2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)模塊素養(yǎng)評(píng)價(jià)含解析新人教A版選修1-2

PAGE模塊素養(yǎng)評(píng)價(jià)(120分鐘150分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.設(shè)i是虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)a-QUOTE(a∈R)是純虛數(shù),則a的值為 ()A.-3 B.-1 C.1 【解析】選D.復(fù)數(shù)a-QUOTE=a-QUOTE=(a-3)-i為純虛數(shù),所以a-3=0,所以a=3.2.下列命題:①在線性回來模型中,相關(guān)指數(shù)R2表示說明變量x對(duì)于預(yù)報(bào)變量y的貢獻(xiàn)率,R2越接近于1,表示回來效果越好;②兩個(gè)變量相關(guān)性越強(qiáng),則相關(guān)系數(shù)的肯定值就越接近于1;③在回來直線方程=-0.5x+2中,當(dāng)說明變量x每增加一個(gè)單位時(shí),預(yù)報(bào)變量平均削減0.5個(gè)單位;④對(duì)分類變量X與Y,它們的隨機(jī)變量K2的觀測(cè)值k來說,k越小,“X與Y有關(guān)系”的把握程度越大.其中正確命題的個(gè)數(shù)是 ()A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【解析】選C.對(duì)于①,在回來分析模型中,相關(guān)指數(shù)R2表示說明變量x對(duì)于預(yù)報(bào)變量y的貢獻(xiàn)率,R2越接近于1,表示回來效果越好,正確,因?yàn)橄嚓P(guān)指數(shù)R2越大,則殘差平方和越小,模型的擬合效果越好,①正確.對(duì)于②兩個(gè)變量相關(guān)性越強(qiáng),則相關(guān)系數(shù)的肯定值就越接近于1;正確;對(duì)于③在回來直線方程=-0.5x+2中,當(dāng)說明變量x每增加一個(gè)單位時(shí),預(yù)報(bào)變量平均削減0.5個(gè)單位;正確;對(duì)于④對(duì)分類變量X與Y,它們的隨機(jī)變量K2的觀測(cè)值k來說,k越小,“X與Y有關(guān)系”的把握程度越大.錯(cuò)誤,因?yàn)樵趯?duì)分類變量X與Y進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)時(shí),隨機(jī)變量K2的觀測(cè)值k越大,則“X與Y相關(guān)”可信程度越大,故④錯(cuò)誤.3.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)參與奧賽,其中只有一位獲獎(jiǎng),有人走訪了四位同學(xué),甲說:“是乙或丙獲獎(jiǎng).”乙說:“甲、丙都未獲獎(jiǎng).”丙說:“我獲獎(jiǎng)了.”丁說:“是乙獲獎(jiǎng).”已知四位同學(xué)的話只有一位是對(duì)的,則獲獎(jiǎng)的同學(xué)是 ()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【解析】選D.假設(shè)獲獎(jiǎng)的同學(xué)是甲,則甲、乙、丙、丁四位同學(xué)的話都不對(duì),因此甲不是獲獎(jiǎng)的同學(xué);假設(shè)獲獎(jiǎng)的同學(xué)是乙,則甲、乙、丁的話都對(duì),因此乙也不是獲獎(jiǎng)的同學(xué);假設(shè)獲獎(jiǎng)的同學(xué)是丙,則甲和丙的話都對(duì),因此丙也不是獲獎(jiǎng)的同學(xué).從前面推理可得丁為獲獎(jiǎng)的同學(xué),此時(shí)只有乙的話是對(duì)的.4.《九章算術(shù)》中的玉石問題:“今有玉方一寸,重七兩;石方一寸,重六兩.今有石方三寸,中有玉,并重十一斤(即176兩),問玉、石重各幾何?”其意思為:“寶玉1立方寸重7兩,石料1立方寸重6兩,現(xiàn)有寶玉和石料混合在一起的一個(gè)正方體,棱長(zhǎng)是3寸,質(zhì)量是11斤(即176兩),問這個(gè)正方體中的寶玉和石料各多少兩?”如圖所示的程序框圖給出了對(duì)此題的一個(gè)求解算法,運(yùn)行該程序框圖,則輸出的x,y分別為 ()A.90,86 B.94,82C.98,78 D.102,74【解析】選C.執(zhí)行程序:x=86,y=90,s≠27;x=90,y=86,s≠27;x=94,y=82,s≠27;x=98,y=78,s=27,故輸出的x,y分別為98,78.5.圖1是某高三學(xué)生進(jìn)入中學(xué)三年來的數(shù)學(xué)考試成果莖葉圖,第1次到第14次的考試成果依次記為A1,A2,…,A14,圖2是統(tǒng)計(jì)莖葉圖中成果在肯定范圍內(nèi)考試次數(shù)的一個(gè)程序框圖.那么程序框圖輸出的結(jié)果是()A.7 B.8 C.9 【解析】選D.由程序框圖可知輸出結(jié)果是考試成果大于90的次數(shù),由莖葉圖可知大于90的次數(shù)有10次.6.有下列說法:①在殘差圖中,殘差點(diǎn)比較勻稱地落在水平的帶狀區(qū)域內(nèi),說明選用的模型比較合適;②用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回來的效果,R2值越大,說明模型的擬合效果越好;③比較兩個(gè)模型的擬合效果,可以比較殘差平方和的大小,殘差平方和越小的模型,擬合效果越好.④在探討氣溫柔熱茶銷售杯數(shù)的關(guān)系時(shí),若求得相關(guān)指數(shù)R2≈0.85,則表明氣溫說明了15%的熱茶銷售杯數(shù)改變.其中正確命題的個(gè)數(shù)是 ()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】選C.對(duì)于①在殘差圖中,殘差點(diǎn)比較勻稱地落在水平的帶狀區(qū)域內(nèi),說明選用的模型比較合適,正確.對(duì)于②用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回來的效果,R2值越大,說明模型的擬合效果越好,正確.對(duì)于③比較兩個(gè)模型的擬合效果,可以比較殘差平方和的大小,殘差平方和越小的模型,擬合效果越好,正確.對(duì)于④在探討氣溫柔熱茶銷售杯數(shù)的關(guān)系時(shí),若求得相關(guān)指數(shù)R2≈0.85,則表明氣溫說明了15%的熱茶銷售杯數(shù)改變,錯(cuò)誤,應(yīng)當(dāng)是氣溫說明了85%的熱茶銷售杯數(shù)改變.7.為了解某高校學(xué)生運(yùn)用手機(jī)支付和現(xiàn)金支付的狀況,抽取了部分學(xué)生作為樣本,統(tǒng)計(jì)其寵愛的支付方式,并制作出如下等高條形圖:依據(jù)圖中的信息,下列結(jié)論中不正確的是 ()A.樣本中的男生數(shù)量多于女生數(shù)量B.樣本中寵愛手機(jī)支付的數(shù)量多于現(xiàn)金支付的數(shù)量C.樣本中多數(shù)男生寵愛手機(jī)支付D.樣本中多數(shù)女生寵愛現(xiàn)金支付【解析】選D.由題干中右邊條形圖知,男生女生寵愛手機(jī)支付的比例都高于現(xiàn)金支付的比例,所以男生女生都寵愛手機(jī)支付,故C對(duì),D錯(cuò),結(jié)合兩個(gè)條形圖可知,男生女生手機(jī)支付都比現(xiàn)金支付多,B對(duì),樣本中的男生數(shù)量多于女生數(shù)量,A對(duì).8.設(shè)x(1+i)=1+yi,其中x,y為實(shí)數(shù),則|x+yi|= ()A.1 B.QUOTE C.QUOTE D.2【解析】選B.因?yàn)閤(1+i)=1+yi,所以x+xi=1+yi,x=1,y=x=1,|x+yi|=|1+i|=QUOTE.9.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)QUOTE對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 ()A.(-∞,-1) B.(-∞,0)C.(0,+∞) D.(1,+∞)【解析】選D.因?yàn)閺?fù)數(shù)QUOTE=QUOTE=QUOTE+QUOTEi,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限,所以QUOTE解得m>1.10.下列說法中正確的是 ()A.先把高三年級(jí)的2000名學(xué)生編號(hào):1到2000,再從編號(hào)為1到50的50名學(xué)生中隨機(jī)抽取1名學(xué)生,其編號(hào)為m,然后抽取編號(hào)為m+50,m+100,m+150…的學(xué)生,這樣的抽樣方法是分層抽樣法B.線性回來直線=x+肯定過樣本中心點(diǎn)(QUOTE,QUOTE)C.若兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng),則相關(guān)系數(shù)r的值越接近于1D.在回來直線=0.2x+12中,當(dāng)變量x增加一個(gè)單位時(shí),平均增加1個(gè)單位【解析】選B.A中抽樣方法為系統(tǒng)抽樣,故A錯(cuò)誤;B中線性回來方程=x+必過樣本中心點(diǎn)(QUOTE,QUOTE),故B正確;C:若兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng),則相關(guān)系數(shù)r的肯定值越接近于1,故C錯(cuò)誤.D中在回來直線=0.2x+12中,當(dāng)x增加一個(gè)單位時(shí),平均增加0.2個(gè)單位,故D錯(cuò)誤.11.某探討機(jī)構(gòu)在對(duì)具有線性相關(guān)的兩個(gè)變量x和y進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析時(shí),得到如表數(shù)據(jù).由表中數(shù)據(jù)求得y關(guān)于x的回來方程為=0.65x+,則在這些樣本點(diǎn)中任取一點(diǎn),該點(diǎn)落在回來直線下方的概率為 ()x4681012y12356A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.因?yàn)镼UOTE=8,QUOTE=3.4所以3.4=0.65×8+所以=-1.8所以=0.65x-1.8故5個(gè)點(diǎn)中落在回來直線下方的有(6,2),(8,3),共2個(gè),故所求概率是為QUOTE.12.依據(jù)給出的數(shù)塔揣測(cè)123456×9+7= ()1×9+2=1112×9+3=111123×9+4=11111234×9+5=1111112345×9+6=111111…A.1111110 B.1111111C.1111112 D.1111113【解析】選B.由1×9+2=11;12×9+3=111;123×9+4=1111;1234×9+5=11111;…歸納可得:等式右邊各數(shù)位上的數(shù)字均為1,位數(shù)跟等式左邊的其次個(gè)加數(shù)相同,所以123456×9+7=1111111.二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,將答案填在題中的橫線上)13.已知a,b∈R,(a+bi)2=3+4i(i是虛數(shù)單位),則ab=________.

【解析】因?yàn)?a+bi)2=a2-b2+2abi=3+4i,所以QUOTE所以ab=2.答案:214.將正整數(shù)對(duì)作如下分組,第1組為{(1,2),(2,1)},第2組為{(1,3),(3,1)},第3組為{(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)},第4組為{(1,5),(2,4)(4,2)(5,1)}……則第30組第16個(gè)數(shù)對(duì)為________.

【解析】依據(jù)歸納推理可知,每個(gè)數(shù)對(duì)中兩個(gè)數(shù)字不相等,且第一組每一個(gè)數(shù)對(duì)和為3,其次組每一個(gè)數(shù)對(duì)和為4,第三組每個(gè)數(shù)對(duì)和為5,……,第30組每一個(gè)數(shù)對(duì)和為32,所以第30組第一個(gè)數(shù)對(duì)為(1,31),其次個(gè)數(shù)對(duì)為(2,30),……,第15個(gè)數(shù)對(duì)為(15,17),第16個(gè)數(shù)對(duì)為(17,15),故答案為(17,15).答案:(17,15)15.點(diǎn)(x0,y0)到直線Ax+By+C=0的距離公式為d=QUOTE,通過類比的方法,可求得:在空間中,點(diǎn)(0,1,3)到平面x+2y+3z+3=0的距離為________.

【解析】類比可知:點(diǎn)(0,1,3)到平面x+2y+3z+3=0的距離為d=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE16.視察下列等式:QUOTE+QUOTE=QUOTE×1×2;QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE=QUOTE×2×3;QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=QUOTE×3×4;QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=QUOTE×4×5;……照此規(guī)律,QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=________.

【解析】每組角的分母恰好等于右邊兩個(gè)相鄰正整數(shù)因數(shù)的和.答案:QUOTEnQUOTE【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知QUOTE=2·QUOTE,QUOTE=3·QUOTE,QUOTE=4·QUOTE,….若QUOTE=8·QUOTE(a,t均為正實(shí)數(shù)),類比以上等式,可推想a,t的值,則a+t=__________.

【解析】因?yàn)镼UOTE=2·QUOTE,QUOTE=3·QUOTE,QUOTE=4·QUOTE,由類比推理得:QUOTE=5·QUOTE,QUOTE=6·QUOTE,QUOTE=7·QUOTE,QUOTE=8·QUOTE,所以a=8,t=63,所以a+t=71.答案:71三、解答題(本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟)17.(10分)據(jù)有關(guān)人士預(yù)料,我國(guó)的消費(fèi)正由生存型消費(fèi)轉(zhuǎn)向質(zhì)量型消費(fèi),城鎮(zhèn)居民的消費(fèi)熱點(diǎn)是商品住房、車、電子信息產(chǎn)品、新型食品、服務(wù)消費(fèi)和文化消費(fèi);農(nóng)村居民的消費(fèi)熱點(diǎn)是住房、家電.試設(shè)計(jì)表示消費(fèi)狀況的結(jié)構(gòu)圖.【解析】消費(fèi)狀況的結(jié)構(gòu)圖如圖所示:18.(12分)某工廠為了對(duì)新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià),將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷,得到如下數(shù)據(jù):單價(jià)x(元)88.28.48.68.89銷量y(件)908483807568(1)求回來直線方程=x+,其中=-20,=QUOTE-QUOTE;(2)預(yù)料在今后的銷售中,銷量與單價(jià)仍舊聽從(1)中的關(guān)系,且該產(chǎn)品的成本是4元/件,為使工廠獲得最大利潤(rùn),該產(chǎn)品的單價(jià)應(yīng)定為多少元?(利潤(rùn)=銷售收入-成本)【解析】(1)QUOTE=QUOTE=8.5,QUOTE=QUOTE=80.所以=QUOTE-QUOTE=80+20×8.5=250,所以回來直線方程為=-20x+250.(2)設(shè)工廠獲得的利潤(rùn)為L(zhǎng)元,則L=xQUOTE-4QUOTE=-20x2+330x-1000=-20QUOTE+361.25,當(dāng)且僅當(dāng)x=8.25時(shí),L取得最大值.故當(dāng)單價(jià)定為8.25元時(shí),工廠可獲得最大利潤(rùn).【補(bǔ)償訓(xùn)練】某工廠前10個(gè)月份的產(chǎn)量與生產(chǎn)費(fèi)用如表:產(chǎn)量x/千件40424855658088100120140生產(chǎn)費(fèi)用y/千元150140160170150162185165190185(1)求線性回來方程;(2)估計(jì)當(dāng)生產(chǎn)200千件時(shí)的生產(chǎn)費(fèi)用;(3)計(jì)算x與y的相關(guān)系數(shù).【解析】(1)由表格數(shù)據(jù)得QUOTE=77.8,QUOTE=165.7,QUOTE=71062,QUOTE=277119,QUOTExiyi=133100,所以=QUOTE=QUOTE≈0.4,=QUOTE-QUOTE≈165.7-0.4×77.8=134.58,所以線性回來方程為=134.58+0.4x.(2)當(dāng)x=200時(shí),=134.58+0.4×200=214.58(千元)所以當(dāng)生產(chǎn)200千件時(shí)的生產(chǎn)費(fèi)用為214.58千元.(3)r=QUOTE=QUOTE≈0.81.所以x與y的相關(guān)系數(shù)約為0.81.19.(12分)已知復(fù)數(shù)z=QUOTE(m∈R,i是虛數(shù)單位).(1)若z是純虛數(shù),求m的值.(2)設(shè)QUOTE是z的共軛復(fù)數(shù),復(fù)數(shù)QUOTE+2z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限,求m的取值范圍.【解析】(1)z=QUOTE=QUOTE=1-2m+(2m+1)i.因?yàn)閦是純虛數(shù),所以1-2m=0且2m+1≠0,解得m=QUOTE.(2)因?yàn)镼UOTE是z的共軛復(fù)數(shù),所以QUOTE=1-2m-(2m+1)i.所以QUOTE+2z=1-2m-(2m+1)i+2[1-2m+(2m+1)i]=3-6m+(2m+1)i.因?yàn)閺?fù)數(shù)QUOTE+2z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限,所以QUOTE解得-QUOTE<m<QUOTE,即實(shí)數(shù)m的取值范圍為QUOTE.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知復(fù)數(shù)z=QUOTE+i(a∈R).(1)若z∈R,求z.(2)若z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限,求a的取值范圍.【解析】(1)z=QUOTE+i=QUOTE+i=QUOTE+QUOTEi,若z∈R,則QUOTE=0,所以a=5,所以z=2.(2)若z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限,則QUOTE>0且QUOTE>0,解得0<a<5,即a的取值范圍為(0,5).20.(12分)有聲書正受著越來越多人的寵愛.某有聲書公司為了解用戶的運(yùn)用狀況,隨機(jī)選取了100名用戶,統(tǒng)計(jì)出年齡分布和用戶付費(fèi)金額(金額為整數(shù))狀況如圖.有聲書公司將付費(fèi)高于20元的用戶定義為“愛付費(fèi)用戶”,將年齡在30歲及以下的用戶定義為“年輕用戶”.已知抽取的樣本中有QUOTE的“年輕用戶”是“愛付費(fèi)用戶”.(1)完成下面的2×2列聯(lián)表,并據(jù)此資料,能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為用戶“愛付費(fèi)”與其為“年輕用戶”有關(guān)?愛付費(fèi)用戶不愛付費(fèi)用戶總計(jì)年輕用戶非年輕用戶總計(jì)(2)若公司采納分層抽樣方法從“愛付費(fèi)用戶”中隨機(jī)選取5人,再從這5人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行訪談,求抽取的2人恰好都是“年輕用戶”的概率.PQUOTE0.050.0250.0100.0050.001k03.8415.0246.6357.87910.828K2=QUOTE.【解析】(1)依據(jù)題意可得2×2列聯(lián)表如表:愛付費(fèi)用戶不愛付費(fèi)用戶總計(jì)年輕用戶244064非年輕用戶63036總計(jì)3070100由表中數(shù)據(jù)可得K2的觀測(cè)值k=QUOTE≈4.76>3.841,所以能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為“愛付費(fèi)用戶”和“年輕用戶”有關(guān).(2)由分層抽樣可知,抽取的5人中有4人為“年輕用戶”,記為A1,A2,A3,A4,1人為“非年輕用戶”,記為B.則從這5人中隨機(jī)抽取2人的基本領(lǐng)件有:QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,共10個(gè)基本領(lǐng)件.其中滿意抽取的2人均是“年輕用戶”的事務(wù)有:QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,共6個(gè).所以從中抽取2人恰好都是“年輕用戶”的概率為P=QUOTE=QUOTE.21.(12分)設(shè)函數(shù)f(x)=x3+QUOTE,x∈QUOTE.證明:(1)f(x)≥1-x+x2.(2)QUOTE<f(x)≤QUOTE.【證明】(1)方法一(綜合法):1-x+x2-x3=(1-x)+x2(1-x)=(1-x)(1+x2)=QUOTE=QUOTE,又x∈QUOTE,所以QUOTE≤QUOTE,即1-x+x2-x3≤QUOTE,所以f(x)≥1-x+x2.方法二(分析法):要證f(x)≥1-x+x2,x∈QUOTE,即證x3+QUOTE≥1-x+x2,只需證x3-x2+x-1+QUOTE≥0,即證x2(x-1)+(x-1)+QUOTE≥0即(x-1)(x2+1)+QUOTE≥0,再證(x+1)(x-1)(x2+1)+1≥0,即證(x2-1)(x2+1)+1≥0,即x4≥0,由x∈QUOTE知,x4≥0,綜上,f(x)≥1-x+x2.(2)方法一:由x∈QUOTE得x3≤x,所以f(x)=x3+QUOTE≤x+QUOTE-QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE≤QUOTE,所以f(x)≤QUOTE,由(1)得f(x)≥1-x+x2=QUOTE+QUOTE≥QUOTE,又fQUOTE=QUOTE>QUOTE,所以fQUOTE>QUOTE,綜上,QUOTE<f(x)≤QUOTE.方法二:①由(1)