高考數(shù)學(xué)（文）一輪復(fù)習(xí)教師用書第二章第七節(jié)對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

第七節(jié)對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)1．對(duì)數(shù)概念如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)，logaN叫做對(duì)數(shù)式性質(zhì)對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化：ax＝N?x＝logaNloga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N運(yùn)算法則loga(M·N)＝logaM＋logaNa>0，且a≠1，M>0，N>0logaeq\f(M,N)＝logaM－logaNlogaMn＝nlogaM(n∈R)換底公式換底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)2.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)圖象a＞10＜a＜1圖象特征在y軸右側(cè)，過定點(diǎn)(1,0)當(dāng)x逐漸增大時(shí)，圖象是上升的當(dāng)x逐漸增大時(shí)，圖象是下降的性質(zhì)定義域(0，＋∞)值域R單調(diào)性在(0，＋∞)上是增函數(shù)在(0，＋∞)上是減函數(shù)函數(shù)值變化規(guī)律當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0當(dāng)x>1時(shí)，y>0；當(dāng)0<x<1時(shí)，y<0當(dāng)x>1時(shí)，y<0；當(dāng)0<x<1時(shí)，y>01．判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)函數(shù)y＝log2(x＋1)是對(duì)數(shù)函數(shù)．()(2)log2x2＝2log2x.()(3)當(dāng)x＞1時(shí)，logax＞0.()(4)函數(shù)y＝lneq\f(1＋x,1－x)與y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定義域相同．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．已知a>0，a≠1，函數(shù)y＝ax與y＝loga(－x)的圖象可能是()解析：選B函數(shù)y＝loga(－x)的圖象與y＝logax的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，符合條件的只有B.3．函數(shù)y＝lg|x|()A．是偶函數(shù)，在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞增B．是偶函數(shù)，在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞減C．是奇函數(shù)，在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減D．是奇函數(shù)，在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增解析：選By＝lg|x|是偶函數(shù)，由圖象知在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．4．設(shè)a＝log2π，b＝logπ，c＝π－2，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)＞b＞cB．b＞a＞cC．a(chǎn)＞c＞bD．c＞b＞a解析：選C因?yàn)閍＝log2π＞1，b＝logπ＜0，c＝π－2＝eq\f(1,π2)＞0，但c＜1，所以b＜c＜a.5．函數(shù)y＝eq\r(log0.54x－3)的定義域?yàn)開_____．解析：要使函數(shù)有意義，須滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x－3>0，,log0.54x－3≥0，))解得eq\f(3,4)<x≤1.答案：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1))6．函數(shù)y＝loga(x－1)＋2(a＞0，且a≠1)的圖象恒過的定點(diǎn)是________．解析：當(dāng)x＝2時(shí)，函數(shù)y＝loga(x－1)＋2(a＞0，且a≠1)的值為2，所以圖象恒過定點(diǎn)(2,2)．答案：(2,2)eq\a\vs4\al(考點(diǎn)一對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值)eq\a\vs4\al(基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)——自主練透)[考什么·怎么考]對(duì)數(shù)的運(yùn)算在高考中常有考查，主要是考查對(duì)數(shù)運(yùn)算法則或換底公式的應(yīng)用，均以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，難度比較低.1．(log29)·(log34)＝()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C．2 D．4解析：選D法一：原式＝eq\f(lg9,lg2)·eq\f(lg4,lg3)＝eq\f(2lg3·2lg2,lg2·lg3)＝4.法二：原式＝2log23·eq\f(log24,log23)＝2×2＝4.2．計(jì)算：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg\f(1,4)－lg25))÷100＝________.解析：原式＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)×\f(1,25)))×100＝lg10－2×10＝－2×10＝－20.答案：－203．計(jì)算：log23·log38＋(eq\r(3))＝________.解析：原式＝eq\f(lg3,lg2)·eq\f(3lg2,lg3)＋3log34＝3＋3l＝3＋2＝5.答案：54．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x＞0，,3－x＋1，x≤0，))則f(f(1))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,2)))的值是________．解析：因?yàn)閒(1)＝log21＝0，所以f(f(1))＝f(0)＝2.因?yàn)閘og3eq\f(1,2)＜0，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,2)))＝3＋1＝3＋1＝2＋1＝3.所以f(f(1))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,2)))＝2＋3＝5.答案：5[怎樣快解·準(zhǔn)解]1．解題“2思路”(1)首先利用冪的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡(jiǎn)，然后正用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)合并．(2)將對(duì)數(shù)式化為同底數(shù)對(duì)數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算，然后逆用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為同底對(duì)數(shù)真數(shù)的積、商、冪的運(yùn)算．2．易錯(cuò)“2提醒”(1)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及有關(guān)公式都是在式子中所有的對(duì)數(shù)符號(hào)有意義的前提下才成立的，不能出現(xiàn)log212＝log2[(－3)×(－4)]＝log2(－3)＋log2(－4)的錯(cuò)誤．(2)利用換底公式將不同底的對(duì)數(shù)式轉(zhuǎn)化成同底的對(duì)數(shù)式，要注意換底公式的正用、逆用及變形應(yīng)用．eq\a\vs4\al(考點(diǎn)二對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用)eq\a\vs4\al(重點(diǎn)保分型考點(diǎn)——師生共研)在掌握函數(shù)圖象變換的相關(guān)知識(shí)的基礎(chǔ)上，掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象或選擇利用圖象求交點(diǎn)問題，在高考中以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，難度不大，屬中低檔題.[典題領(lǐng)悟]1．函數(shù)f(x)＝loga|x|＋1(0＜a＜1)的圖象大致為()解析：選A由函數(shù)f(x)的解析式可確定該函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．設(shè)g(x)＝loga|x|，先畫出x>0時(shí)，g(x)的圖象，然后根據(jù)g(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱畫出x<0時(shí)g(x)的圖象，最后由函數(shù)g(x)的圖象向上整體平移一個(gè)單位即得f(x)的圖象，結(jié)合圖象知選A.2．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x＞0，,3x，x≤0，))關(guān)于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解析：?jiǎn)栴}等價(jià)于函數(shù)y＝f(x)與y＝－x＋a的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象可知a＞1.答案：(1，＋∞)[解題師說]1．準(zhǔn)確審題是關(guān)鍵(1)要識(shí)別對(duì)數(shù)型函數(shù)f(x)＝loga|x|＋1的圖象，一般從最基本的對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax的圖象入手，抓住圖象上的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(a,1)，(1,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，－1))，函數(shù)的定義域及單調(diào)性，并利用平移、對(duì)稱變換等手段得到所要求的函數(shù)圖象，特別地要注意a＞1和0＜a＜1的兩種不同情況．(2)方程f(x)＋x－a＝0有且只有一實(shí)根，采用直接求解無法得到，常把這種問題轉(zhuǎn)化為y＝f(x)與y＝－x＋a兩函數(shù)圖象的關(guān)系問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解．2．利用結(jié)論是捷徑對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的特征(1)底數(shù)與1的大小關(guān)系決定了圖象的升降，即a＞1時(shí)，圖象上升；0＜a＜1時(shí)，圖象下降．(2)對(duì)數(shù)函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系中的圖象如圖，其中圖象的相對(duì)位置與底數(shù)大小有關(guān)，圖中0＜c＜d＜1＜a＜b.在x軸上側(cè)，圖象從左到右相應(yīng)的底數(shù)由小變大；在x軸下側(cè)，圖象從右到左相應(yīng)的底數(shù)由小變大．(無論在x軸的上側(cè)還是下側(cè)，底數(shù)都按順時(shí)針方向變大)[沖關(guān)演練]1．函數(shù)f(x)＝ln|x－1|的圖象大致是()解析：選B當(dāng)x>1時(shí)，f(x)＝ln(x－1)，又f(x)的圖象關(guān)于x＝1對(duì)稱，故選B.2.已知函數(shù)f(x)＝loga(2x＋b－1)(a＞0，且a≠1)的圖象如圖所示，則a，b滿足的關(guān)系是()A．0＜a－1＜b＜1 B．0＜b＜a－1＜1C．0＜b－1＜a＜1 D．0＜a－1＜b－1＜1解析：選A令g(x)＝2x＋b－1，這是一個(gè)增函數(shù)，而由圖象可知函數(shù)f(x)＝loga(g(x))是單調(diào)遞增的，所以必有a＞1.又由函數(shù)圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)介于－1和0之間，即－1＜f(0)＜0，所以－1＜logab＜0，故a－1＜b＜1，因此0＜a－1＜b＜1.eq\a\vs4\al(考點(diǎn)三對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用)eq\a\vs4\al(題點(diǎn)多變型考點(diǎn)——追根溯源)高考對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用的考查，多以選擇題或填空題的形式考查，難度低、中、高檔都有.,常見的命題角度有：1比較對(duì)數(shù)值的大??；2簡(jiǎn)單對(duì)數(shù)不等式的解法；3對(duì)數(shù)函數(shù)的綜合問題.[題點(diǎn)全練]角度(一)比較對(duì)數(shù)值的大小1．已知a＝log29－log2eq\r(3)，b＝1＋log2eq\r(7)，c＝eq\f(1,2)＋log2eq\r(13)，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．a(chǎn)>b>c B．b>a>cC．c>a>b D．c>b>a解析：選Ba＝log29－log2eq\r(3)＝log23eq\r(3)，b＝1＋log2eq\r(7)＝log22eq\r(7)，c＝eq\f(1,2)＋log2eq\r(13)＝log2eq\r(26)，因?yàn)楹瘮?shù)y＝log2x在(0，＋∞)上是增函數(shù)，且2eq\r(7)>3eq\r(3)>eq\r(26)，所以b>a>c.[題型技法]比較對(duì)數(shù)值大小的方法若底數(shù)為同一常數(shù)可由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接進(jìn)行判斷；若底數(shù)為同一字母，則需對(duì)底數(shù)進(jìn)行分類討論若底數(shù)不同，真數(shù)相同可以先用換底公式化為同底后，再進(jìn)行比較若底數(shù)與真數(shù)都不同常借助1,0等中間量進(jìn)行比較角度(二)簡(jiǎn)單對(duì)數(shù)不等式的解法2．已知不等式logx(2x2＋1)<logx(3x)<0成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是________．解析：原不等式?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<x<1，,2x2＋1>3x>1))①或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>1，,2x2＋1<3x<1))②，解不等式組①得eq\f(1,3)<x<eq\f(1,2)，不等式組②無解，所以實(shí)數(shù)x的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))[題型技法]求解對(duì)數(shù)不等式的兩種類型及方法類型方法形如logax＞logab借助y＝logax的單調(diào)性求解，如果a的取值不確定，需分a＞1與0＜a＜1兩種情況討論形如logax＞b需先將b化為以a為底的對(duì)數(shù)式的形式，再借助y＝logax的單調(diào)性求解角度(三)對(duì)數(shù)函數(shù)的綜合問題3．若函數(shù)f(x)＝log(－x2＋4x＋5)在區(qū)間(3m－2，m＋2)內(nèi)單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，3)) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，2))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，2)) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞))解析：選C由－x2＋4x＋5＞0，解得－1＜x＜5.二次函數(shù)y＝－x2＋4x＋5的對(duì)稱軸為x＝2.由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得函數(shù)f(x)＝log(－x2＋4x＋5)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2,5)．要使函數(shù)f(x)＝log(－x2＋4x＋5)在區(qū)間(3m－2，m＋2)內(nèi)單調(diào)遞增，只需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3m－2≥2，,m＋2≤5，,3m－2＜m＋2，))解得eq\f(4,3)≤m＜2.[題型技法]解決與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的綜合問題單調(diào)性的步驟一求求出函數(shù)的定義域二判判斷對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)與1的關(guān)系，分a＞1與0＜a＜1兩種情況判斷內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)的單調(diào)性，運(yùn)用復(fù)合函數(shù)“同增異減”原則判斷函數(shù)的單調(diào)性[題“根”探求]1．無論題型如何變化，都是圍繞對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，變換不同的角度來應(yīng)用．角度(一)與角度(二)是對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性的直接應(yīng)用，利用單調(diào)性來比較大小、解不等式；角度(三)是對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性的遷移應(yīng)用，根據(jù)單調(diào)性來求參數(shù)的范圍，所以弄清對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵，并注意有時(shí)需對(duì)底數(shù)字母參數(shù)進(jìn)行討論．2．與對(duì)數(shù)型函數(shù)有關(guān)的恒成立問題多與其定義域和值域有關(guān)．對(duì)于函數(shù)y＝logaf(x)(a＞0，且a≠1)，若定義域?yàn)镽，則f(x)＞0在R上恒成立；若值域?yàn)镽，則f(x)能取遍所有正實(shí)數(shù)．[沖關(guān)演練]1．若a＝log0.30.2，b＝logπ3，c＝log0.3e，則a，b，c的大小關(guān)系為(A．a(chǎn)>b>c B．b>a>cC．c>a>b D．b>c>a解析：選A由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得a＝log0.30.2>log0.30.3＝1，b＝logπ3∈(0,1)，c＝log0.3e<0，所以a>b>c2．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(41－x，x≤1，,1－logx，x＞1，))則滿足不等式f(x)≤2的實(shí)數(shù)x的取值集合為________．解析：原不等式等價(jià)于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤1，,41－x≤2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞1，,1－logx≤2，))解得eq\f(1,2)≤x≤1或1＜x≤4，即實(shí)數(shù)x的取值集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,))\f(1,2)≤x≤4)).答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,))\f(1,2)≤x≤4))3．已知函數(shù)f(x)＝loga(8－ax)(a＞0，且a≠1)，若f(x)＞1在區(qū)間[1,2]上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．解析：當(dāng)a＞1時(shí)，f(x)＝loga(8－ax)在[1,2]上是減函數(shù)，由f(x)＞1在[1,2]上恒成立，則f(x)min＝loga(8－2a)＞1解得1＜a＜eq\f(8,3)，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f(x)在[1,2]上是增函數(shù)，由f(x)＞1在[1,2]上恒成立，則f(x)min＝loga(8－a)＞1，且8－2a＞0，故不存在實(shí)數(shù)a綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(8,3))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(8,3)))(一)普通高中適用作業(yè)A級(jí)——基礎(chǔ)小題練熟練快1．函數(shù)y＝eq\r(log32x－1＋1)的定義域是()A．[1,2] B．[1,2)C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞))解析：選C由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log32x－1＋1≥0，,2x－1＞0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log32x－1≥log3\f(1,3)，,x＞\f(1,2)，))解得x≥eq\f(2,3).2．若函數(shù)y＝f(x)是函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的反函數(shù)，且f(2)＝1，則f(x)＝()A．log2x B.eq\f(1,2x)C．logeq\f(1,2)x D．2x－2解析：選A由題意知f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，∵f(2)＝1，∴l(xiāng)oga2＝1，∴a＝2.∴f(x)＝log2x.3．如果logx<logy<0，那么()A．y<x<1 B．x<y<1C．1<x<y D．1<y<x解析：選D∵logx<logy<log1，∴x>y>1.4．若函數(shù)y＝a|x|(a＞0，且a≠1)的值域?yàn)閧y|0＜y≤1}，則函數(shù)y＝loga|x|的圖象大致是()解析：選A由函數(shù)y＝a|x|(a＞0，且a≠1)的值域?yàn)閧y|0＜y≤1}，知0＜a＜1，由此可知y＝loga|x|的圖象大致是A.5．設(shè)函數(shù)f(x)＝loga|x|(a>0，且a≠1)在(－∞，0)上單調(diào)遞增，則f(a＋1)與f(2)的大小關(guān)系是()A．f(a＋1)>f(2) B．f(a＋1)<f(2)C．f(a＋1)＝f(2) D．不能確定解析：選A由已知得0<a<1，所以1<a＋1<2，又易知函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，故可以判斷f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以f(a＋1)>f(2)．6．(2018·鄭州模擬)已知函數(shù)f(x)＝lgeq\f(1－x,1＋x)，若f(a)＝eq\f(1,2)，則f(－a)＝()A．2 B．－2C.eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)解析：選D∵f(x)＝lgeq\f(1－x,1＋x)的定義域?yàn)椋?<x<1，∴f(－x)＝lgeq\f(1＋x,1－x)＝－lgeq\f(1－x,1＋x)＝－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)，∴f(－a)＝－f(a)＝－eq\f(1,2).7．lgeq\r(2)＋lgeq\r(5)＋20＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5))2×eq\r(3,5)＝________.解析：原式＝lgeq\r(10)＋1＋5×5＝eq\f(3,2)＋5＝eq\f(13,2).答案：eq\f(13,2)8．已知函數(shù)f(x)＝loga(x＋b)(a＞0，且a≠1)的圖象過兩點(diǎn)(－1,0)和(0,1)，則logba＝________.解析：f(x)的圖象過兩點(diǎn)(－1,0)和(0,1)．則f(－1)＝loga(－1＋b)＝0，且f(0)＝loga(0＋b)＝1，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b－1＝1，,b＝a，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝2，,a＝2.))所以logba＝1.答案：19．(2018·安徽兩校階段性測(cè)試)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＝2x，則f(log49)＝________.解析：因?yàn)閘og49＝log23＞0，又f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＝2x，所以f(log49)＝f(log23)＝－2＝－2＝－eq\f(1,3).答案：－eq\f(1,3)10．設(shè)函數(shù)f(x)滿足f(x)＝1＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))·log2x，則f(2)＝________.解析：因?yàn)閒(x)＝1＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))·log2x，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝1＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))·log2eq\f(1,2)，得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(1,2)，所以f(x)＝1＋eq\f(1,2)log2x，所以f(2)＝1＋eq\f(1,2)log22＝eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)B級(jí)——中檔題目練通抓牢1．已知a＝log23＋log2eq\r(3)，b＝log227－log23eq\r(3)，c＝log32，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)＝b＜c B．a(chǎn)＝b＞cC．a(chǎn)＜b＜c D．a(chǎn)＞b＞c解析：選B因?yàn)閍＝log23＋log2eq\r(3)＝log23eq\r(3)＝eq\f(3,2)log23＞1，b＝log227－log23eq\r(3)＝log23eq\r(3)＝a，c＝log32＜log33＝1，所以a＝b>c.2.已知函數(shù)y＝loga(x＋c)(a，c為常數(shù)，其中a>0，a≠1)的圖象如圖，則下列結(jié)論成立的是()A．a(chǎn)>1，c>1 B．a(chǎn)>1,0<c<1C．0<a<1，c>1 D．0<a<1,0<c<1解析：選D由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得0＜a＜1，因?yàn)楹瘮?shù)y＝loga(x＋c)的圖象在c＞0時(shí)是由函數(shù)y＝logax的圖象向左平移c個(gè)單位得到的，所以根據(jù)題中圖象可知0＜c＜1.3．若函數(shù)f(x)＝logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(3,2)x))(a＞0，且a≠1)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))內(nèi)恒有f(x)＞0，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A．(0，＋∞) B．(2，＋∞)C．(1，＋∞) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))解析：選A令M＝x2＋eq\f(3,2)x，則M>0，所以x＞0或x＜－eq\f(3,2).當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))時(shí)，M∈(1，＋∞)，f(x)＞0，所以a＞1，又M＝x2＋eq\f(3,2)x圖象的對(duì)稱軸為x＝－eq\f(3,4)，且開口向上，故由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，＋∞)．4．設(shè)2a＝5b＝m，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2，則m＝________.解析：因?yàn)?a＝5b＝m所以a＝log2m，b＝log5所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,log2m)＋eq\f(1,log5m)＝logm2＋logm5＝logm10＝2，所以m2＝10，m＝eq\r(10).答案：eq\r(10)5．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x＞0，,log－x，x＜0，))若f(a)＞f(－a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________________．解析：由f(a)＞f(－a)得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,log2a＞loga))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＜0，,log－a＞log2－a，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,log2a＞－log2a))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＜0，,－log2－a＞log2－a.))解得a＞1或－1＜a＜0.答案：(－1,0)∪(1，＋∞)6．設(shè)f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a＞0，且a≠1)，且f(1)＝2.(1)求a的值及f(x)的定義域；(2)求f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))上的最大值．解：(1)∵f(1)＝2，∴l(xiāng)oga4＝2(a＞0，且a≠1)，∴a＝2.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋x＞0，,3－x＞0，))得－1＜x＜3，∴函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－1,3)．(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)＝log2[(1＋x)(3－x)]＝log2[－(x－1)2＋4]，∴當(dāng)x∈(－1,1]時(shí)，f(x)是增函數(shù)；當(dāng)x∈(1,3)時(shí)，f(x)是減函數(shù)，故函數(shù)f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))上的最大值是f(1)＝log24＝2.7．已知函數(shù)f(x)＝loga(a2x＋t)，其中a＞0且a≠1.(1)當(dāng)a＝2時(shí)，若f(x)＜x無解，求t的取值范圍；(2)若存在實(shí)數(shù)m，n(m＜n)，使得x∈[m，n]時(shí)，函數(shù)f(x)的值域也為[m，n]，求t的取值范圍．解：(1)∵log2(22x＋t)＜x＝log22x，∴22x＋t＜2x無解，等價(jià)于22x＋t≥2x恒成立，即t≥－22x＋2x＝g(x)恒成立，即t≥g(x)max，∵g(x)＝－22x＋2x＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,2)))2＋eq\f(1,4)，∴當(dāng)2x＝eq\f(1,2)，即x＝－1時(shí)，g(x)取得最大值eq\f(1,4)，∴t≥eq\f(1,4)，故t的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，＋∞)).(2)由題意知f(x)＝loga(a2x＋t)在[m，n]上是單調(diào)增函數(shù)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fm＝m，,fn＝n，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2m＋t＝am，,a2n＋t＝an，))問題等價(jià)于關(guān)于k的方程a2k－ak＋t＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，令ak＝u＞0，則問題等價(jià)于關(guān)于u的二次方程u2－u＋t＝0在u∈(0，＋∞)上有兩個(gè)不相等的實(shí)根，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(u1＋u2＞0，,u1·u2＞0，,Δ＞0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t＞0，,t＜\f(1,4)，))得0＜t＜eq\f(1,4).∴t的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4))).C級(jí)——重難題目自主選做1．(2018·廣東省級(jí)名校模擬)已知函數(shù)f(x)＝(ex－e－x)x，f(log5x)＋f(logx)≤2f(1)，則x的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，1)) B．[1,5]C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，5)) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,5)))∪[5，＋∞)解析：選C∵f(x)＝(ex－e－x)x，∴f(－x)＝－x(e－x－ex)＝(ex－e－x)x＝f(x)，∴函數(shù)f(x)是偶函數(shù)．∵f′(x)＝(ex－e－x)＋x(ex＋e－x)＞0在(0，＋∞)上恒成立．∴函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．∵f(log5x)＋f(logx)≤2f(1)，∴2f(log5x)≤2f(1)，即f(log5x)≤f∴|log5x|≤1，∴eq\f(1,5)≤x≤5.故選C.2．(2018·沈陽質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝|log3x|，實(shí)數(shù)m，n滿足0＜m＜n，且f(m)＝f(n)，若f(x)在[m2，n]上的最大值為2，則eq\f(n,m)＝________.解析：f(x)＝|log3x|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－log3x，0＜x＜1，,log3x，x≥1，))所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，由0＜m＜n且f(m)＝f(n)，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜m＜1，,n＞1，,log3n＝－log3m，))則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜m＜1，,n＞1，,mn＝1，))所以0＜m2＜m＜1，則f(x)在[m2,1)上單調(diào)遞減，在(1，n]上單調(diào)遞增，所以f(m2)＞f(m)＝f(n)，則f(x)在[m2，n]上的最大值為f(m2)＝－log3m2＝2，解得m＝eq\f(1,3)，則n＝3，所以eq\f(n,m)＝9.答案：9(二)重點(diǎn)高中適用作業(yè)A級(jí)——保分題目巧做快做1．若函數(shù)y＝f(x)是函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的反函數(shù)，且f(2)＝1，則f(x)＝()A．log2x B.eq\f(1,2x)C．logx D．2x－2解析：選A由題意知f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，∵f(2)＝1，∴l(xiāng)oga2＝1，∴a＝2.∴f(x)＝log2x.2.若函數(shù)f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在區(qū)間(－∞，1]上遞減，則a的取值范圍為()A．[1,2) B．[1,2]C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)解析：選A令函數(shù)g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，對(duì)稱軸為x＝a，要使函數(shù)在(－∞，1]上遞減，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g1>0，,a≥1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－a>0，,a≥1，))解得1≤a<2，即a∈[1,2)．3.(2018·廣東韶關(guān)南雄模擬)函數(shù)f(x)＝xa滿足f(2)＝4，那么函數(shù)g(x)＝|loga(x＋1)|的圖象大致為()解析：選C∵f(2)＝4，∴2a＝4，解得a＝2，∴g(x)＝|log2(x＋1)|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x＋1，x≥0，,－log2x＋1，－1<x<0，))∴當(dāng)x≥0時(shí)，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，且g(0)＝0；當(dāng)－1<x<0時(shí)，函數(shù)g(x)單調(diào)遞減．故選C.4．已知a＝log23＋log2eq\r(3)，b＝log227－log23eq\r(3)，c＝log32，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)＝b＜c B．a(chǎn)＝b＞cC．a(chǎn)＜b＜c D．a(chǎn)＞b＞c解析：選B因?yàn)閍＝log23＋log2eq\r(3)＝log23eq\r(3)＝eq\f(3,2)log23＞1，b＝log227－log23eq\r(3)＝log23eq\r(3)＝a，c＝log32＜log33＝1，所以a＝b>c.5.已知函數(shù)f(x)＝loga(2x－a)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3)))上恒有f(x)>0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1)) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1)) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1))解析：選A當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3)))上是減函數(shù)，所以logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)－a))>0，即0<eq\f(4,3)－a<1，解得eq\f(1,3)<a<eq\f(4,3)，故eq\f(1,3)<a<1；當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3)))上是增函數(shù)，所以loga(1－a)>0，即1－a>1，解得a<0，此時(shí)無解．綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1)).6．已知函數(shù)f(x)＝loga(x＋b)(a＞0，且a≠1)的圖象過兩點(diǎn)(－1,0)和(0,1)，則logba＝________.解析：f(x)的圖象過兩點(diǎn)(－1,0)和(0,1)．則f(－1)＝loga(－1＋b)＝0，且f(0)＝loga(0＋b)＝1，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b－1＝1，,b＝a，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝2，,a＝2.))所以logba＝1.答案：17.函數(shù)f(x)＝log2eq\r(x)·logeq\r(2)(2x)的最小值為________．解析：依題意得f(x)＝eq\f(1,2)log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2x＋\f(1,2)))2－eq\f(1,4)≥－eq\f(1,4)，當(dāng)且僅當(dāng)log2x＝－eq\f(1,2)，即x＝eq\f(\r(2),2)時(shí)等號(hào)成立，因此函數(shù)f(x)的最小值為－eq\f(1,4).答案：－eq\f(1,4)8．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x＞0，,log－x，x＜0，))若f(a)＞f(－a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________________．解析：由f(a)＞f(－a)得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,log2a＞loga))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＜0，,log－a＞log2－a，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,log2a＞－log2a))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＜0，,－log2－a＞log2－a.))解得a＞1或－1＜a＜0.答案：(－1,0)∪(1，＋∞)9.已知函數(shù)f(x)＝log2eq\f(1＋ax,x－1)(a為常數(shù))是奇函數(shù)．(1)求a的值與函數(shù)f(x)的定義域；(2)若當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f(x)＋log2(x－1)>m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解：(1)∵函數(shù)f(x)＝log2eq\f(1＋ax,x－1)是奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，∴l(xiāng)og2eq\f(1－ax,－x－1)＝－log2eq\f(1＋ax,x－1)，即log2eq\f(ax－1,x＋1)＝log2eq\f(x－1,1＋ax)，∴a＝1，f(x)＝log2eq\f(1＋x,x－1).令eq\f(1＋x,x－1)>0，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋x>0，,x－1>0，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋x<0，,x－1<0，))解得x<－1或x>1.∴函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|x<－1或x>1}．(2)∵f(x)＋log2(x－1)＝log2(1＋x)，當(dāng)x>1時(shí)，x＋1>2，∴l(xiāng)og2(1＋x)>log22＝1.∵當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f(x)＋log2(x－1)>m恒成立，∴m≤1.∴m的取值范圍是(－∞，1]．10.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，f(0)＝0，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝logeq\f(1,2)x.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)解不等式f(x2－1)>－2.解：(1)當(dāng)x<0時(shí)，－x>0，則f(－x)＝logeq\f(1,2)(－x)．因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是偶函數(shù)，所以f(－x)＝f(x)．所以函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(logx，x>0，,0，x＝0，,log－x，x<0.))(2)因?yàn)閒(4)＝logeq\f(1,2)4＝－2，f(x)是偶函數(shù)，所以不等式f(x2－1)>－2可化為f(|x2－1|)>f(4)．又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，所以|x2－1|<4，解得－eq\r(5)<x<eq\r(5)，即不等式的解集為{x|－eq\r(5)<x<eq\r(5)}．B級(jí)——拔高題目穩(wěn)做準(zhǔn)做1．若函數(shù)f(x)＝logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(3,2)x))(a＞0，且a≠1)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))內(nèi)恒有f(x)＞0，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A．(0，＋∞) B．(2，＋∞)C．(1，＋∞) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))解析：選A令M＝x2＋eq\f(3,2)x，則M>0，所以x＞0或x＜－eq\f(3,2).當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))時(shí)，M∈(1，＋∞)，f(x)＞0，所以a＞1，又M＝x2＋eq\f(3,2)x圖象的對(duì)稱軸為x＝－eq\f(3,4)，且開口向上，故由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，＋∞)．2.設(shè)方程10x＝|lg(－x)|的兩個(gè)根分別為x1，x2，則()A．x1x2＜0 B．x1x2＝0C．x1x2＞1 D．0＜x1x2＜1解析：選D作出y＝10x與y＝|lg(－x)|的大致圖象如圖所示．顯然x1＜0，x2＜0.不妨設(shè)x1＜x2，則x1＜－1，－1＜x2＜0，所以10x1＝lg(－x1)，10x2＝－lg(－x2)，此時(shí)10x1＜10x2，即lg(－x1)＜－lg(－x2)，由此得lg(x1x2)＜0，所以0＜x1x2＜1.3．設(shè)2a＝5b＝m，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2，則m＝________.解析：因?yàn)?a＝5b＝m所以a＝log2m，b＝log5所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,log2m)＋eq\f(1,log5m)＝logm2＋logm5＝log