福建省寧德市福寧古五校教學(xué)聯(lián)合體2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

福寧古五校教學(xué)聯(lián)合體2024-2025學(xué)年第一學(xué)期期中質(zhì)量監(jiān)測高三數(shù)學(xué)試題（考試時(shí)間：120分鐘，試卷總分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．填空題和解答題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的．1．已知集合，則（）A． B． C． D．2．某一物質(zhì)在特殊環(huán)境下的溫度變化滿足：（為時(shí)間，單位為為特殊環(huán)境溫度，為該物質(zhì)在特殊環(huán)境下的初始溫度，為該物質(zhì)在特殊環(huán)境下冷卻后的溫度），假設(shè)一開始該物質(zhì)初始溫度為100℃，特殊環(huán)境溫度是20℃，則經(jīng)過15min，該物質(zhì)的溫度最接近（參考數(shù)據(jù)：）（）A．54℃ B．52℃ C．50℃ D．48℃

3．在中，已知是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)根，則角的大小為（）A． B． C． D．4．對(duì)任意實(shí)數(shù)，“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．函數(shù)的大致圖象是（）A． B．C． D．6．已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．7．已知，則（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，若對(duì)任意的，都有恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得6分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知三次函數(shù)的圖象如圖，則下列說法正確的是（）A． B．C． D．的解集為10．已知函數(shù)，則（）A．與的圖象有相同的對(duì)稱中心B．與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱C．與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱D．的解集為11．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，若，則（）A． B．關(guān)于中心對(duì)稱C． D．函數(shù)有最大值三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共15分12．已知復(fù)數(shù)滿足，則______．13．已知，則的最小值為______．14．已知，若函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為______．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）已知函數(shù)為上的奇函數(shù)．（1）求；（2）若函數(shù)，討論的極值．16．（15分）在銳角中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且．（1）求角A的大?。唬?）若，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，求線段長的取值范圍．17．（15分）在三棱錐中，底面，分別為的中點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）若平面底面且，求二面角的正弦值．18．（17分）已知函數(shù)，其中是實(shí)數(shù)．（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若恒成立，求的最小值．19．（17分）已知函數(shù)圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離為，且函數(shù)圖象過點(diǎn)．（1）若函數(shù)是偶函數(shù)，求的最小值；（2）令，記函數(shù)在上的零點(diǎn)從小到大依次為，求的值；（3）設(shè)函數(shù)，如果對(duì)于定義域D內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，對(duì)于給定的非零常數(shù)，總存在非零常數(shù)T，恒有成立，則稱函數(shù)是D上的“級(jí)周期函數(shù)”，周期為T．請(qǐng)?zhí)骄渴欠翊嬖诜橇銓?shí)數(shù)，使函數(shù)是R上的周期為T的T級(jí)周期函數(shù)，并證明你的結(jié)論．福寧古五校教學(xué)聯(lián)合體2024-2025學(xué)年第一學(xué)期期中質(zhì)量監(jiān)測高三數(shù)學(xué)參考答案一、單選題12345678ACDCCDBD8．解：，即，易知，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．．故選D．二、多選題91011ACDABDBD11．解：令，則，又，故A錯(cuò)誤；令，則，又，，再令，的圖象關(guān)于中心對(duì)稱，故B正確；由B得，當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；由B得，在時(shí)取到最大值，故D正確．三、填空題12．1；13．；14．14．解：設(shè)，則，，得，當(dāng)單調(diào)遞增，當(dāng)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值1，如圖1，畫出函數(shù)的圖象，由，即，則恒過點(diǎn)，如圖，畫出函數(shù)的圖象，設(shè)過點(diǎn)的切線與相切于點(diǎn)，則，得，即切點(diǎn)，所以切線方程為，如圖2，則與有2個(gè)交點(diǎn)，，如圖可知，若函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，則，，則，所以，綜上可知，．故答案為：四、解答題15．（1）因?yàn)楹瘮?shù)為上的奇函數(shù)，由，此時(shí)，顯然為奇函數(shù)．所以（2）由（1）得：定義域?yàn)?，，由得；由得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，；無極小值16．（1）因?yàn)?，由余弦定理得，由正弦定理得，又是銳角三角形，所以，所以，所以，又，所以．（2）由余弦定理可得，又，所以，由正弦定理可得，所以，，所以，由題意得解得，則，所以，所以，所以，所以線段長的取值范圍為17．（1）解法一：連接交與點(diǎn)0，則，，故，從而，從而，底面底面，又，故平面（1）解法二：連接，由分別為的中點(diǎn)，所以，，又因?yàn)?，所以，故，從而，底面底面，又，故平面?）因?yàn)?，故以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，過點(diǎn)作垂直于平面的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，則，因?yàn)槠矫娴酌?，易得平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，可得，令可得，設(shè)二面角為，則，故二面角的正弦值為．18．（1）當(dāng)時(shí)，，則，令，解得，令，解得，所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減；（2）函數(shù)的圖象是連續(xù)的，且在定義域上是單調(diào)函數(shù)，在定義域內(nèi)恒成立，或，在定義域內(nèi)恒成立．在為負(fù)，為正，所以在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，（1）若在定義域內(nèi)恒成立，只需，即，（2）若在定義域內(nèi)恒成立，時(shí)，，故該情況無解．綜上：．（3）若恒成立，則，當(dāng)時(shí)，，即，下證成立，由得，恒成立，即，記，故，而，則，解得，只需證恒成立，，由（2）得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又在上為正，在上為負(fù)，在上為負(fù)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，即恒成立，最小值為．19．解：（1）圖象的相鄰的兩條對(duì)稱軸間的距離為的最小正周期為，又的圖象過點(diǎn)．因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)．的最小值．（2）由可得設(shè)，由與圖象可知在共有8個(gè)交點(diǎn)．，同理，．（3）假設(shè)存在非零實(shí)數(shù)，使得函數(shù)是上的周期為的級(jí)周期函數(shù)，即，恒有，則，恒有成立，則，恒有成立，當(dāng)時(shí)，，則，