備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)壓軸題訓(xùn)練專題02集合與其他知識(shí)交匯的新定義解答題(新定義高觀點(diǎn)壓軸題)(學(xué)生版+解析)

專題02集合與其他知識(shí)交匯的新定義解答題（新定義，高觀點(diǎn)，壓軸題）1．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）在二維空間即平面上點(diǎn)的坐標(biāo)可用兩個(gè)有序數(shù)組表示，在三維空間中點(diǎn)的坐標(biāo)可用三個(gè)有序數(shù)組表示，一般地在維空間中點(diǎn)A的坐標(biāo)可用n個(gè)有序數(shù)組表示，并定義n維空間中兩點(diǎn)，間的“距離”．(1)若，，求；(2)設(shè)集合．元素個(gè)數(shù)為2的集合M為的子集，且滿足對(duì)于任意，都存在唯一的使得，則稱M為“的優(yōu)集”．證明：“的優(yōu)集”M存在，且M中兩不同點(diǎn)的“距離”是7．2．（2024·北京·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)給定的正整數(shù)，令，對(duì)任意的，，定義與的距離．設(shè)是的含有至少兩個(gè)元素的子集，集合中的最小值稱為的特征，記作．(1)當(dāng)時(shí)，直接寫出下述集合的特征：；(2)當(dāng)時(shí)，設(shè)且，求中元素個(gè)數(shù)的最大值；(3)當(dāng)時(shí)，設(shè)且，求證：中的元素個(gè)數(shù)小于．5．（2024·北京石景山·一模）已知集合，對(duì)于，，定義與之間的距離為．(1)已知，寫出所有的，使得；(2)已知，若，并且，求的最大值；(3)設(shè)集合，中有個(gè)元素，若中任意兩個(gè)元素間的距離的最小值為，求證：．6．（23-24高三下·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）設(shè)集合、為正整數(shù)集的兩個(gè)子集，、至少各有兩個(gè)元素.對(duì)于給定的集合，若存在滿足如下條件的集合：①對(duì)于任意，若，都有；②對(duì)于任意，若，則.則稱集合為集合的“集”.(1)若集合，求的“集”；(2)若三元集存在“集”，且中恰含有4個(gè)元素，求證：；(3)若存在“集”，且，求的最大值.7．（2024·湖南邵陽·二模）給定整數(shù)，由元實(shí)數(shù)集合定義其隨影數(shù)集.若，則稱集合為一個(gè)元理想數(shù)集，并定義的理數(shù)為其中所有元素的絕對(duì)值之和.(1)分別判斷集合是不是理想數(shù)集；（結(jié)論不要求說明理由）(2)任取一個(gè)5元理想數(shù)集，求證：；(3)當(dāng)取遍所有2024元理想數(shù)集時(shí)，求理數(shù)的最小值.注：由個(gè)實(shí)數(shù)組成的集合叫做元實(shí)數(shù)集合，分別表示數(shù)集中的最大數(shù)與最小數(shù).8．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)X，Y為任意集合，映射．定義：對(duì)任意，若，則，此時(shí)的為單射．(1)試在上給出一個(gè)非單射的映射；(2)證明：是單射的充分必要條件是：給定任意其他集合與映射，若對(duì)任意，有，則；(3)證明：是單射的充分必要條件是：存在映射，使對(duì)任意，有．9．（2024·廣東江門·一模）將2024表示成5個(gè)正整數(shù)，，，，之和，得到方程①，稱五元有序數(shù)組為方程①的解，對(duì)于上述的五元有序數(shù)組，當(dāng)時(shí)，若，則稱是密集的一組解.(1)方程①是否存在一組解，使得等于同一常數(shù)?若存在，請(qǐng)求出該常數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由；(2)方程①的解中共有多少組是密集的?(3)記，問是否存在最小值?若存在，請(qǐng)求出的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由.10．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）拓?fù)鋵W(xué)是一個(gè)研究圖形（或集合）整體結(jié)構(gòu)和性質(zhì)的一門幾何學(xué)，以抽象而嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼Z言將幾何與集合聯(lián)系起來，富有直觀和邏輯．已知平面，定義對(duì)，，其度量（距離）并稱為一度量平面．設(shè)，，稱平面區(qū)域?yàn)橐詾樾?，為半徑的球形鄰域?1)試用集合語言描述兩個(gè)球形鄰域的交集；(2)證明：中的任意兩個(gè)球形鄰域的交集是若干個(gè)球形鄰域的并集；(3)一個(gè)集合稱作“開集”當(dāng)且僅當(dāng)其是一個(gè)無邊界的點(diǎn)集．證明：的一個(gè)子集是開集當(dāng)且僅當(dāng)其可被表示為若干個(gè)球形鄰域的并集．專題02集合與其他知識(shí)交匯的新定義解答題（新定義，高觀點(diǎn)，壓軸題）1．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）在二維空間即平面上點(diǎn)的坐標(biāo)可用兩個(gè)有序數(shù)組表示，在三維空間中點(diǎn)的坐標(biāo)可用三個(gè)有序數(shù)組表示，一般地在維空間中點(diǎn)A的坐標(biāo)可用n個(gè)有序數(shù)組表示，并定義n維空間中兩點(diǎn)，間的“距離”．(1)若，，求；(2)設(shè)集合．元素個(gè)數(shù)為2的集合M為的子集，且滿足對(duì)于任意，都存在唯一的使得，則稱M為“的優(yōu)集”．證明：“的優(yōu)集”M存在，且M中兩不同點(diǎn)的“距離”是7．【答案】(1)；(2)證明見解析.【優(yōu)尖升-分析】（1）根據(jù)題，得到，結(jié)合裂項(xiàng)法求和，即可求解；（2）根據(jù)新定義得到，，構(gòu)造有2個(gè)元素，由為整數(shù)，得到存在為“的優(yōu)集”，設(shè)，，推得，，顯然矛盾，即可得證.【詳解】（1）解：因?yàn)?，，，則，所以.（2）證明：定義：對(duì)任意，規(guī)定，對(duì)任意，，由于，，，容易得，所以，得結(jié)論：，，構(gòu)造有2個(gè)元素，由為整數(shù)，當(dāng)時(shí)，則滿足M為“的優(yōu)集”的定義，當(dāng)時(shí)，則，滿足M為“的優(yōu)集”的定義，所以存在為“的優(yōu)集”，若M中的兩個(gè)點(diǎn)，有一個(gè)位置相同，不妨設(shè)為第一個(gè)位置，則設(shè)，，則取，則有，，顯然矛盾，所以M中的兩個(gè)點(diǎn)每一個(gè)位置均不同，即，顯然，即“的優(yōu)集”M存在，且M中兩不同點(diǎn)的“距離”是.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于以集合為背景的新定義問題的求解策略：1、緊扣新定義，首先分析新定義的特點(diǎn)，把心定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，應(yīng)用到具體的解題過程中；2、用好集合的性質(zhì)，解題時(shí)要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用的集合的性質(zhì)的一些因素.3、涉及有交叉集合的元素個(gè)數(shù)問題往往可采用維恩圖法，基于課標(biāo)要求的，對(duì)于集合問題，要熟練基本的概念，數(shù)學(xué)閱讀技能、推理能力，以及數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理能力.2．（2024·北京·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)給定的正整數(shù)，令，對(duì)任意的，，定義與的距離．設(shè)是的含有至少兩個(gè)元素的子集，集合中的最小值稱為的特征，記作．(1)當(dāng)時(shí)，直接寫出下述集合的特征：；(2)當(dāng)時(shí)，設(shè)且，求中元素個(gè)數(shù)的最大值；(3)當(dāng)時(shí)，設(shè)且，求證：中的元素個(gè)數(shù)小于．【答案】(1)，，(2)(3)證明詳見解析【優(yōu)尖升-分析】（1）根據(jù)與的距離的定義，直接求出的最小值即可；（2）一方面先證明A中元素個(gè)數(shù)至多有個(gè)元素，另一方面證明存在集合中元素個(gè)數(shù)為個(gè)滿足題意，進(jìn)而得出A中元素個(gè)數(shù)的最大值；（3）設(shè)，定義的鄰域，先證明對(duì)任意的，中恰有2021個(gè)元素，再利用反證法證明，于是得到中共有個(gè)元素，但中共有個(gè)元素，所以，進(jìn)而證明結(jié)論．【詳解】（1）依題意可得，，．（2）（a）一方面：對(duì)任意的，令，則，故，令集合，則，則且和的元素個(gè)數(shù)相同，但中共有個(gè)元素，其中至多一半屬于，故中至多有個(gè)元素．(b)另一方面：設(shè)是偶數(shù)，則對(duì)任意的，，，都有中的元素個(gè)數(shù)為，易得與奇偶性相同，故為偶數(shù)，又，則，所以，注意到，且它們的距離為2，故此時(shí)滿足題意，綜上，中元素個(gè)數(shù)的最大值為．（3）當(dāng)時(shí)，設(shè)且，設(shè)，則對(duì)任意的，定義的鄰域，（a）一方面：對(duì)任意的，中恰有2021個(gè)元素，事實(shí)上，①若，則，恰有一種可能；，②若，則與，恰有一個(gè)分量不同，共2020種可能；綜上，中恰有2021個(gè)元素，（b）對(duì)任意的，，事實(shí)上，若，不妨設(shè)，，則，這與矛盾，由（a）和（b）可得中共有個(gè)元素，但中共有個(gè)元素，所以，即，注意到是正整數(shù)，但不是正整數(shù)，上述等號(hào)無法取到，所以，集合中的元素個(gè)數(shù)小于．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查集合的新定義，集合的含義與表示、集合的運(yùn)算以及集合之間的關(guān)系，反證法的應(yīng)用，考查學(xué)生分析、解決問題的能力，正確理解新定義是關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，屬于難題．3．（2024·云南昆明·一模）若非空集合A與B，存在對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使A中的每一個(gè)元素a，B中總有唯一的元素b與它對(duì)應(yīng)，則稱這種對(duì)應(yīng)為從A到B的映射，記作f：A→B．設(shè)集合，（，），且．設(shè)有序四元數(shù)集合且，．對(duì)于給定的集合B，定義映射f：P→Q，記為，按映射f，若（），則；若（），則．記．(1)若，，寫出Y，并求；(2)若，，求所有的總和；(3)對(duì)于給定的，記，求所有的總和（用含m的式子表示）．【答案】(1)，(2)(3)【優(yōu)尖升-分析】（1）根據(jù)題意中的新定義，直接計(jì)算即可求解；（2）對(duì)1，，5是否屬于B進(jìn)行分類討論，求出對(duì)應(yīng)所有Y中的總個(gè)數(shù)，進(jìn)而求解；（3）由題意，先求出在映射f下得到的所有的和，同理求出在映射f下得到的所有（）的和，即可求解.【詳解】（1）由題意知，，所以．（2）對(duì)1，，5是否屬于B進(jìn)行討論：①含1的B的個(gè)數(shù)為，此時(shí)在映射f下，；不含1的B的個(gè)數(shù)為，此時(shí)在映射f下，；所以所有Y中2的總個(gè)數(shù)和1的總個(gè)數(shù)均為10；②含5的B的個(gè)數(shù)為，此時(shí)在映射f下，；不含5的B的個(gè)數(shù)為，此時(shí)在映射f下，；所以所有Y中6的總個(gè)數(shù)和5的總個(gè)數(shù)均為10；②含的B的個(gè)數(shù)為，此時(shí)在映射f下，，；不含的B的個(gè)數(shù)為，此時(shí)在映射f下，，；所以所有y中的總個(gè)數(shù)和的總個(gè)數(shù)均為20．綜上，所有的總和為．（3）對(duì)于給定的，考慮在映射f下的變化．由于在A的所有非空子集中，含有的子集B共個(gè)，所以在映射f下變?yōu)椋徊缓淖蛹疊共個(gè)，在映射f下變?yōu)?；所以在映射f下得到的所有的和為．同理，在映射f下得到的所有（）的和．所以所有的總和為．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：學(xué)生在理解相關(guān)新概念、新法則(公式)之后，運(yùn)用學(xué)過的知識(shí)，結(jié)合已掌握的技能，通過推理、運(yùn)算等解決問題.在新環(huán)境下研究“舊”性質(zhì).主要是將新性質(zhì)應(yīng)用在“舊”性質(zhì)上，創(chuàng)造性地證明更新的性質(zhì)，落腳點(diǎn)仍然是集合的有關(guān)知識(shí)點(diǎn).4．（23-24高一下·江蘇南京·階段練習(xí)）對(duì)于數(shù)集，其中，，定義向量集，若對(duì)任意，存在，使得，則稱X具有性質(zhì)P．(1)設(shè)，請(qǐng)寫出向量集Y并判斷X是否具有性質(zhì)P（不需要證明）．(2)若，且集合具有性質(zhì)P，求x的值；(3)若X具有性質(zhì)P，且，q為常數(shù)且，求證：．【答案】(1)，具有性質(zhì)；(2)；(3)證明見解析.【優(yōu)尖升-分析】（1）根據(jù)向量集Y的定義，結(jié)合的元素，直接寫出，再判斷是否滿足性質(zhì)即可；（2）根據(jù)性質(zhì)的定義，任取，，討論的取值，結(jié)合的范圍，即可求得的取值；（3）根據(jù)性質(zhì)的定義推出為定值，結(jié)合，即可推證.【詳解】（1）根據(jù)向量集的定義可得：，若，則存在，使得，同理亦可證明對(duì)任意，也滿足性質(zhì)，故具有性質(zhì)P．（2）對(duì)任意a，，都存在c，，使得，即對(duì)于，都存在，使得，其中a，b，c，，因?yàn)榧暇哂行再|(zhì)P，選取，，則有，假設(shè)，則有，解得，這與矛盾，假設(shè)，則有，解得，這與矛盾，假設(shè)，則有，解得，這與矛盾，假設(shè)，則有，解得，滿足，故；經(jīng)檢驗(yàn)，集合具有性質(zhì)P．（3）證明：取，設(shè)且滿足，由得，從而s，t異號(hào)，∵－1是x中唯一的負(fù)數(shù)，∴s，t中一個(gè)為－1，另一個(gè)為1，故．因?yàn)椋?，X具有性質(zhì)P，取，，設(shè)，因?yàn)?，且c，d中的正數(shù)大于等于1，所以只能，所以，．又X中只有個(gè)大于1的正數(shù)，即，且，這個(gè)大于1的正整數(shù)都屬于集合X，所以只能，，…，即，即．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：處理本題第三問的關(guān)鍵是能夠根據(jù)性質(zhì)的定義，推出，以及為定值，進(jìn)而根據(jù)X中只有個(gè)大于1的正數(shù)解決問題.5．（2024·北京石景山·一模）已知集合，對(duì)于，，定義與之間的距離為．(1)已知，寫出所有的，使得；(2)已知，若，并且，求的最大值；(3)設(shè)集合，中有個(gè)元素，若中任意兩個(gè)元素間的距離的最小值為，求證：．【答案】(1)、、、；(2)；(3)見解析【優(yōu)尖升-分析】（1）根據(jù)題中定義可得的所有情形；（2）分、兩種情況，利用絕對(duì)值三角不等式可求得的最大值；（3）表示出，結(jié)合定義，可得，即中任意兩元素不相等，可得中至多有個(gè)元素，即可得證．【詳解】（1）已知，，且，所以，的所有情形有：、、、；（2）設(shè)，，因?yàn)?，則，同理可得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.當(dāng)，時(shí)，上式等號(hào)成立.綜上所述，；（3）記，我們證明．一方面顯然有．另一方面，且，假設(shè)他們滿足．則由定義有，與中不同元素間距離至少為相矛盾．從而．這表明中任意兩元素不相等．從而．又中元素有個(gè)分量，至多有個(gè)元素．從而．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決以集合為背景的新定義問題，要抓住兩點(diǎn)：（1）緊扣新定義，首先分析新定義的特點(diǎn)，把定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，并能夠應(yīng)用到具體的解題過程之中，這是新定義型集合問題難點(diǎn)的關(guān)鍵所在；（2）用好集合的性質(zhì)，解題時(shí)要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素，在關(guān)鍵之外用好集合的運(yùn)算與性質(zhì).6．（23-24高三下·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）設(shè)集合、為正整數(shù)集的兩個(gè)子集，、至少各有兩個(gè)元素.對(duì)于給定的集合，若存在滿足如下條件的集合：①對(duì)于任意，若，都有；②對(duì)于任意，若，則.則稱集合為集合的“集”.(1)若集合，求的“集”；(2)若三元集存在“集”，且中恰含有4個(gè)元素，求證：；(3)若存在“集”，且，求的最大值.【答案】(1)；(2)證明見解析；(3)4.【優(yōu)尖升-分析】（1）根據(jù)定義直接求解；（2）利用反證法推矛盾即可證明；（3）設(shè)，結(jié)合（2）的結(jié)論推出不成立，結(jié)合定義和得即可求解.【詳解】（1）若，由題意可得，，，，即，此時(shí)，滿足題意，假設(shè)集合中還有第四個(gè)元素為，則由題意可知：若，即，則，∴不成立；若，則，∴或9或27，矛盾.故集合中無四個(gè)元素，所以集合.（2）設(shè)集合，不妨設(shè)，假設(shè)，即，則且，由②知，注意到，故有，即，所以，故，即，因?yàn)榧现杏?個(gè)元素，故設(shè)，由②可得：若，則，∴，矛盾；若，，則或或，所以或或，與集合元素的互異性矛盾，假設(shè)錯(cuò)誤，故.（3），，不妨設(shè)，所以，，又，故，同理可得，若，與（2）類似得，從而必有，對(duì)任意的，有，即，所以，即.若，即，，故，，，，所以，即，從而必有，對(duì)任意的，必有，即，所以，即.綜上，得，又時(shí)，有，符合題意，所以的最大值為4【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查集合新定義，關(guān)鍵是充分利用定義并分類討論和求解第三問,并充分利用反證法推理.7．（2024·湖南邵陽·二模）給定整數(shù)，由元實(shí)數(shù)集合定義其隨影數(shù)集.若，則稱集合為一個(gè)元理想數(shù)集，并定義的理數(shù)為其中所有元素的絕對(duì)值之和.(1)分別判斷集合是不是理想數(shù)集；（結(jié)論不要求說明理由）(2)任取一個(gè)5元理想數(shù)集，求證：；(3)當(dāng)取遍所有2024元理想數(shù)集時(shí)，求理數(shù)的最小值.注：由個(gè)實(shí)數(shù)組成的集合叫做元實(shí)數(shù)集合，分別表示數(shù)集中的最大數(shù)與最小數(shù).【答案】(1)集合是理想數(shù)集，集合不是理想數(shù)集(2)證明見解析(3)1024144【優(yōu)尖升-分析】（1）由理想數(shù)集的定義即可判斷；（2）為了方便說明，假定元素間一個(gè)有序關(guān)系為，從而分三種情況，，，討論即可得證；（3）首先通過分類討論證明，對(duì)元理想數(shù)集，有.從而有，即，通過放縮與等差數(shù)列求和即可得解.【詳解】（1）設(shè)的隨影數(shù)集分別為，則，所以集合是理想數(shù)集，集合不是理想數(shù)集.（2）不妨設(shè)集合且，即.為理想數(shù)集，，則，且，使得.當(dāng)時(shí)，.當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)，等號(hào)成立；當(dāng)時(shí)，.當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)，等號(hào)成立；當(dāng)時(shí)，.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.綜上所述：.（3）設(shè).為理想數(shù)集.，且，使得.對(duì)于，同樣有.下先證對(duì)元理想數(shù)集，有.不妨設(shè)集合中的元素滿足.即.為理想數(shù)集，，且，使得.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)，等號(hào)成立；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)，等號(hào)成立；當(dāng)時(shí)，.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立...當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立..理數(shù).當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，等號(hào)成立.理數(shù)的最小值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是通過分類討論證明，對(duì)元理想數(shù)集，有，由此即可順利得解.8．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)X，Y為任意集合，映射．定義：對(duì)任意，若，則，此時(shí)的為單射．(1)試在上給出一個(gè)非單射的映射；(2)證明：是單射的充分必要條件是：給定任意其他集合與映射，若對(duì)任意，有，則；(3)證明：是單射的充分必要條件是：存在映射，使對(duì)任意，有．【答案】(1)（答案不唯一）(2)證明過程見解析(3)證明過程見解析【優(yōu)尖升-分析】（1）結(jié)合單射的定義舉出符合條件的例子即可；（2）結(jié)合單射的定義、反證法從兩方面來說明即可；（3）結(jié)合單射的定義、反證法從兩方面來說明即可.【詳解】（1）由題意不妨設(shè)，當(dāng)（非0）互為相反數(shù)時(shí)，滿足題意；（2）一方面若是單射，且，則，即（否則若，有，矛盾），另一方面，若對(duì)任意，由可以得到，我們用反證法證明是單射，【優(yōu)尖升-分析】（1）若等于同一常數(shù)，則構(gòu)成等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)得到，推出矛盾即可得解；（2）依題意時(shí)，即當(dāng)時(shí)，，則，，即可求出，，，，中有個(gè)，個(gè)，從而得解；（3）由方差公式得到（為方差），從而得到當(dāng)方差取最小值時(shí)取最小值，從而推出是密集，即可求出的最小值.【詳解】（1）若等于同一常數(shù)，根據(jù)等差數(shù)列的定義可得構(gòu)成等差數(shù)列，所以，解得，與矛盾，所以不存在一組解，使得等于同一常數(shù)；（2）因?yàn)椋李}意時(shí)，即當(dāng)時(shí)，，所以，，設(shè)有個(gè)，則有個(gè)，由，解得，所以，，，，中有個(gè)，個(gè)，所以方程①的解共有組.（3）因?yàn)槠骄鶖?shù)，又方差，即，所以，因?yàn)闉槌?shù)，所以當(dāng)方差取最小值時(shí)取最小值，又當(dāng)時(shí)，即，方程無正整數(shù)解，故舍去；當(dāng)時(shí)，即是密集時(shí)，取得最小值，且.【點(diǎn)睛】關(guān)