1711勾股定理(精講)-2021-2022學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下學(xué)期重要考點(人教版)（原卷版）

17.1.1勾股定理勾股定理直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果直角三角形的兩直角邊長分別為，斜邊長為，那么.從而推導(dǎo)：，，.注意（1）勾股定理揭示了一個直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系.利用勾股定理，當設(shè)定一條直角邊長為未知數(shù)后，根據(jù)題目已知的線段長可以建立方程求解，這樣就將數(shù)與形有機地結(jié)合起來，達到了解決問題的目的.（3）理解勾股定理的一些變式：題型1：勾股定理的認識1.下列說法中正確的是（）A．已知a，b，c是三角形的三邊，則a2+b2＝c2 B．在直角三角形中兩邊和的平方等于第三邊的平方 C．在Rt△ABC中，∠C＝90°，所以BC2+AC2＝AB2 D．在Rt△ABC中，∠B＝90°，所以BC2+AC2＝AB2【變式11】在直角三角形中，若兩條邊的長分別是1cm、2cm，則第三邊的長為（）A．3cm B．cm C．2cm或cm D．cm或cm【變式12】若一個直角三角形的兩邊長分別是4cm，3cm，則第三條邊長是cm．勾股定理的證明方法一：將四個全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形.圖（1）中，所以.方法二：將四個全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形.圖（2）中，所以.方法三：如圖（3）所示，將兩個直角三角形拼成直角梯形.，所以.題型2：趙爽炫圖求值2.如圖是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的《勾股圓方圖》，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形、如果大正方形的面積13，小正方形的面積是1，直角三角形的短直角邊為a，較長的直角邊為b，那么（a+b）2的值為（）A．169 B．25 C．19 D．13【變式21】我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“勾股圓方圖”是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成一個大正方形（如圖所示）．如果大正方形的面積是49，小正方形的面積4，直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，那么下列結(jié)論正確的有（）個．（1）b﹣a＝2，（2）a2+b2＝49，（3）4+2ab＝49，（4）a+b＝．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式22】圖甲是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的．在Rt△ABC中，若直角邊AC＝6，BC＝5，將四個直角三角形中邊長為6的直角邊分別向外延長一倍，得到圖乙所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，則這個風(fēng)車的外圍周長（圖乙中的實線）是（）A．52 B．48 C．72D．76題型3：勾股定理的證明3.下面圖形能夠驗證勾股定理的有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【變式31】如圖，已知∠C＝∠D＝90°，D，E，C三點共線，各邊長如圖所示，請利用面積法證明勾股定理．【變式32】勾股定理神秘而美妙，它的證法多樣，其巧妙各有不同，當兩個全等的直角三角形如圖擺放時，也可以用面積法來證明勾股定理，請完成證明過程．（提示：BD和AC都可以分割四邊形ABCD）【變式33】【閱讀理解】我國古人運用各種方法證明勾股定理，如圖①，用四個直角三角形拼成正方形，通過證明可得中間也是一個正方形．其中四個直角三角形直角邊長分別為a、b，斜邊長為c．圖中大正方形的面積可表示為（a+b）2，也可表示為c2+4×ab，即（a+b）2＝c2+4×ab，所以a2+b2＝c2．【嘗試探究】美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”如圖②所示，用兩個全等的直角三角形拼成一個直角梯形BCDE，其中△BCA≌△ADE，∠C＝∠D＝90°，根據(jù)拼圖證明勾股定理．【定理應(yīng)用】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所對的邊長分別為a、b、c．求證：a2c2+a2b2＝c4﹣b4．題型4：勾股定理與三角形垂直平分線、角平分線4.若等腰三角形的腰長為10cm，底邊長為16cm，則頂角的平分線的長為（）A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm【變式41】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分線．（1）若AC＝5，BC＝6，求△ACD的周長；（2）若∠BAD：∠CAD＝4：1，求∠B的度數(shù)．【變式42】如圖，△ABC中，CE是角平分線，EF∥BC交△ACB的外角∠ACD的平分線于點F，交AC于M，若CM＝6，求CE2+CF2的值．【變式43】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分線分別交AB、AC于點D、E．若AC＝8，BC＝4，求AE的長．題型5：勾股定理與直角坐標系5.在直角坐標系中，Rt△OAB的位置如圖所示，∠B＝90°，OA＝2，OB＝，求△OAB各頂點的坐標．【變式51】如圖，在平面直角坐標系中，A，B兩點的坐標分別是（4，0），（0，2），點C為線段AB的中點，則OC的長等于（） B．2 C．10 D．20【變式52】如圖，△ABC在正方形網(wǎng)格中，若B（﹣3，﹣1），按要求回答下列問題：（1）在圖中建立正確的平面直角坐標系；（2）根據(jù)所建立的坐標系，寫出A和C的坐標；（3）求△ABC的周長．題型6：勾股定理與方程6.如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，AD＝CD，求CD的長．【變式61】有一塊等腰三角形草地，測得腰CA＝CB，AB＝6m，腰比底邊上的高多1米，求該草坪的面積？【變式62】如圖，∠BAC＝90°，BC＝28，AC＝14，BD＝13，AD＝15．（1）求AB的長度；（2）作DH⊥AB，并求△ADB的面積．題型7：勾股定理與面積7.如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中SA＝20，SB＝16，SC＝12，SD＝6，則S＝（）A．54 B．52 C．48 D．36【變式71】如圖，以Rt△ABC的三邊為直徑分別向外作半圓，若斜邊AB＝3，則圖中陰影部分的面積為（）A．9π B． C． D．3π【變式72】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝8.5，BD＝4.5，AD＝5，求陰影部分的面積．題型8：勾股定理與規(guī)律問題8.細心觀察圖形，認真分析各式，然后解答問題．OA22＝（）2+1＝2S1＝；OA32＝12+（）2＝3S2＝；OA42＝12+（）2＝4S3＝…（1）推算出OA10的長＝；（2）若一個三角形的面積是，則它是第個三角形？（3）用含n（n是正整數(shù)）的等式表示上述變化規(guī)律；（4）求出的值．【變式81】已知：正方形的邊長為1．如圖（