寒假作業(yè)04圓的相關(guān)性質(zhì)與位置關(guān)系-2024年九年級數(shù)學寒假培優(yōu)練（人教版）

限時練習：40min完成時間：月日天氣：寒假作業(yè)04圓的相關(guān)性質(zhì)與位置關(guān)系1.圓的定義：平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓，頂點叫做圓心，定長叫做半徑．2.弦：連結(jié)圓上任意兩點的線段叫做弦．直徑：經(jīng)過圓心的弦叫做圓的直徑．3.弧：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱?。然。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等?。?.弦心距：從圓心到弦的距離叫做弦心距．5.圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角．將整個圓分為360等份，每一份的弧對應(yīng)1°的圓心角，我們也稱這樣的弧為1°的弧．圓心角的度數(shù)和它所對的弧的度數(shù)相等．6.圓周角：頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角．定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等．推論2：半圓(或直徑)所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．推論3：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形．推論4：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補.7.圓的旋轉(zhuǎn)對稱性：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦、兩條弦心距中有一組量相等，那么他們所對的其他量都分別相等.8.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。普?：平分弦（非直徑）的直徑，垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。普?：圓的兩條平行線所夾的弧相等．9.點與圓的位置關(guān)系：點在圓上、點在圓內(nèi)、點在圓外三種.設(shè)的半徑為，點到圓心的距離為，則點在圓外；點在圓上；點在圓內(nèi).10.直線與圓的位置關(guān)系：相離、相切、相交三種.設(shè)的半徑為，圓心到直線的距離為，則直線與相離（如圖1）；直線與相切（如圖2）；直線與相交（如圖3）.圖1圖2圖311.切線的性質(zhì)及判定1）切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點的半徑．推論1：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點．推論2：經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心．2）切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．定義法：和圓只有一個公共點的直線是圓的切線；距離法：到圓心距離等于半徑的直線是圓的切線；3）切線長：在經(jīng)過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長．4）切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角．12.三角形的內(nèi)切圓：和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個三角形叫做圓的外切三角形．1．下列判斷正確的是（）A．平分弦的直徑垂直于弦 B．兩個圓心角相等，它們所對的弦也相等C．等弧所對的圓心角相等 D．在同圓或等圓中，同弦所對的圓周角相等【答案】C【解析】A、平分弦（弦不是直徑）的直徑垂直于弦，故本選項錯誤，不符合題意；B、在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弦也相等，故本選項錯誤，不符合題意；C、等弧所對的圓心角相等，故本選項正確，符合題意；D、由于同一條弦所對的圓周角有兩個，當弦不是直徑時，這條弦所對的兩個圓周角一個是銳角，一個是鈍角，所以在同圓或等圓中，同弦所對的圓周角不一定相等，故本選項錯誤，不符合題意．故選C．2．筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，如圖1，筒車盛水桶的運行軌道是以軸心O為圓心的圓，已知圓心O在水面上方，且被水面截得弦長為4米，半徑為3米，則點C到弦所在直線的距離是（）A．1米 B．2米 C．米 D．米【答案】C【解析】連接交于D，由題意得：米，，∴（米），，由勾股定理得，（米），∴米，即點C到弦所在直線的距離是米，故選C．3．如圖，點在上，直徑于點，下列結(jié)論中不一定成立的是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)為的直徑，且，垂足為，則是垂直于弦的直徑，滿足垂徑定理．因而都是正確的．所以選項B不一定成立．故選B．4．如圖，是的直徑，四邊形內(nèi)接于，若，則的直徑為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，連接、．是的直徑，四邊形內(nèi)接于，，，．又，是等邊三角形，，．故選D．5．在矩形中，，以點A為圓心，4為半徑作，點C與的位置關(guān)系是（）A．點C在內(nèi) B．點C在上 C．點C在外 D．無法確定【答案】C【解析】在矩形中，，∴，∴，∵的半徑r=4，∴，∴點C在外，故選C．6．如圖，分別與相切于兩點，與相切于點，與分別相交于兩點，若，，則的周長和的度數(shù)分別為（

）A．， B．， C．， D．，【答案】D【解析】∵分別與相切于兩點，∴，即，，∵分別與相切于兩點，∴，∵分別與相切于兩點，∴，∴，，∴的周長為，如圖所示，連接，∵分別與相切于兩點，，∴，，在中，，同理，，∴所對的圓心角，∴所對圓心角，∴，故選．7．如圖，在中，，則內(nèi)切圓的半徑是（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】C【解析】如圖，在中，，根據(jù)勾股定理得.設(shè)切點分別為D，E，F(xiàn)，四邊形中，，，∴四邊形是正方形，由切線長定理，得：，，；∴，∴．故選C．8．如圖，點O是外接圓的圓心，點I是的內(nèi)心，連接．若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】連接，∵點I是的內(nèi)心，∴平分，∵，∴，∵點O是外接圓的圓心，∴，∵，∴，故選B．9．如圖，在平面直角坐標系中，、、(1)在圖中畫出經(jīng)過、、三點的圓弧所在圓的圓心的位置，并寫出圓心的坐標為____；(2)的半徑為__；(3)點到上最近的點的距離為__．【解析】（1）如圖，點為所作；點的坐標為；

故答案為：；（2），，，即的半徑為，故答案為：；（3），點到上最近的點的距離為．故答案為：．10．如圖，是的直徑，C、D兩點在上，若．(1)求的度數(shù)；(2)若，求的半徑．【解析】（1）∵，∴，∵是的直徑，∴，∴.（2）如圖，連接，∵是的直徑，∴，∵，∴，∴的半徑為5．11．如圖，為⊙的直徑，交⊙于點，為上一點，延長交⊙于點，延長至，使，連接.(1)求證：為⊙的切線；(2)若且，求⊙的半徑．【解析】（1）由已知條件得，，，，，又，，，，，為⊙的切線．（2）由已知得，，，，，設(shè)⊙的半徑為，則，,，，在中，，即，即，（舍去）或，故⊙的半徑為．12．如圖，為的內(nèi)切圓，，，，點D，E分別為，上的點，且為的切線，則的周長為（

）A．9 B．7 C． D．8【答案】C【解析】如圖，過作于F，于G，于H，于K，∵為的內(nèi)切圓，為的切線，∴，，，，，∴，∵，，，∴，故選C．13．如圖，在平面直角坐標系中，以為圓心，半徑為2的圓與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C、D兩點，點E為上一動點，于F，則線段的最小值為(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】連接，作，連接，∵，∴，∵為圓心，半徑為2，∴，在中，，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴點F在以為直徑的圓M上移動，當點F在的延長線上時，的長最小，最小值為，故選B．14．如圖，是的直徑，是弦，沿對折劣弧，交于點D，E、F分別是和的中點，令為所在圓的圓心，若，，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】連接，設(shè)交于點，如圖所示：∵點E、F分別是和的中點，∴∴，又結(jié)合對折及圓的性質(zhì)易知，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，，∴，，∴，∴，由折疊可知，∴，在中，，∴，∴.故選A．15．如圖（），是的直徑，點、在上，，，．(1)求證：平分；(2)求的長；(3)如圖（），是半圓的中點，連接，求的長．【解析】（1）∵，∴，∵，∴，∴，∴平分；（2）作于，于，如圖，則，∵為直徑，∴，∴，∵，∴，在中，，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴；（3）作于，連接、，如圖，∵是半圓的中點，∴，，∴為等腰直角三角形，∴，在中，，在中，，∴．16．閱讀以下材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：西姆松定理是一個平面幾何定理，其表述為：過三角形外接圓上異于三角形頂點的任意一點作三邊或其延長線的垂線，則三垂足共線（此線常稱為西姆松線）．數(shù)學興趣小組的同學們嘗試證明該定理．如圖1，已知內(nèi)接于⊙O，點P在⊙O上（不與點A、B、C重合），過點P分別作AB，BC，AC的垂線，垂足分別為D，E，F(xiàn)，求證：點D，E，F(xiàn)在同一條直線上.以下是他們的證明過程：如圖1，連接PB，PC，DE，EF，取PC的中點Q，連接QE，QF，則（依據(jù)1），∴E，F(xiàn)，P，C四點共圓，∴（依據(jù)2）．又∵，∴．∵，∴B，D，P，E四點共圓，∴（依據(jù)3）．∵，∴（依據(jù)4）．∴點D，E，F(xiàn)在同一條直線上．任務(wù)：(1)填空：①依據(jù)1指的是中點的定義及______；②依據(jù)2指的是______；③依據(jù)3指的是______；④依據(jù)4指的是______．(2)善于思考的小英發(fā)現(xiàn)當點P是的中點時，．請你利用圖2證明該結(jié)論的正確性．【解析】（1）①直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；②圓內(nèi)接四邊形對角互補；③同弧所對的圓周角相等；④等量代換；（2）如圖，連接PA，PB，PC．∵點P是的中點，∴，∴，．又∵，，∴．∴（HL）．∴．17．閱讀下列相關(guān)材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．婆羅摩笈多是古印度著名的數(shù)學家、天文學家，他編著了《婆羅摩修正體系》，曾經(jīng)提出了“婆羅摩笈多定理”，也稱“布拉美古塔定理”．定理的內(nèi)容是：“若圓內(nèi)接四邊形的對角線相互垂直，則垂直于一邊且過對角線交點的直線將平分對邊”．按圖寫出這個定理的已知和求證，并完成這個定理的證明過程；已知：________________________________________________________________________________，求證：________________________________________________________________________________，證明：________________________________________________________________________________．【解析】已知：如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，對角線AC⊥BD于點M，過點M作AB的垂線分別交AB、DC于點F，E．求證：點E是DC的中點．證明：∵AC⊥BD，EF⊥AB，∴∠BMF＋∠AMF＝90°，∠MAF＋∠AMF＝90°，∴∠BMF＝∠MAF，∵∠EDM＝∠MAF，∠EMD＝∠BMF，∴∠EDM＝∠EMD，∴DE＝ME，同理可證ME＝CE，∴DE＝CE，∴點E是DC的中點．18．我們規(guī)定：線段外一點和這條線段兩個端點連線所構(gòu)成的角叫做這個點對這條線段的視角．如圖1，對于線段及線段外一點C，我們稱為點C對線段的視角．如圖2，在平面直角坐標系中，已知點，．為過D，E兩點的圓，F(xiàn)為上異于點D，E的一點．(1)如果為的直徑，那么點F對線段的視角______；(2)如果點F對線段的視角為45度，那么的半徑為多少？(3)點G為x軸正半軸上的一個動點，當點G對線段的視角最大時，求點G的坐標．【解析】（1）如圖1，當為的直徑時，點F對線段的視角，故答案為：；（2）如圖2，作軸于點M，∴，∵點F對線段的視角為，∴，∴，

圖1圖3∵，∴是等腰直角三角形，∴，，即的半徑為；（3）如圖3，當與x軸相切，G為切點時，最大，由題意可得：點P在線段的垂直平分線上，∴，過點P作于點H，∴，∵軸，∴四邊形是矩形，連接，在中，，，∴，∴點G的坐標為：．19．（2023年廣東廣州中考真題）如圖，的內(nèi)切圓與，，分別相切于點D，E，F(xiàn)，若的半徑為r，，則的值和的大小分別為（

）A．2r， B．0， C．2r， D．0，【答案】D【解析】如圖，連接．∵的內(nèi)切圓與，，分別相切于點D，E，F(xiàn)，∴，∴，，∴，∴．故選D．20．（2023年陜西中考真題）陜西飲食文化源遠流長，“老碗面”是陜西地方特色美食之一．圖②是從正面看到的一個“老碗”（圖①）的形狀示意圖．是的一部分，是的中點，連接，與弦交于點，連接，．已知cm，碗深，則的半徑為（

）A．13cm B．16cm C．17cm D．26cm【答案】A【解析】是的一部分，是的中點，，，．設(shè)的半徑為，則．在中，，，，，即的半徑為．故選A．21．（2023年內(nèi)蒙古呼和浩特市中考真題）如圖，內(nèi)接于且，弦平分，連接