2024-2025學年新教材高中數(shù)學課時素養(yǎng)評價二十三第三章空間向量與立體幾何2第1課時從平面向量到空間向量空間向量的線性運算含解析北師大版選擇性必修第一冊

PAGE二十三從平面對量到空間向量、空間向量的線性運算(15分鐘30分)1．已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))滿意|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＋|eq\o(BC,\s\up6(→))|，則有()A．eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)) B．eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))C．eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))同向 D．eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(CB,\s\up6(→))同向【解析】選D.向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))滿意|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＋|eq\o(BC,\s\up6(→))|，所以C在線段AB之間，所以eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(CB,\s\up6(→))同向.2．空間四邊形ABCD中，M，G分別是BC，CD的中點，則eq\o(MG,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝()A．2eq\o(DB,\s\up6(→)) B．3eq\o(MG,\s\up6(→))C．3eq\o(GM,\s\up6(→)) D．2eq\o(MG,\s\up6(→))【解析】選B.eq\o(MG,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(MG,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(MG,\s\up6(→))＋2eq\o(MG,\s\up6(→))＝3eq\o(MG,\s\up6(→)).3．若a與b不共線，且m＝a＋b，n＝a－b，p＝a，則()A．m，n，p共線 B．m與p共線C．n與p共線 D．m，n，p共面【解析】選D.由于(a＋b)＋(a－b)＝2a，即m＋n＝2p，即p＝eq\f(1,2)m＋eq\f(1,2)n，又m與n不共線，所以m，n，p共面．4．如圖，P為空間中隨意一點，動點Q在△ABC所在平面內(nèi)運動，且eq\o(PQ,\s\up6(→))＝2eq\o(PA,\s\up6(→))－3eq\o(PB,\s\up6(→))＋meq\o(CP,\s\up6(→))，則實數(shù)m＝()A.0B．2C．－2D．1【解析】選C.因為eq\o(PQ,\s\up6(→))＝2eq\o(PA,\s\up6(→))－3eq\o(PB,\s\up6(→))＋meq\o(CP,\s\up6(→))，所以eq\o(PQ,\s\up6(→))＝2eq\o(PA,\s\up6(→))－3eq\o(PB,\s\up6(→))－meq\o(PC,\s\up6(→)).又動點Q在△ABC所在平面內(nèi)運動，所以2－3－m＝1，解得m＝－2.5．如圖，在空間四邊形SABC中，AC，BS為其對角線，O為△ABC的重心，(1)求證：eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0；(2)化簡：eq\o(SA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(3,2)eq\o(CO,\s\up6(→))－eq\o(SC,\s\up6(→)).【解析】(1)eq\o(OA,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，①eq\o(OB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))，②eq\o(OC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))，③①＋②＋③得eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0.(2)因為eq\o(CO,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))，所以eq\o(SA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(3,2)eq\o(CO,\s\up6(→))－eq\o(SC,\s\up6(→))＝(eq\o(SA,\s\up6(→))－eq\o(SC,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→)))－eq\f(3,2)×eq\f(1,3)(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→)))－eq\f(1,2)(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＝0.(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分，共20分)1．設空間中四點O，A，B，P滿意eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))，其中0<t<1，則有()A．點P在線段AB上B．點P在線段AB的延長線上C．點P在線段BA的延長線上D．點P不肯定在直線AB上【解析】選A.eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))，即eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))＝teq\o(AB,\s\up6(→))，因為0<t<1，所以點P在線段AB上．2．在空間平移△ABC到△A′B′C′，連接對應頂點，設＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝c，M是BC′的中點，N是B′C′的中點，如圖所示，用向量a，b，c表示向量eq\o(MN,\s\up6(→))等于()A.a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c B．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)cC．a(chǎn)＋eq\f(1,2)b D．eq\f(1,2)a【解析】選D.eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)a.3．已知空間四邊形ABCD，點E，F(xiàn)分別是AB與AD邊上的點，M，N分別是BC與CD邊上的點，若eq\o(AE,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝λeq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(CM,\s\up6(→))＝μeq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(CN,\s\up6(→))＝μeq\o(CD,\s\up6(→))，則向量eq\o(EF,\s\up6(→))與eq\o(MN,\s\up6(→))滿意的關系為()A．eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→)) B．eq\o(EF,\s\up6(→))∥eq\o(MN,\s\up6(→))C．|eq\o(EF,\s\up6(→))|＝|eq\o(MN,\s\up6(→))| D．|eq\o(EF,\s\up6(→))|≠|(zhì)eq\o(MN,\s\up6(→))|【解析】選B.eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AF,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))－λeq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(DB,\s\up6(→))，即eq\o(FE,\s\up6(→))＝λeq\o(DB,\s\up6(→)).同理eq\o(NM,\s\up6(→))＝μeq\o(DB,\s\up6(→)).因為μeq\o(DB,\s\up6(→))∥λeq\o(DB,\s\up6(→))，所以eq\o(FE,\s\up6(→))∥eq\o(NM,\s\up6(→))，即eq\o(EF,\s\up6(→))∥eq\o(MN,\s\up6(→)).又λ與μ不肯定相等，故|eq\o(MN,\s\up6(→))|不肯定等于|eq\o(EF,\s\up6(→))|.4．對于空間一點O和不共線的三點A，B，C，有6eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))，則()A．O，A，B，C四點共面B．P，A，B，C四點共面C．O，P，B，C四點共面D．O，P，A，B，C五點共面【解析】選B.由6eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))，得eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝2(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→)))＋3(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→)))，即eq\o(AP,\s\up6(→))＝2eq\o(PB,\s\up6(→))＋3eq\o(PC,\s\up6(→))，故eq\o(AP,\s\up6(→))，eq\o(PB,\s\up6(→))，eq\o(PC,\s\up6(→))共面，又它們有公共點P，因此，P，A，B，C四點共面．【誤區(qū)警示】在獲得了一個向量用另外兩個不共線向量表示的線性表達式后，要說明四點共面，必需保證這三個向量有一個公共點．二、多選題(每小題5分，共10分，全部選對得5分，選對但不全的得3分，有選錯的得0分)5．下列命題中不正確的有()A．若A，B，C，D是空間隨意四點，則有eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0B．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共線的充要條件C．若eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))共線，則AB∥CDD．對空間隨意一點O與不共線的三點A，B，C，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x，y，z∈R)，則P，A，B，C四點共面【解析】選BCD.明顯A正確；若a，b共線，則|a|＋|b|＝|a＋b|或|a＋b|＝||a|－|b||，故B錯誤；若eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))共線，則直線AB，CD可能重合，故C錯誤；只有當x＋y＋z＝1時，P，A，B，C四點才共面，故D錯誤．6．已知空間向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))，則下列結(jié)論正確的有()A．eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))B．eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))C．eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))D．eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))【解析】選AB.eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))，故A正確；eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))，故B正確；CD不正確．三、填空題(每小題5分，共10分)7．化簡：eq\f(1,2)(a＋2b－3c)＋5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a－\f(1,2)b＋\f(2,3)c))－3(a－2b＋c)＝________.【解析】原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋5×\f(2,3)－3))a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2－5×\f(1,2)＋3×2))b＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3×\f(1,2)＋5×\f(2,3)－3))c＝eq\f(5,6)a＋eq\f(9,2)b－eq\f(7,6)c.答案：eq\f(5,6)a＋eq\f(9,2)b－eq\f(7,6)c8．在三棱錐A-BCD中，若△BCD是正三角形，E為其中心，則eq\o(DF,\s\up6(→))＝____eq\o(DE,\s\up6(→))，化簡eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(3,2)eq\o(DE,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))的結(jié)果為________.【解析】如圖，延長DE交邊BC于點F，則DF為正三角形BCD的中線，E為中心，所以eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)eq\o(DE,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))，eq\f(3,2)eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))，故eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(3,2)eq\o(DE,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝0.答案：eq\f(3,2)0四、解答題(每小題10分，共20分)9．已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，化簡下列向量表達式，并在圖中標出化簡結(jié)果的向量．(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))－；(2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(DA,\s\up6(→))－．【解析】(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))－＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋＝(如圖).(2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(DA,\s\up6(→))－＝＋(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝＋(＋)＝＋＝(如圖).10．如圖，設O為平行四邊形ABCD所在平面外隨意一點，E為OC的中點，若eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up6(→))＋xeq\o(OB,\s\up6(→))＋yeq\o(OA,\s\up6(→))，求x，y的值．【解析】因為eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝－eq\f(3,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))，所以x＝