù),對(duì)解題會(huì)很有幫助:3、4、5;②5、12、13;③8、15、17;④7、24、25;⑤9、40、41……如果是勾股數(shù),當(dāng)為正整數(shù)時(shí),以為三角形的三邊長(zhǎng),此三角形必為直角三角形.注意:(1)(是自然數(shù))是直角三角形的三條邊長(zhǎng);(2)(是自然數(shù))是直角三角形的三條邊長(zhǎng);(3)(是自然數(shù))是直角三角形的三條邊長(zhǎng);勾股數(shù)的求法:如果a為一個(gè)大于1的奇數(shù),b,c是兩個(gè)連續(xù)的自然數(shù),且有a2=b+c,則a,b,c為一組勾股數(shù);如果a,b,c為一組勾股數(shù),那么na,nb,nc也是一組勾股數(shù),其中n為自然數(shù).題型4:勾股數(shù)4.下列各組數(shù)中,為勾股數(shù)的是()A.1,2,3 B.3,4,5 C.1.5,2,2.5 D.5,10,12【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理分別進(jìn)行分析,從而得到答案.【解答】解:A、∵12+22≠32,∴這組數(shù)不是勾股數(shù);B、∵32+42=52,∴這組數(shù)是勾股數(shù);C、∵1.52+22=2.52,但這三個(gè)數(shù)不都是整數(shù),∴這組數(shù)不是勾股數(shù);D、∵52+102≠122,∴這組數(shù)不是勾股數(shù).故選:B【變式41】若3、4、a為勾股數(shù),則a的相反數(shù)的值為()A.﹣5 B.5 C.﹣5或﹣ D.5或【分析】根據(jù)勾股數(shù)的定義:滿足a2+b2=c2的三個(gè)正整數(shù),稱為勾股數(shù)求解即可.【解答】解:∵3、4、a為勾股數(shù),∴a==5,∴a的相反數(shù)為﹣5,故選:A【變式42】觀察右面幾組勾股數(shù),①3,4,5;②5,12,13;③7,24,25;④9,40,41;并尋找規(guī)律,請(qǐng)你寫出有以上規(guī)律的第⑤組勾股數(shù):,第n組勾股數(shù)是.【分析】先找出每組勾股數(shù)與其組數(shù)的關(guān)系,找出規(guī)律,再根據(jù)此規(guī)律進(jìn)行解答.【解答】解:∵①3=2×1+1,4=2×12+2×1,5=2×12+2×1+1;②5=2×2+1,12=2×22+2×2,13=2×22+2×2+1;③7=2×3+1,24=2×32+2×3,25=2×32+2×3+1;④9=2×4+1,40=2×42+2×4,41=2×42+2×4+1;∴第⑤組勾股數(shù)為2×5+1=11,2×52+2×5=60,2×52+2×5+1=61,第n組勾股數(shù)是2n+1,2n2+2n,2n2+2n+1.故答案為:11,60,61;2n+1,2n2+2n,2n2+2n+1【變式43】滿足a2+b2=c2的三個(gè)正整數(shù),稱為勾股數(shù).若正整數(shù)a,n滿足a2+n2=(n+1)2,這樣的三個(gè)整數(shù)a,n,n+1(如:3,4,5或5,12,13)我們稱它們?yōu)橐唤M“完美勾股數(shù)”,當(dāng)n<150時(shí),共有組這樣的“完美勾股數(shù)”.【分析】由于n<150,149+150=299,大于等于9小于297的非偶數(shù)完全平方數(shù)有9,25,49,81,121,169,225,289,一共8個(gè),可得共有8組這樣的“完美勾股數(shù)”.【解答】解:∵n<150,(n+1)2﹣n2=2n+1,149+150=299,大于等于9小于297的非偶數(shù)完全平方數(shù)有9,25,49,81,121,169,225,289,一共8個(gè),∴共有8組這樣的“完美勾股數(shù)”.故答案為:8題型5:勾股定理逆定理的應(yīng)用5如圖,在4個(gè)均由16個(gè)小正方形組成的網(wǎng)格正方形中,各有一個(gè)格點(diǎn)三角形,那么這4個(gè)正方形網(wǎng)格中不是直角三角形的是()A. B. C. D.【分析】分別求A、B、C、D選項(xiàng)中各三角形的邊長(zhǎng),根據(jù)勾股定理的逆定理可以判定A、B、D中三角形為直角三角形,C為鈍角三角形,即可解題.【解答】解:設(shè)網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)是1.圖A中各邊長(zhǎng)為2、4、2,22+42=(2)2,故該三角形為直角三角形;圖B中各邊長(zhǎng)、2、,()2+(2)2=()2,故該三角形為直角三角形;圖C中三角形各邊長(zhǎng)為、、,()2+()2=()2,故該三角形為鈍角三角形;圖D中各邊長(zhǎng)為、2、5,()2+(2)2=52,故該三角形為直角三角形.即A、B、D是直角三角形,C不是直角三角形.故選:C【變式51】如圖是單位長(zhǎng)度為1的網(wǎng)格圖,A、B、C、D是4個(gè)網(wǎng)格線的交點(diǎn),以其中兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段中,任意取3條,能夠組成個(gè)直角三角形.【分析】由勾股定理求出線段AD、AC、AB、BC、BD、CD的平方,由勾股定理的逆定理即可得出結(jié)果.【解答】解:由勾股定理得:AD2=BD2=12+32=10,AC2=12+22=5,AB2=22+42=20,BC2=CD2=25,∵AD2+BD2=AB2,AC2+AB2=BC2,∴能夠組成2個(gè)直角三角形.故答案為:2【變式52】若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為25cm、15cm、20cm,則這個(gè)三角形最長(zhǎng)邊上的高為12cm.【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理可得該三角形為直角三角形,然后再利用三角形的面積公式即可求解.【解答】解:∵一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為25cm、15cm、20cm,又∵152+202=252,∴該三角形為直角三角形.∴這個(gè)三角形最長(zhǎng)邊上的高=15×20××2÷25=12(cm).故答案為:12【變式53】如圖,在△ABC中,AB=10,BD=8,AD=6,CD=2(1)試說明AD⊥BC;(2)試求點(diǎn)D到直線AC的距離.【分析】(1)根據(jù)已知條件推知AD2+BD2=AB2,然后利用勾股定理的逆定理推得結(jié)論;(2)在直角△ACD中,利用勾股定理可以求得AC的長(zhǎng)度,由三角形的面積公式來求點(diǎn)D到直線AC的距離.【解答】解:(1)∵AD2+BD2=62+82=100,AB2=102=100,∴AD2+BD2=AB2,∴△ABD是直角三角形,∴∠ADB=90°,即AD⊥BC;(2)∵∠ADB=90°,且點(diǎn)D為BC邊上的一點(diǎn),∴∠ADC=90°,∴由勾股定理得:AC===4,∴點(diǎn)D到直線AC的距離為6×2÷2×2÷4=3【變式54】如圖,已知CD=6m,AD=8m,∠ADC=90°,BC=24m,AB=26m;求圖中陰影部分的面積.【分析】先根據(jù)勾股定理求出AC的長(zhǎng),再根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出△ACB為直角三角形,再根據(jù)S陰影=AC×BC﹣AD×CD即可得出結(jié)論.【解答】解:在Rt△ADC中,∵CD=6米,AD=8米,BC=24米,AB=26米,∴
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