1721勾股定理的逆定理和勾股數(shù)(精講)-2021-2022學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期重要考點(diǎn)(人教版)

17.2.1勾股定理的逆定理和勾股數(shù)勾股定理的逆定理如果三角形的三條邊長(zhǎng)，滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形.注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一個(gè)三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“數(shù)”轉(zhuǎn)為“形”，是通過計(jì)算來判定一個(gè)三角形是否為直角三角形.題型1：勾股定理的逆定理1.下列數(shù)據(jù)中不能作為直角三角形的三邊長(zhǎng)是（）A．1、1、 B．5、12、13 C．3、5、7 D．6、8、10【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理進(jìn)行計(jì)算分析，從而得到答案．【解答】解：A、12+12＝（）2，能構(gòu)成直角三角形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、52+122＝132，能構(gòu)成直角三角形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、32+52≠72，不能構(gòu)成直角三角形，故選項(xiàng)正確；D、62+82＝102，能構(gòu)成直角三角形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：C【變式11】以a、b、c三邊長(zhǎng)能構(gòu)成直角三角形的是（）A．a(chǎn)＝1，b＝2，c＝3 B．a(chǎn)＝32，b＝42，c＝52 C．a(chǎn)＝，b＝，c＝ D．a(chǎn)＝5，b＝6，c＝7【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一代入計(jì)算，看是否符合a2+b2＝c2即可．【解答】解：A、∵12+22≠32，∴不符合a2+b2＝c2．∴不能構(gòu)成直角三角形．B、∵a＝32，b＝42，c＝52，∴a＝9，b＝16．c＝25，∵92+162≠252，不符合a2+b2＝c2，∴不能構(gòu)成直角三角形．C、+＝，符合a2+b2＝c2，∴能構(gòu)成直角三角形．D、52+62≠72，不符合a2+b2＝c2，∴不能構(gòu)成直角三角形．故選：C【變式12】已知a、b、c為△ABC的三邊，旦滿足（a2﹣b2）（a2+b2﹣c2）＝0，則它的形狀為三角形．【分析】由已知條件得出a2﹣b2＝0或a2+b2﹣c2＝0，得出△ABC是等腰三角形或直角三角形．【解答】解：∵（a2﹣b2）（a2+b2﹣c2）＝0，∴a2﹣b2＝0，或a2+b2﹣c2＝0，∴a＝b，或a2+b2＝c2，∴△ABC是等腰三角形，或△ABC是直角三角形；故答案為：等腰或直角【變式13】如圖，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，點(diǎn)D是Rt△ABC外一點(diǎn)，連接DC，DB，且CD＝4，BD＝3．（1）求BC的長(zhǎng)；（2）求證：△BCD是直角三角形．【分析】（1）在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理即可求得BC的長(zhǎng)；（2）利用勾股定理逆定理即可證明△BCD是直角三角形．【解答】（1）解：∵Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，∴BC＝＝＝5；（2）證明：∵在△BCD中，CD＝4，BD＝3，BC＝5，∴CD2+BD2＝42+32＝52＝BC2，∴△BCD是直角三角形如何判定一個(gè)三角形是否是直角三角形首先確定最大邊（如）.驗(yàn)證與是否具有相等關(guān)系.若，則△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，則△ABC不是直角三角形.注意：當(dāng)時(shí)，此三角形為鈍角三角形；當(dāng)時(shí)，此三角形為銳角三角形，其中為三角形的最大邊.題型2：判定三邊能否構(gòu)成三角形（具體數(shù)值、比值或字母參數(shù)）2.現(xiàn)有四塊正方形紙片，面積分別是2，3，4，5，選取其中三塊按如圖的方式圍成一個(gè)三角形，如果要使這個(gè)三角形是直角三角形，那么選取的三塊紙片的面積分別是（）A．2，3，4 B．2，3，5 C．2，4，5 D．3，4，5【分析】根據(jù)題意可知，三塊正方形的面積中，兩個(gè)較小的面積之和等于最大的面積，圍成的三角形是直角三角形，即可解答本題．【解答】解：∵四塊正方形紙片，面積分別是2，3，4，5，∴四塊正方形紙片的邊長(zhǎng)分別是，，，，由題意可得，三角形各邊的平方是對(duì)應(yīng)的各個(gè)正方形的面積，當(dāng)選取的三塊紙片的面積分別是2，3，4，2+3≠4，圍成的三角形不是直角三角形；當(dāng)選取的三塊紙片的面積分別是2，3，5時(shí)，2+3＝5，圍成的三角形是直角三角形；當(dāng)選取的三塊紙片的面積分別是2，4，5時(shí)，2+4≠5，圍成的三角形不是直角三角形；當(dāng)選取的三塊紙片的面積分別是3，4，5時(shí)，3+4≠5，圍成的三角形不是直角三角形；故選：B【變式21】如圖，已知AD＝6，BD＝8，AC＝26，BC＝24，∠ADB＝90°．問△ABC是直角三角形嗎？并說明理由．【分析】由勾股定理求出AB，再求出AB2+BC2＝AC2，由勾股定理的逆定理證出△ABC是直角三角形即可．【解答】解：△ABC是直角三角形；理由如下：∵∠ADB＝90°，∴AB＝＝＝10，∵AB2+BC2＝100+576＝676＝262，∴AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形【變式22】有一塊薄鐵片ABCD，∠B＝90°，各邊的尺寸如圖所示（單位：cm），如果沿著對(duì)角線AC剪開，那么得到的兩塊三角形鐵皮的形狀都是“直角三角形”嗎？請(qǐng)說明理由．【分析】先在△ABC中，由∠B＝90°，可得△ABC為直角三角形；根據(jù)勾股定理得出AC2＝AB2+BC2＝130000，得出AD2+CD2≠AC2，由勾股定理的逆定理可得△ACD不是直角三角形．【解答】解：△ABC是直角三角形，△ADC不是直角三角形．理由如下：連接AC．如圖所示：在△ABC中，∵∠B＝90°，∴△ABC為直角三角形；∴AC2＝AB2+BC2＝2002+3002＝130000，又∵AD2+CD2＝10000+90000＝100000≠130000，∴AD2+CD2≠AC2，∴△ACD不是直角三角形．【變式23】已知△ABC的三邊a＝m2﹣1（m＞1），b＝2m，c＝m2+1．（1）求證：△ABC是直角三角形．（2）利用第（1）題的結(jié)論，寫出兩個(gè)直角三角形的邊長(zhǎng)，要求它們的邊長(zhǎng)均為正整數(shù)．【分析】（1）知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；（2）依據(jù)m＞1，a，b，c均為正整數(shù)，即可得到直角三角形的邊長(zhǎng)．【解答】解：（1）∵△ABC的三邊a＝m2﹣1（m＞1），b＝2m，c＝m2+1，而當(dāng)m＞1時(shí)，m2﹣1＜m2+1，2m＜m2+1，∴（m2﹣1）2+（2m）2＝m4+1﹣2m2+4m2＝（m2+1）2，即a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形；（2）當(dāng)m＝2時(shí)，直角三角形的邊長(zhǎng)為3，4，5；當(dāng)m＝3時(shí)，直角三角形的邊長(zhǎng)為8，6，10（答案不唯一）互逆命題如果兩個(gè)命題的題設(shè)與結(jié)論正好相反，則稱它們?yōu)榛ツ婷}.如果把其中一個(gè)叫原命題，則另一個(gè)叫做它的逆命題.注意：原命題正確，逆命題未必正確；原命題不正確，其逆命題也不一定錯(cuò)誤；正確的命題我們稱為真命題，錯(cuò)誤的命題我們稱它為假命題.題型3：互逆命題3.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別記為a，b，c，下列結(jié)論中不正確的是（）A．如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形 B．如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠C＝90° C．如果∠A：∠B：∠C＝1：3：2，那么△ABC是直角三角形 D．如果a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC是直角三角形【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理、三角形內(nèi)角和定理、直角三角形的判定定理解得即可．【解答】解：如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形，A正確；如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠B＝90°，B錯(cuò)誤；如果∠A：∠B：∠C＝1：3：2，設(shè)∠A＝x，則∠B＝2x，∠C＝3x，則x+3x+2x＝180°，解得，x＝30°，則3x＝90°，那么△ABC是直角三角形，C正確；如果a2：b2：c2＝9：16：25，則如果a2+b2＝c2，那么△ABC是直角三角形，D正確；故選：B【變式31】下列命題中，正確的個(gè)數(shù)是（）（1）三邊長(zhǎng)分別為、、的三角形是直角三角形；（2）三邊長(zhǎng)分別為15、20、25的三角形是直角三角形；（3）有兩條邊的長(zhǎng)分別為3和4，另一邊的長(zhǎng)大于5的三角形不是直角三角形；（4）有兩條邊的長(zhǎng)分別為3和4，另一邊的長(zhǎng)小于5的三角形不是直角三角形．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷．【解答】解：（1）∵（）2+（）2≠（）2，∴三邊長(zhǎng)分別為、、的三角形不是直角三角形，故原來的說法是錯(cuò)誤的；（2）∵152+202＝252，∴三邊長(zhǎng)分別為15、20、25的三角形是直角三角形，故原來的說法是正確的；（3）∵32+42＝52，∴有兩條邊的長(zhǎng)分別為3和4，另一邊的長(zhǎng)大于5的三角形不是直角三角形，故原來的說法是正確的；（4）∵32+42＝52，∴有兩條邊的長(zhǎng)分別為3和4，另一邊的長(zhǎng)小于5的三角形不是直角三角形，故原來的說法是正確的．故選：C．【變式32】下列命題正確的是（）A．若直角三角形有兩條邊的長(zhǎng)分別為3和4，則第三邊一定為5，第三邊上的高是2.4 B．在△ABC中，若∠A＝90°，∠B＝60°，∠C＝30°，則AB：AC：BC＝1：2：3 C．三邊長(zhǎng)為1：1：的三角形是等腰直角三角形 D．因?yàn)椋ǎ?+（）2≠（）2，所以為邊的三角形不是直角三角形【分析】利用直角三角形的性質(zhì)及判定分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．【解答】解：A、若直角三角形有兩條邊的長(zhǎng)分別為3和4，則第三邊一定為5或，錯(cuò)誤；B、在△ABC中，若∠A＝90°，∠B＝60°，∠C＝30°，則∠C：∠B：∠A＝1：2：3，錯(cuò)誤；C、三邊長(zhǎng)為1：1：的三角形是等腰直角三角形，正確；D、因?yàn)椋ǎ?+（）2＝（）2，所以為邊的三角形是直角三角形，錯(cuò)誤；故選：C勾股數(shù)滿足不定方程的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)（又稱為高數(shù)或畢達(dá)哥拉斯數(shù)），顯然，以為三邊長(zhǎng)的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股數(shù)，對(duì)解題會(huì)很有幫助：3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……如果是勾股數(shù)，當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，以為三角形的三邊長(zhǎng)，此三角形必為直角三角形.注意：（1）（是自然數(shù)）是直角三角形的三條邊長(zhǎng)；（2）（是自然數(shù)）是直角三角形的三條邊長(zhǎng)；（3）（是自然數(shù)）是直角三角形的三條邊長(zhǎng)；勾股數(shù)的求法：如果a為一個(gè)大于1的奇數(shù)，b，c是兩個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，且有a2=b+c，則a,b,c為一組勾股數(shù)；如果a,b,c為一組勾股數(shù)，那么na，nb，nc也是一組勾股數(shù)，其中n為自然數(shù).題型4：勾股數(shù)4.下列各組數(shù)中，為勾股數(shù)的是（）A．1，2，3 B．3，4，5 C．1.5，2，2.5 D．5，10，12【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理分別進(jìn)行分析，從而得到答案．【解答】解：A、∵12+22≠32，∴這組數(shù)不是勾股數(shù)；B、∵32+42＝52，∴這組數(shù)是勾股數(shù)；C、∵1.52+22＝2.52，但這三個(gè)數(shù)不都是整數(shù)，∴這組數(shù)不是勾股數(shù)；D、∵52+102≠122，∴這組數(shù)不是勾股數(shù)．故選：B【變式41】若3、4、a為勾股數(shù)，則a的相反數(shù)的值為（）A．﹣5 B．5 C．﹣5或﹣ D．5或【分析】根據(jù)勾股數(shù)的定義：滿足a2+b2＝c2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)求解即可．【解答】解：∵3、4、a為勾股數(shù)，∴a＝＝5，∴a的相反數(shù)為﹣5，故選：A【變式42】觀察右面幾組勾股數(shù)，①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；并尋找規(guī)律，請(qǐng)你寫出有以上規(guī)律的第⑤組勾股數(shù)：，第n組勾股數(shù)是．【分析】先找出每組勾股數(shù)與其組數(shù)的關(guān)系，找出規(guī)律，再根據(jù)此規(guī)律進(jìn)行解答．【解答】解：∵①3＝2×1+1，4＝2×12+2×1，5＝2×12+2×1+1；②5＝2×2+1，12＝2×22+2×2，13＝2×22+2×2+1；③7＝2×3+1，24＝2×32+2×3，25＝2×32+2×3+1；④9＝2×4+1，40＝2×42+2×4，41＝2×42+2×4+1；∴第⑤組勾股數(shù)為2×5+1＝11，2×52+2×5＝60，2×52+2×5+1＝61，第n組勾股數(shù)是2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1．故答案為：11，60，61；2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1【變式43】滿足a2+b2＝c2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．若正整數(shù)a，n滿足a2+n2＝（n+1）2，這樣的三個(gè)整數(shù)a，n，n+1（如：3，4，5或5，12，13）我們稱它們?yōu)橐唤M“完美勾股數(shù)”，當(dāng)n＜150時(shí)，共有組這樣的“完美勾股數(shù)”．【分析】由于n＜150，149+150＝299，大于等于9小于297的非偶數(shù)完全平方數(shù)有9，25，49，81，121，169，225，289，一共8個(gè)，可得共有8組這樣的“完美勾股數(shù)”．【解答】解：∵n＜150，（n+1）2﹣n2＝2n+1，149+150＝299，大于等于9小于297的非偶數(shù)完全平方數(shù)有9，25，49，81，121，169，225，289，一共8個(gè)，∴共有8組這樣的“完美勾股數(shù)”．故答案為：8題型5：勾股定理逆定理的應(yīng)用5如圖，在4個(gè)均由16個(gè)小正方形組成的網(wǎng)格正方形中，各有一個(gè)格點(diǎn)三角形，那么這4個(gè)正方形網(wǎng)格中不是直角三角形的是（）A． B． C． D．【分析】分別求A、B、C、D選項(xiàng)中各三角形的邊長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理的逆定理可以判定A、B、D中三角形為直角三角形，C為鈍角三角形，即可解題．【解答】解：設(shè)網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)是1．圖A中各邊長(zhǎng)為2、4、2，22+42＝（2）2，故該三角形為直角三角形；圖B中各邊長(zhǎng)、2、，（）2+（2）2＝（）2，故該三角形為直角三角形；圖C中三角形各邊長(zhǎng)為、、，（）2+（）2＝（）2，故該三角形為鈍角三角形；圖D中各邊長(zhǎng)為、2、5，（）2+（2）2＝52，故該三角形為直角三角形．即A、B、D是直角三角形，C不是直角三角形．故選：C【變式51】如圖是單位長(zhǎng)度為1的網(wǎng)格圖，A、B、C、D是4個(gè)網(wǎng)格線的交點(diǎn)，以其中兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段中，任意取3條，能夠組成個(gè)直角三角形．【分析】由勾股定理求出線段AD、AC、AB、BC、BD、CD的平方，由勾股定理的逆定理即可得出結(jié)果．【解答】解：由勾股定理得：AD2＝BD2＝12+32＝10，AC2＝12+22＝5，AB2＝22+42＝20，BC2＝CD2＝25，∵AD2+BD2＝AB2，AC2+AB2＝BC2，∴能夠組成2個(gè)直角三角形．故答案為：2【變式52】若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為25cm、15cm、20cm，則這個(gè)三角形最長(zhǎng)邊上的高為12cm．【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理可得該三角形為直角三角形，然后再利用三角形的面積公式即可求解．【解答】解：∵一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為25cm、15cm、20cm，又∵152+202＝252，∴該三角形為直角三角形．∴這個(gè)三角形最長(zhǎng)邊上的高＝15×20××2÷25＝12（cm）．故答案為：12【變式53】如圖，在△ABC中，AB＝10，BD＝8，AD＝6，CD＝2（1）試說明AD⊥BC；（2）試求點(diǎn)D到直線AC的距離．【分析】（1）根據(jù)已知條件推知AD2+BD2＝AB2，然后利用勾股定理的逆定理推得結(jié)論；（2）在直角△ACD中，利用勾股定理可以求得AC的長(zhǎng)度，由三角形的面積公式來求點(diǎn)D到直線AC的距離．【解答】解：（1）∵AD2+BD2＝62+82＝100，AB2＝102＝100，∴AD2+BD2＝AB2，∴△ABD是直角三角形，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC；（2）∵∠ADB＝90°，且點(diǎn)D為BC邊上的一點(diǎn)，∴∠ADC＝90°，∴由勾股定理得：AC＝＝＝4，∴點(diǎn)D到直線AC的距離為6×2÷2×2÷4＝3【變式54】如圖，已知CD＝6m，AD＝8m，∠ADC＝90°，BC＝24m，AB＝26m；求圖中陰影部分的面積．【分析】先根據(jù)勾股定理求出AC的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出△ACB為直角三角形，再根據(jù)S陰影＝AC×BC﹣AD×CD即可得出結(jié)論．【解答】解：在Rt△ADC中，∵CD＝6米，AD＝8米，BC＝24米，AB＝26米，∴