《20.4一次函數(shù)的應(yīng)用》學習任務(wù)單

《20.4一次函數(shù)的應(yīng)用》學習任務(wù)單##一、學習目標1、能理解一次函數(shù)在實際問題中的意義，會根據(jù)實際問題列出一次函數(shù)關(guān)系式。2、掌握利用一次函數(shù)解決實際問題的步驟，包括確定自變量的取值范圍等。3、通過實際問題的解決，提高分析問題和解決問題的能力，感受數(shù)學與生活的緊密聯(lián)系。##二、學習內(nèi)容分解1、**一次函數(shù)與實際情境的聯(lián)系**-理解實際問題中的變量關(guān)系，例如行程問題中的路程、速度和時間，銷售問題中的售價、成本和利潤等，這些變量之間可能存在一次函數(shù)關(guān)系。-學會從實際問題的描述中找出關(guān)鍵信息，確定自變量和因變量。2、**列出一次函數(shù)關(guān)系式**-根據(jù)實際問題中的數(shù)量關(guān)系，設(shè)出合適的自變量和因變量，然后利用已知條件列出一次函數(shù)的表達式，一般形式為y=kx+b（其中k、b為常數(shù)，k≠0）。-例如在行程問題中，如果速度是常數(shù)，路程y與時間x的關(guān)系可能是y=vx（這里的v就是速度，相當于一次函數(shù)中的k）。3、**確定自變量的取值范圍**-考慮實際問題中的限制條件，確定自變量的取值范圍。比如在銷售問題中，銷售量不能是負數(shù)；在工程問題中，工作時間不能超過總工期等。4、**利用一次函數(shù)解決實際問題**-包括求解最值問題，如利潤最大時的銷售量；比較不同方案的優(yōu)劣，如不同租車方案的費用比較等。##三、學習步驟###（一）導(dǎo)入1、老師先給大家講個小故事：小明去商店買筆，一支筆的成本是2元，商店想賺點錢，打算在成本的基礎(chǔ)上加價出售。如果每支筆的售價是y元，加價的金額是x元，那么售價和加價金額之間有什么關(guān)系呢？讓同學們思考并回答，引出一次函數(shù)在實際生活中的應(yīng)用這個話題。2、展示一些生活中可能涉及一次函數(shù)關(guān)系的圖片，如出租車計價器（路程和費用的關(guān)系）、水電費賬單（用量和費用的關(guān)系）等，簡單介紹這些現(xiàn)象背后可能存在的一次函數(shù)關(guān)系。###（二）知識講解1、實際問題中的變量關(guān)系-老師再舉幾個不同類型的實際問題例子，如行程問題：一輛汽車以每小時60千米的速度勻速行駛，行駛的路程y（千米）與行駛時間x（小時）的關(guān)系；銷售問題：某商品進價為50元，售價為y元，每個商品的利潤為x元，售價和利潤的關(guān)系等。-讓同學們分組討論這些問題中的變量關(guān)系，每組選一個代表發(fā)言，說說他們找到的自變量和因變量分別是什么。2、列出一次函數(shù)關(guān)系式-針對同學們的回答，老師進行總結(jié)和補充，然后詳細講解如何根據(jù)這些變量關(guān)系列出一次函數(shù)關(guān)系式。-例如對于汽車行駛的例子，根據(jù)路程=速度×時間，可列出關(guān)系式y(tǒng)=60x；對于商品銷售的例子，售價=進價+利潤，可列出關(guān)系式y(tǒng)=50+x。-給同學們一些類似的簡單實際問題，讓他們自己嘗試列出一次函數(shù)關(guān)系式，然后同桌之間互相檢查。3、確定自變量的取值范圍-老師提出問題：在上面的汽車行駛問題中，時間x有沒有限制呢？在銷售問題中，利潤x有沒有范圍呢？引導(dǎo)同學們思考。-講解在實際問題中確定自變量取值范圍的重要性，比如汽車行駛時間不能是負數(shù)，而且如果汽車總的行駛里程有限制，那么時間也會有上限；在銷售問題中，利潤不能是負數(shù)，否則就會虧本等。-給出一些實際問題，讓同學們確定自變量的取值范圍，然后小組交流討論，看看不同小組的答案是否一致。4、利用一次函數(shù)解決實際問題-以一個利潤最大化的銷售問題為例：某商品的成本是30元，售價為y元，銷售量為x件，銷售量和售價之間的關(guān)系是x=100-2y，求利潤最大時的售價。-先引導(dǎo)同學們分析利潤的計算方法，利潤=（售價-成本）×銷售量，即利潤P=(y-30)(100-2y)，然后將其展開并轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的形式，再通過求二次函數(shù)的最值來解決問題。-講解完這個例子后，再給同學們一些類似的實際問題，讓他們分組進行解決，每個小組要寫出詳細的解題步驟，最后每組派一個代表上臺講解他們組的解題思路和答案。###（三）課堂練習1、給出一些實際問題，如：-某電信公司推出兩種手機收費方式：A種方式是月租費30元，每分鐘通話費0.3元；B種方式是沒有月租費，每分鐘通話費0.4元。設(shè)每月通話時間為x分鐘，通話費用為y元。-（1）分別寫出兩種收費方式下y與x之間的函數(shù)關(guān)系式。-（2）當每月通話時間為多少分鐘時，兩種收費方式的費用相同？-（3）如果你是用戶，你會選擇哪種收費方式？2、某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本是50元，工廠想通過降低成本來提高利潤。如果每件產(chǎn)品的成本降低了x元，銷售量為y件，銷售量和成本降低金額之間的關(guān)系是y=200+10x，求成本降低多少元時利潤最大？（利潤=（售價-成本）×銷售量，假設(shè)售價為100元）-讓同學們獨立完成這些練習題，在練習過程中，如果遇到問題可以舉手向老師提問。###（四）課堂總結(jié)1、請同學們回顧這節(jié)課所學的內(nèi)容，包括一次函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用步驟、如何確定自變量的取值范圍等。2、讓同學們分享在這節(jié)課中遇到的困難和解決方法，以及自己的收獲。3、老師對同學們的總結(jié)進行補充和完善，強調(diào)重點知識和易錯點。###（五）課后作業(yè)1、課本上相關(guān)章節(jié)的練習題，如：-某旅游公司組織游客去旅游，有兩種旅游車可供選擇，A種車可坐40人，租金為800元；B種車可坐50人，租金為900元。設(shè)游客人數(shù)為x人，租車費用為y元。-（1）分別寫出租用A種車和B種車時y與x之間的函數(shù)關(guān)系式。-（2）如果游客人數(shù)為200人，怎樣租車最省錢？2、拓展作業(yè)：自己尋找一個生活中的實際問題，并用一次函數(shù)的知識來解決它，寫一篇小短文描述問題、解決過程和結(jié)果。##四、學習資源1、教材：滬教版（上海）八年級第二學期數(shù)學教材。2、網(wǎng)絡(luò)資源：可以在一些教育網(wǎng)站上搜索關(guān)于一次函數(shù)應(yīng)用的教學視頻、動畫等，如嗶哩嗶哩網(wǎng)站上有很多數(shù)學教學資源，可以幫助同學們更好地理解一次函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用。##五、習題答案1、對于電信公司收費問題：-（1）A種方式：y=0.3x+30；B種方式：y=0.4x。-（2）令0.3x+30=0.4x，解得x=300，即當每月通話時間為300分鐘時，兩種收費方式的費用相同。-（3）當x<300時，B種方式費用低；當x=300時，兩種方式費用一樣；當x>300時，A種方式費用低。2、對于工廠成本利潤問題：-利潤P=(100-(50-x))(200+10x)=(50+x)(200+10x)=10000+500x+200x+10x2=10x2+700x+10000。-對于二次函數(shù)y=10x2+700x+10000，其對稱軸為x=-\frac{700}{2\times10}=-35，因為二次項系數(shù)10>0，所以當x=-35時利潤最大，但成本降低金額不能是負數(shù)，所以當成本降低35元時利潤最大。3、對于旅游公司租車問題：-（1）租用A種車：當x\leqslant40n（n為正整數(shù)）時，y=800n，且n=\lceil\frac{x}{40}\rceil（向上取整）；租用B種車：當x\