專題36圓中的重要模型之輔助線模型（八大類）

專題36圓中的重要模型之輔助線模型（八大類）在平面幾何中，與圓有關(guān)的許多題目需要添加輔助線來解決。百思不得其解的題目，添上合適的輔助線，問題就會(huì)迎刃而解，思路暢通，從而有效地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。添加輔助線的方法有很多，本專題通過分析探索歸納八類圓中常見的輔助線的作法。模型1、遇弦連半徑（構(gòu)造等腰三角形）【模型解讀】已知AB是⊙O的一條弦，連接OA，OB，則∠A＝∠B．在圓的相關(guān)題目中，不要忽略隱含的已知條件。當(dāng)我們要解決有關(guān)角度、長(zhǎng)度問題時(shí)，通常可以連接半徑構(gòu)造等腰三角形，利用等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理及圓中的相關(guān)定理，還可連接圓周上一點(diǎn)和弦的兩個(gè)端點(diǎn)，根據(jù)圓周角的性質(zhì)可得相等的圓周角，解決角度或長(zhǎng)度的計(jì)算問題例1．（2022·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB，CD是的弦，延長(zhǎng)AB，CD相交于點(diǎn)P．已知，，則的度數(shù)是（

）

A．30° B．25° C．20° D．10°【答案】C【分析】如圖，連接OB，OD，AC，先求解，再求解，從而可得，再利用周角的含義可得，從而可得答案．【詳解】解：如圖，連接OB，OD，AC，

∵，∴，∵，∴，∵，，∴，，∴，∴，∴．∴的度數(shù)20°．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓心角與弧的度數(shù)的關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，掌握“圓心角與弧的度數(shù)的關(guān)系”是解本題的關(guān)鍵．例2.（2023?南召縣中考模擬）如圖，⊙O的直徑AB與弦CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，若DE＝OB，∠AOC＝84°，則∠E等于（）A．42° B．28° C．21° D．20°【分析】利用OB＝DE，OB＝OD得到DO＝DE，則∠E＝∠DOE，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠1＝∠DOE+∠E，所以∠1＝2∠E，同理得到∠AOC＝∠C+∠E＝3∠E，然后利用∠E=13∠【解答】解：連結(jié)OD，如圖，∵OB＝DE，OB＝OD，∴DO＝DE，∴∠E＝∠DOE，∵∠1＝∠DOE+∠E，∴∠1＝2∠E，而OC＝OD，∴∠C＝∠1，∴∠C＝2∠E，∴∠AOC＝∠C+∠E＝3∠E，∴∠E=13∠AOC=13×84【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的認(rèn)識(shí)：掌握與圓有關(guān)的概念（弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等）．也考查了等腰三角形的性質(zhì)．例3．（2023·江蘇沭陽初三月考）如圖，已知點(diǎn)C是⊙O的直徑AB上的一點(diǎn)，過點(diǎn)C作弦DE，使CD=CO．若的度數(shù)為35°，則的度數(shù)是_____．【答案】105°．【分析】連接OD、OE，根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系定理求出∠AOD=35°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可．【解析】解：連接OD、OE，∵的度數(shù)為35°，∴∠AOD=35°，∵CD=CO，∴∠ODC=∠AOD=35°，∵OD=OE，∴∠ODC=∠E=35°，∴∠DOE=180°∠ODC∠E=180°35°35°=110°，∴∠AOE=∠DOE∠AOD=110°35°=75°，∴∠BOE=180°∠AOE=180°75°=105°，∴的度數(shù)是105°．故答案為105°．【點(diǎn)睛】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等．例4．（2023年山東省淄博市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，是的內(nèi)接三角形，，，是邊上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．若，，則的半徑為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】連接,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論.【詳解】連接,∵,∴∴,∵,∴是等邊三角形,∴,

∵，,∴,，∴,∵,，，即的半徑為，故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)度量是解題的關(guān)鍵.模型2、遇弦作弦心距（解決有關(guān)弦長(zhǎng)的問題）【模型解讀】已知AB是⊙O的一條弦，過點(diǎn)OE⊥AB，則AE＝BE，OE2+AE2=OA2。在圓中，求弦長(zhǎng)、半徑或圓心到弦的距離時(shí)，常添加弦心距，或作垂直于弦的半徑（或直徑）或再連結(jié)過弦的端點(diǎn)的半徑。利用垂徑定理、圓心角及其所對(duì)的弧、弦和弦心距之間的關(guān)系、弦的一半、弦心距和半徑組成直角三角形，根據(jù)勾股定理求有關(guān)量。一般有弦中點(diǎn)、或證明弦相等或已知弦相等時(shí)，常作弦心距。例1．（2023年浙江省衢州市中考數(shù)學(xué)真題）如圖是一個(gè)圓形餐盤的正面及其固定支架的截面圖，凹槽是矩形．當(dāng)餐盤正立且緊靠支架于點(diǎn)A，D時(shí)，恰好與邊相切，則此餐盤的半徑等于cm．

【答案】10【分析】連接，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則點(diǎn)為餐盤與邊的切點(diǎn)，由矩形的性質(zhì)得，，，則四邊形是矩形，，得，，，設(shè)餐盤的半徑為，則，，然后由勾股定理列出方程，解方程即可．【詳解】由題意得：，，如圖，連接，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則，

餐盤與邊相切，點(diǎn)為切點(diǎn)，四邊形是矩形，，，，四邊形是矩形，，，，，設(shè)餐盤的半徑為，則，，在中，由勾股定理得：，即，解得：，餐盤的半徑為，故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．例2．（2023年四川省廣安市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，內(nèi)接于，圓的半徑為7，，則弦的長(zhǎng)度為．

【答案】【分析】連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，先根據(jù)圓周角定理可得，再根據(jù)等腰三角形的三線合一可得，，然后解直角三角形可得的長(zhǎng)，由此即可得．【詳解】解：如圖，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

，，，，，∵圓的半徑為7，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、解直角三角形、等腰三角形的三線合一，熟練掌握?qǐng)A周角定理和解直角三角形的方法是解題關(guān)鍵．例3．（2021·湖北中考真題）筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理，如圖1，筒車盛水桶的運(yùn)行軌道是以軸心為圓心的圓，如圖2，已知圓心在水面上方，且被水面截得的弦長(zhǎng)為6米，半徑長(zhǎng)為4米．若點(diǎn)為運(yùn)行軌道的最低點(diǎn)，則點(diǎn)到弦所在直線的距離是（）

A．1米 B．米 C．2米 D．米【答案】B【分析】連接OC交AB于D，根據(jù)圓的性質(zhì)和垂徑定理可知OC⊥AB，AD=BD=3，根據(jù)勾股定理求得OD的長(zhǎng)，由CD=OC﹣OD即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意和圓的性質(zhì)知點(diǎn)C為的中點(diǎn)，連接OC交AB于D，則OC⊥AB，AD=BD=AB=3，在Rt△OAD中，OA=4，AD=3，∴OD===，∴CD=OC﹣OD=4﹣，即點(diǎn)到弦所在直線的距離是（4﹣）米，故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查圓的性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理，熟練掌握垂徑定理是解答的關(guān)鍵．例4．（2023·廣東廣州·九年級(jí)?？甲灾髡猩┤鐖D所示，圓的直徑與弦相交于點(diǎn)．已知圓的直徑，，則的值是（

）A． B．8 C． D．4【答案】B【分析】過點(diǎn)作，于點(diǎn)，連接，根據(jù)題意可得，進(jìn)而根據(jù)垂徑定理，有，進(jìn)而將轉(zhuǎn)化為，即可求解．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)作，于點(diǎn)，連接，則，∵∴，∵∵∴∴故選：B．【點(diǎn)睛】考查垂徑定理，等腰直角三角形的性質(zhì)等，把式子進(jìn)行變形是解題的關(guān)鍵.模型3、遇求角可構(gòu)造同弧的圓周角（圓心角）【模型解讀】如圖，已知A、B、P是⊙O上的點(diǎn)，點(diǎn)C是圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接AC、BC，則∠ACB=∠AOB。例1．（2023·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的外接圓，若，則（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】連接，首先根據(jù)圓周角定理得到，然后利用半徑相等得到，然后利用等邊對(duì)等角和三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】如圖所示，連接，

∵，，∴，∵，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理：圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半，等邊對(duì)等角和三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn)．例2．（2022·黑龍江哈爾濱·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)是上一點(diǎn)，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】取優(yōu)弧上一點(diǎn)C，連接，由圓周角定理，得，運(yùn)用圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)求解．【詳解】解：如圖，取優(yōu)弧上一點(diǎn)C，連接,則,∴．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形；由相關(guān)定理得角之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．例3．（2023秋·重慶·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，一塊直角三角板的角的頂點(diǎn)落在上，兩邊分別交于、兩點(diǎn)，若的直徑為8，則弦長(zhǎng)為（

）A．8 B．4 C． D．【答案】B【分析】連接AO，BO，求出∠AOB=2∠APB=60°，得到△AOB為等邊三角形，即可求出AB長(zhǎng).【詳解】連接AO，BO，∴OA=OB，∵所對(duì)的圓周角是∠APB，所對(duì)的圓心角是∠AOB，∠APB=30°，∴∠AOB=2∠APB=60°，∴△AOB為等邊三角形，∴AB=AO，∵直徑為8，∴OA=4，∴AB=4，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查的是圓周角和圓心角，根據(jù)題意作出輔助線，得到等邊三角形是解答此題的關(guān)鍵．例4．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖，為的兩條弦，D，G分別為的中點(diǎn)，的半徑為2．若，則的長(zhǎng)為（

）

A．2 B． C． D．【答案】D【分析】連接，圓周角定理得到，勾股定理求出，三角形的中位線定理，即可求出的長(zhǎng)．【詳解】解：連接，

∵的半徑為2．，∴，∴，∵D，G分別為的中點(diǎn)，∴為的中位線，∴．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理和三角形的中位線定理．熟練掌握相關(guān)定理，并靈活運(yùn)用，是解題的關(guān)鍵．模型4、遇直徑作直徑所對(duì)的圓周角（構(gòu)造直角三角形）【模型解讀】如圖，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是圓上一點(diǎn)，連接AC、BC，則∠ACB=90o。如圖，當(dāng)圖形中含有直徑時(shí)，構(gòu)造直徑所對(duì)的圓周角是解問題的重要思路，在證明有關(guān)問題中注意90o的圓周角的構(gòu)造。例1．（2023·遼寧營(yíng)口·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，是的直徑，弦交于點(diǎn)E，連接，若，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】如圖所示，連接，先由同弧所對(duì)的圓周角相等得到，再由直徑所對(duì)的圓周角是直角得到，則．【詳解】解：如圖所示，連接，∵，∴，∵是的直徑，∴，∴，故選D．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了同弧所對(duì)的圓周角相等，直徑所對(duì)的圓周角是直角，正確求出的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．例2．（2022·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖，是⊙的直徑，，，，則⊙的半徑為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】連接CO并延長(zhǎng)CO交⊙于點(diǎn)E，連接AE，根據(jù)OA=OC，可得∠ACD=∠ACE，從而得到AE=AD=2，然后根據(jù)勾股定理，即可求解．【詳解】解：如圖，連接CO并延長(zhǎng)CO交⊙于點(diǎn)E，連接AE，∵OA=OC，∴∠ACE=∠CAB，∵，∴∠ACD=∠ACE，∴，∴AE=AD=2，∵CE是直徑，∴∠CAE=90°，∴，∴⊙的半徑為．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，勾股定理，熟練掌握?qǐng)A周角定理，勾股定理是解題的關(guān)鍵．例3．（2022·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）如圖，為的直徑，弦交于點(diǎn)，，，，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】連接BC，根據(jù)垂徑定理的推論可得AB⊥CD，再由圓周角定理可得∠A=∠CDB=30°，根據(jù)銳角三角函數(shù)可得AE=3，AB=4，即可求解．【詳解】解：如圖，連接BC，∵為的直徑，，∴AB⊥CD，∵∠BAC=∠CDB=30°，，∴，∵為的直徑，∴，∴OA=2，∴OE=AEOA=1．故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理，圓周角定理，解直角三角形，熟練掌握垂徑定理，圓周角定理，特殊角銳角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．模型5、遇90°的圓周角連直徑【模型解讀】如圖，已知圓周角∠BAC=90o，連接BC，則BC是⊙O的直徑。遇到90°的圓周角時(shí)，常連接兩條弦沒有公共點(diǎn)的另一端點(diǎn)，得到直徑。利用圓周角的性質(zhì)，可得到直徑。例1．（2022·遼寧營(yíng)口·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)A，B，C，D在上，，則的長(zhǎng)為（

）A． B．8 C． D．4【答案】A【分析】連接，根據(jù)可得為的直徑，又根據(jù)得到，故在直角三角形中，利用特殊角的三角函數(shù)即可求出．【詳解】解：連接，，，為的直徑，，，在中,，．.故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓周角定理，解三角形，解題的關(guān)鍵是掌握公式、定理。例2．（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考二模）如圖，半徑為的經(jīng)過原點(diǎn)O和點(diǎn)，B是y軸左側(cè)優(yōu)弧上一點(diǎn)，則為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D，連接，如圖，則，根據(jù)圓周角定理和勾股定理求出，然后根據(jù)求解即可.【詳解】解：設(shè)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D，連接，如圖，則，∵，∴是的直徑，∵的半徑為，∴，∵，∴，在直角三角形中，根據(jù)勾股定理可得：，∴；故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、三角函數(shù)和勾股定理等知識(shí)，屬于?？碱}型，正確添加輔助線、靈活應(yīng)用轉(zhuǎn)化的思想是解題的關(guān)鍵.例3．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，是矩形的外接圓，若，則圖中陰影部分的面積為．（結(jié)果保留）

【答案】【分析】根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角及勾股定理得到，再根據(jù)圓的面積及矩形的性質(zhì)即可解答．【詳解】解：連接，∵四邊形是矩形，∴是的直徑，∵，∴，∴的半徑為，∴的面積為，矩形的面積為，∴陰影部分的面積為；故答案為；

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，圓的面積，矩形的面積，勾股定理，掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．模型6、遇切線連圓心和切點(diǎn)（構(gòu)造垂直）【模型解讀】如圖，已知直線AB連與圓O相切于點(diǎn)C，連接OC，則OC⊥AB。AABCO已知圓的切線時(shí)，常把切點(diǎn)與圓心連接起來，得半徑與切線垂直，構(gòu)造直角三角形，再利用直角三角形的有關(guān)性質(zhì)解題。例1．（2022·黑龍江哈爾濱·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，如圖，、分別切于點(diǎn)、，點(diǎn)為優(yōu)弧上一點(diǎn)，若，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】要求的度數(shù)，只需根據(jù)圓周角定理構(gòu)造它所對(duì)的弧所對(duì)的圓心角，即連接，；再根據(jù)切線的性質(zhì)以及四邊形的內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】

解：連接，∵、分別切于點(diǎn)、，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查切線的性質(zhì)，圓周角定理，以及四邊形的內(nèi)角和，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．例2．（2023年重慶市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，是的切線，為切點(diǎn)，連接．若，，，則的長(zhǎng)度是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)及正切的定義得到，再根據(jù)勾股定理得到．【詳解】解：連接，∵是的切線，為切點(diǎn)，∴，∵，，∴在中，，∵，∴在，，故選．

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理，掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例3．（2022春·湖北武漢·九年級(jí)統(tǒng)考自主招生）如圖，是圓的直徑，是切線，是切點(diǎn)，弦，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，，則（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】連接OD，由及，即可得到，從而可證得，即可證得直線是的切線，進(jìn)而根據(jù)，可得，設(shè)半徑為，,在中，勾股定理求得，即可求解．【詳解】證明：如圖，連接OD，，．

又，，，．在與中，，，，又，，是的切線；∴，設(shè)半徑為，,則，∵，∴，∴，則，在中，，∴，解得：，∴；【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)與判定，切線長(zhǎng)定理，平行線分線段成比例，勾股定理，熟練掌握切線的性質(zhì)與判定，平行線分線段成比例是解題的關(guān)鍵．模型7、證明切線的輔助線（證垂直或直角）【模型解讀】證明直線AB是⊙O的切線.ABABCO遇到證明某一直線是圓的切線時(shí)：（1）有點(diǎn)連圓心：當(dāng)直線和圓的公共點(diǎn)已知時(shí)，聯(lián)想圓的切線的判定定理，只要將該店與圓心連接，再證明該直徑與直線垂直。如圖，已知過圓上一點(diǎn)C的直線AB，連接OC，證明OC⊥AB，則直線AB是⊙O的切線．（2）無點(diǎn)作垂線：需證明的切線，條件中沒有告知與圓之間有交點(diǎn)，則聯(lián)想切線的定義，過圓心作該直線的垂線，證明圓心到垂足的距離等于半徑。如圖，過點(diǎn)O作OC⊥AB，證明OC等于⊙O的半徑，則直線AB是⊙O的切線．例1．（2023年四川省攀枝花市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，為的直徑，如果圓上的點(diǎn)恰使，求證：直線與相切．

【答案】見詳解【分析】由等腰三角形的性質(zhì)和圓周角定理得出，則，再由切線的判定即可得出結(jié)論．【詳解】證明：如圖，連接，，，為的直徑，，，，，即，，是的半徑，直線與相切．

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定、圓周角定理、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握?qǐng)A周角定理和切線的判定是解題的關(guān)鍵．例2．（2023秋·福建福州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，，，的直徑為6．求證：直線是的切線．

【答案】見解析【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)三線合一和勾股定理求出的長(zhǎng)，即可．【詳解】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵，，∴，∴，∵的直徑為6，∴為的半徑，又，∴直線是的切線．【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定．熟練掌握切線的判定方法，是解題的關(guān)鍵．例3．（2023年遼寧省盤錦市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，內(nèi)接于，為的直徑，延長(zhǎng)到點(diǎn)G，使得，連接，過點(diǎn)C作，交于點(diǎn)F，交點(diǎn)于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作．交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．

(1)求證：與相切．(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見詳解(2)【分析】（1）連接，結(jié)合圓周角定理，根據(jù)，可得，再根據(jù)平行的性質(zhì)，即有，進(jìn)而可得，問題隨之得證；（2）過C點(diǎn)作于點(diǎn)K，先證明四邊形是平行四邊形，即有，求出，即有，利用三角形函數(shù)有，同理，即可得，，進(jìn)而有，再證明，可得，即可得，在中，有，問題隨之得解．【詳解】（1）連接，如圖，

∵為的直徑，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，∵，∴，∴半徑，∴與相切；（2）過C點(diǎn)作于點(diǎn)K，如圖，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴在，，同理，∵在中，，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴在中，，∴．【點(diǎn)睛】本題是一道綜合題，主要考查了圓周角定理，切線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)以及勾股定理等知識(shí)，掌握切線的判定以及相似三角形的判定與性質(zhì)，是解答本題的關(guān)鍵．例4．（2023年遼寧省鞍山市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，四邊形內(nèi)接于，為的直徑，過點(diǎn)D作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接．若．

(1)求證：為的切線．(2)若，，求的半徑．【答案】(1)見解析(2)的半徑為【分析】（1）連接，根據(jù)同角的補(bǔ)角相等，得到，等角的余角相等，得到，等邊對(duì)等角，得到，推出，得到，即可得證；（2）連接，推出，利用銳角三角函數(shù)求出的長(zhǎng)，設(shè)的半徑為，證明，列出比例式進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）證明：連接，

∵，，∴，∵為的直徑，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即：，又為的半徑，∴為的切線；（2）連接，則：，∵為的直徑，∴，∴，∴，在中，，，∴，設(shè)的半徑為，則：，∵，∴，∴，即：，∴；∴的半徑為．【點(diǎn)睛】本題考查圓與三角形的綜合應(yīng)用，重點(diǎn)考查了切線的判定，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)．題目的綜合性較強(qiáng)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，并靈活運(yùn)用，是解題的關(guān)鍵．模型8、遇三角形的內(nèi)切圓，連內(nèi)心與頂點(diǎn)（切點(diǎn)）當(dāng)遇到三角形內(nèi)切圓，連接內(nèi)心到三角形各頂點(diǎn)，或連接內(nèi)心到各邊切點(diǎn)（或做垂線）。利用內(nèi)心的性質(zhì)可得一內(nèi)心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的連線是各角的平分線，內(nèi)心到三角形三邊的距離相等。例1．（2022·湖北恩施·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，⊙O為Rt△ABC的內(nèi)切圓，則圖中陰影部分的面積為（結(jié)果保留π）．【答案】【分析】利用切線長(zhǎng)定理求得⊙O的半徑，根據(jù)S陰影=S△ABC(S扇形EOF+S扇形DOF)S正方形CDOE列式計(jì)算即可求解．【詳解】解：設(shè)切點(diǎn)分別為D、E、F，連接OD、OE、OF，∵⊙O為Rt△ABC的內(nèi)切圓，∴AE=AF、BD=BF、CD=CE，OD⊥BC，OE⊥AC，∵∠C=90°，∴四邊形CDOE為正方形，∴∠EOF+∠FOD=360°90°=270°，設(shè)⊙O的半徑為x，則CD=CE=x，AE=AF=4x，BD=BF=3x，∴4x+3x=5，解得x=1，∴S陰影=S△ABC(S扇形EOF+S扇形DOF)S正方形CDOE=×3×4×1×1=5．故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了切線長(zhǎng)定理，扇形的面積公式，熟記各圖形的性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．例2．（2023秋·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，于，為的內(nèi)切圓，設(shè)的半徑為，的長(zhǎng)為，則的值為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三角形內(nèi)切圓的特點(diǎn)作出圓心和三條半徑，分別表示出的面積，利用面積相等即可解決問題．【詳解】解：如圖所示：為中、、的角平分線交點(diǎn)，過點(diǎn)分別作垂線交、、于點(diǎn)、、，

，，，的長(zhǎng)為，，，，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)切圓的相關(guān)性質(zhì)，本題掌握三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)，根據(jù)已知條件利用三角形面積相等推出關(guān)系式是解題關(guān)鍵．例3．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，的內(nèi)切圓與，，分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，若的半徑為r，，則的值和的大小分別為（

）A．2r， B．0， C．2r， D．0，【答案】D【分析】如圖，連接．利用切線長(zhǎng)定理，圓周角定理，切線的性質(zhì)解決問題即可．【詳解】解：如圖，連接．∵的內(nèi)切圓與，，分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，∴，∴，，∴，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，圓周角定理，切線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握切線的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的切線，為切點(diǎn)，連接．若，，，則的長(zhǎng)度是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)及正切的定義得到，再根據(jù)勾股定理得到．【詳解】解：連接，∵是的切線，為切點(diǎn)，∴，∵，，∴在中，，∵，∴在，，故選．

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理，掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2022·黑龍江哈爾濱·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，如圖，、分別切于點(diǎn)、，點(diǎn)為優(yōu)弧上一點(diǎn)，若，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】要求的度數(shù)，只需根據(jù)圓周角定理構(gòu)造它所對(duì)的弧所對(duì)的圓心角，即連接，；再根據(jù)切線的性質(zhì)以及四邊形的內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：連接，∵、分別切于點(diǎn)、，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查切線的性質(zhì)，圓周角定理，以及四邊形的內(nèi)角和，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．3．（2023年四川省宜賓中考數(shù)學(xué)真題）如圖，已知點(diǎn)在上，為的中點(diǎn)．若，則等于（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】連接，如圖所示，根據(jù)圓周角定理，找到各個(gè)角之間的關(guān)系即可得到答案．【詳解】解：連接，如圖所示：

點(diǎn)在上，為的中點(diǎn)，，，，根據(jù)圓周角定理可知，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查圓中求角度問題，涉及圓周角定理，找準(zhǔn)各個(gè)角之間的和差倍分關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．4．（2023年四川省涼山州數(shù)學(xué)中考真題）如圖，在中，，則（

）

A．1 B．2 C． D．4【答案】B【分析】連接，由圓周角定理得，由得，，，在中，由，計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：連接，如圖所示，

，，，，，，在中，，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，垂徑定理，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A周角定理，垂徑定理，添加適當(dāng)?shù)妮o助線．5．（2023年重慶市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，為的直徑，直線與相切于點(diǎn)C，連接，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，先根據(jù)圓的切線的性質(zhì)可得，從而可得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得．【詳解】解：如圖，連接，

直線與相切，，，，，，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A的切線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．6．（2023·廣東·一模）如圖，是⊙O的直徑，交⊙O于點(diǎn)，于點(diǎn)，下列說法不正確的是（）A．若，則是⊙O的切線 B．若，則是⊙O的切線C．若，則是⊙O的切線 D．若是⊙O的切線，則【答案】A【分析】根據(jù)AB=AC，連接AD，利用圓周角定理以及等腰三角形的性質(zhì)可以得到點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，OD是△ABC的中位線，OD∥AC，然后由DE⊥AC，得到∠ODE=90°，可以證明DE是⊙O的切線，可判斷B選項(xiàng)正確；若DE是⊙O的切線，同上法倒推可證明AB=AC，可判斷D選項(xiàng)正確；根據(jù)CD=BD，AO=BO，得到OD是△ABC的中位線，同上可以證明DE是⊙O的切線，可判斷C選項(xiàng)正確；若，沒有理由可證明DE是⊙O的切線．【詳解】解：當(dāng)AB=AC時(shí)，如圖：連接AD，∵AB是⊙O的直徑，∴AD⊥BC，∴CD=BD，∵AO=BO，∴OD是△ABC的中位線，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切線，所以B選項(xiàng)正確；當(dāng)DE是⊙O的切線時(shí)，如圖：連接AD，∵DE是⊙O的切線，∴DE⊥OD，∵DE⊥AC，∴OD∥AC，∴OD是△ABC的中位線，∴CD∥BD，∵AB是⊙O的直徑，∴AD⊥BC，∴AD是線段BC的垂直平分線，∴AB=AC，所以D選項(xiàng)正確；當(dāng)CD=BD時(shí)，又AO=BO，∴