云南省昭通市第一中學(xué)教研聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（A卷）

昭通一中教研聯(lián)盟2023~2024學(xué)年上學(xué)期高一年級(jí)期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)（A卷）本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）.兩部分.第Ⅰ卷第1頁至第2頁，第Ⅱ卷第3頁至第4頁.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.第Ⅰ卷（選擇題，共60分）注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場號(hào)、座位號(hào)在答題卡上填寫清楚.2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).在試題卷上作答無效.一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每個(gè)小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知實(shí)數(shù)集，集合，集合，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】求出集合，利用補(bǔ)集和交集的定義可求得結(jié)果.【詳解】，又，則，故，故選：C.2.函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由零點(diǎn)存在定理及函數(shù)的單調(diào)性判斷即可.【詳解】∵和均在上單調(diào)遞增，∴在上單調(diào)遞增；又，，∴在上有唯一的零點(diǎn)，故選：B.3.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)必要不充分條件的定義判斷可得答案.【詳解】.∵，故，即，若，由，則，所以反之不成立；故“”是“”的必要不充分條件.故選：B.4.（且）的圖象恒過定點(diǎn)，冪函數(shù)過點(diǎn)，則為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可求得定點(diǎn)，由冪函數(shù)的概念設(shè)，由條件列式求出，進(jìn)而可得答案.【詳解】，令，得，，則（且）恒過定點(diǎn)，設(shè)，則，即，即，∴，故選：D.5.已知，，，則三者的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出的范圍，即可判斷.【詳解】∵，即，，即，，即，∴，故選：C.6.函數(shù)的部分圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)奇偶性，排除C,D兩項(xiàng)，再利用特殊值檢驗(yàn)排除B項(xiàng)即得.【詳解】∵，即為奇函數(shù)，排除C，D；又，排除B.故選:A.7.若，則（）A. B. C. D.3【答案】D【解析】【分析】由同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求解.【詳解】∵，∴，，∴，故選：D.8.已知函數(shù)，若函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，，，，且，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意可得函數(shù)與有四個(gè)不同的交點(diǎn)，作出函數(shù)與的圖象如圖所示，然后結(jié)合圖象逐個(gè)分析判斷即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，所以有四個(gè)不同的解，即函數(shù)與有四個(gè)不同的交點(diǎn)，作出函數(shù)與的圖象如圖所示：又時(shí)，，由圖象可得，故B不正確，由，得或，所以由圖象可得，故A正確；由圖象可得，所以，即，即，所以，故C錯(cuò)誤；又，關(guān)于對(duì)稱，故，故D錯(cuò)誤，故選：A.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用，考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與有四個(gè)不同的交點(diǎn)，然后作出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象分析判斷，考查數(shù)形結(jié)合的思想，屬于較難題.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式即可求解.【詳解】∵，，，∵∴或（不合題意），∴，，，故選：BD.10.若，，且，則（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】A、D選項(xiàng)由基本不等式直接求解即可；B選項(xiàng)將原式平方，結(jié)合A的結(jié)論即可判斷；C選項(xiàng)利用乘“1”法進(jìn)行求解.【詳解】對(duì)于A，若m，，且，則有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，A正確；對(duì)于B，，由A可得，故，所以，故B不正確；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故C正確；對(duì)于D，，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），故D不正確，故選：AC.11.函數(shù)其中，，的圖象如圖1所示，下面說法正確的是（）A.直線是它的一條對(duì)稱軸B.點(diǎn)是它的一個(gè)對(duì)稱中心C.的減區(qū)間為，D.若，，則【答案】ABD【解析】【分析】首先結(jié)合函數(shù)的圖象的信息求得函數(shù)解析式，再根據(jù)選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證和推理計(jì)算即可判斷A,B,C項(xiàng)，對(duì)于D項(xiàng)，則需要利用條件縮小角的范圍，整體處理角即得.【詳解】由圖象知，，又，，則，又，則，，而，即，則，故.對(duì)于A項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，故是的一條對(duì)稱軸，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B項(xiàng)，時(shí)，，則是的一個(gè)對(duì)稱中心，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C項(xiàng)，由，，解得，，所以是的增區(qū)間，故選項(xiàng)C不正確；對(duì)于D項(xiàng)，因?yàn)椋?，所以，故得：，于是，故選項(xiàng)D正確.故選:ABD.12.若函數(shù)同時(shí)滿足：①對(duì)于定義域內(nèi)的任意x，恒有；②對(duì)于定義域上的任意，，當(dāng)時(shí)，恒有.則稱函數(shù)具有性質(zhì)P.下列函數(shù)具有性質(zhì)P的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)P的定義，逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】根據(jù)題意，若函數(shù)具有性質(zhì)P，則滿足對(duì)于定義域內(nèi)的任意x，①恒有，則為奇函數(shù)；②當(dāng)時(shí)，恒有，則在定義域上單調(diào)遞減.對(duì)于A，，其定義域，有，則函數(shù)為奇函數(shù)，設(shè)，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，減函數(shù)，則在上為減函數(shù)，又為奇函數(shù)，則在上是減函數(shù)，符合題意；對(duì)于B，，是奇函數(shù)，但在其定義域上不是減函數(shù)，不符合題意；對(duì)于C，是奇函數(shù)，在其定義域上是增函數(shù)，不符合題意；對(duì)于D，定義域?yàn)?，，即為奇函?shù)；又，故為減函數(shù)，故D正確，故選：AD.第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）注意事項(xiàng)：第Ⅱ卷用黑色碳素筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，在試題卷上作答無效.三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知函數(shù)則______.【答案】1【解析】【分析】結(jié)合分段函數(shù)解析式，由內(nèi)向外計(jì)算即可.【詳解】由題意得，.所以，故答案為：1.14.為終邊上一點(diǎn)，則______.【答案】##0.8【解析】【分析】由余弦的定義可直接求解.【詳解】.故答案為：.15.若，則______.【答案】【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式和余弦的二倍角公式求解即可.【詳解】因?yàn)?，所?故答案為：16.下列命題中：①若集合中只有一個(gè)元素，則；②已知命題p：，，如果命題p是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是；③已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)?；④函?shù)在上單調(diào)遞增；⑤方程的實(shí)根的個(gè)數(shù)是2.所有正確命題的序號(hào)是______.【答案】②③⑤【解析】【分析】利用判別式可判斷①；利用特稱命題的否定為全稱命題可判斷②；求出的定義域可判斷③；分離常量后根據(jù)反比例函數(shù)的單調(diào)性可判斷④；在同一坐標(biāo)系中作出和的圖象可判斷⑤.【詳解】對(duì)于①：時(shí)，；時(shí)，，則，故或1，故錯(cuò)誤；對(duì)于②：p：，為假命題，則，為真命題，故即，故正確；對(duì)于③：，則，即的定義域?yàn)?，故正確；對(duì)于④：，其在上單調(diào)遞減，故錯(cuò)誤；對(duì)于⑤：在同一坐標(biāo)系中作出和的圖象，觀察兩圖象有2個(gè)交點(diǎn)，則方程的實(shí)根的個(gè)數(shù)是2，故正確.故答案為：②③⑤.四、解答題（共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.化簡求值：（1）；（2）.【答案】（1）8（2）9【解析】【分析】（1）根據(jù)指數(shù)分?jǐn)?shù)冪的運(yùn)算可得答案；（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得答案.【小問1詳解】；【小問2詳解】.18.已知.（1）化簡；（2）若，且，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式化簡即可；（2）先由求得，再結(jié)合二倍角公式以及兩角和與差的正弦公式即可求得答案.小問1詳解】∵，∴，∴.【小問2詳解】∵，∴.又，∴，∴，，∴.19.已知函數(shù)，.（1）討論在上的單調(diào)性；（2）若，，求的值.【答案】（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增（2）【解析】【分析】（1）首先利用兩角和與差公式以及二倍角公式化簡得，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求解即可；（2）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式以及兩角和與差的余弦公式進(jìn)行求解.【小問1詳解】∵，∴，∴，又，，∴，，∴，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問2詳解】∵，∴.又，∴，∴，∴.20.某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，年固定成本為200萬元，可變成本萬元與年產(chǎn)量（件）的關(guān)系為每件產(chǎn)品的售價(jià)為90萬元，且工廠每年生產(chǎn)的產(chǎn)品都能全部售完.（1）將年盈利額（萬元）表示為年產(chǎn)量（件）的函數(shù)；（2）求年盈利額的最大值及相應(yīng)的年產(chǎn)量.【答案】（1）（2）當(dāng)年產(chǎn)量為109件時(shí)該廠盈利額最大，最大為800萬元【解析】【分析】（1）分得兩種情況進(jìn)行研究，列出函數(shù)關(guān)系式，最后寫成分段函數(shù)的形式，從而得到答案；（2）根據(jù)年盈利額的解析式，分段研究函數(shù)的最值，當(dāng)時(shí)，利用二次函數(shù)求最值；當(dāng)時(shí)，利用基本不等式求最值，最后比較兩個(gè)最值，即可得到答案．【小問1詳解】∵當(dāng)時(shí)，；又當(dāng)時(shí)，，∴【小問2詳解】①當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，L取得最大值，最大值為600；②當(dāng)時(shí)，.當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，L取得最大值，最大值為800.綜上，當(dāng)年產(chǎn)量為109件時(shí)該廠盈利額最大，最大為800萬元.21.函數(shù)的一段圖象如圖所示.（1）求函數(shù)的解析式；（2）要得到函數(shù)的圖象，可由正弦曲線經(jīng)過怎樣的變換得到?（3）若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.【答案】（1）（2）答案見解析（3）【解析】【分析】（1）由圖象直接得到，求出函數(shù)的周期，即可求出，利用圖象經(jīng)過，結(jié)合的范圍求出的值，即可得到的解析式；（2）由三角函數(shù)的圖象變換規(guī)律，結(jié)合平移與伸縮的順序采用方法一或方法二推出結(jié)果；（3）根據(jù)的范圍，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)得出的最大值，由題意得到的不等式，求解即可．【小問1詳解】由圖象知，，，，將圖象上的點(diǎn)代入中，得，結(jié)合圖象可知，則，，又，所以，故.【小問2詳解】法一：將的圖象向左平移個(gè)單位，得到的圖象；再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象；再將所得圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的3倍（橫坐標(biāo)不變），得到的圖象.法二：將的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象；再將所得圖象向左平移個(gè)單位，得到的圖象；再將所得圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的3倍（橫坐標(biāo)不變），得到的圖象.【小問3詳解】∵，∴，∴當(dāng)，即時(shí)，取最大值3.又不等式在上恒成立，∴在上恒成立，故，即，即或.∴t的取值范圍為.22.已知函數(shù)（1）判斷的奇偶性；（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用定義證明；（3）若不等式在區(qū)間上有解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.【答案】（1）奇函數(shù)（2）在上為減函數(shù)，證明見解析（3）【解析】【分析】（1）先求函數(shù)的定義域，然后利用函數(shù)奇偶性的定義分析判斷；（2）先對(duì)函數(shù)化簡變形后，再任取，且，然后化簡變形，再判斷符號(hào)，可得結(jié)論；（3）利用函數(shù)是奇函數(shù)將原不等式轉(zhuǎn)化為，再由函數(shù)為上的減函數(shù)，得，即存在，使得成立，然后求出的最大值即可