數(shù)學學案：第一講一平行線等分線段定理

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精一平行線等分線段定理1．理解并掌握平行線等分線段定理及其推論,認識它的變式圖形．2．能運用平行線等分線段定理任意等分已知線段，能運用推論進行簡單的證明或計算．3．會用三角形中位線定理解決問題．1．平行線等分線段定理文字語言如果一組______在一條直線上截得的線段____,那么在其他直線上截得的____也相等符號語言已知a∥b∥c，直線m，n分別與a，b，c交于點A,B，C和A′，B′,C′，且AB＝BC,則A′B′＝____圖形語言變式圖形作用證明同一直線上的線段相等(1)平行線等分線段定理的條件是a，b，c互相平行，構成一組平行線,m與n可以平行，也可以相交，但它們必須與已知的平行線a，b，c相交,即被平行線a,b,c所截．（2)平行線的條數(shù)還可以更多，可以推廣．（3)平行線等分線段定理的逆命題是：如果一組直線截另一組直線成相等的線段，那么這組直線平行．可以證明這一命題是錯誤的．(如圖)【做一做1】如圖所示，l1∥l2∥l3，直線a分別與l1，l2，l3相交于A,B，C，且AB＝BC,直線b分別與l1，l2，l3相交于A1，B1，C1，則有（)A．A1B1＝B1C1B．A1B1＞B1C1C．A1B1＜B1C1D．A1B1與B1C1的大小不確定2．推論1文字語言經(jīng)過三角形一邊的____與另一邊平行的直線必____第三邊符號語言在△ABC中，D為AB的中點，過D作DE∥BC，交AC于E，則E平分____圖形語言作用證明線段相等，求線段的長度三角形中位線的性質：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊長的一半．【做一做2】如圖所示,DE是△ABC的中位線，F(xiàn)是BC上任一點，AF交DE于G，則有()A．AG＞GFB．AG＝GFC．AG＜GFD．AG與GF的大小不確定3．推論2文字語言經(jīng)過梯形一腰的____，且與底邊____的直線平分另一腰符號語言在梯形ABCD中，AD∥BC，E為AD的中點，過E作EF∥BC，交CD于F，則F平分____圖形語言作用證明線段相等，求線段的長度梯形中位線的性質：梯形的中位線平行于兩底邊，并且等于兩底邊長和的一半．【做一做3】如圖，在梯形ABCD中,AD∥BC,AD＋BC＝10cm，E為AB的中點,點F在DC上，且EF∥AD，則EF的長為()A．5cmB．10cmC．20cmD．不確定答案:1．平行線相等線段B′C′【做一做1】A∵l1∥l2∥l3，AB＝BC，∴A1B1＝B1C1。2．中點平分AC【做一做2】B∵DE是△ABC的中位線，∴在△ABF中，DG∥BF，又∵AD＝DB，∴G平分AF，即AG＝GF.3．中點平行CD【做一做3】A由推論2知，EF是梯形ABCD的中位線，則EF＝eq\f（1，2）(AD＋BC)＝eq\f(1,2）×10＝5(cm）．平行線等分線段定理的兩個推論的證明剖析：(1）推論1：如圖①,在△ABC中,B′為AB的中點,過B′作B′C′∥BC交AC于點C′,求證：C′是AC的中點．證明：如圖②，過A作直線a∥BC，∵BC∥B′C′，∴a∥BC∥B′C′.又∵AB′＝BB′，∴AC′＝CC′，即C′是AC的中點．(2）推論2：如圖③，已知在梯形ACC′A′中，AA′∥CC′，B是AC的中點，過B作BB′∥CC′交A′C′于點B′，求證:B′是A′C′的中點．證明：如圖④,∵AA′∥CC′，BB′∥CC′,∴AA′∥BB′∥CC′.又∵AB＝BC，∴A′B′＝B′C′,即B′是A′C′的中點．題型一任意等分已知線段【例題1】如圖所示，已知線段AB，求作線段AB的五等分點,并予以證明．分析：利用平行線等分線段定理來作圖．反思：將已知線段AB分成n等份的步驟:（1）作射線AC（與AB不共線）；(2）在射線AC上以任意取定的長度順次截取AD1＝D1D2＝D2D3＝…＝Dn－1Dn；(3）連接DnB；（4）分別過點D1，D2，D3,…，Dn－2，Dn－1作DnB的平行線，分別交AB于點A1,A2,…，An－2,An－1，則點A1，A2,…，An－2,An－1將線段AB分成n等份．題型二證明線段相等【例題2】如圖，已知AC⊥AB，DB⊥AB，O是CD的中點,求證：OA＝OB．分析：由于線段OA和OB有共同端點，則轉化為證明△OAB是等腰三角形即可．反思：平行線等分線段定理及其推論應在有線段的中點時應用，在沒有線段的中點時要先構造線段的中點．題型三三角形中位線性質的應用【例題3】如圖，梯形ABCD中，AB∥DC，E為AD的中點，EF∥BC，求證：BC＝2EF。分析：由于EF∥BC，聯(lián)系所證明的結果是BC＝2EF，由此想到三角形中位線定理，過A作BC的平行線即可實現(xiàn)．反思：(1）如果已知條件中出現(xiàn)中點，那么往往利用三角形中位線的性質來解決有關問題．(2)本題也可用平行線等分線段定理來證明，過E作DC的平行線即可．答案：【例題1】作法:(1)作射線AC；（2）在射線AC上以任意取定的長度順次截取AD1＝D1D2＝D2D3＝D3D4＝D4D5；（3）連接D5B；(4)分別過D1，D2，D3，D4作D5B的平行線D1A1，D2A2,D3A3，D4A4，分別交AB于點A1，A2，A3，A4。則點A1，A2，A3，A4將線段AB五等分．證明:過點A作MN∥D5B.則MN∥D4A4∥D3A3∥D2A2∥D1A1∥D5B，∵AD1＝D1D2＝D2D3＝D3D4＝D4D5，∴AA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4B.∴點A1，A2，A3，A4就是所求的線段AB的五等分點．【例題2】證明：過O作AB的垂線，垂足為E，如圖所示．∵AC⊥AB,DB⊥AB，∴OE∥AC∥DB.又∵O為CD的中點，∴E為AB的中點，又OE⊥AB，∴△OAB是等腰三角形，∴OA＝OB.【例題3】證明：如圖所示，過A作BC的平行線AG，交DC于點G.又AB∥DC,∴四邊形ABCG是平行四邊形．∴AG＝BC，AG∥BC.又EF∥BC，∴EF∥AG?！逧為AD的中點，∴F是DG的中點．∴EF＝eq\f（1，2）AG。∴EF＝eq\f（1,2)BC,即BC＝2EF。1如圖，在△ABC中，D，E三等分AB，DF∥BC，EG∥BC,分別交AC于F，G，若AC＝15cm，則FC＝________cm。2如圖所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，BC＝6，E,F分別為對角線BD,AC的中點，則EF＝__________.3如圖，已知梯形ABCD中，AD∥BC,∠ABC＝90°，M是CD的中點,求證：AM＝BM.4如圖所示，已知線段AB，求作AB的三等分點．5如圖所示，AC⊥AB，BD⊥AB，AD與BC交于點E，EG⊥AB，AE＝eq\f(1，2）ED，F(xiàn)是ED的中點,求證：FG＝FB．答案:1．10∵DF∥BC，EG∥BC，∴DF∥EG∥BC。由已知，得AD＝DE＝EB,∴AF＝FG＝GC.又∵AC＝15cm，∴FG＝GC＝eq\f(1，3)AC＝5cm.∴FC＝FG＋GC＝10cm.2．2如圖所示，過E作GE∥BC交BA于G.∵E是DB的中點，∴G是AB的中點．又F是AC的中點，∴GF∥BC，∴G，E,F三點共線,∴GE＝AD＝1，GF＝BC＝3?！郋F＝GF－GE＝3－1＝2.3．證明：過點M作ME∥BC交AB于點E，∵AD∥BC，∴AD∥EM∥BC。又∵M是CD的中點，∴E是AB的中點．∵∠ABC＝90°，∴ME垂直平分AB.∴MA＝MB.4．作法：如圖所示,（1）作射線AC；（2）在射線AC上以任意取定的長度順次截取AD1＝D1D2＝D2D3;（3）連接D3B；(4)分別過D1，D2作D3