2024年山東省泰安市中考數(shù)學(xué)試題含答案

泰安市2024年年初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題（本大題共12小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)把正確選項(xiàng)選出來，每小題選對(duì)得4分，選錯(cuò)、不選或選出的答案超過一個(gè)，均記零分）1.的相反數(shù)是（）A. B. C. D.2.下列運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.3.下面圖形中，中心對(duì)稱圖形的個(gè)數(shù)有（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)4.據(jù)泰山景區(qū)2024年1月4日消息，2023年泰山景區(qū)累計(jì)接待進(jìn)山游客超860萬人次，同比增長(zhǎng)301.36%，刷新了歷年游客量最高記錄，數(shù)據(jù)860萬用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.5.如圖，直線，等邊三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)B，C分別落在直線l，m上，若，則的度數(shù)是（）A. B. C. D.6.如圖，是直徑，，是上兩點(diǎn)，平分，若，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.7.關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.8.我國(guó)古代《四元玉鑒》中記載“二果問價(jià)”問題，其內(nèi)容如下：九百九十九文錢，甜果苦果買一千，…，…，試問甜苦果幾個(gè)，又問各該幾個(gè)錢？若設(shè)買甜果x個(gè)，買苦果y個(gè)，列出符合題意的二元一次方程組：．根據(jù)已有信息，題中用“…，…”表示的缺失的條件應(yīng)為（）A.甜果九個(gè)十一文，苦果七個(gè)四文錢 B.甜果七個(gè)四文錢，苦果九個(gè)十一文C.甜果十一個(gè)九文，苦果四個(gè)七文錢 D.甜果四個(gè)七文錢，苦果十一個(gè)九文9.如圖，中，，分別以頂點(diǎn)A，為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧分別相交于點(diǎn)和點(diǎn)，作直線分別與，交于點(diǎn)和點(diǎn)；以點(diǎn)A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交，于點(diǎn)和點(diǎn)，再分別以點(diǎn)，點(diǎn)為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，作射線，若射線恰好經(jīng)過點(diǎn)，則下列四個(gè)結(jié)論：①；②垂直平分線段；③；④．其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)10.兩個(gè)半徑相等的半圓按如圖方式放置，半圓的一個(gè)直徑端點(diǎn)與半圓的圓心重合，若半圓的半徑為2，則陰影部分的面積是（）A. B. C. D.11.如圖所示是二次函數(shù)的部分圖象，該函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線，圖象與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是2，則下列結(jié)論：①；②方程一定有一個(gè)根在和之間；③方程一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；④．其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)12.如圖，菱形中，，點(diǎn)是邊上的點(diǎn)，，，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，為角的直角三角形，連結(jié)．當(dāng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段的最小值是（）A.2 B. C. D.4二、填空題（本大題共6小題，滿分24分．只要求填寫最后結(jié)果，每小題填對(duì)得4分）13.單項(xiàng)式的次數(shù)是________．14.某學(xué)校在4月23日世界讀書日舉行“書香校園，全員閱讀”活動(dòng)．小明和小穎去學(xué)校圖書室借閱書籍，小明準(zhǔn)備從《西游記》、《駱駝祥子》、《水滸傳》中隨機(jī)選擇一本，小潁準(zhǔn)備從《西游記》、《駱駝祥子》、《朝花夕拾》中隨機(jī)選擇一本，小明和小穎恰好選中書名相同的書的概率是__________．15.在綜合實(shí)踐課上，數(shù)學(xué)興趣小組用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)量大汶河某河段的寬度，他們?cè)诤影兑粋?cè)的瞭望臺(tái)上放飛一只無人機(jī)，如圖，無人機(jī)在河上方距水面高60米的點(diǎn)處測(cè)得瞭望臺(tái)正對(duì)岸A處的俯角為，測(cè)得瞭望臺(tái)頂端處的俯角為，已知瞭望臺(tái)高12米（圖中點(diǎn)，，，在同一平面內(nèi)），那么大汶河此河段的寬為__________米．（參考數(shù)據(jù)：，，，）16.如圖，小明的父親想用長(zhǎng)為60米的柵欄，再借助房屋的外墻圍成一個(gè)矩形的菜園，已知房屋外墻長(zhǎng)40米，則可圍成的菜園的最大面積是__________平方米．17.如圖，是的直徑，是的切線，點(diǎn)為上任意一點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，延長(zhǎng)與相交于點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)為__________．18.如圖所示，是用圖形“○”和“●”按一定規(guī)律擺成的“小屋子”．按照此規(guī)律繼續(xù)擺下去，第__________個(gè)“小屋子”中圖形“○”個(gè)數(shù)是圖形“●”個(gè)數(shù)的3倍．三、解答題（本大題共7小題，滿分8分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或推演步驟）19.（1）計(jì)算：；（2）化簡(jiǎn)：．20.某超市打算購(gòu)進(jìn)一批蘋果，現(xiàn)從甲、乙兩個(gè)供應(yīng)商供應(yīng)的蘋果中各隨機(jī)抽取10個(gè)，測(cè)得它們的直徑（單位：mm），并制作統(tǒng)計(jì)圖如下：根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）統(tǒng)計(jì)量供應(yīng)商平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)甲8080乙76則__________，__________，__________．（2）蘋果直徑的方差越小，蘋果的大小越整齊，據(jù)此判斷，__________供應(yīng)商供應(yīng)的蘋果大小更為整齊．（填“甲”或“乙”）（3）超市規(guī)定直徑（含）以上的蘋果為大果，超市打算購(gòu)進(jìn)甲供應(yīng)商的蘋果2000個(gè)，其中，大果約有多少個(gè)？21.直線與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)．（1）求直線的表達(dá)式；（2）若，請(qǐng)直接寫出滿足條件的的取值范圍；（3）過點(diǎn)作軸的平行線交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)，求的面積．22.隨著快遞行業(yè)的快速發(fā)展，全國(guó)各地的農(nóng)產(chǎn)品有了更廣闊的銷售空間，某農(nóng)產(chǎn)品加工企業(yè)有甲、乙兩個(gè)組共名工人．甲組每天加工件農(nóng)產(chǎn)品，乙組每天加工件農(nóng)產(chǎn)品，已知乙組每人每天平均加工的農(nóng)產(chǎn)品數(shù)量是甲組每人每天平均加工農(nóng)產(chǎn)品數(shù)量的倍，求甲、乙兩組各有多少名工人？23.綜合與實(shí)踐為了研究折紙過程蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)，某校九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)進(jìn)行了數(shù)學(xué)折紙?zhí)骄炕顒?dòng)．【探究發(fā)現(xiàn)】（1）同學(xué)們對(duì)一張矩形紙片進(jìn)行折疊，如圖1，把矩形紙片翻折，使矩形頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在矩形的一邊上，折痕為，將紙片展平，連結(jié)，與相交于點(diǎn)．同學(xué)們發(fā)現(xiàn)圖形中四條線段成比例，即，請(qǐng)你判斷同學(xué)們的發(fā)現(xiàn)是否正確，并說明理由．【拓展延伸】（2）同學(xué)們對(duì)老師給出的一張平行四邊形紙片進(jìn)行研究，如圖2，是平行四邊形紙片的一條對(duì)角線，同學(xué)們將該平行四邊形紙片翻折，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)都落在對(duì)角線上，折痕分別是和，將紙片展平，連結(jié)，，，同學(xué)們探究后發(fā)現(xiàn)，若，那么點(diǎn)恰好是對(duì)角線的一個(gè)“黃金分劇點(diǎn)”，即．請(qǐng)你判斷同學(xué)們的發(fā)現(xiàn)是否正確，并說明理由．24.如圖1，在等腰中，，，點(diǎn)，分別在，上，，連接，，取中點(diǎn)，連接．（1）求證：，；（2）將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置．①請(qǐng)直接寫出與的位置關(guān)系：___________________；②求證：．25.如圖，拋物線的圖象經(jīng)過點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）將拋物線向右平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位得到拋物線，求拋物線的表達(dá)式，并判斷點(diǎn)是否在拋物線上；（3）在軸上方的拋物線上，是否存在點(diǎn)，使是等腰直角三角形．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)把正確選項(xiàng)選出來，每小題選對(duì)得4分，選錯(cuò)、不選或選出的答案超過一個(gè)，均記零分）1.【答案】D【解析】解：的相反數(shù)是．故選：D．2.【答案】D【解析】解：A、與不是同類項(xiàng)，不能合并同類項(xiàng)，故不符合題意；B、，故不符合題意；C、，故不符合題意；D、，故符合題意；故選：D．3.【答案】C【解析】解：第一個(gè)是中心對(duì)稱圖形，符合題意；第二個(gè)是是中心對(duì)稱圖形，符合題意；第三個(gè)是是中心對(duì)稱圖形，符合題意；第四個(gè)不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；所以符合題意的有3個(gè)．故選：C．4.【答案】D【解析】解：860萬．故選：D．5.【答案】B【解析】解：∵，∴，即，∵是等邊三角形，∴，又∵，∴，∴，故選：B．6.【答案】A【解析】解：∵平分，∴，∵是的直徑，，∴，，則，∴，故選：A．7.【答案】B【解析】解：∵關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，∴，解得．故選B．8.【答案】A【解析】解：根據(jù)，可得甜果九個(gè)十一文，苦果七個(gè)四文錢，故選A9.【答案】D【解析】解：由作圖可知垂直平分線段，∴，∴，由作圖可知平分，∴，∵，∴，故①正確，∴，∵，∴，∴垂直平分線段，故②正確，∵，∴，故③正確，∴，∵，∴，∴，故④正確．故選：D．10.【答案】A【解析】解：如圖：連接，作于點(diǎn)B，∵，∴三角形是等邊三角形，∴，∴∴,∴．故選：A．11.【答案】B【解析】解：∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，∴，∴,∴，故①正確；∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在2、3之間，∴與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在、0之間，∴方程一定有一個(gè)根在和0之間，故②錯(cuò)誤；∵拋物線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，∴方程一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故③正確；∵拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在，0之間，∴，∵圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是2，∴，∴，∴．故④錯(cuò)誤．綜上，①③正確，共2個(gè)．故選：B．12.【答案】C【解析】解：如圖，過E作于點(diǎn)M，作于點(diǎn)H，作于點(diǎn)I，∵，∴點(diǎn)E、M、F、G四點(diǎn)共圓，∴，∵，∴，∴，∴四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴，∴，∴最小值是．故選：C．二、填空題（本大題共6小題，滿分24分．只要求填寫最后結(jié)果，每小題填對(duì)得4分）13.【答案】【解析】解：?jiǎn)雾?xiàng)式中，的指數(shù)是，的指數(shù)是，∴此單項(xiàng)式的次數(shù)為：．故答案為：．14.【答案】【解析】解：將《西游記》、《駱駝祥子》、《水滸傳》、《朝花夕拾》分別記為A，B，C，D，列表如下：

ABDA（A，A）（A，B）（A，D）B（B，A）（B，B）（B，D）C（C，A）（C，B）（C，D）共有9種等可能的結(jié)果，其中小明和小穎恰好選中書名相同的書的結(jié)果有2種，∴小明和小穎恰好選中書名相同的書的概率為．故答案為：．15.【答案】74【解析】解：由題知,∴,在，∴,∴,在中，,∴,∴．故答案為：74．16.【答案】450【解析】解：由題意，設(shè)垂直于墻的邊長(zhǎng)為x米，則平行于墻的邊長(zhǎng)為米，又墻長(zhǎng)為40米，∴．∴．菜園的面積，∴當(dāng)時(shí)，可圍成的菜園的最大面積是450，即垂直于墻的邊長(zhǎng)為15米時(shí)，可圍成的菜園的最大面積是450平方米．故答案為：450．17.【答案】【解析】解：∵是的直徑，∴，∵是的切線，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，即，∴．故答案為：．18.【答案】12【解析】解：由所給圖形可知，第1個(gè)“小屋子”中圖形“〇”的個(gè)數(shù)為：，“●”的個(gè)數(shù)為：；第2個(gè)“小屋子”中圖形“〇”的個(gè)數(shù)為：，“●”的個(gè)數(shù)為：；第3個(gè)“小屋子”中圖形“〇”的個(gè)數(shù)為：，“●”的個(gè)數(shù)為：；第4個(gè)“小屋子”中圖形“〇”的個(gè)數(shù)為：，“●”的個(gè)數(shù)為：；…，所以第n個(gè)“小屋子”中圖形“〇”的個(gè)數(shù)為：，“●”的個(gè)數(shù)為：；由題知，解得，又n為正整數(shù)，則，即第12個(gè)“小屋子”中圖形“〇”個(gè)數(shù)是圖形“●”個(gè)數(shù)的3倍．故答案為：12．三、解答題（本大題共7小題，滿分8分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或推演步驟）19.【答案】（1）7；（2）【解析】解：（1）；；（2）．20.【答案】（1）80，，（2）甲（3）600【解析】【小問1詳解】解：由題意得：；把乙的10個(gè)蘋果的直徑從小到大排列，排在中間的兩個(gè)數(shù)分別是79，80，故中位數(shù)；甲10個(gè)蘋果的直徑中，83出現(xiàn)的次數(shù)最多，故眾數(shù)．故答案為：80，，．【小問2詳解】解：甲的方差為：；乙的方差為：，因?yàn)?，所以甲供?yīng)商供應(yīng)的蘋果大小更為整齊．故答案為：甲．【小問3詳解】解：（個(gè)）．答：大果約有600個(gè)．21.【答案】（1）（2）或（3）【解析】【小問1詳解】解：分別將點(diǎn)、點(diǎn)代入中，可得：，，解得：，，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，把A點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)坐標(biāo)分別代入,可得，解得：，一次函數(shù)表達(dá)式為．【小問2詳解】解：∵直線與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)，∴由圖象可知，當(dāng)時(shí)，或．【小問3詳解】解：把時(shí)代入中，得，點(diǎn)坐標(biāo)為，即，．22.【答案】甲組有名工人，乙組有名工人【解析】解：設(shè)甲組有名工人，則乙組有名工人．根據(jù)題意得：，解答：，經(jīng)檢驗(yàn)，是所列方程的解，且符合題意，．答：甲組有名工人，乙組有名工人．23.【答案】（1）正確，理由見解析；（2）正確，理由見解析【解析】解：（1）正確，理由如下，作于點(diǎn)，，，，，，，又，．∴．是矩形，，四邊形是矩形．，．（2）同學(xué)們的發(fā)現(xiàn)說法正確，理由如下，，，，由折疊知，，，，由平行四邊形及折疊知，，，，即點(diǎn)為的一個(gè)黃金分割點(diǎn)．24.【答案】（1）見解析（2）①；②見解析【解析】【小問1詳解】證明：在和中，，，，，，．是斜邊的中點(diǎn)，，，，．，，．；【小問2詳解】解：①；理由如下：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連結(jié)，延長(zhǎng)到，使，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．證明（具體證法過程跟②一樣）．，是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，是中位線，，，，，，．故答案為：；②證明：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接．，，，，，，，，，，．，．在和中，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊中線性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形的中位線性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)等知識(shí)，涉及知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性強(qiáng)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用，靈活添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解答的