浙江省杭州外國語學校2023-2024學年高一下學期期中考試數(shù)學試卷

杭州外國語學校20232高一年級期中考試數(shù)學試卷命題人高一數(shù)學備課組審核人高一數(shù)學備課組注意事項：1.本試卷滿分100分，考試時間100分鐘.2.整場考試不準使用計算器.一?單項選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知表示兩條不同直線，表示平面，則（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】D【解析】【分析】利用空間中直線、平面的位置關(guān)系一一判定選項即可.【詳解】對于A，若，則可能相交、平行或異面，故A錯誤；對于B，若，則可能平行，或相交，或垂直，故B錯誤；對于C，若，則可能在中，也可能，故C錯誤；對于D，由線面垂直的性質(zhì)定理可知D正確.故選：D2.如圖，在平行六面體（底面為平行四邊形的四棱柱）中，E為延長線上一點，，則=（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)空間向量的加減法運算法則，直接寫出向量的表達式，即可得答案.【詳解】=,故選：A.3.如圖，已知平面α，β，且.設(shè)梯形中，，且，.則下列結(jié)論正確的是（）A.直線與可能為異面直線 B.直線，，l相交于一點C. D.直線與可能異面直線【答案】B【解析】【分析】結(jié)合題意以及空間中點線面的位置關(guān)系，逐項分析即可求出結(jié)果.【詳解】梯形中，，所以與是梯形的兩腰，所以與是共面直線，故A錯誤；與是不一定相等，故C錯誤，直線與是梯形的對角線，故是共面直線，故D錯誤；設(shè)，又且，，所以，，所以，又因為，故，即直線，，l共點，故B正確.故選：B.4.如圖，一個正四棱錐的五個頂點都在球面上，且底面經(jīng)過球心.若，則球的表面積是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意可知，平面，并且是半徑，由體積求出半徑，然后求出球的表面積．【詳解】設(shè)球的半徑為，則，得，∴.故選C【點睛】本題考查球的內(nèi)接體問題，球的表面積、體積，考查學生空間想象能力，屬于中檔題．5.如圖，在正三棱柱中，，若二面角的大小為，則點C到平面的距離為（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】取的中點，連接和，由二面角的定義得出，可得出、、的值，由此可計算出和的面積，然后利用三棱錐的體積三棱錐的體積相等，計算出點到平面的距離.【詳解】取的中點，連接和，根據(jù)二面角的定義，.由題意得，所以，.設(shè)到平面的距離為，易知三棱錐的體積三棱錐的體積相等，即，解得，故點C到平面的距離為.故選C.【點睛】本題考查點到平面距離的計算，常用的方法有等體積法與空間向量法，等體積法本質(zhì)就是轉(zhuǎn)化為三棱錐的高來求解，考查計算能力與推理能力，屬于中等題.6.已知正方體中，點是線段上靠近的三等分點，點是線段上靠近的三等分點，則平面AEF截正方體形成的截面圖形為（）A.三角形 B.四邊形 C.五邊形 D.六邊形【答案】C【解析】【分析】如圖，由題意，根據(jù)空間線面的位置關(guān)系、基本事實以及面面平行的性質(zhì)定理可得，進而，結(jié)合相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】如圖，設(shè)，分別延長交于點，此時，連接交于，連接，設(shè)平面與平面的交線為，則，因為平面平面，平面平面，平面平面，所以，設(shè)，則，此時，故，連接，所以五邊形為所求截面圖形，故選：C．7.北京大興國際機場的顯著特點之一是各種彎曲空間的運用.刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容.用曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點的曲率等于與多面體在該點的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點的曲率之和，例如：正四面體在每個頂點有3個面角，每個面角是，所以正四面體在各頂點的曲率為，故其總曲率為，則四棱錐的總曲率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題中給出的定義，由多面體的總曲率計算求解即可．【詳解】解：由題意，四棱錐的總曲率等于四棱錐各頂點的曲率之和，因為四棱錐有5個頂點，5個面，其中4個三角形，1個四邊形，所以四棱錐的表面內(nèi)角和由4個三角形和1個四邊形組成，所以面角和為，故總曲率為．故選：B.8.已知正方體邊長為1，點分別在線段和上，，動點在線段上，且滿足，分別記二面角，的平面角為，則總有（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】作出三個二面角的平面角，求出其正切值后比較大小可得．【詳解】作平面，垂足為，則，因為平面，所以，作，，，垂足分別為，連接，由于，平面，平面，所以平面，又平面，從而，所以，同理，，所以，，，因為點是正方形對角線的交點，所以，因為平面，平面，所以，因為，平面，平面，所以平面，就是在平面上的射影，，又，，且，則，由得，從而，所以，所以，又，所以.故選：D.【點睛】關(guān)鍵點點睛：關(guān)鍵是作出二面角的平面角，然后求出角的正切值，再利用正方體的性質(zhì)比較線段長的大小，從而可得結(jié)論．二?多項選擇題：本題共4小題，每小題4分，共16分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得4分，有選錯的得0分，部分選對的得2分9.如圖，為水平放置的的直觀圖，其中，則在原平面圖形中有（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)斜二測畫法規(guī)則確定點的位置，再作出，逐項計算判斷即可.【詳解】在直觀圖中，，取中點，連接，則，而，于，則，，，由斜二測畫法規(guī)則作出，如圖，則，，，，，顯然，A、C、D正確，B錯誤.故選：ACD10.如圖，以等腰直角三角形的斜邊上的高為折痕，翻折和，使得平面平面.下列結(jié)論正確的是（）A. B.是等邊三角形C.三棱錐是正三棱錐 D.平面平面【答案】ABC【解析】【分析】利用面面垂直以及線面垂直的性質(zhì)可判斷A選項；設(shè)，利用勾股定理可判斷B選項；利用正棱錐的定義可判斷C選項；利用面面垂直的性質(zhì)結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可判斷D選項.【詳解】對于A選項，翻折前，因為，為的中點，則，翻折后，對應(yīng)地有，因為平面平面，平面平面，平面，所以，平面，因為平面，故，A對；對于B選項，設(shè)，翻折前，因為為等腰直角三角形，為的中點，則，且，，由勾股定理可得，翻折后，因為平面，平面，則，由勾股定理得，在三棱錐中，，則為等邊三角形，B對；對于C選項，在三棱錐中，因為為等邊三角形，，故三棱錐為正三棱錐，C對；對于D選項，假設(shè)平面平面，如下圖所示：取的中點，連接、，因為，為的中點，則，若平面平面，因為平面平面，平面，所以，平面，設(shè)等邊的中心為點，連接，由正棱錐的性質(zhì)可知，平面，因為過點作平面的垂線，有且只有一條，故假設(shè)不成立，即平面與平面不垂直，D錯.故選：ABC.11.中國古代數(shù)學的瑰寶《九章算術(shù)》中記載了一種稱為“曲池”的幾何體，該幾何體是上、下底面均為扇環(huán)形的柱體（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）．現(xiàn)有一個如圖所示的曲池，垂直于底面，，底面扇環(huán)所對的圓心角為，弧的長度是弧長度的3倍，，則下列說法正確的是（）A.弧長度為 B.曲池的體積為C.曲池的表面積為 D.三棱錐的體積為5【答案】ACD【解析】【分析】設(shè)弧所在圓的半徑為，弧所在圓的半徑為，根據(jù)弧的長度是弧長度的倍及求出、，再根據(jù)體積、表面積公式計算可得.【詳解】設(shè)弧所在圓的半徑為，弧所在圓的半徑為，因為弧的長度是弧長度的倍，，即，，，，所以弧的長度為，故A正確；曲池的體積為，故B錯誤；曲池的表面積為，故C正確；三棱錐的體積為，故D正確．故選：ACD．12.如圖，在直四棱柱中，底面為菱形，為的中點，點滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則四面體的體積為定值B.若的外心為，則為定值2C.若，則點的軌跡長度為D.若且，則存在點，使得的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】A選項，作出輔助線，結(jié)合空間向量基本定理得到三點共線，得到平面，故點為平面的距離為定值，四面體的體積為定值，A正確；B選項，作出輔助線，結(jié)合空間向量數(shù)量積的幾何意義得到；C選項，建立空間直角坐標系，設(shè)，表達出，故點的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，落在正方形內(nèi)的部分，結(jié)合弧長公式求出答案；D選項，求出，，得到，畫出圖形，數(shù)形結(jié)合得到其最小值.【詳解】A選項，在上分別取，使得，，因為，所以，因為，所以，即，故，即，所以三點共線，因為，，所以，故平面，故點為平面的距離為定值，又為定值，故四面體的體積為定值，A正確；B選項，取的中點，因為的外心為，所以⊥，又題意得，則，B錯誤；C選項，取的中點，因為底面為菱形，，故⊥，以為坐標原點，以，分別為軸，建立空間直角坐標系，故，設(shè)，則，化簡得，點滿足，即點在正方形內(nèi)，包括邊界，故點的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，落在正方形內(nèi)的部分，如圖所示：因為，，故，故為等腰直角三角形，，故點的軌跡長度為，C正確；D選項，若且，，即，即，又，，設(shè)，設(shè)，即，解得，即，，如圖所示，設(shè)，且⊥，⊥，在線段上取一點，設(shè)，則，故，顯然，直接連接，此時取得最小值，最小值即為，由勾股定理得，故的最小值為，D正確.故選：ACD【點睛】空間向量解決幾何最值問題，通常有兩種思路：①形化，即用空間向量的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為空間幾何中的最值或取值范圍問題，然后根據(jù)圖形的特征直接進行求解；②數(shù)化，即利用空間向量的坐標運算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域，不等式的解集，方程有解等問題，然后利用函數(shù)，不等式，方程的有關(guān)知識進行求解.三?填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分13.，點在軸上且到兩點的距離相等，則點的坐標為__________.【答案】【解析】【分析】設(shè)點，根據(jù)點到兩點的距離相等，列出方程，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，可設(shè)點，因為點到兩點的距離相等，可得，即，解得，所以點坐標為.故答案為：.14.如圖，在四面體中，與所成的角為，分別為的中點，則線段的長為__________.【答案】或【解析】【分析】取的中點，連接、，即可得到為異面直線與所成的角或其補角，即或，再利用余弦定理計算可得.【詳解】取的中點，連接、，、分別為、的中點，且，同理可得且，為異面直線與所成的角或其補角，則或.在中，，，若，由余弦定理可得；若，由余弦定理可得；綜上所述，或.故答案為：或.15.已知（1）若時，的兩根為，則的最小值為__________.（2）若時，恒成立，則的最小值為__________.【答案】①.②.【解析】【分析】（1）依題意可得，列出韋達定理，則，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)計算可得；（2）令解得，分析可得，從而得到，再利用基本不等式計算可得.【詳解】（1）若時，，方程，即，顯然，所以，，則，所以當時，取得最小值，且最小值為．（2），當時，恒成立，由解得，當時，；當時，；∴當時，，當時，；∴，∴，，當且僅當，即、時取等號，所以的最小值是．故答案為：；16.下列命題正確的是__________.（填序號）①若一條直線平行于兩個相交平面，則這條直線與這兩個平面的交線平行；②垂直于同一條直線的兩直線平行；③兩個平面互相垂直，過一個平面內(nèi)任意一點作交線的垂線，必垂直與另一個平面；④過兩個點與已知平面的垂直的平面可能不存在；⑤過兩條異面直線外任一點有且只有一條直線與這兩條異面直線都垂直；⑥到一個四面體的四個頂點的距離都相等的平面有7個.【答案】①⑤⑥【解析】【分析】根據(jù)題意，由直線與直線，直線與平面的位置關(guān)系，依次分析6個命題，即可判斷．詳解】對于①：如圖，，平面平面，所以，同理，所以，又因為，所以，又，所以，所以，若一條直線平行于兩個相交平面，則這條直線與這兩個平面的交線平行，故①正確；對于②：垂直于同一條直線的兩條直線相交、平行或異面，故②錯誤；對于③：根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可知，兩個平面互相垂直，過一個平面內(nèi)任意一點（不在交線上）作交線的垂線，必垂直與另一個平面，當該點在交線上時，作交線的垂線，得不到該直線與另一個平面垂直，故③錯誤；對于④：分3種情況討論：若兩點確定的直線在已知平面內(nèi)，則過兩點與一個已知平面垂直的平面有且只有一個；若兩點確定的直線不在平面內(nèi)，但與已知平面不垂直，則過兩點與一個已知平面垂直的平面有一個，若兩點確定的直線不在平面內(nèi)且與已知平面垂直，則過兩點與一個已知平面垂直的平面有無數(shù)個，綜上，過兩點與一個已知平面垂直的平面有一個或無數(shù)個，一定存在，故④錯誤；對于⑤：設(shè)直線、異面，過直線上一點作直線，使得且，如下圖所示：設(shè)直線、確定平面，過空間中任意一點，有且只有一條直線，使得，因為、，則，，又因為，則，故過兩條異面直線外任一點有且只有一條直線與這兩條異面直線都垂直，故⑤正確；對于⑥：到一個四面體的四個頂點的距離相等的平面，可以看作是與一個四面體四個頂點距離相等的平面，可以是與兩條對棱平行，這樣的平面有3個，也可以是與一個底面平行，與另一個頂點距離相等，這樣的面有4個，則到一個四面體的四個頂點的距離都相等的平面有7個，⑥正確．故答案為：①⑤⑥【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解答的關(guān)鍵是正確理解空間中線線、線面、面面的位置關(guān)系，利用反例及適度的數(shù)形結(jié)合是有效且快速的處理方法.四?解答題：本大題共4小題，共44分，解答應(yīng)在相應(yīng)的答題框內(nèi)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知空間向量．（1）計算和;（2）求與夾角的余弦值．【答案】（1）,（2）．【解析】【分析】（1）利用空間向量的坐標運算公式即可求解；（2）利用空間向量的夾角公式計算即可.【小問1詳解】由題可得．【小問2詳解】由題可得，，,與夾角的余弦值為．18.正方體中，，分別是，的中點.（1）求異面直線與所成角；（2）求證：平面【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）連接，，即可得到，則為異面直線與所成的角，結(jié)合正方體的性質(zhì)求出；（2）取中點，連接，，即可證明平面平面，從而得證.【小問1詳解】連接，，因為且，所以四邊形為平行四邊形，所以，則為異面直線與所成的角，在正方體中，可得，即為等邊三角形，所以，所以異面直線與所成角為；【小問2詳解】取的中點，連接，，因為，分別是，的中點，所以，，而，所以，又因為平面，平面，平面，平面，所以平面，平面，又，平面，所以平面平面，因為平面，所以平面．19.已知四棱柱如圖所示，底面為平行四邊形，其中點在平面內(nèi)的投影為點，且．（1）求證：平面平面；（2）已知點在線段上（不含端點位置），且平面與平面的夾角的余弦值為，求的值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）不妨設(shè)，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)證明，利用勾股定理證明，再根據(jù)線面垂直和面面垂直的判定定理即可得證；（2）以為坐標原點，建立的空間直角坐標系，利用向量法求解即可.【小問1詳解】不妨設(shè)，因為平面平面，故，在中，，由余弦定理，，得，故，則，因為平面，所以平面，而平面，所以平面平面；【小問2詳解】由（1）知，兩兩垂直，如圖所示，以為坐標原點，建立的空間直角坐標系，則，故，，所以，設(shè)，則，即，所以；設(shè)為平面的一個法向量，則，令，則，所以，因為軸平面，