魯教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊專項(xiàng)素養(yǎng)綜合練(七)利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)解決線段和角的問題(1)課件

專項(xiàng)素養(yǎng)綜合練(七)利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)解決線段和角的問題1.如圖,將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△DBE,點(diǎn)E落在AB

上,DE的延長線與AC相交于點(diǎn)F,連接DA,BF,若∠ABC=60°,

BF=AF.(1)求證:△ADF≌△BDF.(2)若AF=2,求DF的長.類型一求線段的長度問題解析

(1)證明:∵將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△DBE,∴△ABC≌△DBE,∴AB=DB,∠DBE=∠ABC=60°,∠DEB=∠C,∴△ABD是等邊三角形,∴AD=BD,在△ADF與△BDF中,

∴△ADF≌△BDF(SSS).(2)∵△ABD是等邊三角形,∴∠ADB=60°,∵△ADF≌△BDF,∴∠ADF=∠BDF=

∠ADB=30°,∵AD=BD,AF=BF,∴DF⊥AB,∴∠DEB=∠C=90°,∴∠BAC=30°,∵AF=BF,∴∠EBF=∠BAC=30°,∴∠DBF=∠DBA+∠ABF=60°+30°=90°,∵BF=AF=2,∠BDF=30°,∴DF=2BF=4.2.(2024云南昭通期末)正方形ABCD的邊長為5,E、F分別是

AB、BC邊上的點(diǎn),且∠EDF=45°,將△DAE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋

轉(zhuǎn)90°得到△DCM.(1)求證:EF=CF+AE.(2)若AE=2,求EF的長.解析

(1)證明:∵將△DAE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△

DCM,∴∠DCM=∠A=90°,∠ADE=∠CDM,AE=CM,DE=DM,∴∠FCD+∠DCM=180°,∴F、C、M三點(diǎn)共線,∵∠EDM=∠EDC+∠CDM=∠EDC+∠ADE=∠ADC=90°,∴∠EDF+∠FDM=90°,∵∠EDF=45°,∴∠FDM=∠EDF=45°,在△DEF和△DMF中,

∴△DEF≌△DMF(SAS),∴EF=MF,∴EF=MF=CF+CM=CF+AE.(2)設(shè)EF=MF=x,∵AE=CM=2,AB=BC=5,∴BM=BC+CM=5+2=7,EB=AB-AE=5-2=3,∴BF=BM-MF=7-x,在Rt△EBF中,由勾股定理得EB2+BF2=EF2,即32+(7-x)2=x2,解得x=

,則EF=

.類型二求角的度數(shù)問題3.(2024江蘇蘇州姑蘇期末)如圖,已知△ABC中,∠B=50°,∠C

=60°.將△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△ADE,AC與

DE交于點(diǎn)F.(1)若AC⊥DE,求∠DAC的度數(shù).(2)若AD平分∠BAC,求∠CFE的度數(shù).解析

(1)∵將△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△ADE,∴∠B=∠D=50°,∵AC⊥DE,∴∠AFD=90°,∴∠DAC=90°-50°=40°.(2)∵∠B=50°,∠C=60°,∴∠BAC=70°,∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD=35°,∴∠AFE=∠D+∠CAD=85°,∴∠CFE=180°-85°=95°.4.(2023山東濱州濱城期末)如圖,點(diǎn)E是正方形ABCD內(nèi)的一

點(diǎn),連接AE、BE、CE,將△ABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBF,連接EF,EF的長為2.(1)求BF的長.(2)若AE=1,CE=

,求∠AEB的度數(shù).解析

(1)∵將△ABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBF,∴BE=BF,∠EBF=90°,∴△BEF為等腰直角三角形,設(shè)BE=BF=x,則x2+x2=22,解得x=

.∴BF的長為

.(2)∵將△ABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBF,∴∠AEB=∠BFC,AE=CF=1,在△CEF中,EF=2,CF=1,EC=

,∴CF2+EF2=12+22=5,CE2=5,∴CF2+EF2=CE2,∴△CEF為直角三角形,且∠EFC=90°,∵∠EBF=90°,BE=BF,∴∠BFE=45°,∴∠BFC=∠BFE+∠CFE=135°,∴∠AEB=135°.類型三證明線段之間的數(shù)量關(guān)系5.(半角模型)如圖,已知△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D、E

是BC邊上的點(diǎn),將△ABD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到△ACD'.(1)當(dāng)∠DAE=45°時(shí),求證:DE=D'E.(2)在(1)的條件下,猜想:BD2、DE2、CE2有怎樣的數(shù)量關(guān)系,

請說明理由.解析

(1)證明:∵△ABD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到△ACD',∴AD=AD',∠DAD'=∠BAC=90°,∵∠DAE=45°,∴∠EAD'=∠DAD'-∠DAE=90°-45°=45°,∴∠EAD'=∠DAE,在△AED與△AED'中,

∴△AED≌△AED'(SAS),∴DE=D'E.(2)BD2+CE2=DE2.理由如下:由(1)知ED=ED',在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,∴∠B=∠ACB=45°,∵△ABD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到△ACD',∴BD=CD',∠B=∠ACD'=45°,∴∠BCD'=∠ACB+∠ACD'=45°+45°=90°,在Rt△CD'E中,D'C2+CE2=D'E2,∴BD2+CE2=DE2.類型四證明線段之間的位置關(guān)系6.(2023遼寧撫順新?lián)崞谥?如圖,已知△ABC中,∠CAB=20°,

∠ABC=30°,將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)50°得到△AB'C',連

接CC'.(1)求證:AC∥C'B'.(2)求∠BCC'的度數(shù).解析

(1)證明:∵將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)50°得到△AB'C',∴∠BAB'=50°,∠AB'C'=∠ABC=30°.∵∠CAB=20°,∴∠B'AC=∠BAB'-∠CAB=30°.∴∠AB'C'=∠B'AC.∴AC∥C'B'.(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠CAC'=50°,AC=AC',∴∠ACC'=

×(180°-50°)=65°,在△ABC中,∠CAB=20°,∠ABC=30°,∴∠ACB=130°,∴∠BCC'=360°-∠ACB-∠ACC'=165°.7.(2022北京西城期中)如圖,等腰三角形ABC中,BA=BC,∠ABC=α.作CD⊥AB于點(diǎn)D,將線段B