備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)壓軸題訓(xùn)練專題09一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用(利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(方程的根)問題)(全題型壓軸題)(學(xué)生版+解析)

專題09一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點（方程的根）問題）目錄TOC\o"1-1"\h\u一、判斷零點（根）的個數(shù) 1二、已知零點（根）的個數(shù)求參數(shù) 3三、已知零點（根）的個數(shù)求代數(shù)式的值 4一、判斷零點（根）的個數(shù)1．（2024·北京房山·一模）若函數(shù)，則函數(shù)零點的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．1或2 D．1或32．（23-24高二下·湖南·階段練習(xí)）函數(shù)，則方程解的個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．33．（2023·河南信陽·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，討論函數(shù)的零點的個數(shù).二、已知零點（根）的個數(shù)求參數(shù)1．（2024·貴州貴陽·一模）已知函數(shù)，若方程存在三個不相等的實根，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2024·甘肅武威·模擬預(yù)測）已知函數(shù)有3個零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（23-24高二下·河南周口·階段練習(xí)）已知函數(shù)有兩個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（23-24高三上·寧夏石嘴山·期末）已知關(guān)于x的不等式恰有2個不同的整數(shù)解，則k的取值范圍是.5．（2024·陜西渭南·一模）已知函數(shù)，方程有7個不同的實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是.6．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；(2)若在上有兩個不同的零點，求的取值范圍.7．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)討論的最值；(2)若函數(shù)有2個零點，求實數(shù)a的取值范圍．8．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最小值；(2)若方程有兩個不同的解，求實數(shù)a的取值范圍．三、已知零點（根）的個數(shù)求代數(shù)式的值1．（2023·四川成都·三模）已知函數(shù)有三個零點，其中，則的取值范圍是（）A． B． C． D．2．（23-24高三下·四川雅安·開學(xué)考試）已知，分別是函數(shù)和的零點，且，，則．3．（22-23高三上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知函數(shù)有三個不同的零點，，，且，則的值為．4．（22-23高三上·安徽六安·階段練習(xí)）若正實數(shù)是函數(shù)的一個零點，是函數(shù)的一個大于e的零點，則．5．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)討論的零點個數(shù)；(2)若有兩個零點，證明：兩個零點之和大于4．專題09一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點（方程的根）問題）目錄TOC\o"1-1"\h\u一、判斷零點（根）的個數(shù) 1二、已知零點（根）的個數(shù)求參數(shù) 9三、已知零點（根）的個數(shù)求代數(shù)式的值 18一、判斷零點（根）的個數(shù)1．（2024·北京房山·一模）若函數(shù)，則函數(shù)零點的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．1或2 D．1或3【答案】A【優(yōu)尖升-分析】令，則，則函數(shù)零點的個數(shù)即為函數(shù)圖象交點的個數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，作出其大致圖象，結(jié)合圖象即可得解.【詳解】，令，則，則函數(shù)零點的個數(shù)即為函數(shù)圖象交點的個數(shù)，令，當(dāng)時，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，又當(dāng)時，當(dāng)時，，作出函數(shù)的大致圖象如圖所示，由圖可知函數(shù)的圖象有且僅有一個交點，所以函數(shù)零點的個數(shù)為個.故選：A.2．（23-24高二下·湖南·階段練習(xí)）函數(shù)，則方程解的個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【優(yōu)尖升-分析】求定義域，求導(dǎo)，得到函數(shù)單調(diào)性和極值情況，且當(dāng)時，，畫出函數(shù)圖象，得到與的圖像有2個交點，從而求出答案.【詳解】，函數(shù)定義域為，，令，解得或；令，可得或，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時，；當(dāng)時，取得極大值；當(dāng)時，取得極小值；因此，函數(shù)的大致圖像如圖所示，因為，所以與的圖像有2個交點，可知方程有2個解.故選：C3．（2023·河南信陽·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，討論函數(shù)的零點的個數(shù).【答案】(1)答案見解析；(2)答案見解析.【優(yōu)尖升-分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，按的取值分類討論求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）按分類討論，并結(jié)合函數(shù)單調(diào)性及零點存在性定理求解即得.【詳解】（1）函數(shù)定義域為，求導(dǎo)得，若，當(dāng)時，，當(dāng)時，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；若，由，得或，①當(dāng)時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時，，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；③當(dāng)時，，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）當(dāng)時，函數(shù)只有一個零點，當(dāng)時，由（1）知函數(shù)在上遞減，在上遞增，且，，取且，則，因此函數(shù)有兩個零點；當(dāng)時，由（1）知函數(shù)在上遞增，且，，而時，恒有，因此函數(shù)只有一個零點，當(dāng)時，由（1）知函數(shù)在上遞減，在上遞增，且，而時，恒有，因此函數(shù)只有一個零點，所以，函數(shù)有一個零點，當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點.4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最小值；(2)若，求函數(shù)的零點個數(shù)．【答案】(1)2(2)有且只有一個零點【優(yōu)尖升-分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)，令，研究的正負(fù)，得到函數(shù)的單調(diào)性，從而求得函數(shù)的最小值；（2）根據(jù)題意可得，求出，令，根據(jù)零點存在定理可知存在唯一的，使得，從而得到的單調(diào)性及極大值，數(shù)形結(jié)合可得函數(shù)的零點個數(shù).【詳解】（1）解法一：由題，，所以．記，則，①當(dāng)時，，可得，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減．②當(dāng)時，，可知函數(shù)單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．由①②知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，故．解法二：由題，，所以．令，則，令，則，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，故，所以，故在定義域上單調(diào)遞增．易知，故當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，故．（2）由題意知，定義域為，所以，設(shè)，所以，所以在區(qū)間上是增函數(shù)，因為，所以存在唯一的，使得，即，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，取得極大值，且極大值為．設(shè)，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減．所以，所以在內(nèi)無零點．因為，所以在內(nèi)有且只有一個零點．綜上所述，有且只有一個零點．5．（23-24高三下·內(nèi)蒙古赤峰·開學(xué)考試）已知函數(shù)，．(1)討論的單調(diào)性；(2)若直線與曲線相切，試判斷函數(shù)與的圖象的交點個數(shù)，并說明理由．【答案】(1)答案見解析(2)無交點，理由見解析【優(yōu)尖升-分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，再分、兩種情況討論，分別求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)切點為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出，即可得到解析式，再令，即，令，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的零點，即可判斷.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，且，當(dāng)時恒成立，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，令，解得，所以當(dāng)時，當(dāng)時，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，綜上可得：當(dāng)時在上單調(diào)遞減；當(dāng)時的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）由，設(shè)切點為，則，易知，所以，又，即，即，設(shè)，則，所以當(dāng)時，則單調(diào)遞增，當(dāng)時，則單調(diào)遞減，所以，所以，則，令，即，令，則，令，則，所以當(dāng)時，則單調(diào)遞減，當(dāng)時，則單調(diào)遞增，又，，當(dāng)時，所以當(dāng)時，則單調(diào)遞減，當(dāng)時，則單調(diào)遞增，所以，所以方程無實根，所以函數(shù)與的圖象無交點.6．（23-24高三上·江西·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)證明：；(2)若，判斷方程的實根個數(shù)．【答案】(1)證明見解析(2)有唯一實根【優(yōu)尖升-分析】（1）不等式變形為，引入函數(shù)，求導(dǎo)確定單調(diào)性后得出即證；（2）引入函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)確定的單調(diào)性，再結(jié)合零點存在定理確定零點個數(shù)．【詳解】（1）證明：因為，所以，即，即，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以時．（2）方程，即，即，設(shè)，則，設(shè)，因為，所以，，所以在上有唯一實根，且，當(dāng)時，，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，，單調(diào)遞減，又，所以，在上沒有零點，因為，，，所以在上有唯一零點，也即在上有唯一零點．所以方程在上有唯一實根．【點睛】方法點睛：用導(dǎo)數(shù)研究方程的根，通常轉(zhuǎn)化為確定函數(shù)的零點，為此利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，然后由零點存在定理確定零點的存在性及零點個數(shù)．二、已知零點（根）的個數(shù)求參數(shù)1．（2024·貴州貴陽·一模）已知函數(shù)，若方程存在三個不相等的實根，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【優(yōu)尖升-分析】考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點問題，先根據(jù)導(dǎo)數(shù)情況得出函數(shù)單調(diào)性和最值情況，再數(shù)形結(jié)合分析，分段函數(shù)分段討論即可.【詳解】因為方程存在三個不相等的實根，所以函數(shù)有三個零點，當(dāng)時，，所以，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，又當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以圖象如圖；當(dāng)時，，所以，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，又當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以圖象如圖，所以當(dāng)即時函數(shù)有三個零點，即方程存在三個不相等的實根，故選：C.2．（2024·甘肅武威·模擬預(yù)測）已知函數(shù)有3個零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【優(yōu)尖升-分析】先將的圖象向左平移2個單位長度，可得函數(shù)圖像，即把問題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖象交點的個數(shù)問題；再證明為奇函數(shù)，然后求導(dǎo)后得到在區(qū)間上為減函數(shù)；再求出曲線在點處的切線方程為，求出，，時的范圍；最后作出的圖象和的圖像，數(shù)形結(jié)合得到結(jié)果.【詳解】將的圖象向左平移2個單位長度，可得函數(shù)的圖象，所以原題轉(zhuǎn)化為“函數(shù)有3個零點”，即研究直線與函數(shù)圖象交點的個數(shù)問題．因為的定義域為，且，所以為奇函數(shù)．因為，所以在區(qū)間上為減函數(shù)，且曲線在點處的切線方程為．當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)?shù)?，，作出的圖象．如圖：由圖知：當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象有3個交點．故實數(shù)的取值范圍是．故選：C.3．（23-24高二下·河南周口·階段練習(xí)）已知函數(shù)有兩個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【優(yōu)尖升-分析】由題意得方程有兩個正實數(shù)根，分析得知在區(qū)間上單調(diào)遞增，從而方程有兩個正實數(shù)解，由一元二次方程根的分布即可列出不等式組求解.【詳解】令，可得，則，即．令，則．因為，所以，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即．所以當(dāng)時有兩個不同的零點等價于方程有兩個正實數(shù)解，即滿足.故選：D．4．（23-24高三上·寧夏石嘴山·期末）已知關(guān)于x的不等式恰有2個不同的整數(shù)解，則k的取值范圍是.【答案】【優(yōu)尖升-分析】根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為，令且，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最大值，畫出的圖象，結(jié)合圖象和斜率公式，即可求解.【詳解】由不等式，可得化為，令且，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，取得極大值，也為最大值，且當(dāng)時，，畫出函數(shù)的圖象，如圖所示，又由直線恒過定點，當(dāng)直線位于如圖所示的兩條直線和之間，其中包含，不包含時，滿足恰有兩個整數(shù)解，則，所以實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.5．（2024·陜西渭南·一模）已知函數(shù)，方程有7個不同的實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】或【優(yōu)尖升-分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，得單調(diào)性和極值，并作出函數(shù)的大致圖象，由，令，得或，然后分類和討論，它們一個有3個根，一個有4個根，由此可得參數(shù)范圍．【詳解】因為，令，得到，解得或，又當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，又時，，時，，時，，其圖像如圖，所以，當(dāng)時，有2上解，有2個解，又因為方程有7個不同的實數(shù)解，所以當(dāng)時，有3個實數(shù)解，又時，，則，所以時，，時，，即當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，又當(dāng)時，，當(dāng)時，，又當(dāng)時，有3個實數(shù)解，所以或，解得或，故答案為：或.【點睛】方法點睛：解決函數(shù)零點問題經(jīng)常用到的方法就是數(shù)形結(jié)合，用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì).6．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；(2)若在上有兩個不同的零點，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【優(yōu)尖升-分析】（1）借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計算即可得；（2）由題可得是的零點，再分及，結(jié)合導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，借助零點存在性定理判斷零點個數(shù)即可得.【詳解】（1）當(dāng)時，，，，，故其切線方程為，即；（2），故是的零點，，當(dāng)時，恒成立，故在上單調(diào)遞增，則，即此時只有唯一零點，不符合要求，當(dāng)時，令，可得，即在上單調(diào)遞增，令，即，即在上單調(diào)遞減，故，由在上有兩個不同的零點，故，即，令，，故在上單調(diào)遞減，故，即恒成立，又放時，，故在上必有一零點，故當(dāng)時，在上有兩個不同的零點.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵點在于對及的情況分類討論，當(dāng)可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，不可能有兩個不同的零點，當(dāng)時借助導(dǎo)數(shù)求得最值后，構(gòu)造新函數(shù)得到其小于零恒成立.7．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)討論的最值；(2)若函數(shù)有2個零點，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)最大值，無最小值(2)【優(yōu)尖升-分析】（1）由題意，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值即可；（2）根據(jù)轉(zhuǎn)化的思想將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與直線恰有2個交點，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的性質(zhì)，作出圖形，結(jié)合圖形即可求解.【詳解】（1）由題知的定義域為，，∴當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)x趨近于0時，趨近于，當(dāng)x趨近于時，趨近于0，∴當(dāng)時，取得最大值，無最小值．（2）解法一由題知有2個零點，∴方程，即有2個解．設(shè)，，則函數(shù)與的圖象恰有2個交點．∵，∴當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，當(dāng)x趨近于0時，趨近于，當(dāng)x趨近于時，趨近于，∵，∴當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴，當(dāng)x趨近于0時，趨近于a，當(dāng)x趨近于時，趨近于．作出函數(shù)與的大致圖象，如圖所示．

結(jié)合函數(shù)圖象知，要使函數(shù)與的圖象恰有2個交點，則，∴，即實數(shù)a的取值范圍為．解法二由題知有2個零點，∴方程，即恰有2個解．設(shè)，則函數(shù)的圖象與直線恰有2個交點．，設(shè)，則，∴函數(shù)即單調(diào)遞增，∵，∴當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，∴，當(dāng)x趨近于0時，趨近于，當(dāng)x趨近于時，趨近于．如圖，作出直線與的大致圖象，

結(jié)合函數(shù)圖象知，要使直線與的圖象恰有2個交點，則，故實數(shù)a的取值范圍為．8．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最小值；(2)若方程有兩個不同的解，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)(2)【優(yōu)尖升-分析】（1）求導(dǎo)，令，得到函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的最小值；（2）將原問題轉(zhuǎn)化為有兩個不同的解，構(gòu)造函數(shù)，分和兩種情況討論，利用函數(shù)的單調(diào)性及零點存在定理求解實數(shù)a的取值范圍．【詳解】（1）由題意可得，令，得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以的最小值為；（2）有兩個不同的解可化為有兩個不同的解，令，則，（?。┤簦瑒t，由得．當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為．①當(dāng)時，，即，故沒有零點，不滿足題意．②當(dāng)時，，只有一個零點，不滿足題意．③當(dāng)時，，即，當(dāng)時，，，又，故，所以，又，故在上有一個零點．又，因此在上有一個零點，所以當(dāng)時，有兩個不同的零點，滿足題意．（ⅱ）若，由得，．①當(dāng)時，，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，．所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．又，所以至多有一個零點，不滿足題意．②當(dāng)時，，則，所以單調(diào)遞減，至多有一個零點，不滿足題意．③當(dāng)時，，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，．所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，所以至多有一個零點，不滿足題意．綜上，實數(shù)a的取值范圍為．三、已知零點（根）的個數(shù)求代數(shù)式的值1．（2023·四川成都·三模）已知函數(shù)有三個零點，其中，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【優(yōu)尖升-分析】根據(jù)解析式得，由，得，設(shè)，則，從而可得，求解導(dǎo)函數(shù)，分類討論與兩種情況下函數(shù)的單調(diào)性，從而可得答案.【詳解】定義域為，顯然，若是零點，則，，所以也是零點，函數(shù)有三個零點，不妨設(shè)，則，所以，，當(dāng)時，結(jié)合定義域和判別式易知恒成立，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，不符合題意；當(dāng)時，設(shè)的兩根分別為，易知，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，，，當(dāng)，，所以由零點存在定理易知有三個零點，滿足題意.綜上，的取值范圍是.【點睛】求解本題的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)解析式得若是零點，也是零點，令，則則必有二根，且則則有一解，有二解且故故答案為：44．（22-23高三上·安徽六安·階段練習(xí)）若正實數(shù)是函數(shù)的一個零點，是函數(shù)的一個大于e的零點，則．【答案】1【優(yōu)尖升-分析】由題意，根據(jù)零點的定義，構(gòu)造新函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)