2025屆北京市達(dá)標(biāo)名校高二上數(shù)學(xué)期末聯(lián)考試題含解析

2025屆北京市達(dá)標(biāo)名校高二上數(shù)學(xué)期末聯(lián)考試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．120°的二面角的棱上有A，B兩點(diǎn)，直線AC，BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于AB.已知，，，則CD的長為()A. B.C. D.2．為了更好地研究雙曲線，某校高二年級(jí)的一位數(shù)學(xué)老師制作了一個(gè)如圖所示的雙曲線模型.已知該模型左、右兩側(cè)的兩段曲線（曲線與曲線）為某雙曲線（離心率為2）的一部分，曲線與曲線中間最窄處間的距離為，點(diǎn)與點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)均關(guān)于該雙曲線的對(duì)稱中心對(duì)稱，且，則（）A. B.C. D.3．下列命題中正確的是（）A.若為真命題，則為真命題B.在中“”是“”的充分必要條件C.命題“若，則或”的逆否命題是“若或，則”D.命題，使得，則，使得4．設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）A.66 B.65C.64 D.635．設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則A.-6 B.-4C.-2 D.26．若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則該數(shù)列的第5項(xiàng)為（）A. B.C. D.7．已知直線與平行，則系數(shù)（）A. B.C. D.8．已知點(diǎn)是橢圓方程上的動(dòng)點(diǎn)，、是直線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則（）A.存在實(shí)數(shù)使為等腰直角三角形的點(diǎn)僅有一個(gè)B.存在實(shí)數(shù)使為等腰直角三角形的點(diǎn)僅有兩個(gè)C.存在實(shí)數(shù)使為等腰直角三角形的點(diǎn)僅有三個(gè)D.存在實(shí)數(shù)使為等腰直角三角形的點(diǎn)有無數(shù)個(gè)9．方程有兩個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（）A. B.C. D.10．若實(shí)數(shù)滿足，則點(diǎn)不可能落在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限11．在棱長為1的正方體中，為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為（）A. B.1C. D.12．已知等比數(shù)列的前3項(xiàng)和為3，，則（）A. B.4C. D.1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．=______.14．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________.15．雙曲線上一點(diǎn)P到的距離最小值為___________.16．已知函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓過點(diǎn)，，且圓心在直線：上.（1）求圓的方程；（2）若從點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過軸反射，反射光線剛好經(jīng)過圓心，求反射光線的方程.18．（12分）已知函數(shù)在處有極值.（1）求的值；（2）求函數(shù)在上的最大值與最小值.19．（12分）已知三角形內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且C為鈍角.（1）求cosA；（2）若，，求三角形的面積.20．（12分）設(shè)數(shù)列滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，若對(duì)任意正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（12分）如圖，四邊形為矩形，，，為的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，平面.（1）若，求與所成角的余弦值；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.22．（10分）已知拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為.（1）求的方程；（2）若過點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn).請(qǐng)判斷是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】由，把展開整理求解【詳解】由已知可得：，，，，＝41，∴.故選：B2、D【解析】依題意以雙曲線的對(duì)稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn)建系，設(shè)雙曲線的方程為，根據(jù)已知求得，點(diǎn)縱坐標(biāo)代入計(jì)算即可求得橫坐標(biāo)得出結(jié)果.【詳解】以雙曲線的對(duì)稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)殡p曲線的離心率為2，所以可設(shè)雙曲線的方程為，依題意可得，則，即雙曲線的方程為.因?yàn)椋缘目v坐標(biāo)為18.由，得，故.故選：D.3、B【解析】A選項(xiàng)，當(dāng)一真一假時(shí)也滿足條件，但不滿足為真命題；B選項(xiàng)，可以使用正弦定理和大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊進(jìn)行證明；C選項(xiàng)，利用逆否命題的定義進(jìn)行判斷，D選項(xiàng)，特稱命題的否定，把存在改為任意，把結(jié)論否定，故可判斷D選項(xiàng).【詳解】若為真命題，則可能均為真，或一真一假，則可能為真命題，也可能為假命題，故A錯(cuò)誤；在中，由正弦定理得：，若，則，從而，同理，若，則由正弦定理得，，所以，故在中“”是“”的充分必要條件，B正確；命題“若，則或”的逆否命題是“若且，則”，故C錯(cuò)誤；命題，使得，則，使得，故D錯(cuò)誤.故選：B4、B【解析】根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和的片段和性質(zhì)求解即可.【詳解】解：由題知：，，，所以，，成等比數(shù)列，即5，15，成等比數(shù)列，所以，解得.故選：B.5、A【解析】由已知得解得故選A考點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式6、C【解析】直接根據(jù)通項(xiàng)公式，求；【詳解】，故選：C7、B【解析】由直線的平行關(guān)系可得，解之可得【詳解】解：直線與直線平行，，解得故選：8、B【解析】求出點(diǎn)到直線的距離的取值范圍，對(duì)點(diǎn)是否為直角頂點(diǎn)進(jìn)行分類討論，確定、的等量關(guān)系，綜合可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為.因?yàn)闄E圓與直線均關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，①若為直角頂點(diǎn)，則.當(dāng)時(shí)，此時(shí)，不可能是等腰直角三角形；當(dāng)時(shí)，此時(shí)，滿足是等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)有兩個(gè)；當(dāng)時(shí)，此時(shí)，滿足是等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)有四個(gè)；②若不是直角頂點(diǎn)，則.當(dāng)時(shí)，滿足是等腰直角三角形的非直角頂點(diǎn)不存在；當(dāng)時(shí)，滿足是等腰直角三角形的非直角頂點(diǎn)有兩個(gè)；當(dāng)時(shí)，滿足是等腰直角三角形非直角頂點(diǎn)有四個(gè).綜上所述，當(dāng)時(shí)，滿足是等腰直角三角形的點(diǎn)有八個(gè)；當(dāng)時(shí)，滿足是等腰直角三角形的點(diǎn)有六個(gè)；當(dāng)時(shí)，滿足是等腰直角三角形的點(diǎn)有四個(gè)；當(dāng)時(shí)，滿足是等腰直角三角形的點(diǎn)有兩個(gè)；當(dāng)時(shí)，滿足是等腰直角三角形的點(diǎn)不存在.故選：B.9、C【解析】轉(zhuǎn)化為圓心在原點(diǎn)半徑為1的上半圓和表示恒過定點(diǎn)的直線始終有兩個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合圖形可得答案.【詳解】令，平方得表示圓心在原點(diǎn)半徑為1的上半圓，表示恒過定點(diǎn)的直線，方程有兩個(gè)不同的解即半圓和直線要始終有兩個(gè)公共點(diǎn)，如圖圓心到直線的距離為，解得，當(dāng)直線經(jīng)過時(shí)由得，當(dāng)直線經(jīng)過時(shí)由得，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為.故選：C.10、B【解析】作出給定的不等式組表示的平面區(qū)域，觀察圖形即可得解.【詳解】因?qū)崝?shù)滿足，作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分，觀察圖形知，陰影區(qū)域不過第二象限，即點(diǎn)不可能落在第二象限.故選：B11、B【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量點(diǎn)到直線的距離公式進(jìn)行求解即可【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由已知，得，，，，，所以在上的投影為，所以點(diǎn)到直線的距離為故選：B12、D【解析】設(shè)等比數(shù)列公比為，由已知結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得，，代入即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得即，又，即又，，解得又等比數(shù)列的前3項(xiàng)和為3，故，即，解得故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)被積函數(shù)（）表示一個(gè)半圓，利用定積分的幾何意義即可得解.【詳解】被積函數(shù)（）表示圓心為，半徑為2的圓的上半部分，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了利用定積分的幾何意義來求定積分，在用該方法求解時(shí)需注意被積函數(shù)的在給定區(qū)間內(nèi)的函數(shù)值符號(hào)，本題屬于中檔題.14、【解析】求解定義域，由導(dǎo)函數(shù)小于0得到遞減區(qū)間，進(jìn)而得到不等式組，求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】顯然，且，由，以及考慮定義域x>0，解得:.在區(qū)間，上單調(diào)遞減，∴，解得:.故答案為：15、2【解析】設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式結(jié)合二次函數(shù)求出最小值即可作答.【詳解】設(shè)，則，即，于是得，而，則當(dāng)時(shí)，，所以雙曲線上一點(diǎn)P到的距離最小值為2.故答案為：216、【解析】先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求函數(shù)在處的切線方程.【詳解】，，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，重點(diǎn)考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題型.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】(1)根據(jù)題意設(shè)圓心，利用兩點(diǎn)坐標(biāo)公式求距離公式表示出，解出，確定圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)根據(jù)點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)的特征可得，利用直線的兩點(diǎn)式方程即可得出結(jié)果.【小問1詳解】圓過點(diǎn)，，因?yàn)閳A心在直線：：上，設(shè)圓心，又圓過點(diǎn)，，所以，即，解得，所以，所以故圓的方程為：；【小問2詳解】點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，則反射光線必經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，由直線的兩點(diǎn)式方程可得，即：.18、（1），；（2）最大值為，最小值為【解析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)在處取極值得出，再由極值為，得出，構(gòu)造一個(gè)關(guān)于的二元一次方程組，便可解出的值；（2）由（1）可知，求出，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在上的單調(diào)性，比較極值和端點(diǎn)值的大小，即可得出在上的最大值與最小值.【詳解】解：（1）由題可知，，的定義域?yàn)?，，由于在處有極值，則，即，解得：，，（2）由（1）可知，其定義域是，，令，而，解得，由，得；由，得，則在區(qū)間上，，，的變化情況表如下：120單調(diào)遞減單調(diào)遞增可得，，，由于，則，所以，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查已知極值求參數(shù)值和函數(shù)在閉區(qū)間內(nèi)的最值問題，考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)在給定閉區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，以及通過比較極值和端點(diǎn)值確定函數(shù)在閉區(qū)間內(nèi)的最值，考查運(yùn)算能力.19、（1）（2）【解析】（1）由正弦定理邊化角，可求得角的正弦，由同角關(guān)系結(jié)合條件可得答案.(2)由（1），由余弦定理，求出邊的長，進(jìn)一步求得面積【小問1詳解】因?yàn)?，由正弦定理得因?yàn)椋?因?yàn)榻菫殁g角，所以角為銳角，所以小問2詳解】由(1)，由余弦定理，得，所以，解得或，不合題意舍去，故的面積為=20、（1）證明見解析，；（2）或.【解析】（1）結(jié)合與關(guān)系用即可證明為常數(shù)；求出通項(xiàng)公式后利用累加法即可求的通項(xiàng)公式；（2）裂項(xiàng)相消求，判斷單調(diào)性求其最大值即可.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，得到，∴，當(dāng)時(shí)，是以4為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列∴當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，也滿足上式，.【小問2詳解】令，當(dāng)，因此的最小值為，的最大值為對(duì)任意正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，得，即在時(shí)恒成立，，解得t＜0或t＞3.21、（1）（2）【解析】（1）以為原點(diǎn)，、所在的直線為、軸，以過點(diǎn)垂直于面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得與所成角的余弦值；（2）計(jì)算出平面的法向量，利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】解：如圖，以為原點(diǎn)，、所在的直線為、軸，以過點(diǎn)垂直于面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，，則，則，故，因?yàn)槠矫?，平面，則，若，則，故、、、，則，，.因此，若，則與所