【猜想的思想在數(shù)學(xué)探析中的應(yīng)用（論文）5600字】

猜想的思想在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用目錄TOC\o"1-2"\h\z\u摘要 1引言 21.猜想的思想方法與實(shí)現(xiàn)途徑 32.猜想的思想方法總結(jié) 42.1由歸納產(chǎn)生猜想 42.2由直觀產(chǎn)生猜想 42.3由類比產(chǎn)生的猜想 53.猜想的思想在數(shù)學(xué)分析中的舉例及應(yīng)用 63.1由歸納產(chǎn)生猜想在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用 63.2由直觀產(chǎn)生猜想在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用 113.3由類比產(chǎn)生猜想在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用 13結(jié)束語 17參考文獻(xiàn) 18摘要：在數(shù)學(xué)分析中，猜想的產(chǎn)生主要分為三類，分別是由歸納產(chǎn)生猜想、由直觀產(chǎn)生猜想、由類比產(chǎn)生猜想．本文首先概述了猜想思想在數(shù)學(xué)研究中的意義和在數(shù)學(xué)分析中的研究現(xiàn)狀，然后分別針對(duì)三種猜想思想的方法進(jìn)行了分類討論，分別舉例說明三種猜想方法在數(shù)學(xué)分析應(yīng)用中的呈現(xiàn)形式，并進(jìn)一步探究這些猜想方法的形成過程，體現(xiàn)了猜想思想在數(shù)學(xué)分析中的地位和作用．關(guān)鍵詞：猜想的思想;歸納;直觀觀察;類比引言牛頓曾說過，沒有大膽的假設(shè)，偉大的發(fā)現(xiàn)是不可能實(shí)現(xiàn)的．?dāng)?shù)學(xué)自然而然的邏輯之美都是很受歡迎的．從邏輯上說，猜想的理論得到科學(xué)的支持需要理由證明這樣的推論結(jié)果是正確的，并且這些論據(jù)和過程也是創(chuàng)造性的行為，找到論據(jù)是找到科學(xué)方法的重要過程．在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)史上有許多重要的著名猜想，在這些猜想中，數(shù)學(xué)家做過了許多數(shù)學(xué)研究，也給出了很多例子，但并沒有嚴(yán)格的邏輯，對(duì)于數(shù)學(xué)猜想需要進(jìn)行嚴(yán)格的證明才能變成結(jié)論．在不完美的教學(xué)方式與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)相結(jié)合的情況下，汪樹成在文獻(xiàn)[1]中提供了關(guān)于在實(shí)踐中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維方式和方法，盡量避免填鴨式學(xué)習(xí)；明廷橋在文獻(xiàn)[2]中研究了怎么利用猜想策略進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)的問題，并說明要利用猜想訓(xùn)練學(xué)生思維，鼓勵(lì)學(xué)生的創(chuàng)造力和興趣；劉發(fā)證在文獻(xiàn)[3]中對(duì)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的數(shù)學(xué)思維方式與數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力的培養(yǎng)方法進(jìn)行了深入探究，介紹了三種猜想思維方式，闡述了猜想思維方式與學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力的密切相關(guān)性；劉兆明和崔鳳午在文獻(xiàn)[4]中提出一種數(shù)學(xué)猜想方法，并闡述了猜想法在數(shù)學(xué)研究中的意義，數(shù)學(xué)研究人員對(duì)猜想的態(tài)度以及想象力在科學(xué)研究中的作用，這種計(jì)算方法充分反映了科學(xué)研究方法的重要性；馮愛芬和李溫利在文獻(xiàn)[5]中展示了一種實(shí)踐方法，可以從辯證角度研究數(shù)學(xué)猜想的方法并展現(xiàn)了數(shù)學(xué)猜想方法在數(shù)學(xué)發(fā)展中的地位，進(jìn)一步對(duì)提升教育質(zhì)量產(chǎn)生了重要影響；吳維炫在文獻(xiàn)[6]中研究了猜想的規(guī)律和方法，說明了數(shù)學(xué)猜想不僅提供了研究數(shù)學(xué)事實(shí)的基礎(chǔ)，也豐富了數(shù)學(xué)知識(shí)，完美地詮釋了數(shù)學(xué)猜想的意義；王楊和孟秋在文獻(xiàn)[7]中研究了四種猜想方法和數(shù)學(xué)推理的應(yīng)用，并解釋了數(shù)學(xué)推理的重要性；波利亞在文獻(xiàn)[10]中介紹了數(shù)學(xué)與猜想的聯(lián)系，詮釋了猜想思想在數(shù)學(xué)中的魅力；在文獻(xiàn)[11]中的極限部分展現(xiàn)了猜想思想在數(shù)學(xué)分析中的具體應(yīng)用；姜啟源和葉俊在文獻(xiàn)[12]中介紹了數(shù)學(xué)猜想在數(shù)學(xué)模型建立時(shí)的作用和意義；楊時(shí)川在文獻(xiàn)[13]中研究了整數(shù)猜想的證明過程，表明了猜想思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要地位．本文分別針對(duì)三種猜想途徑進(jìn)行分析，從歸納法、直觀觀察法、類比法進(jìn)行猜想．通過例題解答過程的形式呈現(xiàn)猜想的過程進(jìn)而探究猜想方法的形成，彰顯了猜想思想在數(shù)學(xué)分析中的地位．1.猜想的思想方法與實(shí)現(xiàn)途徑面對(duì)大量的觀察和實(shí)驗(yàn)時(shí)，注意到實(shí)驗(yàn)對(duì)象滿足一些特殊規(guī)律，將這些規(guī)律由特殊推廣至一般情況，提出一個(gè)待證明的命題，這就是猜想的整個(gè)過程[7]．猜想是一種檢測方式，用來評(píng)估事物的改變方向，然后在沒有嚴(yán)格的邏輯基礎(chǔ)下提出建議，由事物變化方向進(jìn)行的試探性判斷建立起來的沒有嚴(yán)格邏輯證明的新命題，進(jìn)而經(jīng)過論證獲得問題解法的方法，具有鮮明的新穎性和創(chuàng)造性．猜想的方法有三種，分別如下．歸納猜想，是數(shù)學(xué)中反映一般科學(xué)規(guī)律的重要方法．首先，它把一些事物延伸到另一些事物，從而創(chuàng)造出一些事物的共同特征．直觀猜想，這種猜想方法是讓學(xué)生通過觀察實(shí)體事物的模型和動(dòng)手實(shí)驗(yàn)操作，根據(jù)對(duì)實(shí)體事物的觀察、理解和分析，在感性認(rèn)知的基礎(chǔ)上提出合理猜想，這是直觀思維的重要部分之一，本能的想象力是創(chuàng)造性思維的重要組成部分，是人們受到事物突然變化的激勵(lì)，或者從某些預(yù)感中得到的啟發(fā)．類比猜想，是一種數(shù)學(xué)推理方法，它的基礎(chǔ)是兩種特征相同或相似的現(xiàn)象，它們一定有著相同或類似的模式．例如，計(jì)算平行四邊形的基本性質(zhì)類比矩形的性質(zhì)，并不是類比矩形為立方體的基本性質(zhì)．類比的方法為：“觀察、聯(lián)想、類比”，它的相似度基于類比過程中的相似度．?dāng)?shù)學(xué)猜想是以已知的數(shù)學(xué)的定義和結(jié)論為基礎(chǔ)來確定未知量及其之間的關(guān)系[8]．在數(shù)學(xué)理論中具有先導(dǎo)性．大多數(shù)的數(shù)學(xué)理論都是經(jīng)過猜想建立起來的，這就是數(shù)學(xué)中的合情推理[9]．波利亞認(rèn)為數(shù)學(xué)中有兩種推理形式：一種是論證推理，另一種是合情推理，但它們并不矛盾，在數(shù)學(xué)理論的發(fā)展過程中，這兩個(gè)推理的作用是雙向的．在嚴(yán)格推理中，首先要區(qū)分猜想和偽實(shí)驗(yàn)的證據(jù)，但討論時(shí)應(yīng)當(dāng)區(qū)分更多的有效猜想和假說，所以數(shù)學(xué)猜想是合情合理的，并不是不合理的亂猜．?dāng)?shù)學(xué)猜想有科學(xué)、創(chuàng)新、假定三個(gè)特點(diǎn)．科學(xué)性，數(shù)學(xué)猜想并不是通常意義上的假設(shè)，也不是盲目猜測或主觀猜測，而是對(duì)數(shù)學(xué)的合理猜測和評(píng)價(jià)，未知的數(shù)學(xué)關(guān)系是基于數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)事實(shí)的．創(chuàng)新性，創(chuàng)新是數(shù)學(xué)猜想的前提，解決問題主要通過產(chǎn)生想法、尋找新的事實(shí)和發(fā)現(xiàn)新的模型來實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)猜想的創(chuàng)新．假定性，由上文可知數(shù)學(xué)猜想是科學(xué)的，但是一種看似為真的判斷，具有猜測的性質(zhì)．它是否符合數(shù)學(xué)的實(shí)際，是否把握了真理都有待驗(yàn)證和證明，這就是假定性猜想．現(xiàn)實(shí)的猜想可以包括研究實(shí)驗(yàn)、類比、聯(lián)想、建構(gòu)等，數(shù)學(xué)猜想是類似于廣義定律的一種定律，在證明一個(gè)數(shù)學(xué)問題之前要根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)估算出內(nèi)容．總之，數(shù)學(xué)猜想的實(shí)現(xiàn)途徑主要分為如下幾種：①類比猜想；②歸納猜想；③對(duì)稱猜想；④仿造猜想；⑤逆向猜想．2.猜想的思想方法總結(jié)數(shù)學(xué)分析中的許多理論和解決問題的過程都蘊(yùn)含著猜想的思想，這些理論和解決問題的過程基本都是先進(jìn)行細(xì)致的觀察、分析和歸納，進(jìn)而對(duì)可能出現(xiàn)的結(jié)果做出初步的判斷產(chǎn)生初步猜想，最后進(jìn)行嚴(yán)格的推理和論證，在數(shù)學(xué)分析中，產(chǎn)生猜想的途徑主要有下述幾種．2.1由歸納產(chǎn)生猜想數(shù)學(xué)分析中對(duì)一些事物的認(rèn)識(shí)是一個(gè)無限發(fā)展的過程，我們很難把握，只能通過對(duì)這些問題做有限次的歸納與驗(yàn)證推測猜想出該事物的無限變化趨勢，這就是基于歸納的猜想．如德國數(shù)學(xué)家哥德巴赫從等算式中觀察出兩個(gè)奇數(shù)之和等于一個(gè)偶數(shù)，然后他做了進(jìn)一步的實(shí)驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，，，，，，然后他得出了以下猜想，若任一偶數(shù)既不是素?cái)?shù)也不是素?cái)?shù)平方（大于4的偶數(shù)），則它必然是兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和．2.2由直觀產(chǎn)生猜想通過對(duì)事物直觀形式的觀察，推測猜想出該事物抽象的一般理論，這種猜想方法稱為直觀產(chǎn)生的猜想，以下對(duì)直觀的猜想進(jìn)行分析，分為幾何直觀思想和數(shù)形結(jié)合思想．在一般情況下，數(shù)學(xué)分析中的一些定理和結(jié)論都是通過幾何直觀猜想得到的．幾何直觀有兩個(gè)方面：首先就是圖形，其次是直覺，直覺不僅是視覺上的，還有在看到數(shù)字之后也可以聯(lián)想到圖形．幾何直觀是通過虛擬的現(xiàn)象來增加對(duì)圖像的直覺，幾何圖像可以對(duì)問題的發(fā)現(xiàn)和描述起到積極的幫助作用，進(jìn)而加快問題的解決速度．幾何直觀在數(shù)學(xué)研究學(xué)習(xí)中占據(jù)著較為重要的地位．此外，數(shù)形結(jié)合的思想也是靠直覺感受的，它可以體現(xiàn)抽象數(shù)學(xué)問題的直觀性，同時(shí)，它也讓那些最復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡單化，它解決了所有需要用抽象思維和圖像來解決的問題，并且促進(jìn)了抽象思維和想象的共同發(fā)展，進(jìn)而優(yōu)化解決方案．?dāng)?shù)形結(jié)合是由數(shù)字和形態(tài)學(xué)之間相對(duì)和相互變換而成的，數(shù)學(xué)是一門研究空間形狀和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)．?dāng)?shù)字和圖像之間的關(guān)系是對(duì)立及統(tǒng)一的，數(shù)形結(jié)合方法只有在特定的條件下才能運(yùn)用，數(shù)與形結(jié)合的核心是理想的代數(shù)和其他不同圖形的結(jié)合，以此來簡化數(shù)學(xué)問題．例如，凸函數(shù)中，對(duì)于一元函數(shù)，如果任意的，均滿足：，利用數(shù)形結(jié)合思想可以在圖像上直觀地看出其特點(diǎn)(如圖1)：1．一元可微函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上是凸的，當(dāng)且僅當(dāng)它的導(dǎo)函數(shù)在該區(qū)間上不是單調(diào)減函數(shù)．2．一元連續(xù)可微函數(shù)在區(qū)間上是凸的，當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)圖像位于它的所有切線上方．3．凸函數(shù)的任何極小值也是最小值．圖1凸函數(shù)的圖像．2.3由類比產(chǎn)生的猜想類比法是基于不同的兩個(gè)對(duì)象之間某些相似或相同的方面，猜測到它們?cè)谄渌矫嫦嗨苹蛳嗤姆椒?，它是以比較為基礎(chǔ)，從特殊到特殊的一種推理方法．但是類比方法也有局限性，應(yīng)用類比方法時(shí)應(yīng)注意，只有本質(zhì)上相似或相同的事物才能運(yùn)用類比，如果僅把形式上相似但本質(zhì)上不同的事物進(jìn)行類比就會(huì)出現(xiàn)誤差．例如，把與或類比，把與類比，常造成下列錯(cuò)誤，，，．當(dāng)運(yùn)用類比法進(jìn)行猜想進(jìn)而解決問題時(shí)，其基本過程可由框圖表示如下．圖2類比法解決問題的基本過程．3．猜想的思想在數(shù)學(xué)分析中的舉例及應(yīng)用3.1由歸納產(chǎn)生猜想在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用例1求，()．歸納若，則，，，，，，，若，則，，，，，，即當(dāng)時(shí)，增大，也隨之增大，且逐漸趨近于1;當(dāng)時(shí)，增大，隨之減小，且逐漸趨近于1．猜想．證明1）當(dāng)時(shí)，且．所以只需證明．令，則，且，即，所以，即．2）當(dāng)時(shí)，，所以，，綜上可知，猜想正確，即．例2設(shè)，．證明存在并求．歸納因，且，，．猜想數(shù)列單調(diào)下降有下界1．證明顯然有，故由（平均值不等式）可得，數(shù)列有下界1，又由（）可知，數(shù)列單調(diào)下降，故由單調(diào)有界原理得，存在．設(shè)，在等式，兩邊取極限得，．解得，（舍去），所以．例3求函數(shù)在處任意階導(dǎo)數(shù)的值．歸納因當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，即．當(dāng)時(shí)，． 當(dāng)時(shí)，，其中表示的6次多項(xiàng)式．即，猜想，證明因當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即，假設(shè)，則當(dāng)時(shí)，．例4證明：任意一個(gè)面積為1的凸四邊形的周長及其兩條對(duì)角線的長度之和不小于．猜想先考慮面積為1的正方形，其周長恰好為4，對(duì)角線之和為即．其次考慮面積為1的菱形．若記它的兩對(duì)角線分別為、，則其面積，故，菱形周長：．進(jìn)一步猜想，對(duì)一般的凸四邊形而言，也可將其周長和對(duì)角線長度和分開考慮．圖3凸四邊形．證明設(shè)ABCD為任意一個(gè)面積為1的凸四邊形，則記與其有關(guān)線段和角標(biāo)如圖所示，即，所以，即對(duì)角線長度之和不小于．又，故，即其周長不小于4．3.2由直觀產(chǎn)生猜想在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用例5設(shè)，求．猜想由于的每項(xiàng)因數(shù)都是真分?jǐn)?shù)，因此從直觀形式上猜想，．證明因（由于）．故，即．由迫斂性定理得．例6設(shè)且，試求的值．猜想每一項(xiàng)都收斂于，因此從直觀形式上猜想，．證明1）若，由于．（1）一方面，由算術(shù)平均收斂定理知， ． （2）另一方面，可由和數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則知，．故，（3）由（1）—（3）及兩邊夾定理得，2）若，由于．由算術(shù)平均收斂定理及兩邊夾定理得．例7設(shè)，求和式的值．猜想通過觀察發(fā)現(xiàn)，待求式中自變量呈對(duì)稱，有的關(guān)系，猜想如果自變量的和是1，那么它的函數(shù)值之和必為一個(gè)常數(shù)．證明由題目，其中有500個(gè)函數(shù)相加，所以，即和式所求之和為500．3.3由類比產(chǎn)生猜想在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用例8已知是次多項(xiàng)式，證明：．類比所證的等式右邊是和式，且有出現(xiàn)，這可以與泰勒公式進(jìn)行類比．猜想利用泰勒公式來證明所證的等式．證明由于是次多項(xiàng)式，其在處泰勒公式的形式應(yīng)為：．于是．例9已知在上有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，證明：1），使有;2）又若，則．類比所證式的1）不等式形式與拉格朗日公式類比．猜想用拉格朗日公式證明．證明1）對(duì)（假設(shè)），在上滿足拉格朗日中值定理，由已知，在閉區(qū)間上連續(xù)，因此使，故．2）由可得，．例10求．類比所求的極限與已知的一個(gè)極限，進(jìn)行類比．猜想所求極限的結(jié)果也為1，證明方法與類似．證明因，故令（其中），從而．即．由迫斂性定理得，，從而．例11求級(jí)數(shù)的和．類比所求的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與下面的冪級(jí)數(shù)類比：，猜想先求出上述冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，在令，得到所求冪級(jí)數(shù)的和．證明設(shè)，則在內(nèi)收斂．所以，從而，故．又的冪級(jí)數(shù)展開式在處收斂，所以．例12設(shè)在上連續(xù)，在上可導(dǎo)．證明：存在使得．類比將所證的形式與拉格朗日公式類比．猜想用拉格朗日公式來證明．證明令，由拉格朗日中值定理知存在使得，，即，即猜想成立．結(jié)束語本文對(duì)數(shù)學(xué)分析中猜想的思想進(jìn)行了分類總結(jié)，針對(duì)每一種猜想方法的獨(dú)特的解題技巧進(jìn)行了總結(jié)，并利用數(shù)學(xué)分析中的實(shí)例對(duì)這些猜想思想的應(yīng)用進(jìn)行了具體展示，其中例1到例4對(duì)歸納法產(chǎn)生的猜想進(jìn)行應(yīng)用，歸納法產(chǎn)生猜想是觀察所求函數(shù)的形式，歸納猜想出結(jié)果然后進(jìn)行證明的過程；例5到例7對(duì)直觀法產(chǎn)生的猜想進(jìn)行應(yīng)用，直觀法產(chǎn)生猜想是通過觀察所求，認(rèn)真觀察每一項(xiàng)的特征推測猜想出結(jié)果進(jìn)而進(jìn)行證明；例8到例12是對(duì)類比法產(chǎn)生猜想的應(yīng)用，類比法產(chǎn)生猜想是從題目出發(fā)推出其他方面，用自己熟悉或者簡便的方式間接得證明出結(jié)論．總而言之，通過對(duì)這三種方法的應(yīng)用舉例，更加詳細(xì)地闡明了猜想的方法對(duì)數(shù)學(xué)分析解題產(chǎn)生的重要影響，不僅給我們解題提供了直接思路，還簡化了解題難度，將難題化身為自己熟悉的簡單題，進(jìn)而求解．通過對(duì)猜想思想的舉例運(yùn)用展現(xiàn)了猜想思想在數(shù)學(xué)分析中的獨(dú)特魅力，本文只是總結(jié)出了數(shù)學(xué)分析中猜想的部分思想，在數(shù)學(xué)分析解題時(shí)還有更多猜想的思想等著我們?nèi)ヌ剿鳎畢⒖嘉墨I(xiàn)[1]汪樹成．?dāng)?shù)學(xué)思想方法的一支奇葩[J]．甘肅省渭源縣五竹中學(xué)校報(bào)，2009（1）：39-42．[2]名廷橋．?dāng)?shù)學(xué)猜想及其教學(xué)策略[J]．湖北師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），