2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第8章立體幾何初步8.6.3第2課時平面與平面垂直的性質(zhì)素養(yǎng)作業(yè)提技能含解析新人教A版必修第二冊

PAGE第八章8.68.6.3第2課時A組·素養(yǎng)自測一、選擇題1．如圖所示，對于面面垂直的性質(zhì)定理的符號敘述正確的是(D)A．α⊥β，α∩β＝l，b⊥l?b⊥βB．α⊥β，α∩β＝l，b?α?b⊥βC．α⊥β，b?α，b⊥l?b⊥βD．α⊥β，α∩β＝l，b?α，b⊥l?b⊥β[解析]依據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理知，D正確.2．如圖所示，在長方體ABCD－A1B1C1D1的棱AB上任取一點(diǎn)E，作EF⊥A1B1于F，則EF與平面A1B1C1D1的關(guān)系是(A．平行B．EF?平面A1B1C1DC．相交但不垂直D．相交且垂直[解析]由于長方體中平面ABB1A1⊥平面ABCD，所以依據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可知，EF⊥平面A1B1C1D13．如圖所示，三棱錐P－ABC中，平面ABC⊥平面PAB，PA＝PB，AD＝DB，則(B)A．PD?平面ABCB．PD⊥平面ABCC．PD與平面ABC相交但不垂直D．PD∥平面ABC[解析]∵PA＝PB，AD＝DB，∴PD⊥AB.又∵平面ABC⊥平面PAB，PD?平面PAB，平面ABC∩平面PAB＝AB，∴PD⊥平面ABC.4．已知直線m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，n?α，要使n⊥β，則應(yīng)增加的條件是(B)A．m∥n B．n⊥mC．n∥α D．n⊥α[解析]由面面垂直的性質(zhì)定理知，要使n⊥β，應(yīng)有n與交線m垂直，∴應(yīng)增加條件n⊥m.5．(多選)如圖所示，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，將△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，構(gòu)成四面體ABCD，則在四面體ABCD中，下列結(jié)論錯誤的是(ABC)A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC[解析]由平面圖形易知∠BDC＝90°.∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，且CD⊥BD，∴CD⊥平面ABD，∴CD⊥AB.又AB⊥AD，CD∩AD＝D，∴AB⊥平面ADC.又AB?平面ABC，∴平面ADC⊥平面ABC.二、填空題6．平面α⊥平面β，α∩β＝l，n?β，n⊥l，直線m⊥α，則直線m與n的位置關(guān)系是__平行__.[解析]因?yàn)棣痢挺拢痢搔拢絣，n?β，n⊥l，所以n⊥α.又m⊥α，所以m∥n.7．如圖，在三棱錐P－ABC內(nèi)，側(cè)面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，則PB＝__eq\r(5)__.[解析]∵側(cè)面PAC⊥底面ABC，交線為AC，∠PAC＝90°(即PA⊥AC)，∴PA⊥平面ABC，又AB?平面ABC，∴PA⊥AB，∴PB＝eq\r(PA2＋AB2)＝eq\r(1＋4)＝eq\r(5).8．如圖，在三棱錐C－ABD內(nèi)，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正三角形，O為AB中點(diǎn)，則圖中直角三角形的個數(shù)為__6__.[解析]∵CA＝CB，O為AB的中點(diǎn)，∴CO⊥AB.又平面ABC⊥平面ABD，交線為AB，∴CO⊥平面ABD.∵OD?平面ABD，∴CO⊥OD，∴△COD為直角三角形.∴圖中的直角三角形有△AOC，△COB，△ABC，△AOD，△BOD，△COD共6個.三、解答題9．如圖，在三棱錐P－ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，∠ACP＝30°，平面PAC⊥平面ABC.求證：平面PAB⊥平面PBC.[證明]∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PA⊥AC，∴PA⊥平面ABC.又BC?平面ABC，∴PA⊥BC.又∵AB⊥BC，AB∩PA＝A，AB?平面PAB，PA?平面PAB，∴BC⊥平面PAB.又BC?平面PBC，∴平面PAB⊥平面PBC.10．(2024·北京文，18)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F(xiàn)分別為AD，PB的中點(diǎn).(1)求證：PE⊥BC；(2)求證：平面PAB⊥平面PCD；(3)求證：EF∥平面PCD.[解析](1)∵PA＝PD，且E為AD的中點(diǎn)，∴PE⊥AD.∵底面ABCD為矩形，∴BC∥AD，∴PE⊥BC.(2)∵底面ABCD為矩形，∴AB⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD，∴AB⊥平面PAD.∴AB⊥PD.又PA⊥PD，AB∩PA＝A∵PD⊥平面PAB，PD?平面PCD∴平面PAB⊥平面PCD.(3)如圖，取PC中點(diǎn)G，連接FG，GD.∵F，G分別為PB和PC的中點(diǎn)，∴FG∥BC，且FG＝eq\f(1,2)BC.∵四邊形ABCD為矩形，且E為AD的中點(diǎn)，∴ED∥BC，DE＝eq\f(1,2)BC，∴ED∥FG，且ED＝FG，∴四邊形EFGD為平行四邊形，∴EF∥GD.又EF?平面PCD，GD?平面PCD，∴EF∥平面PCD.B組·素養(yǎng)提升一、選擇題1．如圖所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則點(diǎn)C1在底面ABC上的射影H必在(AA．直線AB上B．直線BC上C．直線AC上D．△ABC內(nèi)部[解析]連接AC1．∠BAC＝90°，即AC⊥AB，又AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，所以AC⊥平面ABC1．又AC?平面ABC，于是平面ABC1⊥平面ABC，且AB為交線，因此，點(diǎn)C1在平面ABC上的射影必在直線AB上，故選A．2．在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，則BD與CCA．平行 B．共面C．垂直 D．不垂直[解析]如圖所示，在四邊形ABCD中，∵AB＝BC，AD＝CD.∴BD⊥AC.∵平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD?平面ABCD，∴BD⊥平面AA1C1C.又CC1?平面AA3．如圖，點(diǎn)P為四邊形ABCD外一點(diǎn)，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，E為AD的中點(diǎn)，則下列結(jié)論不肯定成立的是(D)A．PE⊥ACB．PE⊥BCC．平面PBE⊥平面ABCDD．平面PBE⊥平面PAD[解析]因?yàn)镻A＝PD，E為AD的中點(diǎn)，所以PE⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PE⊥平面ABCD，所以PE⊥AC，PE⊥BC，所以A、B成立.又PE?平面PBE，所以平面PBE⊥平面ABCD，所以C成立.若平面PBE⊥平面PAD，則AD⊥平面PBE，必有AD⊥BE，此關(guān)系不肯定成立，故選D．4．如圖，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB與兩平面α、β所成的角分別為eq\f(π,4)和eq\f(π,6).過A、B分別作兩平面交線的垂線，垂足為A′、B′，則AB︰A′B′等于(A)A．2︰1 B．3︰1C．3︰2 D．4︰3[解析]由已知條件可知∠BAB′＝eq\f(π,4)，∠ABA′＝eq\f(π,6)，設(shè)AB＝2a，則BB′＝2asineq\f(π,4)＝eq\r(2)a，A′B＝2acoseq\f(π,6)＝eq\r(3)a，∴在Rt△BB′A′中，得A′B′＝a，∴AB︰A′B′＝2︰1．二、填空題5．如圖所示，已知兩個正方形ABCD和DCEF不在同一平面內(nèi)，M，N分別為AB，DF的中點(diǎn).若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，則線段MN的長等于__eq\r(6)__.[解析]如圖，取CD的中點(diǎn)G，連接MG，NG.因?yàn)锳BCD，DCEF為正方形，且邊長為2，所以MG⊥CD，MG＝2，NG＝eq\r(2).因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面DCEF，平面ABCD∩平面DCEF＝CD，MG?平面ABCD，所以MG⊥平面DCEF，又NG?平面DCEF，所以MG⊥NG，所以MN＝eq\r(MG2＋NG2)＝eq\r(6).6．如圖，若邊長為4和3與邊長為4和2的兩個矩形所在的平面相互垂直，則cosα︰cosβ＝__eq\r(5)︰2__.[解析]由題意，兩個矩形的對角線長分別為5,2eq\r(5)，所以cosα＝eq\f(5,\r(25＋4))＝eq\f(5,\r(29))，cosβ＝eq\f(2\r(5),\r(29))，所以cosα∶cosβ＝eq\r(5)︰2．三、解答題7．如圖所示，平面α⊥平面β，在α與β的交線l上取線段AB＝4cm，AC，BD分別在平面α和平面β內(nèi)，AC⊥l，BD⊥l，AC＝3cm，BD＝12[解析]∵AC⊥l，AC＝3cm，AB＝∴BC＝5∵BD⊥l，α∩β＝l，α⊥β，BD?β，∴BD⊥α.又BC?α，∴BD⊥BC.在Rt△BDC中，DC＝eq\r(BD2＋BC2)＝13cm.8．如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為菱形，對角線AC與BD相交于點(diǎn)E，平面PAC垂直于底面ABCD，