《二項式定理的推導》

北師大版同步教材精品課件《二項式定理的推導》【師生活動】教師提出問題：(1)你能快速說出的結果嗎？教學設計一、情境引入1664年冬,22歲的牛頓在研讀沃利斯博士的《無窮算術》時引發(fā)了許多思考:教學設計一般情況下,當n∈N+時,(2)的結果呢？的結果呢？教師由此引出課題,板書題目.學生口答.設計意圖:與數(shù)學史相結合引出課題,激發(fā)學生的學習興趣.同時從學生的認知水平出發(fā),設置問題更能調動學生學習新知識的積極性.b的組合數(shù)______,因此二、探究新知1.探究的展開式問題1(1)合并同類項之前展開式有多少項？(2)展開式中有哪些類型的項,這些項是如何得到的？(3)展開式中各項的次數(shù)與二項式的次數(shù)有什么關系？每一項都可以寫成什么樣的形式？問題2展開式中各項的系數(shù)是如何確定的？(即每一類型的項的個數(shù)怎樣計算?)填一填(1)是從______個(a+b)中取相乘而得到的,相當于從______個(a+b)中取______個的系數(shù)是______.(2)ab是從一個(a+b)中取______,______個(a+b)中取______相乘而得到的,相當于從______個(a+b)中取______個b的組合數(shù)______,因此ab的系數(shù)是______.教學設計(3)是從______個(a+b)中取______相乘而得到的,相當于從______個(a+b)中取______個b的組合數(shù)______,因此b的系數(shù)是______.(a+b)2的展開式用組合數(shù)表示為(a+b)2=______.【師生活動】引導學生詳細寫出用多項式乘法法則得到(a+b)2展開式的過程.學生動手完成教師提示：(1)借助兩個計數(shù)原理分析展開式中的項數(shù).(2)聯(lián)系組合知識,以取b為例.鼓勵學生積極踴躍發(fā)言,教師針對學生的思路做出分析和講解.學生帶著問題去觀察展開式,引發(fā)思考積極參與互動,說出自己見解.教學設計教師借助多媒體動畫演示全過程后,引導學生完成填一填的內(nèi)容.學生根據(jù)剛才師生互動過程中獲得的知識,獨立完成填一填內(nèi)容.教師巡視課堂并對個別有問題的學生給予適當?shù)闹笇?學生訂正答案并改錯,同桌交流出錯的原因.設計意圖:具有導向性的問題能指引學生明確研究方向,培養(yǎng)學生的觀察、分析、概括能力;動畫演示可以加深學生對展開式來龍去脈的理解,為合作探究作鋪墊;這個過程讓學生親身經(jīng)歷了從“繁雜計算之苦”到領悟“分步乘法計數(shù)原理與組合數(shù)的簡潔美”,這也是一個內(nèi)化的過程.教學設計(1)為什么每一項都是的形式？2.學生自主探究你能仿照上述過程,推導一下【師生活動】師生共同點評進行完善;學生自主完成,并展示探究的過程.設計意圖:鞏固已有思想方法,建立猜想二項式定理的認知基礎.的展開式嗎？3.小組合作你能猜想一下的展開式并給出證明嗎？(2)為什么含的項的系數(shù)是？=______.請完成以下內(nèi)容：(3)①展開式中有______項.②各項的次數(shù)______都等于二項式的次數(shù).教學設計③字母a,b的次數(shù)的變化規(guī)律：______.④二項式系數(shù):______.⑤二項式通項______是二項展開式中第______項.【師生活動】教師引導學生在討論過程中要明確每一項的形式及相應的個數(shù).教師關注小組活動的完成情況,并進行適時指導.學生先自主探究后再進行小組討論.小組展示,其他小組進行糾正和補充.多媒體展示答案,并及時講解巡視課堂過程中發(fā)現(xiàn)的問題.教師給出推導過程如下:(1)展開式每一項的特征教學設計

從n個因式(a+b)中,若選出個(a+b),在這k個(a+b)中只取“b”不取“a”,在余下的(n-k)個(a+b)中只取“a”不取“b”,這樣得到的乘積都是

根據(jù)多項式的乘法法則,在每個因式(a+b)中任選其中一項作為因子,只有a和b兩種選擇,即不選a,就選b.先從第1個因式(a+b)中選一項作為因子,再從第2個因式(a+b)中選一項作為因子,依此類推,最后從第n個因式(a+b)中選一項作為因子.這n個因子的乘積構成一個單項式.由此可知：展開式的每一項由若干個“a”與若干個“b”的乘積構成,并且a和b的總個數(shù)為n,若b的個數(shù)為k,則a的個數(shù)為n-k,即(k=0,1,2,…,n).(2)同類項的個數(shù).因此,的同類項個數(shù)為,即的同類項個數(shù)就是從n個(a+b)中選出k個(a+b)的組合數(shù).(3)抽象概括,形成結論的展開式中共有(n+1)種不同的同類項：教學設計共有(n+1)項,其中各項系數(shù)(k=0,1,2,…,n),相應的個數(shù)為(k=0,1,2,…,n).因此,根據(jù)分類.①加法4計數(shù)原理,其展開式為上式可簡寫成公式①稱為二項式定理,等號右邊的式子稱為的二項展開式,的二項展開式(k=0,1,2,…,n)稱為二項式系數(shù),式中的用

表示,稱為二項展開式中第(k+1)項,又稱為二項式通項,記作.二項式定理的說明：(1)二項展開式中各項的次數(shù)和都等于二項式的次數(shù)；(2)二項式中的a,b只是一種符號,可以是任意的數(shù)或式子,只要是兩項的和的n次冪教學設計的形式都可以用二項式定理展開；(3)與(4)字母a按降冪排列,次數(shù)由n遞減到0;字母b按升冪排列,次數(shù)由0遞增到n;(5)二項式系數(shù)的下標為n,上標由0遞增至n;(6)二項式通項指的是二項展開式中第(k+1)項,該項的二項式系數(shù)為.的值相同,但展開式的第k項卻不一定相同;【師生活動】教師用多媒體展示,學生記憶并理解.設計意圖：組織學生分析二項展開式的結構特點,有針對性地進行記憶.在熟練掌握定義的基礎上,激發(fā)學生的潛能,達到多思多說的目的,進一步讓學生加深對本節(jié)內(nèi)容的理解.教學設計三、課堂小練1.判斷對錯.(1)二項式(2)二項式的展開式中的第5項為.(

)的展開式中的第4項為.(

)這個問題現(xiàn)在可以解決了嗎？的展開式中共有n項.(

)(3)二項式2.教學設計【師生活動】教師引導學生對二項展開式進行細致的分析,并提醒學生注意解題步驟的規(guī)范性.學生獨立完成.教師通過多媒體將學生的答案進行展示,錯誤時做出點撥與分析.學生及時改錯.設計意圖:強化已有的知識,破解疑惑,增強學生對數(shù)學學習的熱情.教學設計四、例題分析例1求例2求例3求例4求的展開式中的系數(shù).的展開式.的展開式.的展開式.【師生活動】學生嘗試獨立完成.教師針對學生的解題過程進行補充完善,規(guī)范板書.例1解.

.例2

解例3解.例4解因為中“x”的指數(shù)為4,所以由二項式通項,得.的系數(shù)是-280.

因此,教學設計例題完成后教師引導學生對“直接展開”和“化簡后展開”進行對比.先讓學生嘗試完成,與全班同學分享自己的解題過程.學生觀察、思考并回答.設計意圖:讓學生體會利用二項式定理模型進行計算,感受數(shù)學模型在數(shù)學應用中的價值.教學設計五、課堂小結1.在本節(jié)課中你學到了哪些知識,這些知識是怎樣得到的呢？2.你認為學會這些知識的關鍵是什么？3.在學習中又該注意哪些問題呢？【師生活動】教師觀察學生的掌握情況;學生自己總結,對本節(jié)知識點進行梳理,學生間相互補充,設計意圖:引領學生感悟數(shù)學認知過程,體會數(shù)學學科核心素養(yǎng).教學設計六、當堂檢測1.寫出2.3.在的展開式中的系數(shù)為______.的展開式.的展開式中第6項的系數(shù)是______,第6項的二項式系數(shù)是______,常數(shù)項是______.【師生活動】教師及時關注學生的完成情況,表揚完成速度快、正確率高的同學.教師用多媒體展示參考答案后,學生在小組內(nèi)完成互批互改.設計意圖:當堂檢測既能使學生鞏固本節(jié)課所學的基礎知識,又能使教師及時了解學生的掌握情況七、布置作業(yè)教材第171頁練習第1~4題.教學設計板書設計(k=0,1,2,…,n),相應的個數(shù)為(k=0,1,2,…,n).因此,根據(jù)分類.①加法4計數(shù)原理,其展開式為上式可簡寫成公式①稱為二項式定理,等號右邊的式子稱為的二項展開式,的二項展開式(k=0,1,2,…,n)稱為二項式系數(shù),式中的用

表示,稱為二項展開式中第(k+1)項,又稱為二項式通項,記作.共有(n+1)項,其中各項系數(shù)4.1二項式定理