2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第五章函數(shù)應(yīng)用5.1方程解的存在性及方程的近似解5.1.2課時(shí)2函數(shù)與方程的綜合問題一課一練含解析北師大版必修第一冊

PAGEPAGE1第五章函數(shù)應(yīng)用§1方程解的存在性及方程的近似解1.2利用二分法求方程的近似解課時(shí)2函數(shù)與方程的綜合問題學(xué)問點(diǎn)1函數(shù)與方程1.☉%861@5￥@#%☉(2024·太原五中高一期末)下列區(qū)間不能推斷函數(shù)f(x)=2x-3是否有零點(diǎn)的是(A.[-2,0] B.[0,2] C.[2,4] D.[4,6]答案：C解析：函數(shù)f(x)=2x-3的定義域?yàn)?-∞,3)∪(3,+∞),所以函數(shù)y=f(x)的圖像在區(qū)間[2,4]上不是一條連續(xù)的曲線,故不能用零點(diǎn)存在定理來推斷2.☉%*2*6#@28%☉(教材習(xí)題改編)已知f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù),且在(0,+∞)內(nèi)的零點(diǎn)有1009個(gè),則f(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()。A.1009 B.1010 C.2024 D.2024答案：D解析：由于奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱且它在(0,+∞)內(nèi)的零點(diǎn)有1009個(gè),所以它在(-∞,0)內(nèi)的零點(diǎn)也有1009個(gè)。又f(x)的定義域?yàn)镽,所以f(0)=0。即0也是它的零點(diǎn),故f(x)的零點(diǎn)共有2024個(gè)。故選D。3.☉%￥8￥02#￥8%☉(2024·常德一中高一檢測)函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,若f(1)>0,f(2)<0,則f(x)在(1,2)上的零點(diǎn)()。A.至多有一個(gè) B.有一個(gè)或兩個(gè)C.有且僅有一個(gè) D.一個(gè)也沒有答案：C解析：若a=0,則f(x)=bx+c是一次函數(shù),由f(1)·f(2)<0得零點(diǎn)只有一個(gè);若a≠0,則f(x)=ax2+bx+c為二次函數(shù),若有兩個(gè)零點(diǎn),則必有f(1)·f(2)>0,與已知沖突。故選C。4.☉%5*5@*#11%☉(2024·鄭州中牟二高高一月考)函數(shù)f(x)=lnx-1x-1的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是(A.0 B.1 C.2 D.3答案：C解析：畫圖易知y=lnx與y=1x-15.☉%**0*9@90%☉(2024·衡水武邑高一月考)設(shè)f(x)=1-(x-a)(x-b)(a<b),m,n為y=f(x)的兩個(gè)零點(diǎn),且m<n,則a,b,m,n的大小關(guān)系是()。A.a<m<n<b B.m<a<b<nC.a<b<m<n D.m<n<a<b答案：B解析：因?yàn)閒(x)=1-(x-a)(x-b)(a<b),m,n為y=f(x)的兩個(gè)零點(diǎn),所以f(a)=f(b)=1,f(m)=f(n)=0,如圖,依據(jù)二次函數(shù)的圖像與性質(zhì),由y=1,y=0兩條直線與拋物線的交點(diǎn)可得到a+b=m+n(a<b,m<n),所以m<a<b<n。故選B。6.☉%35￥@4@￥4%☉(2024·三明二中高一月考)已知函數(shù)f(x)=x2-2x-3,x∈[-1,4]。(1)畫出函數(shù)y=f(x)的圖像,并寫出其值域;答案：解:f(x)=(x-1)2-4,x∈[-1,4],其圖像如圖,其值域?yàn)閇-4,5]。(2)當(dāng)m為何值時(shí),函數(shù)g(x)=f(x)+m在[-1,4]上有兩個(gè)零點(diǎn)?答案：因?yàn)楹瘮?shù)g(x)=f(x)+m在[-1,4]上有兩個(gè)零點(diǎn),所以方程f(x)=-m在x∈[-1,4]上有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根,即函數(shù)y=f(x)與y=-m的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)。由(1)所作圖像可知,-4<-m≤0,所以0≤m<4。所以當(dāng)0≤m<4時(shí),函數(shù)y=f(x)與y=-m的圖像有兩個(gè)交點(diǎn),故當(dāng)0≤m<4時(shí),函數(shù)g(x)=f(x)+m在[-1,4]上有兩個(gè)零點(diǎn)。學(xué)問點(diǎn)2利用二分法求近似解7.☉%￥*628*￥8%☉(2024·昆明官渡一中高一期中)若函數(shù)f(x)=(a+2)·x2+2ax+1有零點(diǎn),但不能用二分法求其零點(diǎn),則a的值為。

答案：a=2或a=-1解析：由題意知,對于方程(a+2)x2+2ax+1=0,Δ=4a2-4(a+2)=0,解得a=2或a=-1。8.☉%2#0*￥04￥%☉(2024·宜昌葛洲壩中學(xué)高一期中)用二分法求方程x3-2x-5=0在區(qū)間[2,3]內(nèi)的實(shí)根,取區(qū)間中點(diǎn)x0=52,那么下一個(gè)有根的區(qū)間是。答案：2,解析：令f(x)=x3-2x-5。因?yàn)閒(2)=23-4-5=-1<0,f52=523-5-5=458>0,f(3)=339.☉%##0￥8#78%☉(2024·吉林調(diào)考)某同學(xué)在借助計(jì)算器求方程lgx=2-x的近似解(精確度為0.1)時(shí),設(shè)f(x)=lgx+x-2,算得f(1)<0,f(2)>0,然后他用二分法又取了4個(gè)x的值,計(jì)算了其函數(shù)值,并得出推斷:方程的近似解是x≈1.8。那么他之后取的x的4個(gè)值依次是。

答案：1.5,1.75,1.875,1.8125解析：第一次用二分法計(jì)算得區(qū)間(1.5,2),其次次得區(qū)間(1.75,2),第三次得區(qū)間(1.75,1.875),第四次得區(qū)間(1.75,1.8125)。10.☉%3#@￥6￥39%☉(2024·上海中學(xué)月考)已知函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù),-2是它的一個(gè)零點(diǎn),在(0,2)內(nèi)無零點(diǎn),且在(2,+∞)上是增函數(shù),則該函數(shù)有個(gè)零點(diǎn),這幾個(gè)零點(diǎn)的和等于。

答案：30解析：由于f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù),所以f(0)=0。因?yàn)?2是它的一個(gè)零點(diǎn),所以2也是它的零點(diǎn),故共有3個(gè)零點(diǎn),它們的和為0。11.☉%@7*2*@63%☉(2024·馬鞍山高一期中)用二分法求函數(shù)f(x)=x3-x-1在區(qū)間[1,1.5]內(nèi)的一個(gè)零點(diǎn)(精確度為0.1)。答案：解:因?yàn)閒(1)=1-1-1=-1<0,f(1.5)=3.375-1.5-1=0.875>0,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,1.5]內(nèi)存在零點(diǎn),取區(qū)間(1,1.5)作為計(jì)算的初始區(qū)間,用二分法逐次計(jì)算,列表:區(qū)間區(qū)間中點(diǎn)中點(diǎn)函數(shù)值(或近似值)(1,1.5)1.25-0.297(1.25,1.5)1.3750.225(1.25,1.375)1.3125-0.052(1.3125,1.375)1.343750.083因?yàn)閨1.375-1.3125|=0.0625<0.1,所以函數(shù)f(x)的零點(diǎn)落在區(qū)間(1.3125,1.375)內(nèi),故函數(shù)f(x)零點(diǎn)的近似值可取為1.3125。12.☉%￥@112@8*%☉(2024·信陽月考)若a滿意x+lgx=4,b滿意x+10x=4,函數(shù)f(x)=x2+(a+b)x+2(x≤0A.1 B.2C.3 D.4答案：C解析：因?yàn)閍滿意x+lgx=4,b滿意x+10x=4,所以a,b分別為函數(shù)y=4-x與函數(shù)y=lgx,y=10x圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。因?yàn)閥=x與y=4-x圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,函數(shù)y=lgx,y=10x的圖像關(guān)于y=x對稱,所以a+b=4。所以函數(shù)f(x)=x當(dāng)x≤0時(shí),關(guān)于x的方程f(x)=x,即x2+4x+2=x,即x2+3x+2=0,所以x=-2或x=-1,滿意題意;當(dāng)x>0時(shí),關(guān)于x的方程f(x)=x,即x=2,滿意題意。所以關(guān)于x的方程f(x)=x的解的個(gè)數(shù)是3,故選C。題型函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用13.☉%9￥4￥*16￥%☉(2024·濟(jì)寧第一中學(xué)高一期中)已知函數(shù)f(x)=logax+x-3(a>0且a≠1)有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2,且x1<x2,若x2∈(3,4),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()。A.0,14C.(1,4) D.(4,+∞)答案：A解析：由函數(shù)f(x)=logax+x-3(a>0且a≠1)有兩個(gè)零點(diǎn),可知0<a<1,又x1<x2,所以0<x1<1。因?yàn)閤2∈(3,4),所以f(3)·f(4)=(loga3+3-3)·(loga4+4-3)<0,即a∈0,1414.☉%**9#9@97%☉(2024·衡水中學(xué)高一月考)直線y=1與曲線y=x2-|x|+a有四個(gè)交點(diǎn),則a的取值范圍是()。A.1,54C.1,32答案：A解析：如圖,在同始終角坐標(biāo)系內(nèi)畫出直線y=1與曲線y=x2-|x|+a,視察圖像可知,若直線y=1與曲線y=x2-|x|+a有四個(gè)交點(diǎn),a的取值必需滿意a>1,4a-1415.☉%1￥4##2#5%☉(2024·成都樹德中學(xué)高一月考)已知m∈R,函數(shù)f(x)=|2x+1|(x<1),log2(x-1)(x>1),g(x)=x2-2x+2m-1,若函數(shù)A.0,35C.34,答案：A解析：函數(shù)f(x)=|2x+1|(x<1),log2(x-1)(x>1)。令g(x)=t,y=f(t)與y=m的圖像(如圖)最多有3個(gè)交點(diǎn)。當(dāng)有3個(gè)交點(diǎn)時(shí),0<m<3,從左到右交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次是t1,t2,t3,且t1<t2<t3。由于函數(shù)y=f(g(x))-m有6個(gè)零點(diǎn),t=x2-2x+2m-1,則每一個(gè)t的值對應(yīng)2個(gè)x的值,則t的值不能取最小值,函數(shù)t=x2-2x+2m-1的對稱軸為直線x=1,則t的最小值為1-2+2m-1=2m-2,由圖可知2t1+1=-m,則t1=-m-12,由于t1是交點(diǎn)橫坐標(biāo)中最小的16.☉%4￥2@3@#3%☉(2024·余姚中學(xué)高一期中)已知函數(shù)g(x)=log22xx+1(x>0)。若關(guān)于x的方程|g(x)|2+m|g(x)|+2m+3=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是答案：-3解析：當(dāng)x>0時(shí),0<2x1+x<2,則log22x1+x<1,即函數(shù)g(x)=log22xx+1(x>0)的值域是(-∞,1),令|g(x)|=t可得t2+mt+2m+3=0在(0,1)上只有一個(gè)根,在[1,+∞)上有一個(gè)根。令f(t)=t2+mt+2m+3,故f(017.☉%@7@#28*3%☉(2024·豫西南部分示范性中學(xué)高一期中)已知二次函數(shù)f(x)=x2-2ax+4,求下列條件下,實(shí)數(shù)a的取值范圍。(1)零點(diǎn)均大于1;答案：解:由題可得方程x2-2ax+4=0的兩根均大于1,結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性與零點(diǎn)存在定理,得Δ解得2≤a<52(2)一個(gè)零點(diǎn)大于1,一個(gè)零點(diǎn)小于1;答案：由題可得方程x2-2ax+4=0的一個(gè)根大于1,一個(gè)根小于1,結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性與零點(diǎn)存在定理,得f(1)=5-2a<0,解得a>52(3)一個(gè)零點(diǎn)在(0,1)內(nèi),另一個(gè)零點(diǎn)在(6,8)內(nèi)。答案：由題可得方程x2-2ax+4=0的一個(gè)根在(0,1)內(nèi),另一個(gè)根在(6,8)內(nèi),結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性與零點(diǎn)存在定理,得f(0)=4>0,f18.☉%3#@#6￥48%☉(2024·定興三中高一期中)求函數(shù)f(x)=|x2-2x|-a2-a(a∈(0,+∞))的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。答案：解:令|x2-2x|-a2-1=0,所以函數(shù)f(x)=|x2-2x|-a2-1(a∈(0,+∞))的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為|x2-2x|=a2+1的根的個(gè)數(shù),再轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=|x2-2x|的圖像與直線y=a2+1>0交點(diǎn)的個(gè)數(shù),其中函數(shù)y=|x2-2x|的增區(qū)間為(0,1),(2,+∞),減區(qū)間為(-∞,0),(1,2),當(dāng)x=1時(shí)函數(shù)值為1,所以函數(shù)y=|x2-2x|的圖像與直線y=a2+1>1有兩個(gè)交點(diǎn),即方程|x2-2x|=a2+1(a∈(0,+∞))的解的個(gè)數(shù)是2,所以函數(shù)f(x)=|x2-2x|-a2-1(a∈(0,+∞))的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是2。19.☉%2￥5*￥@01%☉(2024·濟(jì)南一中月考)已知函數(shù)f(x)=|3x-1|,a∈13,1,若函數(shù)g(x)=f(x)-a有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1,x2(x1<x2),函數(shù)h(x)=f(x)-a2a+1有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x3,x4(x(1)若a=23,求x1的值答案：解:當(dāng)a=23時(shí),令