滬科版八年級數(shù)學(xué)上冊第15章軸對稱圖形與等腰三角形15-4角的平分線第1課時角平分線的作法與性質(zhì)課件

第15章軸對稱圖形與等腰三角形15.4角的平分線第1課時角平分線的作法與性質(zhì)知識點1用尺規(guī)作角的平分線基礎(chǔ)過關(guān)全練1.某旅游景區(qū)內(nèi)有一塊三角形綠地ABC,如圖所示,現(xiàn)要在道

路AB邊上建一個休息點M,使它到AC和BC兩邊的距離相等,

在圖中確定休息點M的位置.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)分別

用尺規(guī)作圖解決上述問題,其中作圖正確的是

()CA.甲

B.乙

C.丙

D.丁解析∵M點到AC和BC兩邊的距離相等,∴點M為∠ACB的

平分線與AB的交點,∴作圖正確的是丙同學(xué).2.如圖,七年級(1)班與七年級(2)班兩個班的同學(xué)分別在M、

N兩處參加植樹勞動,現(xiàn)要在道路AB、AC的交叉區(qū)域內(nèi)設(shè)一

個茶水供應(yīng)點P,使點P到兩條道路的距離相等,且使PM=PN,

請你找出點P(寫出作法,要求保留畫圖痕跡).解析作法:(1)作出∠BAC的平分線AD;(2)連接MN,作MN的垂直平分線EF交AD于點P.如圖,點P即為所求.知識點2角平分線的性質(zhì)定理3.(2024安徽合肥廬陽期末)如圖,∠AOB=30°,OE平分∠AOB,

EF∥OB,CE⊥OB于點C.若EC=6,則OF的長是()A.6

B.9

C.6

D.12D解析如圖,過點E作ED⊥OA于點D,∵∠AOB=30°,OE平分

∠AOB,CE⊥OB于點C,EC=6,∴∠AOE=

∠AOB=15°,ED=CE=6.∵EF∥OB,∴∠EFD=∠AOB=30°,∴EF=2ED=12,∠

OEF=∠EFD-∠AOE=30°-15°=15°,∴∠OEF=∠AOE,∴OF=EF=12.4.如圖,AD是△ABC的角平分線,DF⊥AB,垂足為點F,DE=

DG,△ADG和△AED的面積分別為50和38,則△EDF的面積

為

()

A.8

B.12

C.4

D.6D解析過點D作DH⊥AC于點H(圖略),∵AD是△ABC的角平

分線,DF⊥AB,∴DF=DH.在Rt△DEF和Rt△DGH中,

∴Rt△DEF≌Rt△DGH(HL),∴S△EDF=S△GDH.同理可得Rt△ADF≌Rt△ADH,∴S△ADF=S△ADH,即S△ADE+S△EDF=S△ADG-S△

GDH,∴S△DEF=

(S△ADG-S△ADE)=

×(50-38)=6.5.(新獨家原創(chuàng))如圖,△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分線交

BC于點D,DE⊥AB于點E.若△ABD的面積為15,AB=6,則CD

的長為()A.2

B.3

C.4

D.5D解析∵△ABD的面積為15,∴

AB·DE=

×6×DE=15,∴DE=5.∵∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB,∴CD=DE=5.6.(2024安徽合肥肥東期末)如圖,AD是△ABC的角平分線,DE

⊥AB于點E,S△ABC=7,DE=2,AB=4,則AC的長是

()A.3

B.4

C.6

D.5A解析如圖,過點D作DF⊥AC于點F,∵AD是△ABC的角平分線,DE⊥AB,∴DF=DE=2,∴S△ABC=S△

ABD+S△ADC=

AB·DE+

AC·DF=

×4×2+

AC×2=7,∴AC=3.7.(2024安徽合肥長豐期末)如圖,AB∥CD,∠BAC、∠ACD的

平分線交于點O,OE⊥AC于點E,且OE=3cm,則AB與CD的距

離為

cm.6解析如圖,過點O作MN⊥AB于點M,交CD于N,∵AB∥CD,

∴MN⊥CD.∵AO是∠BAC的平分線,OM⊥AB,OE⊥AC,OE=

3cm,∴OM=OE=3cm,∵CO是∠ACD的平分線,OE⊥AC,ON

⊥CD,∴ON=OE=3cm,∴MN=OM+ON=6cm,即AB與CD之間

的距離是6cm.8.(2024安徽滁州全椒期末)如圖,在四邊形ABCD中,∠A=90°,

AD=3,BC=5,對角線BD平分∠ABC,則△BCD的面積為

.7.5解析如圖,過點D作DE⊥BC于點E.∵∠A=90°,∴AD⊥AB.

∵BD平分∠ABC,∴DE=AD=3.又∵BC=5,∴S△BCD=

BC·DE=

×5×3=7.5.9.(2024安徽六安舒城月考)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,以

點A為圓心,任意長為半徑畫弧,分別交AC、AB于點M、N,再

分別以M、N為圓心,任意長為半徑畫弧,兩弧交于點O,作射

線AO交BC于點D,若CD=3,P為AB上一動點,則PD的長的最

小值為

.3解析如圖,過點D作DQ⊥AB于點Q,當(dāng)點P運動到點Q處時,

PD最短.由尺規(guī)作圖可知,AD平分∠CAB,∵∠C=90°,DQ⊥

AB,∴DQ=CD=3,∴PD的長的最小值為3.10.(2024安徽亳州利辛期末)如圖,在△ABC中,∠ABC和∠

ACB的平分線交于點O,∠ABC=60°,已知OB=8,△ABC的周長

為a,則△ABC的面積為

(用含a的代數(shù)式表示).2a解析如圖,過點O分別作OD⊥BC于點D,OE⊥AB于點E,OF

⊥AC于點F,連接AO,∵∠ABC=60°,∠ABC和∠ACB的平分

線交于點O,∴∠OBD=30°,OD=OE=OF.∴OD=OE=OF=

OB=4.∵△ABC的周長為a,∴S△ABC=S△ABO+S△AOC+S△BCO=

AB·OE+

AC·OF+

BC·OD=

(AB+AC+BC)·OD=

a×4=2a.11.如圖,∠ABC和∠ACD的平分線交于點E,過點E作EG⊥BA

交BA的延長線于點G,EF⊥AC交AC于點F.(1)求證:EG=EF;(2)連接AE,求證:∠AEG=∠AEF.證明(1)如圖,過點E作EH⊥BD于點H,∵BE平分∠ABC,EG

⊥BA交BA的延長線于點G,EH⊥BD,∴EG=EH.∵CE平分∠

ACD,EF⊥AC,EH⊥CD,∴EF=EH,∴EG=EF.(2)∵EG⊥BA交BA的延長線于點G,EF⊥AC,∴∠AGE=∠AFE=90°,在Rt△AEG和Rt△AEF中,

∴Rt△AEG≌Rt△AEF(HL),∴∠AEG=∠AEF.能力提升全練12.(2023安徽滁州鳳陽聯(lián)考,7,★★☆)在△ABC中,∠C=90°,

∠BAC=60°.AD平分∠BAC,交BC于點D,DE⊥AB,垂足為點E.

DF平分∠BDE,交AB于點F,FG⊥BC,垂足為點G.若FG=1,則

AC的長為

()A.5

B.4

C.3

D.2C解析∵∠C=90°,∠BAC=60°,∴∠B=30°,∵FG⊥BC,FG=1,∴BF=2FG=2,∵AD平分∠BAC,∴∠DAB=∠DAC=30°=∠

B,∴AD=BD,∠ADB=180°-30°-30°=120°,∵DE⊥AB,∴DE平分∠ADB,∴∠BDE=

∠ADB=60°.∵DF平分∠BDE,∴∠FDG=∠FDE=30°,∵DF=2FG=2,∴EF=

DF=1,∴BE=3.∵∠BED=90°=∠C,∠B=∠DAC=30°,BD=AD,∴△BED≌△ACD

(AAS).∴AC=BE=3.13.(2024安徽安慶懷寧期末,14,★★☆)如圖,在△ABC中,∠C

=90°,BD為△ABC的角平分線,過點D作直線l∥AB,點P為直

線l上的一個動點,若△BCD的面積為16,BC=8,則AP長的最小

值為

.4解析如圖,過點D作DE⊥AB于點E,∵△BCD的面積為16,

BC=8,∠C=90°,∴

CD·BC=8,即CD=4.∵BD是△ABC的角平分線,∠C=90°,DE⊥AB,∴DE=CD=4.當(dāng)AP⊥直線l時,AP的值

最小,此時∠APD=∠DEA=90°,∵l∥AB,∴∠ADP=∠DAE,又

∵AD=DA,∴△ADP≌△DAE(AAS),∴AP=DE=4,∴AP長的

最小值為4.14.(2024安徽六安舒城期末,21,★★☆)在△ABC中,∠B=50°,

∠C=70°,AD是△ABC的角平分線,DE⊥AB于點E.(1)求∠EDA的度數(shù);(2)若AB=10,AC=8,DE=3,求S△ABC.解析(1)∵∠B=50°,∠C=70°,∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-50°-70°=60°.∵AD是△ABC的角平分線,∴∠BAD=

∠BAC=

×60°=30°.∵DE