161二次根式（原卷版）

八年級下冊數(shù)學(xué)《第十六章二次根式》16.1二次根式知識點一知識點一二次根式的定義◆二次根式的定義：一般地，我們把形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．其中“”稱為二次根號，a為被開方數(shù).1、二次根式的條件：①含有二次根號；②被開方數(shù)是一個非負數(shù)；2、被開方數(shù)a既可以是一個數(shù)，又可以是一個含有字母的式子.【注意】二次根式的定義是從形式來界定的，必須含有二次根號“”，不能從化簡結(jié)果上判斷，如4，9是二次根式；“”的根指數(shù)是2，一般把根指數(shù)2省略，不要誤認為根指數(shù)是1或沒有知識點二知識點二二次根式有意義的條件◆二次根式有意義的條件是：被開方數(shù)（式）為非負數(shù)，反之也成立.即：a有意義=>a≥0,a無意義，a＜0.◆【規(guī)律方法】二次根式有無意義的條件：1．如果一個式子中含有多個二次根式，那么它們有意義的條件是：各個二次根式中的被開方數(shù)都必須是非負數(shù)．2．如果所給式子中含有分母，則除了保證被開方數(shù)為非負數(shù)外，還必須保證分母不為零．3．如果一個式子中含有二次根式且被開方數(shù)中含有零指數(shù)冪或負整數(shù)指數(shù)冪，那么它有意義的條件是：底數(shù)不為0.知識點三知識點三二次根式的性質(zhì)◆1、a的性質(zhì)：a≥0；◆2、（a）2（a≥0）的性質(zhì)：（a）2＝a（a≥0）（任何一個非負數(shù)都可以寫成一個數(shù)的平方的形式）．◆3、a2的性質(zhì)：a2=|a|◆4、（a）2（a≥0）與a2的區(qū)別與聯(lián)系.（a）2（a≥0）a區(qū)別取值范圍a≥0a為任意實數(shù)表示的意義表示非負數(shù)a的算術(shù)平方根的平方表示a2的算術(shù)平方根運算順序先開平方后平方先平方后開平方運算結(jié)果（a）2＝a（a≥0）讀法讀作：“根號a的平方”或“a的算術(shù)平方根的平方”讀作：“根號”或“a的平方的算術(shù)平方根”聯(lián)系（1）結(jié)果都是非負數(shù)；（2）當(dāng)a≥0時，a2＝（a）2知識點四知識點四代數(shù)式◆1、定義：用基本運算符號（基本運算符號包括：加、減、乘、除、乘方和開方）把表示數(shù)或字母連接起來的式子，稱為代數(shù)式.【注意】代數(shù)式式數(shù)或字母之間的運算關(guān)系，代數(shù)式中只能含運算符號，不能含≥，＞，≤，＜，≠，＝等關(guān)系符號.◆2、列代數(shù)式的常用方法：①直接法：根據(jù)問題的語言敘述直接寫出代數(shù)式；②公式法：根據(jù)公式列出代數(shù)式；③探究規(guī)律法：將一組數(shù)或一組圖形的排列規(guī)律用代數(shù)式表示出來.題型一二次根式的識別題型一二次根式的識別【例題1】（2021秋?古縣期末）下列各式中，是二次根式的是（）n2 B．?4 C．38 解題技巧提煉判斷一個式子是否為二次根式，要緊扣滿足二次根式的兩個條件：（1）含有二次根號“”；（2）被開方數(shù)是非負數(shù)，兩個條件缺一不可.【變式11】（2021秋?九臺區(qū)期末）下列各式中，不是二次根式的是（）A．8 B．?2 C．b2+1 【變式12】（2022春?合川區(qū)校級期中）下列式子一定是二次根式的是（）A．?5 B．π C．a(chǎn)3 D．【變式13】（2021春?海淀區(qū)校級期末）下列各式：3?27，?4，2a?1（a＜12【變式14】下列各式中，二次根式有（）?3，0.5，0，23，a2+1，x+1A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式15】（2022秋?詔安縣期中）給出下列各式：①32；②6；③?12；④?m（m≤0）；⑤a2+1；⑥A．2 B．3 C．4 D．5題型二二次根式有意義的條件題型二二次根式有意義的條件【例題2】（2022春?欽北區(qū)校級月考）若代數(shù)式xx?1在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則xA．x＞0且x≠1 B．x≥0 C．x≠1 D．x≥0且x≠1解題技巧提煉求式子有意義時字母的取值范圍方法：第一步,明確式子有意義的條件，對于單個的二次根式，只需滿足被開方數(shù)為非負數(shù)；對于含有多個二次根式的，則必須滿足多個被開方數(shù)同時為非負數(shù);對于零指數(shù)冪,則必須滿足底數(shù)不能為零;對于含有分式的、滿足分母不能為零.第二步,利用使式子有意義的所有條件,建立不等式或不等式組；第三步,求出不等式或不等式組的解集,即為字母的取值范圍.【變式21】（2022?徐州）若x?2有意義，則x的取值范圍是（）A．x＞2 B．x≥2 C．x＜2 D．x≤2【變式22】（2021春?白云區(qū)期末）當(dāng)x滿足一定條件時，式子x?3x?3是（）A．x＞﹣3 B．x＞3 C．x≥﹣3 D．x≥3【變式23】（2021春?黔西南州期末）式子2xx?1A．x≥1 B．x＞1 C．x＜0 D．x≤0【變式24】（2020秋?朝陽區(qū)校級期中）無論a取何值，下列各式中一定有意義的是（）A．a(chǎn) B．a(chǎn)2?1 C．a(chǎn)+1 【變式25】若代數(shù)式(x?2)02?x?1有意義，則x的取值范圍是【變式26】求下列式子有意義的x的取值范圍.（1）14?3x（2）3?xx?2（3）x?3x?2（4）?x題型三利用二次根式的性質(zhì)計算題型三利用二次根式的性質(zhì)計算【例題3】（2021秋?高臺縣期末）下列式子正確的是（）A．(?9)2=?9 B．25=±5 C．3(?1)解題技巧提煉運用（a）2（a≥0），a2=|a（1）計算（a）2，直接運用（a）2＝a；（2）計算a2①去掉根號及被開方數(shù)的指數(shù)，寫成絕對值的形式，即a2=|a②去掉絕對值符號，根據(jù)絕對值的意義進行化簡.【變式31】下列結(jié)論正確的是（）A．?(?6)2=?6 C．(?16)2=±6 D．﹣（?【變式32】化簡：（1）=；（2）；（3）；（4）；【變式33】計算：(7A．3 B．11 C．﹣3 D．﹣11【變式34】（2022?谷城縣二模）計算：(1?2)2=【變式35】（2021秋?安岳縣期末）當(dāng)x＝2時，二次根式2+7x的值是．【變式36】（2022秋?蓮湖區(qū)校級月考）計算下列各式：（1）279；（2）0.81?0.04；（3）【變式37】（2022春?乾安縣期末）計算：32=，0．72=，02=，（1）根據(jù)計算結(jié)果，回答：a2一定等于a（2）利用你總結(jié)的規(guī)律，計算(3.14?π)題型四二次根式的非負性應(yīng)用題型四二次根式的非負性應(yīng)用【例題4】已知a、b、c滿足2|a﹣1|+2a?b+（c+b）2＝0，求2a+b﹣解題技巧提煉二次根式a（a≥0）、絕對值|a|、完全平方式（a±b）2都是非負數(shù)，當(dāng)幾個非負數(shù)的和為0，則它們均為0.【變式41】（2021春?安順期中）已知y=x?1+1?xA．1 B．78 C．?54【變式42】（2021春?寧津縣期末）在△ABC中，a、b、c為三角形的三邊，化簡(a?b+c)2?2|c﹣a﹣A．3a+b﹣c B．﹣a﹣3b+3c C．a(chǎn)+3b﹣c D．2a【變式43】（2021秋?安居區(qū)期末）若x＜1，則化簡(x?2)2+A．2 B．﹣2 C．6 D．6﹣2x【變式44】（2012秋?瀘縣期中）若x，y都是實數(shù)，且滿足y＜x?1+1?x【變式45】（2022秋?榮縣校級月考）已知一個三角形的三邊長分別為5，2a﹣1，10，化簡：(a?8)2【變式46】（2021?零陵區(qū)校級自主招生）若化簡|1﹣x|?x2?8x+16的結(jié)果為2x﹣5，則x的取值范圍是【變式47】已知實數(shù)a滿足|2010?a|+a?2011=a，求a﹣2010題型五利用數(shù)軸和二次根式的性質(zhì)進行化簡題型五利用數(shù)軸和二次根式的性質(zhì)進行化簡【例題5】實數(shù)a，b在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示，化簡|a|+(a?bA．﹣2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b解題技巧提煉本題運用了數(shù)學(xué)結(jié)合思想，利用數(shù)軸由“形”的位置來確定“數(shù)（式）”的符號，充分體現(xiàn)了“數(shù)”與“形”是一個互相依存、不可分割的有機整體，解答含有二次根式的化簡類題目的關(guān)鍵是確保去掉根號后的結(jié)果是非負數(shù).【變式51】（2022秋?天府新區(qū)月考）已知實數(shù)a，b在數(shù)軸上的對應(yīng)點如圖，則(a+b)2?(a?b)【變式52】（2021春?東城區(qū)校級期末）如果數(shù)軸上表示a、b兩個數(shù)的點都在原點的左側(cè)，且a在b的左側(cè)，則|a﹣b|+(a+b)2的值為【變式53】（2021秋?碑林區(qū)校級期中）如圖，實數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置，化簡a2【變式54】實數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對應(yīng)點如圖所示，化簡a+|a+b|?c2?|b【變式55】（2021春?秦安縣校級期末）已知實數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點如圖所示，化簡a2題型六代數(shù)式題型六代數(shù)式【例題6】下列各式中，代數(shù)式有（）①m；②4a；③mx+y；④π；⑤ab=ba；⑥S=12（a+b）h；⑦3.6×103πa2；⑧22＜32A．8個B．7個C．6個D．5個解題技巧提煉用基本運算符號（基本運算符號包括：加、減、乘、除、乘方和開方）把表示數(shù)或字母連接起來的式子，稱為代數(shù)式.列代數(shù)式的方法有：（1）直接法；（2）公式法；（3）探究規(guī)律法.代數(shù)式書寫時要注意規(guī)范寫法.【變式61】（2021秋?唐山期末）下列代數(shù)式書寫正確的是（）A．a(chǎn)4 B．m÷n C．112x D．x（b【變式62】（2021秋?富川縣期末）用代數(shù)式表示“a的2倍與b的差的平方”，正確的是（）A．2（a﹣b）2 B．2a﹣b2 C．（2a﹣b）2 D．（a﹣2b）2【變式63】（2021秋?蒸湘區(qū)校級期中）在下列各式中，是代數(shù)式的有（）①﹣2x2；②x+y=0

；??

③4x2﹣1；