第十三章軸對(duì)稱章節(jié)復(fù)習(xí)（教學(xué)設(shè)計(jì)）2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊（人教版）

第十三章軸對(duì)稱教學(xué)設(shè)計(jì)一、教學(xué)目標(biāo)：1.總結(jié)本章所學(xué)的軸對(duì)稱、軸對(duì)稱變換、等腰三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)；2.培養(yǎng)學(xué)生用軸對(duì)稱的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)線段的垂直平分線、角的平分線、等腰三角形等幾何圖形；3.歸納總結(jié)本章學(xué)習(xí)過程中用到的數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)分析問題的能力.二、教學(xué)重、難點(diǎn)：重點(diǎn)：將所學(xué)知識(shí)有機(jī)地組織起來，形成科學(xué)合理的知識(shí)結(jié)構(gòu)，并能綜合運(yùn)用.難點(diǎn)：通過歸納總結(jié)解題思想和方法，形成分析問題解決問題的能力.三、教學(xué)過程：知識(shí)網(wǎng)絡(luò)知識(shí)梳理一、軸對(duì)稱相關(guān)定義和性質(zhì)如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線就是它的對(duì)稱軸.這時(shí)，我們也說這個(gè)圖形關(guān)于這條直線(成軸)對(duì)稱.像這樣，把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能與另一個(gè)圖形重合,那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線(成軸)對(duì)稱，這條直線叫做對(duì)稱軸，折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，叫做對(duì)稱點(diǎn).圖形軸對(duì)稱的性質(zhì):如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線.類似地，軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸，是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線.如下圖中，l垂直平分AA′，l垂直平分BB′.二、垂直平分線的定義、性質(zhì)、判定垂直平分線的定義經(jīng)過線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線.l⊥AB，垂足為O，且AO=BO，則l是線段AB的垂直平分線.線段的垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.幾何符號(hào)語言：∵PC⊥AB，PC平分AB∴PA=PB線段的垂直平分線的判定：與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上.幾何符號(hào)語言：∵PA=PB∴點(diǎn)P在AB的垂直平分線上三、用坐標(biāo)表示軸對(duì)稱在平面直角坐標(biāo)系中，關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)橫坐標(biāo)_____，縱坐標(biāo)___________；關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)橫坐標(biāo)___________，縱坐標(biāo)_____.點(diǎn)(x，y)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(___，___)點(diǎn)(x，y)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(___，___)四、等腰三角形的性質(zhì)及判定性質(zhì)1:等腰三角形的兩個(gè)底角相等(簡寫成“等邊對(duì)等角”)性質(zhì)2:等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合(簡寫成“三線合一”)等腰三角形判定定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等(簡寫成“等角對(duì)等邊”).五、等邊三角形的性質(zhì)及判定等邊三角形的性質(zhì)：1.等邊三角形的三邊相等.2.等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并每一個(gè)角都等于60°.3.等邊三角形的三條高線，三條中線，三條角平分線，分別互相重合.4.等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，有三條對(duì)稱軸.等邊三角形的判定方法：1.三邊相等的三角形是等邊三角形.2.三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.3.有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.六、含30°角的直角三角形的性質(zhì)含30°角的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.七、最短路徑問題在解決最短路徑問題時(shí)，我們通常利用軸對(duì)稱、平移等變化把已知問題轉(zhuǎn)化為容易解決的問題，從而作出最短路徑的選擇.考點(diǎn)梳理考點(diǎn)解析考點(diǎn)1：軸對(duì)稱及軸對(duì)稱圖形例1.在下列各電視臺(tái)的臺(tái)標(biāo)圖案中(不考慮顏色)，是軸對(duì)稱圖形的是()答案：B例2.將一張正方形紙片按如圖①，圖②所示的方向?qū)φ郏缓笱貓D③中的虛線剪裁得到圖④，將圖④的紙片展開鋪平，再得到的圖案是()答案：B例3.如圖，把一張長方形紙片ABCD（AD//BC）沿EF折疊后，點(diǎn)D，C分別落在點(diǎn)D'，C'的位置上，ED'交BC于點(diǎn)G，若解：∵AD//∴∠DEF又∠DEF∴∠1=180°-2∠DEF∵AD//∴∠2=180°-∠1=180°-60°=120°．【遷移應(yīng)用】【11】“羊”字象征著美好和吉祥，下圖都與“羊”字有關(guān)，其中是軸對(duì)稱圖形的個(gè)數(shù)是()A.1B.2C.3D.4答案：B【12】如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，將其折疊，使點(diǎn)A落在邊CB上A'處,折痕為CD，則∠A'DB的度數(shù)為______.答案：10°【13】將長方形ABCD沿AE折疊，得如圖所示的圖形，已知∠CED'=72°，則A．36° B．54° C．62° D．72°答案：B考點(diǎn)2：關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)例4.已知點(diǎn)A(2a－b，5＋a)，B(2b－1，－a＋b)．(1)若點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對(duì)稱，求a、b的值；(2)若A、B關(guān)于y軸對(duì)稱，求(4a＋b)2016的值．解：(1)∵點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對(duì)稱，∴2a－b＝2b－1，5＋a－a＋b＝0，解得a＝－8，b＝－5；(2)∵A、B關(guān)于y軸對(duì)稱，∴2a－b＋2b－1＝0，5＋a＝－a＋b，解得a＝－1，b＝3，∴(4a＋b)2016＝1.例5.如圖，在直角坐標(biāo)系中，A(0，5)，B(2,0)，C(3，3).(1)在直角坐標(biāo)系中作出△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的△A'B'C',并相應(yīng)寫出△A'B'C'三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo);(2)將△A'B'C'沿x軸方向向右平移3個(gè)單位后得到△A"B"C",并相應(yīng)寫出△A"B"C"三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo).解:(1)如圖，△A'B'C'為所求，A'(O,5),B'(2,0)，C'(3，3);(2)如圖，△A"B"C"為所求,A"(3,5)，B"(1,0)，C"(0,3).【遷移應(yīng)用】【21】已知點(diǎn)P(3,1)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(a+b,1b)，則ab的值為_____.答案：25【22】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)△ABC進(jìn)行循環(huán)反復(fù)的軸對(duì)稱變換，若原來點(diǎn)A坐標(biāo)是(a,b)，則經(jīng)過第2022次變換后所得的A點(diǎn)坐標(biāo)是__________.答案：(a,b)【23】平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（0,4），B（2,4），C（3，－1）.（1）試在平面直角坐標(biāo)系中，標(biāo)出A、B、C三點(diǎn)；（2）若△ABC與△A'B'C'關(guān)于x軸對(duì)稱，畫出△A'B'C'，并寫出A'、B'、C'的坐標(biāo).解：如圖所示：考點(diǎn)3：線段垂直平分線的性質(zhì)和判定例6.如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E為CD的中點(diǎn)，連接AE、BE，BE⊥AE，延長AE交BC的延長線于點(diǎn)F.求證：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.證明：(1)∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠ECF.∵E是CD的中點(diǎn)，∴DE＝EC.又∵∠AED＝∠CEF，∴△ADE≌△FCE，∴FC＝AD.(2)∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD＝CF.∵BE⊥AE，∴BE是線段AF的垂直平分線，∴AB＝BF＝BC＋CF.∵AD＝CF，∴AB＝BC＋AD.例7.如圖，D為△ABC外一點(diǎn)，DG為BC的垂直平分線，分別過點(diǎn)D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為點(diǎn)E(1)求證：AD為∠CAB(2)探究AB，AC，AE之間的數(shù)量關(guān)系并給出證明證明：連接CD，BD，如圖所示：∵DG為BC的垂直平分線，∴CD=∴∠DEB=∠DFC=90°，在Rt△DEB和Rt△DFC中，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），∴（2）解：AB+AC=2AE，理由如下：∵Rt△AFD∴AB-AE=AF【遷移應(yīng)用】【31】如圖，△ABC中，∠C＝90°，ED垂直平分AB，若AC＝12，EC＝5，且△ACE的周長為30，則BE的長為（

）A．5 B．10 C．12 D．13答案：C【32】如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分線，交AC于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E．已知∠C＝7∠BAE，則∠C的度數(shù)為（）A．41° B．42° C．43° D．44°答案：B【33】如圖，∠BAC的角平分線AD與線段BC的垂直平分線DG交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足交AB的延長線于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，若AE=10cm，BC=12cmA．32 B．34 C．22 D．16答案：A考點(diǎn)4：等腰三角形的性質(zhì)和判定例8.如圖，點(diǎn)D在AC上，點(diǎn)E在AB上，且AB=AC，BC=BD，AD=DE=BE,求∠A的度數(shù).

解:設(shè)∠A=x,∵AD=DE=BE∴∠DEA=∠A=x，∠EBD=∠EDB∵∠DEA=∠EBD+∠EDB∴∠EBD=∠EDB=0.5x∴∠BDC=∠A+∠ABD=x+0.5x=1.5x∵BC=BD，AB=AC∴∠BDC=∠BCD=∠ABC=1.5x在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°即x+1.5x+1.5x=180°解得x=45°，即∠A=45°例9.如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E在BC上，延長BA至F使AF=AB，連接EF；延長CA至G使AG=AC，連接解：BD=CE．理由：∵AF=AB，AG=AC∴BF=CG，∵AB=AC，∴∠B=∠C∴BE-DE例10.如圖，點(diǎn)E在△ABC的AC邊的延長線上，點(diǎn)D在AB邊上，DE交BC于點(diǎn)F,DF=EF，BD=CE.求證:△ABC是等腰三角形.證明:如圖，過點(diǎn)D作DG//AE交BC于點(diǎn)G.∴∠GDF=∠CEF，在△GDF和△CEF中，∴△GDF≌△CEF(ASA)∴GD=CE又∵BD=CE∴BD=DG∴∠DBG=∠DGB∵DG//AC∴∠DGB=∠ACB∴∠ABC=∠ACB∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形【遷移應(yīng)用】【41】等腰三角形的一個(gè)角等于20°,則另外兩個(gè)內(nèi)角分別為()A.20°、140°B.20°、140°或80°、80°C.80°、80°D.20°、80°答案：B【42】如圖(4)，是一鋼架，∠AOB=10°,為使鋼架更加堅(jiān)固，需在內(nèi)部添加一些鋼管EF、FM、MH……添加的鋼管長度都與OE相等，則最多能添加這樣的鋼管_____根.答案：8【43】如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，且D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB,DF⊥AC，垂足分別是E、F.求證:△ABC是等腰三角形.證明:AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC∴DE=DF∵D是BC的中點(diǎn)∴BD=CD在Rt△BDE和Rt△CDF中∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)∴∠B=∠C∴AB=AC即△ABC是等腰三角形.【44】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)E為AC邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AD⊥AB交BE的延長線于點(diǎn)D，CG平分∠ACB交BD于點(diǎn)G，交AB于點(diǎn)M(1)若∠FCM=18°，則∠BGC(2)若點(diǎn)G是BD的中點(diǎn)，判斷CF與DE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（1）解：∵∠ACB=90°，AC=BC，CG平分∠ACB，∴∠CAF=∠CBA=45°，∠BCG=∠ACG=45°，∴∠BCG=∠CAF=45°，∵∠FCM∴∠ACF=∠ACM∠FCM=45°18°=27°，∴∠CBG=∠ACF=27°，∴∠BGC=180°∠BCG∠CBG=180°45°27°=108°，2）解：CF=2DE，理由：連接AG，∵∠CBG=∠ACF，AC=BC，∠BCG=∠CAF，∴△BCG≌△CAF(ASA)，∴BG=CF，∵CG平分∠ACB，AC=BC，∴CM⊥AB，∵AD⊥AB，∴AD∥CG，∴∠D=∠EGC，∵∠AED=∠CEG，∠D=∠EGC，AE=CE，∴△ADE≌△CGE(AAS)，∴DE=GE，即DG=2DE，又∵點(diǎn)G是BD的中點(diǎn)，∴DG=BG，∴CF=2DE．考點(diǎn)5：等邊三角形的性質(zhì)和判定例11.△ABC為正三角形，點(diǎn)M是BC邊上任意一點(diǎn)，點(diǎn)N是CA邊上任意一點(diǎn)，且BM＝CN，BN與AM相交于Q點(diǎn)，∠BQM等于多少度？解：∵△ABC為正三角形，∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC.又∵BM＝CN，∴△AMB≌△BNC(SAS)，∴∠BAM＝∠CBN，∴∠BQM＝∠ABQ＋∠BAM＝∠ABQ＋∠CBN＝∠ABC＝60°.例12.等邊△ABC中，點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，點(diǎn)Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，問△APQ是什么形狀的三角形？試證明你的結(jié)論．解：△APQ為等邊三角形．證明如下：∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝AC.∵BP＝CQ，∠ABP＝∠ACQ，∴△ABP≌△ACQ(SAS)，∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ.∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°∴△APQ是等邊三角形．例13.圖①、圖②中，點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，△ACM與△CBN都是等邊三角形(1)如圖①，線段AN與線段BM是否相等？請說明理由；(2)如圖②，AN與MC交于點(diǎn)E，BM與CN交于點(diǎn)F，探究△CEF的形狀，并證明你的結(jié)論．解：(1)AN＝BM.理由：∵△ACM與△CBN都是等邊三角形，∴AC＝MC，CN＝CB，∠ACM＝∠BCN＝60°.∴∠ACN＝∠MCB.∴△ACN≌△MCB(SAS)．∴AN＝BM.(2)△CEF是等邊三角形．證明：∵∠ACE＝∠FCM=60°，∴∠ECF=60°.∵△ACN≌△MCB，∴∠CAE＝∠CMB.∵AC＝MC，∴△ACE≌△MCF(ASA)，∴CE＝CF.∴△CEF是等邊三角形．【遷移應(yīng)用】【51】如圖，等邊三角形ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AB，BC上，把△BDE沿直線DE翻折，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，DB′，EB′分別交AC于點(diǎn)F，G，若∠ADF=80°，則∠EGC的度數(shù)為______.答案：80°【52】如圖，等邊△ABC中，D、E、F分別是各邊上的一點(diǎn)，且AD=BE=CF．求證：△DEF是等邊三角形．證明：∵△ABC為等邊三角形，且AD=BE=CF∴AF=BD=CE，∠A=∠B=∠C=60°，∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），∴DF=ED=EF，∴△DEF是等邊三角形．【53】如圖，△ABC是等邊三角形，∠ABC、∠ACB的平分線交于點(diǎn)O，OM∥AB，ON∥AC.求證:BM=MN=CN.證明:∵△ABC是等邊三角形∴∠ABC=60°又∵OB平分∠ABC∴∠1=∠2=30°又∵OM//AB∴∠1=∠3∴∠2=∠3=30°∴BM=OM,∠OMN=60°同理CN=ON,∠ONM=60°∴∠OMN=∠ONM=∠MON=60°∴OM=ON=MN∴BM=MN=CN考點(diǎn)6：含30°角的直角三角形的性質(zhì)例14.如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分線EF交AC于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F．求證:BF=2CF.證明:連接AF.∵EF是AC的垂直平分線∴AF=CF∴∠C=∠FAC∵AB=AC，∠BAC=120°∴∠B=∠C=∠FAC=30°∴∠BAF=120°30°=90°∴BF=2AF∴BF=2CF例15.如圖，等邊△ABC的邊長為8，D為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥AC于點(diǎn)F.(1)若AD=2，求AF的長;(2)當(dāng)AD取何值時(shí)，DE=EF?解:(1)△ABC為等邊三角形∴AB=AC=BC=8，∠B=∠C=60°∵AD=2∴BD=ABAD=6在Rt△BDE中，∠BDE=90°∠B=30°∴BE=12BD∴CE=BCBE=5在Rt△CFE中，∠CEF=90°∠C=30°∴CF=12CE=∴AF=ACFC=11解:(2)在△BDE和△CEF中，∴△BDE≌△CEF(AAS)∴BE=CF∵∠CEF=30°∴BE=CF=12∴BE=13BC=83∴BD=2BE∴AD=ABBD=8163=∴當(dāng)AD=83時(shí)，DE=例16.已知，如圖，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)E在AC邊上，點(diǎn)D在BC邊上，并且AE＝CD，AD和BE相交于點(diǎn)M，BN⊥AD于N．(1)求證：BE＝AD；(2)求∠BMN的度數(shù)；(3)若MN＝3cm，ME＝1cm，則AD＝cm．(1)證明：∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°．在△ABE和△CAD中，∴△ABE≌△CAD（SAS），∴BE＝AD；（2）解：由（1）得：△ABE≌△CAD，∴∠ABE＝∠CAD．∵∠BAD+∠CAD＝60°，∴∠BAD+∠ABE＝60°．∴∠BMN＝∠ABE+∠BAD＝60°；（3）解：∵△ABE≌△CAD，∴BE＝AD，∵BN⊥AD，∴∠BNM＝90°，∴∠MBN＝90°﹣∠BMN＝30°，∵M(jìn)N＝3cm，ME＝1cm，∴BM＝2MN＝6（cm），∴AD＝BE＝BM+ME＝6+1＝7（cm）．【遷移應(yīng)用】【61】如圖(3)，∠BAC=30°，AM是∠BAC的平分線，過點(diǎn)M作ME∥BA交AC于點(diǎn)E，作MD⊥BA，垂足為D，ME=10cm，則MD=_____cm.【62】將一副三角尺按如圖(4)所示方式疊放在一起,若AB=16cm，則陰影部分的面積是_____cm2.答案：5；32【63】如圖，點(diǎn)D在線段BC上，連接AD，BD=CD，CA⊥AD，∠1=30°，AB=4，求AC的長．解：過B作BM⊥AD，交AD的延長線于點(diǎn)M，如圖，∵BM⊥AD，CA⊥AD，∴∠DAC=∠DMB=90°，∵BD=DC，∠BDM=∠CDA，∴△BDM≌△CDA，∴AC=BM，∵在Rt△ABM中，∠1=30°，AB=4，∴BM=12AB=2∴AC=2，【64】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠BAC=60°，∠BAC的平分線AM長為15cm，求BC的長.解:在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°∴∠B=30°∵AM平分∠BAC∴∠CAM=∠BAM=30°∴∠B=∠BAM∴AM=BM=15cm在Rt△ACM中，∠C=90°，∠CAM=30°∴CM=12AM=7.5∴BC=CM+BM=7.5+15=22.5(cm)考點(diǎn)7：最短路徑問題例17.如圖，已知點(diǎn)D、點(diǎn)E分別是等邊三角形ABC中BC、AB邊的中點(diǎn)，AD=5,點(diǎn)F是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，則BF+EF的最小值為（）A．7.5B．5C．4D．不能確定解析：△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，即點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于直線AD對(duì)稱.∵點(diǎn)F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小值可轉(zhuǎn)化為求CF+EF的最小值，故連接CE即可，線段CE的長即為BF+EF的最小值.例18.如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（1，4）和（3，0），點(diǎn)C是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且A，B，C三點(diǎn)不在同一條直線上，當(dāng)△ABC的周長最小時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)是（）A．（0，3）B．（0，2）C．（0，1）D．（0，0）解析：作B點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′，交y軸于點(diǎn)C′，此時(shí)